1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 10

Maret Pekan Ke-2, 2006

Nomor Soal: 91-100

91. Diberikan sistem persamaan

2 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006 Jadi, nilai dari adalah 30.

92. Diberikan a, b, c, dan d adalah bilangan-bilangan real sedemikian sehingga

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

(qed)

93. Diberikan x, y, dan z adalah bilangan-bilangan positif yang memenuhi sistem

3 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Dengan mengurangkan persamaan (1) dari (2), maka kita memperoleh:

119

94. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

4 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

a (ditolak) atau 3 1



a (diterima)

3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

5 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006 Hasil dari penjumlahan persamaan (1) dan (3) adalah

y22yzz2bc yz bc …. (5)

Hasil dari penjumlahan persamaan (2) dan (3) adalah

x22xzz2ac xz ac…. (6)

Hasil dari penjumlahan persamaan (4), (5), dan (6) adalah

2(xyz) ab bc ac

2

c a c b b a z y

x        …. (7)

Dari persamaan (4) dan (7) kita memperoleh:

2

c a c b b a z b

a       

2

c a c b b a

z     

Dari persamaan (5) dan (7) kita memperoleh:

2

c a c b b a c b

x       

2

c a c b b a

x     

Dari persamaan (5) dan (7) kita memperoleh:

2

c a c b b a c a

y       

2

c a c b b a

y     

96. Tentukan pasangan



x y z, ,



yang memenuhi sistem persamaan

1 1 1

1 1

9

12

8

x y z

xy

yz   





 _{  }

 _



 _



Solusi:

xy yz 81121 2 1

96

xy z

6 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006 1 1 1 9

x  y z

yz xz xy 9

xyz

  _

81xz1219xyz 1 1₂ 1 9 1

896y 12 96y

20 1 ₂ 9 9696y 96y

20y29y 1 0



4y1 5



y 1



0 1 1

4 5

y  y

1

12

xy

1 1 1 1 1 5

1 1

12 3 12 12

12 12

4 5

x x

y y

      

 

1

8

yz

1 1 1 1 1 5

1 1

8 ₈ 2 8 ₈ 8

4 5

z z

y y

      

 

Jadi, pasangan



x y z, ,



adalah 1 1 1, , 3 4 2

 

 

  dan

5 1 5 , , 12 5 8

 

 

 .

97. Tentukan pasangan



x y z, ,



yang memenuhi sistem persamaan

5

9 8 xy yz

yz xz

xy xz

 



   

   

Solusi:

5....(1)

9....(2) 8....(3) xy yz

yz xz

xy xz

 



   

   

Jumlahkan ketiga persamaan tersebut sehingga diperoleh:

2xy2yz2xz22 xyyzxz11 .... (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh xz6....(5)

7 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006 xy2....(6)

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh yz3....(7)

Perkalian persamaan (5), (6), dan (7) adalah

 

xyz 2 36 xyz 6

xyz6 ....(8) atau xyz 6 ....(9)

Dari persamaan (8) dan (5) diperoleh y1 Dari persamaan (8) dan (6) diperoleh z3 Dari persamaan (8) dan (7) diperoleh x2 Dari persamaan (9) dan (5) diperoleh y 1 Dari persamaan (9) dan (6) diperoleh z 3 Dari persamaan (9) dan (7) diperoleh x 2

Jadi, pasangan



x y z, ,



adalah



2,1, 3



dan



  2, 1, 3



.

98. Rata-rata aritmetika dari dua bilangan adalah 15 dan rata-rata geometrinya adalah 12. Tentukan bilangan tersebut.

Solusi:

Misalnya bilangan tersebut adalah x dan y. Rata-rata aritmetika 15

2

xy _

y30x.... (1)

Rata-rata gemetri xy 12

xy144.... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh x



30x



144

_x2_{30x1440}



x24



x6



0

x24 x 6

y  6 y 24

Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 24 dan 6.

99. Jika bilangan dua angka dibagi dengan hasil kali angka-angkanya menghasilkan 2 dan sisanya 5. Jika angka-angkanya dibalik dan bilangan ini dibagi dengan jumlah angka-angkanya maka hasilnya 7 dan sisanya 3. Tentukan bilangan tersebut.

Solusi:

8 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006 10x y 2 5

xy x y

 _{ }

 10x y 2xy5.... (1)

10y x 7 3

x y x y

 _{ }

 

10y x 7



xy



3

3y6x3

y2x1 .... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh 10x2x 1 2x



2x 1



5

12x 1 4x22x5

_4x2_{10x 4 0} 2x25x 2 0



x2



2x 1



0

2(diterima) atau 1(ditolak) 2

x x

x     2 y 2 2 1 5

Jadi, bilangan dua angka tersebut adalah 25.

100. Tentukan bilangan dua angka yang jika dibagi dengan jumlah angka-angkanya menghasilkan 5 dan sisanya 9, sedangkan jika dibagi dengan hasil kali angka-angkanya menghasilkan 1 dan sisanya 18.

Solusi:

Misalnya bilangan dua angka tersebut adalah xy. 10x y 5 9

x y x y

 _{ }

 

10x y 5(xy) 9

5x4y9

5 9

4

x

y  .... (1)

10x y 1 18

xy xy

 _{ }

10x y xy18.... (2) Dari (1) dan (2) diperoleh

10 5 9 5 9 18

4 4

x x

x  x_  _

 

9 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006



x9 5



x9



0

9(diterima) atau 9(ditolak) 5

x x

9 5 9 9 9 4

x  y   