34 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

34 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

BAB 7

LIMIT

LIMIT FUNGSI ALJABAR:

TIPE 1

: Teorema L’Hospital (Menggunakan Diferensial/Turunan)

Contoh 1:

Nilai ....

24 3 4

27 lim ₂

3

3   



 _{x x}

x

x

A. 7 9

B. 9 7

C.

21 2

D.

9 2

E.

18 7

Solusi 1: [A]

Menguraikan/Memfaktorkan/Faktorisasi











3



4 9



9 3 3 lim 27 3 4

27 lim

2

3 2

3

3  

   

 





 _{x x}

x x x x

x x

x

x _{4 9}

9 3 lim

2

3 

  

 _x

x x

x ₇

9 21 27 9

3 4

9 3 3

32 _{ }

 

   

Solusi 2: Care (Teorema L’Hospital)

3 8

3 lim 27 3 4

27 lim

2

3 2

3

3    





 _x

x x

x x

x

x _{4 3 9}

3 3 2

 

 

7 9 21 27_



Contoh 2:

Nilai ....

2 5 3

3 lim

3   



 _x

x

x

A. 3 4

B. 1

C.

3 2

D.

3 1

E. 0 Solusi 1: [A]

Mengalikan dengan bentuk sekawan

2 5 3

3 lim

3  



 _x

x

x _{3 5 2}

2 5 3 2 5 3

3 lim

3  

    

 

 _x

x

x x

x









4 5 3

2 5 3 3 lim

3  

  



 _x

x x

x











3



3

2 5 3 3 lim

3 

  



 _x

x x

x

3 2 5 3 lim

3

  



x

x ₃

2 5 3 3  



3 2 2



3 4



Solusi 2: Care (Teorema L’Hospital)

2 5 3

3 lim

3  



 _x

x x

5 3 2

3 1 lim

3

 



x

x ₃

5 3 2 lim

3

 



x

x ₃

5 3 3 2  



3 2 2



3 4



Contoh 3:

Nilai ....

2 3 9

4 lim

2

2  

   

 _x

x x

x

A. 8 B. 7

C. 6

D. 4

E. 2 Solusi 1: [D]

Mengalikan dengan bentuk sekawan Jika

 

_{ }

x g

x f

c x

lim adalah bentuk tak tentu, maka

_{ }

 

_{ }

 

x g

x f x

g x f

c x c

x _"

" lim '

' lim



  dan seterusnya sampai

35 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

Solusi 2: Care (Teorema L’Hospital)

2

TIPE 2:

Dengan Membagi Pangkat Tertinggi

Contoh 1:

 (Pangkat pembilangan dan penyebut sama)

Contoh 2:

Nilai ....

Membagi dengan pangkat tertinggi

36 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

penyebut sama) Contoh 3:

x (Pangkat pembilang > pangkat

penyebut) Contoh 4:

Bentuk 0 (Pangkat pembilangan < pangkat penyebut)

TIPE 3:

_      _ Contoh 1:

37 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

Mengalikan dengan bentuk sekawan

x

Cantoh 2:

Nilai lim 3 5 9 2 18 5....

Contoh 4:

38 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

   



 _{        }



 25 30 2013 4 4 2 16 24 2013

lim x2 x x2 x2 x x2 x

x



5 3 2 1 4 3



1

lim       



 x x x x

x

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI:

Rumus Aproksimasi

Contoh 1:

Nilai dari .... 2

4 sin lim

0 

 _x

x

x

A. 0 B. 2 C. 4 D.  E.  Solusi 1:[B]

Faktorisasi x

x

x ₂ 4 sin lim

0

 _

 

 

0 0 Bentuk

x x

x ₄ 4 sin lim 2

0



 212

Solusi 2: Teorema L’Hospital x

x

x ₂ 4 sin lim

0

 _

 

 

0 0 Bentuk

2 4 cos 4 lim

0

x

x

 2

2 0 cos

4 _



Solusi 3: Care x

x

x ₂ 4 sin lim

0

 _

 

 

0 0

Bentuk 2

2 4 lim

0 

  _x

x

x Contoh 2:

Nilai dari ....

3 sin 2

6 tan 4 sin lim

0 

 _{x x}

x x

x

A. 0 B. 2 C. 4 D.  E.  Solusi 1: [C]

Faktorisai x x

x x

x _{2 sin3} 6 tan 4 sin lim

0

 _

 

 

0 0 Bentuk

x x x

x x

x

x x

x _3sin3

3 lim 6

6 tan 6 lim 4

4 sin 2 lim

0 0

0  

  

 4

3 6 2 _



Solusi 2: Care x x

x x x _{2 sin3}

6 tan 4 sin lim

0

 _

 

 

0 0

Bentuk 4

3 2

6 4 lim

0  

 

 _{x x}

x x

x

Contoh 3:

Nilai dari









.... 3

2

) 9 3 sin( 9

lim ₂

2

3   

 

 _{x x}

x x

x

A. 8 3

B. 8 9

C. 16

9

D.  E.  Solusi 1: [B]

Faktorisasi







₂



2 2

3

3 2

) 9 3 sin( 9 lim

 

 



x x

x x

x 

 

 

0 0

Bentuk









 

2



2

3 _{3 1}

) 3 ( 3 sin 3 3 lim

 

 

 

 _{x x}

x x

x

x









3



3



) 3 ( 3 sin 3 lim 1

3 lim

3 2

3 

 

  



 _x

x

x x

x x

1. ax

c x sin lim

  limxcax 2. limxctanax  limxcax 3. limxc(1cosax) 

2 ) ( 2 1 lim ax

c

39 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

Faktorisasi

x

Faktorisasi

x

Faktorisasi

40 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika x

x x

x x

x

x x

x _tan2 lim_sin lim_sin 2

lim 3

0 0

0  

  



 31113

Solusi 2: Care

x x

x

x _{tan2 sin2} 12 lim

3

0 

 _

 

 

0 0

Bentuk

_

_

x x

x

x _{tan2 1 cos2} 12 lim

3

0 





_{ }

3

2 2 1 2

12 lim

2 3

0 

 



x x

x

x

LATIHAN SOAL-SOAL

1. UN 2013

Nilai lim_ 9 2 6 1



3 1



_....

 x x x

x

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2

2. UN 2013

Nilai ....

2 tan

2 sin 4 lim

2

0 

 _{x x}

x

x

A. 8 B. 4 _{C. 0 D. 4 E. 8}

3. UN 2013

Nilai ....

2 tan 2

4 cos 1 lim

2

0 



 _{x x}

x

x

A.

2

B. 4 C. 6 D. 10 E. 14

4. UN 2013

Nilai dari lim 4 2 8 6 4 2 16 3....

  



 _{    }



 x x x x

x

A.



6

B. 3 C. 4 D. 6 E. 10

5. UN 2013

Nilai dari





_



_



.... 2

sin

2 tan 4

lim ₂

2

2  

   

 _x

x x

x

A. 4 _{B. 3} C. 0 D. 4 E.



6. UN 2013

Nilai

_



_



.... 3 sin

6 2 tan lim

3  



 _x

x x

x

A. 0 B. 2 1

C. 2 D. 3 E. 6

7. UN 2013

Nilai darilim_



2 1



 4 26 5_....



 x x x

x

A. 4 B. 2 C. 1 D. 2 1

E. 4

1

8. UN 2013

Nilai





.... 1 2

1 sin lim ₂

2

1   



 _{x x}

x

x

41 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

9. UN 2013

Nilai dari lim_ 4 24 3



2 5



_....



 x x x

x

A. 6 B. 4 C. 1 D. 4 E. 6 10. UN 2013

Nilai dari lim 25 2 9 16 5 3....

  



 _{   }

 x x x

x

A. 10 39

 B.

10

9



C.

10

21

D.

10

39

E.  11. UN 2013

Nilai dari



 



.... 4

2 tan 1 2

lim ₂

2  

 

 _x

x x

x

A. 5 B. 2,5 C. 2 D. 1,5 E. 1,25 12. UN 2013

Nilai lim 4 2 3 4 2 1....

  



 _{   }

 x x x

x

A. 4 7

 B. 0 C.

4

3

D.

4

7

E.  13. UN 2013

Nilai ....

2 sin

2 cos 1 lim

2

0 



 _{x x}

x

x

A. 4 B. 2 C. 0 D. 2 E. 4 14. UN A35, D74, dan E81 2012

Nilai ....

3 1 2

lim

3  

 

 _x

x

x

A. 4 1

 B. 2 1

 C. 1 D. 2 E. 4

15. UN A35 2012

Nilai ....

2 cos 1

tan lim

0  

 _x

x x

x

A. 2 1

 B. 0 C. 2 1

D. 1 E. 2 16. UN B47 2012

Nilai ....

9 3

5 lim

0   

 _x

x

x

A. 30 B. 27 C. 15 D. 30 E. 36 17. UN B47 2012

Nilai ....

2 tan

2 cos 1 lim

0 



 _{x x}

x

x

A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2 18. UN C61, D74, dan E81 2012

Nilai ....

2 tan

1 4 cos lim

0 



 _{x x}

x

x

42 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika Nilai





....

2 4 lim

4  



 _x

x

x

A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 E. 16 20. UN A P12 dan B45 2011

Nilai ....

2 sin 2

2 cos 1 lim

0 



 _{x x}

x

x

A. 8 1

B. 6 1

C. 4 1

D. 2 1

E. 1 21. UN A P 12 2010

Nilai ....

2 1 2 1

4 lim

0 

 

 

  

 _{x x}

x x

A.2 B. 0 C. 1 D. 2 E. 4 22. UN A P 12 2010

Nilai ....

6 2 sin 4 sin lim

0 

 



 

 _x

x x

x

A.1 B. 3 2

C. 2 1

D. 3 1

E. 6 1

23. UN B P45 2010

Nilai lim 1 cos₂ 2 ....

0 

 

  

 _x

x x

A. 2 B. 1 C. 2 1

D. 4 1

E. 2 24. UN AP 12 dan B 45 2009

Nilai



1



....

2 10

9 lim

2

3    



 _{x x}

x

x

A. 8 B. 6 C. 4 D. 6 E. 8

25. UN AP dan B 45 12 2009

Nilai











1



....

sin 2

1 2 sin 1

lim ₂

2

1    

 

 _x

x x

x

A.2 B. 1 C. 2 1

 D. 4 1

 E. 0

26. UN A P 12 dan B 45 2008 Nilai dari ....

2 4 lim

3

2  

  _x

x x

x