Operations Research
Menyelesaikan Linear Programming Dua
Variabel dengan Metode Grafik
Mencari titik potong fungsi kendala dengan sumbu X dan sumbu Y diagram cartesius
Menentukan daerah layak Menentukan daerah layak
Contoh Soal 1
Reddy Mikks Company memiliki sebuah pabrik kecil yang
menghasilkan cat, baik untuk interior maupun eksterior untuk didistribusikan kepada para grosir. Dua bahan mentah, A dan B, dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A
dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A maksimum adalah 6 ton satu hari; ketersediaan B adalah 8 ton satu hari. Kebutuhan harian akan bahan mentah per ton cat interior dan eksterior diringkaskan dalam tabel 1. Sebuah
survey pasar telah menetapkan bahwa permintaan harian akan cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dibandingkan permintaan akan cat eksterior. Survey tersebut juga
memperlihatkan bahwa permintaan maksimum akan cat
interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per ton adalah $3000 untuk cat eksterior dan $2000 untuk cat interior. Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus dihasilkan perusahaan tersebut setiap hari untuk
Contoh Soal 1 (Tabel 1)
Ton Bahan Mentah per Ton Cat Ketersediaan maksimum (ton)
Eksterior Interior
A 1 2 6
A 1 2 6
Contoh Soal 1
Xj = jumlah ton cat jenis j yang diproduksi setiap hari Cj = harga grosir per ton cat jenis j
Aij = kebutuhan ton bahan mentah i untuk memproduksi Aij = kebutuhan ton bahan mentah i untuk memproduksi 1 ton cat jenis j
Contoh Soal 1
Fungsi Tujuan: maksimumkan pendapatan kotor max z = 3000 X1 + 2000 X2
Batasan bahan baku
Contoh Soal 1
Batasan permintaan harian
Permintaan harian cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dari cat eksterior
tinggi dari cat eksterior X2 – X1 ≤ 1
Permintaan maksimum harian cat interior adalah 2 ton X2 ≤ 2
Batasan non negativitas Batasan non negativitas
Contoh Soal 1
max z = 3000 X1 + 2000 X2 Subject To:
Subject To:
1) X1 + 2 X2 ≤ 6
2) 2 X1 + X2 ≤ 8
3) X2 – X1 ≤ 1
4) X2 ≤ 2
5) X1 ≥ 0
5) X1 ≥ 0
Contoh Soal 1
Nilai maksimum dicapai pada titik perpotongan garis 1 dan 2 1) X1 + 2 X2 ≤ 6
2) 2 X1 + X2 ≤ 8 2) 2 X1 + X2 ≤ 8
Dengan substitusi/eliminasi, dapat diperoleh titik perpotongannya:
Metode Simpleks
Menerjemahkan definisi dari titik ekstrim menjadi definisi aljabar
Metode simpleks mengharuskan agar setiap batasan ditempatkan dalam bentuk standar khusus dimana semua batasan diekspresikan sebagai
persamaan dengan menambahkan variabel slack dan surplus sebagaimana diperlukan
persamaan dengan menambahkan variabel slack dan surplus sebagaimana diperlukan
Jumlah variabel lebih besar daripada jumlah persamaan sehingga menghasilkan sejumlah titik pemecahan yang tidak terbatas
Titik ekstrim dari ruang ini dapat diidentifikasi secara aljabar sebagai basic solutions dari sistem persamaan simultan tersebut
Yang dilakukan metode simpleks adalah mengidentifikasi satu pemecahan dasar awal dan lalu bergerak secara sistematis ke pemecahan dasar lainnya yang memiliki potensi untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan
Sebuah pemecahan Sebuah pemecahan
Pemecahan dasar yang bersesuaian dengan nilai optimum akan diidentifikasi dan perhitungan berakhir
Metode Simpleks
Algoritma Simpleks Primal
Metode Big-M
Metode Two-Phase Metode Two-Phase
Bentuk LP Standar
Semua batasan adalah persamaan (dengan sisi kanan yang nonnegatif jika model tersebut dipecahkan dengan
metode simpleks primal) metode simpleks primal)
Semua variabel adalah nonnegatif
Bentuk LP Standar: Batasan
Sebuah pertidaksamaan yang berjenis ≤ (≥) dapat dikonversikan menjadi sebuah persamaan dengan
menambahkan variabel slack ke (mengurangkan surplus menambahkan variabel slack ke (mengurangkan surplus dari) sisi kiri batasan tersebut
Bentuk LP Standar: Batasan
Sisi kanan dari sebuah persamaan dapat selalu dibuat nonnegatif dengan mengalikan kedua sisi dengan -1 Contoh 1:
Batasan: 2 x1 + 3 x2 – 7 x3 = -5
Bentuk LP Standar: Batasan
Arah pertidaksamaan dibalik ketika kedua sisi dikalikan dengan -1
Contoh 1:
Batasan: 2 x1 – x2 ≤ -5
-2 x1 + x2 ≥ 5
Bentuk LP Standar: Variabel
Variabel yang tidak dibatasi yi dapat diekspresikan dalam bentuk dua variabel nonnegatif dengan menggunakan
substitusi substitusi
yi = yi’ – yi” yi’, yi” ≥ 0
Substitusi harus diberlakukan di semua batasan dan dalam fungsi tujuan
Dalam pemecahan LP (simpleks) yang optimal, hanya satu dari kedua variabel tersebut (yi’ dan yi”) dapat memiliki dari kedua variabel tersebut (yi’ dan yi”) dapat memiliki nilai positif, tetapi tidak pernah keduanya (jika yi’ > 0, maka yi” = 0; dan sebaliknya)
Bentuk LP Standar: Fungsi Tujuan
Maksimisasi sebuah fungsi adalah setara dengan minimisasi negatif dari fungsi yang sama, dan demikian pula sebaliknya Contoh 1:
Fungsi tujuan: maksimumkan z = 5 x1 + x2 + 3 x3
Setara dengan: minimumkan (-z) = -5 x1 – x2 – 3 x3
Kesetaraan berarti bahwa untuk sekelompok batasan yang Kesetaraan berarti bahwa untuk sekelompok batasan yang sama, nilai optimum x1, x2, dan x3 adalah sama dalam
kedua kasus tersebut (nilai fungsi tujuan sama secara
Latihan 1
Minimumkan z = 2 x1 + 3x2 Subject To
Subject To
x1 + x2 = 10
Latihan 1: Bentuk Standar
Min z – 2 x1’ + 2 x1” – 3 x2 = 0
Subject To: Subject To:
x1’ – x1” + x2 = 10
2 x1’ – 2 x1” – 3 x2 – s2 = 5
7 x1’ – 7 x1” – 4 x2 + s3 = 6
Pemecahan Dasar
Model LP standar memiliki m persamaan dan n variabel yang tidak diketahui
Pemecahan dasar yang berkaitan ditentukan dengan Pemecahan dasar yang berkaitan ditentukan dengan menetapkan n – m variabel sama dengan nol dan lalu
memecahkan m persamaan dengan m variabel sisanya, asalkan terdapat pemecahan yang dihasilkan dan pemecahan itu unik Dalam LP, n – m variabel yang ditetapkan sama dengan nol
sebagai non basic variables, dimana m variabel sisanya disebut sebagai basic variables
sebagai basic variables
Metode Simpleks Primal: Contoh Soal 1
max z = 3 X1 + 2 X2 Subject To:
Subject To:
1) X1 + 2 X2 ≤ 6
2) 2 X1 + X2 ≤ 8
3) X2 – X1 ≤ 1
4) X2 ≤ 2
5) X1, X2 ≥ 0
Metode Simpleks Primal: Bentuk Standar
m = 4 persamaan, n = 6 variabel
non basic
variables (nol) = 6 – 4 = 2
Pemecahan awal (starting solution)
X1 = 0 dan X2
Pemecahan awal (starting solution)
X1 = 0 dan X2
= 0
s1 = 6, s2 = 8, s3 = 1, s4 =2
Nilai tujuan: z = 3 X1 + 2X2
z – 3 X1 – 2 X2 = 0 z = 0
Kondisi Optimalitas
Variabel masuk (entering variable) dalam maksimisasi adalah non basic variable dengan koefisien yang paling negatif dalam persamaan z tujuan
Variabel masuk (entering variable) dalam minimisasi adalah non basic variable dengan koefisien yang paling positif dalam
persamaan z tujuan
Koefisien dengan nilai yang sama dapat dipilih secara sembarang
Nilai optimum dalam maksimimasi dicapai ketika semua
koefisien non basic variables dalam persamaan z adalah non
koefisien non basic variables dalam persamaan z adalah non negatif
Kondisi Kelayakan
Baik untuk masalah maksimisasi maupun minimisasi,
variabel keluar (leaving variable) adalah basic variable saat ini yang memiliki titik potong terkecil (rasio minimum
ini yang memiliki titik potong terkecil (rasio minimum dengan penyebut yang positif secara ketat) dalam arah variabel masuk
Langkah Iterasi Formal Metode Simpleks
Primal
1. Dengan menggunakan bentuk standar (dengan sisi kanan
semua non negatif), tentukan pemecahan dasar awal yang layak
yang layak
2. Pilih variabel masuk dari di antara variabel non dasar
dengan menggunakan kondisi optimalitas. Bila tidak
ditemukan variabel masuk, solusi optimal telah tercapai.
3. Pilih variabel keluar dari variabel dasar saat ini dengan
menggunakan kondisi kelayakan
4. Tentukan nilai variabel dasar yang baru dengan membuat 4. Tentukan nilai variabel dasar yang baru dengan membuat
Contoh Soal 1
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 Fungsi Tujuan
s1 0 1 2 1 0 0 0 6 Batasan 1
s2 0 2 1 0 1 0 0 8 Batasan 2
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 Batasan 3
Simpleks Primal: Iterasi 0
Mengidentifikasi variabel masuk kolom masuk Menghitung rasio (RHS/kolom masuk)
z 1 -3 -2 0 0 0 0 0
Menghitung rasio (RHS/kolom masuk)
Mengidentifikasi variabel keluar persamaan pivot
Eliminasi Gauss-Jordan
Melakukan perubahan atas dasar penggunaan dua jenis perhitungan:
Persamaan pivot:
Semua persamaan lainnya, termasuk z:
pivot
persamaan =
baru)
Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan Pivot
Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS
z s1
x1 masuk, s2 keluar Elemen pivot = 2
s1
x1 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
s3 s4
Elemen pivot = 2
Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan
lainnya
Persamaan pivot baru 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Koefisien kolom masuk z -3
Persamaan z lama 1 -3 -2 0 0 0 0 0
PPB x KKM 0 -3 -3/2 0 -3/2 0 0 -12
Persamaan z baru 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12
Persamaan z baru
Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan
lainnya
Persamaan pivot baru 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Koefisien kolom masuk s1 1
Persamaan s1 lama 0 1 2 1 0 0 0 6
PPB x KKM 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Persamaan s1 baru 0 0 3/2 1 -1/2 0 0 2
Persamaan s1 baru
Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan
lainnya
Persamaan pivot baru 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Koefisien kolom masuk s3 -1
Persamaan s3 lama 0 -1 1 0 0 1 0 1
PPB x KKM 0 -1 -1/2 0 -1/2 0 0 -4
Persamaan s3 baru 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5
Persamaan s3 baru
Contoh Soal 3
Min z = 4x1 + x2
Subject to: Subject to:
3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 ≥ 6
x1 + 2x2 ≤ 4
Contoh Soal 3: Bentuk Standar
Min z = 4x1 + x2
Subject to: Subject to:
3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 – s2 = 6
x1 + 2x2 + s3 = 4
Contoh Soal 3: Bentuk Standar
Persamaan pertama dan kedua tidak memiliki variabel yang memainkan peran sebagai variabel slack
Menambahkan dua variabel buatan (artificial variable) ke Menambahkan dua variabel buatan (artificial variable) ke dalam kedua persamaan
Contoh Soal 3: Bentuk Standar
Min z = 4x1 + x2 + M R1 + M R2
atau
Min z - 4x1 - x2 - M R1 - M R2 = 0 Min z - 4x1 - x2 - M R1 - M R2 = 0
Subject to:
3x1 + x2 + R1 = 3
4x1 + 3x2 – s2 + R2 = 6
x1 + 2x2 + s3 = 4
Mengubah fungsi tujuan
3x1 + x2 + R1 = 3 R1 = 3 – 3x1 – x2
4x1 + 3x2 – s2 + R2 = 6 R2 = 6 – 4x1 – 3x2 + s2
z = 4x1 + x2 + M R1 + M R2
z = 4x1 + x2 + M(3 – 3x1 – x2) + M(6 – z = 4x1 + x2 + M(3 – 3x1 – x2) + M(6 –
4x1 – 3x2 + s2)
z = (4-7M)x1 + (1-4M)x2 + M s2 + 9M
Iterasi 0
Dasar z x1 x2 s2 R1 R2 s3 RHS
z 1 -4 + 7M -1 + 4M 0 0 0 0 9M
R1 0 3 1 0 1 0 0 3 1
R2 0 4 3 -1 0 1 0 6 1,5
s3 0 1 2 0 0 0 1 4 4
Rasio
