1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 3

Januari Pekan Ke-4, 2007

Nomor Soal: 21-30

21. Diberikan

A = jumlah akar-akar persamaan:

x

5



8

x

3



6

x

2



7

x



2007



0

B = hasil kali akar-akar dari

2

x

3

 

x

2

22

x



4014



0

C = nilai p sehingga x– 1 adalah faktor dari x3px26x6p.

D = nilai k sehingga jumlah akar-akarnya

2

x

2

 

kx

2007



0

adalah 2007. Jika

N

  

A B

2007

C



D

, maka jumlah angka-angka bilangan N adalah .... Solusi:

0

b A

a



 



4014



2007 2

B  

1

  

p

6 6

p

  

0

p

1

, sehingga

C



1

2007 2

k



 

4014

k



, sehingga

D



4014

2007 0 2007 2007 1 4014 4014

N  A B C  D    

Jadi, jumlah angka-angka bilangan N adalah 4 + 0 + 1 + 4 = 9.

22. Diberikan polinom F(x)a₀a₁x...a_nxndan untuk empat bilangan bulat yang berbeda a,

b, c, d polinom F mempunyai F(a)F(b)F(c)F(d)5. Tunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan bulat k sehingga F(k)8.

Solusi:

Misalnya G(x)F(x)5. Dari teorema faktor kita memperoleh bahwa xa, xb,xc, dan

d

x adalah faktor dari G(x), akibatnya terdapat polinom H(x), sehingga: )

( ) )( )( )( ( )

(x x a x b x c x d H x

G     

Jika k adalah bilangan bulat sehingga F(x)8, maka G(k)853atau 3

) ( ) )( )( )(

(ka kb kc kd H k 

Tetapi yang bersifat seperti ini tidak ada, karena faktor dari 3 hanyalah 3, 1, 1, 3, dan a, b, c, d empat bilangan bulat yang berbeda.

23. Carilah polinom F x( )dan ( )G x sehingga



8





5



1 ( ) 1 ( ) 1

x  F x  x  G x  x . Solusi:



x81



F(x)



x51



G(x)x1

 

 

( ) 1

1 1 )

( 1

1 5

8

 

  



x G x x x F x x

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007 x7x6...1x3



x4x3...1

 

 x2x1



x4x3...1x2



x2x1







x1



x2x1x(x1)1

Dengan bekerja terbalik diperoleh:

1



x2x1



x



x1



1



x2x1

 

x



x4x3...1

 

x2 x2x1





1



1x3



x2x1

 

xx4x3...1



1



1x3





x7x6 ...1

 

x3 x4 x3...1





x



x4x3...1



1



1x3



x7 x6...1

 





x31x3



x





x4x3...1



1



1x3



x7x6...1

 

 x6x3x



x4x3...1



Kita dapat menuliskannya sebagai berikut.



x7x6...1



F(x)



x4x3...1



G(x) 



1x3



x7x6...1







x6x3x



x4x3...1



Jadi, F(x)1x3dan G(x)x6x3x.

24. Buktikan bahwa 1 x x2 ... x1023 



1 x





1x2



1x4

 

... 1x256



1x512



Bukti:

Ambillah S  1 x x2 ... x1023, sehingga xS x x2x3 ... x1024. Ini memberikan





2 1023 2 3 1024

1 ... ...

SxS  x x  x  xx x  x



_{1x S}



_{ 1 x}1024 1024

1 1

x S

x

 



1024 512 4 2

512 256 2

1 1 1 1

...

1

1 1 1

x x x x

S

x

x x x

            _  _   _  _ 

     



512



256

 

4



2







1 1 ... 1 1 1

S x x x x x









 





2 1023 2 4 256 512

1 x x  ... x  1 x 1x 1x ... 1x 1x (terbukti) 25. Tentukanlah bilangan real x sedemikian sehingga x33x23x 7 0.

Solusi:

0 7 3 3 2

3_{   } x x x



x1



360



x1



36

3 ₆

1 



x

3 ₆

1

 

x

26. Jika x₁, x₂, x₃, dan x₄ adalah akar-akar persamaan 4x43x3x22x60. Berapakah nilai

4 3 2 1

1 1 1 1

x x x

x    ? Solusi:

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007 yang mempunyai empat akar real merupakan barisan aritmetika.

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Misalnya akar-akar persamaan x4



3p2



x2 p20 yang membentuk barisan aritmetika adalah –3a, a, a, dan 3a.





2 2

4

2

3p x p

x    



x3a



xa



xa



x3a







x2a2



x29a2



x410a2x29a4

Dari kesamaan yang terakhir kita memperoleh sistem persamaan berikut ini.

2

10 2

3p  a .... (1)

4 2 _9a

p  …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

2 2

10 2 3

9 

  

  

 p

p



9 12 4



9

100p2  p2 p

0 36 108

19p2  p 



19p6



p6



0

19 6

 

p atau p6

29. Jika a, b, dan c adalah penyelesaian dari persamaan x3ax2bxc0dan a,b,c0, tentukanlah nilai dari a3b3c3.

Solusi:





atau atau



30. Persamaan 4x37x25x10memiliki akar-akar , , dan . Susunlah persamaan kuadarat baru yang akar-akarnya (1), (1), dan ( 1).

Solusi 1:

Persamaan kubik atau yang akar-akarnya , ,

dan  adalah

a

x



x3ax2bxc0 0

3

3_{   } c ab a a

0

 c ab

ab

c

b

x x3ax2bxc0

0

2 2

3_{ab b c} b

0

2 2

3_{ab b ab} b

0

2_{abba} b

0 ) ( )

(ba  ba  b

0 ) )( 1

(b ba 

1

 

b ab

1

 

b ab1

1 ) 1 )( 1 ( 1

1

          

 

ab c b

a

3 3 3

c b

a   (1)3(1)313 1111

0

2

3_{bx cxd}

ax 3 2  0

a d x a c x a b x

0 ) )( )(

(x x x 

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Karena akar-akar persamaannya , , dan adalah simetri (setangkup), maka

persamaannya adalah