Matematika Sekolah Menengah Trigonometri. doc

TUGAS KELOMPOK

MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH

“TRIGONOMETRI”

O L E H

ISABELA YULITA DAMI

JEFRIANUS KOLIMO

JEMMY VALENTINO MATARA

JENNY YULIA KOROH

MARIA SECILDA TONA

MERISTO BANUNAEK

NORBERTUS M. NGONGO

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

SEJARAH TRIGONOMETRI 1. Pengertian Trigonometri

Trigonometri berasal daro bahasa Yunani yaitu tri artinya tiga, gonomon

artinya sudut dan metria yang artinya ukuran jadi. Jadi, trigonometri adalah pengukuran sudut segitiga. Menurut Edward J. Byng bahwa trigonometri adalah ciptaan orang arab. Oleh karena itu, banyak kata-kata dalam trigonometri yang menggunakan istilah dari Arab.

2. Awal Kemunculan Trigonometri

Walaupun pada mulanya trigonometru dikaji sebagai cabang astronomi tetapi akhirnya trigonometri berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Perkembangan awal trogonometri terbukti digerakkan disebabkan keperluan penyelesaian masalah astronomi. Kemunculan trigonometri merupakan proses yang perlahan. Jika dibandingkan dengan cabang matematika lain, trigonometri berkembambang disebabkan hubungan antara pendidikan matematika terapan dengan keperluan sains dalam bidang astronomi. Hubungan ini dianggap saling berkait, tetapu tersembunyi sehingga zaman Renaissans trigonometri dijadikan sebagai topik tambahan dalam astronomi.

1. Perkembangan dan Tokoh-Tokoh Trigonometri

Trigonometri sebagai alat utama astronomi telah menjadi bidang kajian yang sangat diminati oleh ahli-ahli matematika islam sehingga trigonometri dapat berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Orang islam adalah orang yang pertama kali menekankan pengkajian prinsip-prinsip cahaya. Ia adalah al-Haitham, yang telah menulis risalah-risalah penting tentang topik. Al-Haitham membina bentuk awal prinsip-prinsip cahaya yang akhirnya menjadi hukum snell tentang pembiasan cahaya. Prinsip oprik al-Haitham memberu sesuatu insipirasi supaya perhatian terhadap astronomi dan trigonometri lebih diutamakan. Berikut ini beberapa nama tokoh dalam trigonometri :

a. Al-Khawarizmi

Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh matematika besar yang [ernah dilahirkan islam dan disumbangkan pada peradaban dunia. Mungkin tak seratus tahun sekali akan lahir kedunia orang-orang seperti beliau. Al-Khawarizmi selain terkenal dengan teori algoritmanya, beliau juga membangun teori-teori matematika lain. dalam bidang trigonometri beliau menemukan pemakaian sin, cos, tangent dan secan.

b. Al-Battani

menggunakan formula sinus dengan lebih jelas dibandingkan penjelasan dari orang Yunani. Beliau juga menemukan rumus-rumus sebagai berikut : c. Abu al-Wafa

Nama lengkapnya adalah Abu al-Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yaya Ibn Ismail al-Buzjani lahir di Buzjan, Nishapur, Iraq tahun 940 M. sejak kecil, kecerdasannya sudah mulai nampak dan hal tersebut ditunjang dengan minatnya yang besar di bidang ilmu alam. Setelah berhasil menyelesaikan pendidikan dasar dan menengahnya, Abu al-Wafa memutuskan untuk meneruskan ke jenjang yang lebih tinggi di Baghdad pada tahun 959 M. Berkat bimbingan sejumlah ilmuwan terkemuka masa itu, tak berapa lama ia menjelma menjadi seorang pemuda yang berotak cemerlang. Dia pun lantas banyak membantu para ilmuwan serta secara pribadi mengembangkan teori terutama dalam bidang trigonometri. Konstruksi bangunan trigonometri versi abu al-Wafa diakui sengat besar manfaatnya. Beliau mengembangkan metode baru tentang konstruksi segi empat serta perbaikan nilai sinus 30 dengan memakai delapan decimal. Abu al-Wafa pun mengembangkan hubungan sinus dengan rumus dan Banyak buku dan karya ilmiah telah dihasilkannya dan mencakup banyak bidang ilmu. Namun, tak banyak karyanya yang tertinggal hingga saat ini. Sejumlah karyanya hilang, sedang yang masih ada sudah dimodifikasi. Abu al-Wafa juga banyak menuangkan karya tulisnya di jurnal ilmiah Euclid, Diophantus dan al-Khawarizmi, tetapi sayangnya banyak yang telah hilang. Karena konstribusinya yang besar terhadap bidang trigonometri, beliau dijuluki sebagai peletak dasar ilmu trigonomteri.

d. Ibn al-Shatir

Nama lengkapnya adalah ‘Ala al-Din Ali Ibn Ibrahim Ibn al-Muwaqit, lahir pada tahun 1306 M dan meninggal tahun 1375. karyanya tertuang dalam

rasad ibn shatir (pemerhati ibn shatir).

Selanjutnya, penemuan-penemuan tentang rumus dasar trigonometri oleh para tokoh ilmuwan muslim adalah sebagai berikut :

a. Al Buzjani

Abul Wafa Muhammad Ibn Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail al Buzjani, merupakan satu di antara sekian banyak ilmuwan Muslim yang turut mewarnai khazanah pengetahuan masa lalu. Dia tercatat sebagai seorang ahli di bidang ilmu matematika dan astronomi. Kota kecil bernama Buzjan, Nishapur, adalah tempat kelahiran ilmuwan besar ini, tepatnya tahun 940 M. Sejak masih kecil, kecerdasannya sudah mulai nampak dan hal tersebut ditunjang dengan minatnya yang besar di bidang ilmu alam. Masa sekolahnya dihabiskan di kota kelahirannya itu.

memakai delapan desimal. Abul Wafa pun mengembangkan hubungan sinus dan formula 2 sin2 (a/2) = 1 - cos a dan juga sin a = 2 sin (a/2) cos (a/2)

b. Abu Nasr Mansur

Nama lengkap dari Abu Nasr Mansur adalah Abu Nasr Mansur ibnu Ali ibnu Iraq atau akrab disapa Abu Nasr Mansur (960 M – 1036 M). Abu Nasr Mansur terlahir di kawasan Gilan, Persia pada tahun 960 M. Hal itu tercatat dalam The Regions of the World, sebuah buku geografi Persia bertarikh 982M.

Pada karya trigonometrinya, Abu Nasr Mansur menemukan hukum sinus sebagai berikut: a/ sin A = b/ sin B = c/ sin C.

Selanjutnya seiring dengan perkembangan ilmu matematika, rumus-rumus trigonometri yang biasa dipakai dalam ilmu matematika adalah sebagai berikut:

a. Rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut

Cos (A+B)= cos A cos B – sin A sin B Cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut

Sin (A+B)= sin A cos B + cos A sin B Sin ( A-B)= sin A cos B - cos A sin B

c. Rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut

Tan ( A + B ) = tanA+tanB 1−tanAtanB

Tan ( A - B ) = tanA−tanB 1+tanAtanB

d. Rumus sinus sudut rangkap

e. Rumus kosinus sudut rangkap

Cos 2A = cos2_A

−sin2_{A = 1- 2 sin}2_A = 2

cos2A−1

Cos 3A = 4 cos A – 3 cos A

f. Rumus tangent sudut rangkap

Tan 2 A = 2 tanA 1−tan2A

Tan 3 A = 3 tanA−tan3A 1−3 tan2A

g. Rumus sudut tengahan

Sin 1

2A=±

√

1−cosA

2

Cos 1

2A=±

√

1+cosA

2

Tan 1

2 A=±

√

1+cosA

1+cosA =

sinA

1+cosA =

1−cosA

sinA

h. Rumus perkalian kosinus

2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )

i. Rumus perkalian sinus dan sinus

j. Rumus perkalian sinus dan kosinus

2 cos A sin B = sin ( A + B ) - sin ( A - B )

2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )

k. Aturan hukum sinus

a

sinA= b

sinB= c

sinC

l. Aturan/hokum kosinus

a2 _{= b}2

+c2

−2bccosA

b2 = a2+c2−2accosB

c2 = a2+b2−2abcosC

m. Rumus penjumlahan dan pengurangan kosinus

Sin A + sin B = 2 sin 1

2 ( A + B) cos 1 2 ( A - B)

Sin A - sin B = 2 cos 1

2 ( A + B) sin 1 2 ( A + B)

cos A + cos B = 2 cos 1₂ ( A + B) cos 1

2 ( A - B)

cos A - cos B = -2 sin 1₂ ( A + B) sin 1₂ ( A - B)

namun masih pada bahasan yang sama yaitu trigonometri, ditemukan beberapa metode yang berbeda untuk mendapatkan rumus-rumus tersebut. Hal demikian sah-sah saja, karena masing-masing ahli matematika punya asumsi-asumsi yang berbeda dalam menafsirkan rumus itu. Namun demikian, tentunya mereka masih menggunakan kaidah-kaidah yang sama, yaitu aturan geometri, relasi dan kombinasi dalam menafsirkan rumus-rumus trigonometri.

Namun, dalam kaitannya dengan penelitian ini peneliti hanya menyoroti relasi antara trigonometri dengan bidang astronomi atau ilmu falak. Diantaranya adalah dalam teori penentuan arah kiblatnya yaitu teori trigonometri bola (spherical trigonometry), teori geodesi dan teori navigasi.

KONSEP TRIGONOMETRI Pengertian

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen.

Konsep

Trigonometri merupakan cabang matematika yang mengkaji bangun segitiga, khususnya pada bidang datar yang salah satu sudutnya adalah 900 _{yang menjadi dasar dari} kajiannya adalah hubungan antara sudut-sudut dan sisi-sisinya.Hubungan tersebut dinyatakan sebagai fungsi-fungsi trigonometri.

Prinsip atau konsep dasar trigonometri terletak pada tiga objek yaitu : sudut, lingkaran dan segitiga siku-siku.

LINGKARAN

Definisi : Lingkaran adalah himpunan semua titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu yang disebut titik pusat. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari.

Perhatikan gambar berikut:

Pada juring terdapat sudut, sudut tersebut didefinisikan sebagai ∠POQ=∠QOP=∠a .

SATUAN UKURAN SUDUT

Ada dua ukuran yang digunakan untuk menentukan besar suatu sudut, yaitu derajat dan radian. Tanda “0_{” dan “ rad ” berturut-turut menyatakan simbol derajat dan radian.}

Singkatnya, putaran penuh = 3600 _{, atau 1}0 _{didefenisikan sebagai besarnya sudut yang}

dibentuk oleh 1

360 kali putaran penuh. Cermati gambar berikut:

Selanjutnya kita pelajari teori mengenai radian. Perhatikan Gambar:

Jika panjang busur tidak sama dengan r, maka cara menentukan besar sudut ter-sebut dalam

satuan radian diselesaikan menggunakan rumus perbandingan: ∠AOB=^AB

r rad .

Hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π rad.

3600 _{= 2 π rad atau 1}0 ₌ 1

180π rad ≈0,0175radian atau 1rad=57,30 .

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat α yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.

Jika besar ∠AOB=α ,^AB=OA=OB , maka

α=^AB

r =1radian .

Perhatikan Segitiga ABC di samping. Pada pelajaran mengenai kesebangunan gambar disamping dapat dilihat sebagai tiga buah segitiga yang sebangun yaitu:

ABC; DEC; dan FGC.

Sehingga diperoleh:

AB AC=

DE DC=

Nilai dari perbandingan inilah yang kita sebut sebagai nilai Tangen dari sudut C, misalkan

Sedangkan nilai kesebangunan yang lain yaitu:

AB

disebut sebagai nilai Sinus dari sudut C, sehingga:

θ=¿AB

Disebut sebagai nilai Cosinus dari Sudut C, sehingga:

θ=¿AC

Nilai kesebangunan yang lain yaitu:

BC

Disebut sebagai nilai Cosecan (invers Sinus) dari sudut C, sehingga:

θ=¿BC

Nilai kesebangunan yang lain yaitu:

Disebut sebagai nilai Secan (invers Cosinus) dari sudut C, sehingga:

Nilai kesebangunan yang lain yaitu:

AC

Disebut sebagai nilai Cotangen (invers Tangen) dari sudut C, sehingga:

θ=¿AC

2. Kosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi samping sudut dengan sisi miring, ditulis

cosθ=sisi samping

sisimiring

3. Tangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis

tanθ= sisi depan

sisi samping

4. Cosecan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi miring dengan sisi depan sudut, ditulis

csc θ=sisimiring

sisi depan=

1 sinA

5. Secan suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi miring dengan sisi samping sudut, dituls

sec θ= sisimiring

sisi samping=

1 cosA

6. Cotangen suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut, ditulis

cotθ=sisisamping

sisi depan =

Untuk lebih mudah mengingat maka bisa disingkat dengan DEMI SuAMI di DESA.

Definisi ini tidak berlaku untuk sudut tumpul.

Jika siswa sudah mengetahui definisi ini, konsep matematika lain yang perlu diingat kembali oleh siswa adalah teorema phytagoras dan pengenalan sisi miring , sisi depan dan sisi samping sudut

NILAI FUNGSI TRIGONOMETRI

Dalam kajian trigonometri ada istilah sudut istimewa, yang artinya sudut-sudut yang nilai perbandingan trigonometri dapat ditentukan secara eksak.

1. Nilai perbandingan fungsi trigonometri sudut istimewa

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri yang sudah dibahas maka diperoleh:

sin 450=BC

AC=

1

√

2

cos 450=AB

AC=

1

√

2

tan 450=BC

AB=

1 1=1

Catatan : perlu diketahui bahwa yang disebut sisi pada suatu segitiga siku-siku tidak selalu miring, tetapi sisi miring selalu dihadapan sudut siku-siku.

Perhatikan persegi ABCD dengan sisi-sisi 1 satuan panjang. Sehingga dengan memanfaatkan aturan Pythagoras diperoleh panjang diagonal AC=

√

2 . Sekarang perhatikanlah segitiga siku-siku ABC siku-siku di B. Karena persegi ABCD sama sisi maka besarnya BAC= 450 .

Pandang segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi

adalah 2 satuan panjang. Jika dari C ditarik garis tinggi CT yang tegak lurus pad sisi AB maka diperoleh

Dengan cara yang sama mencari perbandingan trigonometri sebelumnya akan diperoleh:

perbandingan trigonometri akan diperoleh:

sin 600

Untuk sudut 00 _{dan 90}0 _{perhatikan lingkaran pada sumbu kartesius di bawah yang} memiliki jari-jari 1 satuan panjang. Perhatikan jari-jari r=1 yang membantuk sudut terhadap sumbu x.

Untuk sudut 900 _{, maka jari-jari r akan berimpit dengan sumbu y, sehingga untuk} perbandingan trigonometrinya diperoleh:

Tabel Nilai Perbandingan Trigonometri sudut-sudut Istimewa:

Sudut

α Sin α Cos α Tan α

00 0 1 0

300 1₂ 1₂

√

3 1₃

√

3

450 1

2

√

2

1

2

√

2 1

600 1

2

√

3

1

2

√

3

900 1 0

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU DI BERBAGAI KUADRAN

Nilai semua perbandingan fungsi trigonometri akan dipelajari pada setiap kuadran pada koordinat kartesius. Mari kita pahami melalui pembahasan berikut

Misalkan titik A(x , y), panjang OA=r dan sudut AOX=α

Perhatikan gambar di bawah, dari segitiga siku-siku yang terdapat si kuadran I,

Dengan mempertimbangkan semua kombinasi koordinat titi pada koordinat kartesius, kita dapat telusuri perbedaan nilai tanda untuk ketiga perbandingan trigonometri yang utama.

 sinα=y

r

 cosα=x

r

 tanα=y

x

Dari gambar ini, kita dapat merumuskan nilai perbandingan trigonometri disetiap kuadran

Sudut 300_{, 45}0_{, 60}0_{, 90}0 _{merupakan sudut istimewa di kuadran I. Selanjutnya (120}0_, 1350, ₁₅₀0_{, 180}0_{), (210}0_{, 225}0, ₂₄₀0_{, 270}0_{), (300}0_{, 315}0, ₃₃₀0_{, 360}0_{) berturut-turut adalah} sudut-sudut istimewa dikuadran ke-II, ke-III dank e-IV.

2. Nilai perbandingan fungsi trigonometri untuk sudut lainnya

Untuk sudut-sudut yang tidak istimewa, menghitung nilai fungsi trigonometrinya bisa dengan mengukur besar sudut kemudian mengukur panjang sisi-sisi segitiga sehingga bisa didapat nilainya.namun cara ini membutuhkan waktu yang lama sehingga untuk menentukan nilai fungsi trigonometri sudut tidak itimewa biasanya menggunakan tabel atau calculator scientific.

Gambar segitiga siku-siku AOX

yang berad di kuadran II

Gambar segitiga siku-siku AOX

yang berad di kuadran III

Gambar segitiga siku-siku AOX

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Dari nilai fungsi trigonometri tersebut, di peroleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri dibagi atas tiga yaitu identitas kebalikan, identitas perbandingan, dan identitas phytagoras. Yang masing-masing memiliki fungsi dasar yaitu

Identitas kebalikan Identitas perbandingan Identitas phytagoras

csc A= 1

Sehingga nilai perbandingan dari sin α dan cos α dinyatakan sebagai :

sinα

Sehingga berlaku bahwa sinα cosα=

y

x=tanα (terbukti)

Dari gambar disamping, kita peroleh

sinα= y

r

cosα=x

 _sin2

α+cos2α=1

Dari gambar diatas kita ketahui sinα= y

r , maka

 Dari persamaan diatas bisa kita temukan turunan rumus lainnya

sin2_α

 Dari persamaan diatas bisa kita temukan turunan rumus lainnya

sin2α+cos2α=1 , kedua ruas dikali 1

RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT YANG BERELASI

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90), (180), (360),

dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku

(komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90- ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut 

dengan (180- ). Contoh: penyiku sudut 50adalah 40, pelurus sudut 110adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90- )

Dari gambar disamping diketahui Titik P1(x1,y1) bayangan dari

P(x,y) akibat pencerminan garis y x, sehingga diperoleh:

a. XOP = dan XOP1 = 90- 

b. x1 = y, y1 = x dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan

(90- ) dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180- )

maka diperoleh hubungan:

a. sin

(

1800−α

)

=y1

r1

=y

r=sinα

b. cos

(

1800−α

)

=x1

r1

=−x

r =−cosα

c. tan

(

1800

−α

)

=y1

x1

= y

−x=−tanα

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Berdasarkan gambar diatas , Titik

P1(x1, y1) adalah bayangan dari

titik P(x , y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga

a. ∠XOP=a dan ∠XOP1 = 180°−a

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180+ )

maka diperoleh hubungan:

a. sin

(180

0

+α

)

=y1

r1

=−y

r =−sinα

b. cos

(

1800+α

)

=x1

r1

=−x

r =−cosα

c. tan

(180

0

+α

)

=y1

x1

=−y

−x=tanα

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

Dari gambar 2.9 titik P1(x1, y1) adalah bayangan dari titik P(x , y) akibat pencerminan terhadap garis y=−x , sehingga

a. ∠XOP=a dan ∠XOP1=180°+a

maka diperoleh hubungan

a. sin(−α)=y1

r1

=−y

r =−sinα

b. cos(−α)=x1

r1

=x

r=cosα

c. tan(−α)=y1

x1

=−y

x =−tanα

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi α dengan −α tersebut identik dengan relasi α dengan

3600

−α , misalnya sin (360°−a)=−sina .

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Untuk menyelesaikan masalah grafik fungsi trigonometri yang perlu dipahami adalah grafik dasar fungsi trigonometri. Setelah mengetahui grafik dasarnya, selanjutnya adalah bagaimana transformasi dari grafik fungsi trigonometri dasarnya. Perubahan yang terjadi paga grafik trigonomteri adalah amplitudo, periode, dan pergeseran atas-bawah serta kanan – kiri. Berikut ini adalah grafik fungsi trigonometri dasar.

Dari gambar diatas diketahui titik

P1(x1, y1) bayangan dari P(x , y)

akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. ∠XOP=a dan ∠XOP1=−a

Grafik di atas merupakan grafik dasar fungsi trigometri. Grafik tersebut bisa ditransformasi. Transformasinya bisa berupa penyempitan – perenggangan atau pergeseran. Berikut ini transformasi dari grafik fungsi trigonometri.

Grafik fungsi trigonometri secara umum adalah sebagai berikut : y = A sin b ( x ± α ) ± c

Keterangan

sin = jenis fungsi trigonometri A = amplitudo / simpangan terjauh

b = banyak gelombang dari 0 sampai 2π ( Periode = 2π

b )

α = grafik geser ke kiri ( + ) dan ke kanan c = grafik geser ke atas ( + ) dan ke bawah ( - )

Setelah mengetahui konsep trigonometri untuk segitiga siku-siku, selanjutnya kita akan belajar menemukan rumus-rumus trigonometri yang berlaku pada sebarang segitiga.

1. ATURAN COSINUS

satu sudut dalam segitiga tersebut. Perhatikan gambar segitiga di kanan. Aturan kosinus menyatakan bahwa

Dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut . Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:

Aturan Cosinus Pertama

 Aturan Cosinus Kedua

Dalam trigonometri, aturan sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameterd . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

Dapat ditunjukkan bahwa:

dimana s merupakan semi-perimeter

APLIKASI ATURAN COSINUS

 Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang dua sisi dan

besar sudut yang diapitnya.



a

2

_{= b}

2

_{+ c}

2

_{– 2bc.cos α}



b

2

_{= a}

2

_{+ c}

2

_{– 2ac.cos β}



c

2

_{= a}

2

_{+ b}

2

_{– 2ab.cos γ}

 Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga sisinya.

Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang.

Perumusan aturan cosinus, dapat juga dinyatakan dengan cara seperti berikut:



Cos A =

b2+c2−a2

2bc



Cos B =

a2+₂c_ac2−b2



Cos C =

a2+₂b_ab2−c2

TURUNAN FUNGSI TRINONOMETRI

2. Turunan cosinus

di mana m dan n adalah bilangan bulat positif. Untuk menemukan antiturunan dari bentuk-bentuk tersebut, pecahlah bentuk-bentuk tersebut menjadi kombinasi dari integral trigonometri sedemikian sehingga kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.

Sebagai contoh, kita dapat menyelesaikan integral berikut dengan memisalkan u = sin x. Sehingga, du = cos xdx dan diperoleh,

Untuk menyelesaikan integral-integral trigonometri, gunakan identitas-identitas berikut agar kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.

Sin

2

_{+ cos}

2

_{x = 1}

_{Identitas Pythagoras}

Sin

2

_{x =}

1−cos2x

2 Identitas sudut setengah untuk sin2 x

Cos

2

_{x =}

1+cos 2x

2 Identitas sudut setengah untuk cos2 x

Ide untuk membuktikan integral ini adalah menggunakan langkah mundur.

Dari persamaan terakhir ini, berarti pembuktian

_∫

sinx dx=−cosx ekuivalen dengan

membuktikan d

du cos u = -sin u. Untuk membuktikan turunan ini, bisa memanfaatkan

Jadi terbukti

∫

sinu du=−cosu+C

A. Penerapan Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari-hari

1. Aplikasi Trigononomerti Pada Ilmu Astronomi

trigonometri sudut ganda digunakan untuk nilai-nilai ukuran sisi akibat sudut-sudut yang tidak istimewa.

2. Aplikasi Trigonometri Pada Perkembangan Ilmu Teknik SipiL

Selain di bidang ilmu astronomi, trigonometri juga sangat erat kaitannya dengan pekerjaan seorang surveyor (ahli ilmu ukur tanah). Keahlian trigonometri seorang surveyor sangat mempermudah pekerjaanya sehingga beliau tak perlu terjun langsung ke medan-medan sulit.

3. Aplikasi Trigonometri pada Geografi dan Navigasi

Jenis trigonometri yang diperlukan untuk memahami posisi pada bola disebut trigonometri bola. Trigonometri bola jarang di ajarkan sekarang karena tugasnya telah diambil oleh aljabar linear. Meskipun demikian ,satu aplikasi trigonometri adalah astronomi.

4. Aplikasi Trigonometri Berhubungan Dengan Ilmu Fisika

Pelajaran trigonometri dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari contoh trigonometri dalam bentuk usaha. Dalam kehidupan sehari-hari, kata usaha dapat diartikan sebagai kegiatan dengan mengerahkan tenaga atau pikiran untuk mencapai tujuan tertentu. Usaha dapat juga dipakai sebagai pekerjaan untuk mencapai suatu tujuan tertentu.

Dalam trigonometri pengertian usaha hampir sama dengan pengertian usaha dalam kehidupan sehari-hari. Kesamaannya adalah dalam hal kegiatan dengan mengerahkan tenaga.

Usaha yang dilakukan oleh gayat etap (besar mau pun arahnya) didefinisikan sebagai hasil perkalian antara perpindahan titik tangkapnya dengan komponen gaya pada arah perpindahan tersebut.

B. Contoh Soal Contoh :

Contoh Soal

1. Andi berdiri 8 m dari sebuah pohon. Ia melihat puncak tersebut sehingga membentuk sudut 45o _{dan di arah berlawanan ternyata Rudi melakukan hal yang sama dengan} berdiri 6 m dari pohon tersebut. Diketahui tinggi andi dan rudi adalah 120 cm dan 160 cm. Tentukan:

a. Tinggi pohon.

b. Sudut yang terbentuk saat rudi melihat puncak pohon. Jawab :

tanβ¿t

8 ∎po h on ter h adap rudi

tan 45°¿t

8 9,2m –1,6m=7,6m 1¿ t

8 tanα =

de sa

tanα = 1,27

α = 51,78

a. Jadi tinggi pohon tersebut adalah = t + tinggi badan andi : 8m + 1,2m = 9,2m b. Sudut yang terbentuk saatrudi melihat puncak pohon adalah 51,78

2. Suatu pesawat terbang mendatar dengan ketinggian 750 m dari permukaan laut(dpm). Dibawahnya terdapat sebuah menara pengawas, jika diketahui sudut depresi pesawat terhadap menara adalah 60o _{. Tentukan jarak horizontal pesawat ke menara ?}

Jawab :

tan 60° = ₇₅₀s

√

3 = ₇₅₀s

S = 750

√

3