1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 2

Januari Pekan Ke-2, 2010

Nomor Soal: 11-20

11. Diberikan bahwa 1 3 x

x , berapakah nilai dari

7 7 1

x x  ?

Solusi:

3

Diberikan

n

Dengan demikian,

1

Jadi, nilai dari

7 7 1

x

x  adalah 843.

12. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan 



Solusi:

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah



Solusi:

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

0 1 6

2 _{  }

x

x ataux2 8x10

2 2 3



x atau x4 15

Jadi, x



32 2,4 15



.

14. Usia 4 orang anak naik dengan suatu bilangan yang sama. Jumlah usia mereka adalah 36 tahun dan hasil kali usianya adalah 5.760. Berapakah usia mereka masing-masing.

Solusi:

Misalnya usia mereka a3b, ab, ab, dan a3b, sehingga 36

3

3       

 b a b a b a b a

36 4a

9



a

Sekarang usia mereka dapat ditulis sebagai 93b, 9b, 9b, dan 93b, sehingga



93b



9b



9b



93b



5760



819b2



81b2



5760

5760 9

729 81

6561 b2  b2 b4  0 801 810

9b4  b2  

0 89 90 2

4 _{ b  }

b



b2 89



b21



0 89

2 _

b atau b2 1 89



b (ditolak) atau b1(diterima).

Jadi, usia mereka masing-masing adalah 6, 8, 10, dan 12 tahun.

15. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 18 0

15 7 40

7 ₂

2 _{ }

   

x x x

x .

Solusi:

Misalnya ax2 7x,maka diperoleh

0 18 15

40 _{ }

 

a a

0 ) 15 ( 18 40 ) 15

(a   a 

a

0 270 18 40 15

2 _{    }

a a

a

0 230 33

2 _{ a }

a

0 ) 23 )( 10

(a a 

10

 

a atau a23 Sehingga:

10 7

2 _{ }

x

x ataux27x23

0 10 7

2_{ x }

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

0 ) 5 )( 2

(x x  atau

1 2

23 1 4 ) 7 ( ) 7

( 2



       

x

2



x , x5atau

2 43 7 i x 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

    

 

  

2 43 7 , 2

43 7 , 5 ,

2 i i . Tetapi jika

dalam soal dinyatakan

x



R

, maka himpunan penyelesaiannya adalah {2, 5}. 16. Tentukanlah penyelesaian persamaan



x1



x2



x3



x4



48.

Solusi:



x1



x2



x3



x4



48



x25x4



x25x6



48 Misalnya x25xy, sehingga



y4



y6



48 48 24 10

2_{  }

y y

0 24 10

2_{ y }

y



y2



y12



0 2



y atauy12

2 5

2_{ }

x

x ataux25x12 0

2 5

2_{ x }

x ataux25x120(tidak mempunyai akar real, karena D0)

2 8 25

5 



x

2 33 5



17. Jika y x 1 x

  , tentukan 5 1₅

x

x  .

Solusi:

y x x1 

2 2

1 y x x  

     

2 2

2 1

2 y

x x   

2

1 2

2 2_{  y }

x x

Selanjutnya,



2



1

1 2

2

2 _{ }

  

       

  y y

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

y y x x x

x31  1₃  32

y y x x x

x3 1 1₃  32

      

y y x y

x3  1₃  32

y y x

x3 1₃  33

Selanjutnya,

2

1 2

2 2_{  }

y x x



₂



2 2

2 2

2

1 _{ }

   



 _{ y}

x x

4 4 1

2 ₄ 4 2

4_{  y  y }

x x

2 4

1 4 2

4

4_{  y  y }

x x



4 2



1

1 4 2

4

4 _{  }

  

       

  yy y

x x x x

y y y x x x

x5 1₃  3 1₅  54 32

y y y x x x

x5 3 1₃ 1₅  54 32

  

   





y y y

x y y

x5 33  1₅  54 32

y y y y y x

x5 1₅  54 32  33

y y y x

x5 1₅  55 35

18. Sebuah modal menghasilkan bunga dalam setahun $210. Modal yang lain $800 lebih besar dari modal pertama. Jika modal yang kedua dibungakan dengan 0,5% kurang dari yang pertama, maka bunganya berlebih $15. Temukan besarnya modal dan suku bunganya yang pertama.

Solusi:

Misalnya modal itu adalah $100m dan suku bunganya p %, sehingga

…. (1) 210 % 100mp 

210



6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010 …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

(diterima) atau (ditolak)



Jadi, modal yang pertama adalah $4200 dan suku bunganya 5%.

19. Diberikan

 

x mewakili bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan

x. Carilah solusi dari persamaan x 90

   

x 90

x x

   .

Solusi:

   

90 90

x x

x x

  

 





90

_{ }

1

x x

x x

 

 _  _

 

   

90 90

0

x x

x x

 

 

_  _{ }  _

 _{  }

 

0

 x

x atau

 

90

1 0

x x

 

 

x

x atau x x

 

90

Jika xnddengan 0d 1, maka n n d(  )90. Jika n0, maka _n2_{90n n( 1)adalah tidak mungkin.}

Jika n0, maka n n(  1) 90n2, akibatnya n10; d1; x9.

15 210 )% 5 , 0 )( 800 100

( m p  

225 ) 5 , 0 )( 8

(m p 

225 4 8 2

1 _{  }

 m p

mp

225 4 8 2 1

210 m p 

19 2 1 8p m

38 16 

 p

m

210 )

38 16

( p p

0 210 38

16p2 p 

0 105 19

8p2 p 

8 2

) 15 ( 8 4 ) 19 ( ) 19

( 2



       

p

16 3360 361

19 



16 3721 19



16 61 19



5 16

61

19 _



p 2,625

16 61 19 _



p

5 

7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2010

20. Diberikan

 

x berarti bilangan bulat terbesar atau sama dengan x. Carilah

solusi tidak rasional dari persamaan x218

 

x 800.

Solusi:

Catatan bahwa _x2_18

 

_{x 800, akibatnya x}_0.

Dengan x0, x2x218

 

x 800, akibatnya 8

 

x 10. Untuk

 

x 8dan 10, maka

 

x 8x218

 

x 800

2

18 8 80 0

x    

2

64

x 

x 648

 

x 10x218

 

x 800

2

18 10 80 0

x    

2

100

x 