BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Bab II akan membahas teori-teori yang berhubungan dengan kriptografi, algoritma RSA dan Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA).
2.1. Kriptografi
Kata kriptografi berasal dari bahasa Yunani yaitu kryptos yang berarti tersembunyi dan graphein yang berarti menulis. (Mollin, 2007). Kriptografi adalah ilmu mengenai teknik enkripsi dimana data diacak menggunakan suatu kunci enkripsi menjadi sesuatu yang sulit dibaca oleh seseorang yang tidak memiliki kunci dekripsi (Kromodimoeljo, 2010). Sistem kriptografi (cryptosystem) adalah istilah umum yang mengacu pada kumpulan operasi dasar yang digunakan pada kriptografi untuk memperoleh keamanan informasi. (Menezes et al, 1996).
2.1.1. Terminologi
Beberapa istilah dasar yang terdapat dalam kriptografi : 1. Pengirim dan Penerima (Sender and Receiver)
Pengirim dalam kriptografi adalah orang yang akan mengamankan pesan yang akan dikirimnya.Sedangkan penerima adalah pihak yang akan membaca pesan yang telah diterimanya (Schneier, 1996).
2. Pesan dan Enkripsi (Message and Encryption)
3. Kunci (Key)
Kunci (K) dalam kriptografi adalah parameter yang digunakan pada algoritma untuk menyembunyikan dan membaca sebuah pesan. Terdapat dua jenis kunci yaitu kunci privat (Kpriv) dan kunci publik (Kpub). Kunci privat adalah kunci yang
digunakan untuk mendekripsi sebuah pesan dan hanya boleh diketahui oleh pihak tertentu saja sedangkan kunci publik adalah kunci yang digunakan untuk mengenkripsi sebuah pesan dan boleh diketahui oleh semua pihak (Schneier, 1996). Gambaran umum dari sebuah sistem kriptografi dapat dilihat pada gambar 2.1.
Gambar 2.1. Skema sebuah sistem kriptografi (Schneier, 1996)
4. Tanda Tangan Digital (Digital Signature)
Tanda tangan digital adalah data digital yang dapat menyatakan kepemilikan dari sebuah pesan (Batten, 2013). Skema tanda tangan digital terdiri dari proses pembangkitan tanda tangan digital dan proses verifikasi tanda tangan digital. Proses pembangkitan memerlukan plaintext (P) dan kunci publik (Kpub) pengirim
(Alice) dengan menggunakan algoritma pembentuk tanda tangan sehingga menghasilkan tanda tangan digital dari plaintext (Psig), sedangkan pada proses verifikasi tanda tangan digital memerlukan plaintext (P), tanda tangan digital dari plaintext (Psig) serta kunci privat (Kpriv) dari penerima (Bob) untuk menentukan
apakah plaintext berasal dari pengirim (Alice) (Mollin, 2007). Beberapa algoritma tanda tangan digital adalah Digital Signature Algorithm, ECDSA, ElGamal, Fiat-Shamir, RSA, Schnorr dan lain-lain. Secara umum skema tanda tangan digital dapat dilihat pada gambar 2.2.
Gambar 2.2.Skema Tanda Tangan Digital.
Psig
Contoh tanda tangan digital untuk pesan ”abc” dengan menggunakan algoritma
tandatangan digital ECDSA berdasarkan standar FIPS.186-2 untuk kurva elips berukuran 256 bit (DSS, 2010) dengan kunci privat dc51d386 6a15bacd e33d96f9 92fca99d a7e6ef09 34e70975 59c27f16 14c88a7f adalah :
cb28e099 9b9c7715 fd0a80d8 e47a7707 9716cbbf 917dd72e 97566ea1 c066957c 86fa3bb4 e26cad5b f90b7f81 899256ce 7594bb1e a0c89212 748bff3b 3d5b0315.
5. Fungsi Hash satu arah (One Way Hash Functions)
Fungsi hash satu-arah adalah fungsi hash dimana pesan yang sudah diubah menjadi hash value, dari hash value yang diperoleh kita tidak dapat mengubahnya kembali menjadi pesan semula. Masukkan pada fungsi hash satu-arah adalah pesan dan hash value pada proses sebelumnya (Schneier, 1996). Hasil dari sebuah fungsi hash disebut sebagai nilai hash (hash value) atau pesan-ringkas (message digest) dari fungsi H untuk masukan M.
Fungsi hash memiliki banyak istilah antara lain : 1. Fungsi kompresi/kontraksi (compression function). 2. Cetak jari (fingerprint).
3. Cryptography checksum.
4. Message Integrity Check (MIC). 5. Manipulation Detection Code (MDC).
Penggunaan fungsi hash pada kriptografi adalah memverifikasi pesan yang dikirim merupakan pesan yang asli atau tidak mengalami proses modifikasi yang dilakukan oleh pihak yang tidak berhak.
- ... (1)
Hash value dari sebuah pesan akan berbeda dengan hash value dari pesan jika
memiliki string yang berbeda. Yang termasuk dalam algoritma fungsi hash satu arah adalah MD5, MD6, SHA-1, SHA-224, SHA-256, SHA-384 dan lain-lain.
6. Algoritma Simetris
melakukan komunikasi pengirim dan penerima harus menyetujui kunci yang akan digunakan. Yang termasuk algoritma kunci simetris adalah A5, AES (Rijndael), Blowfish, CAST, DES, FEAL, IDEA, Kasumi, LOKI, Magenta, dan lain-lain.
7. Algoritma Asimetris
Algoritma asimetris adalah algoritma yang menggunakan kunci publik untuk enkripsi berbeda dengan kunci untuk dekripsi. Algoritma disebut juga sebagai algoritma kunci publik karena kunci enkripsi yang digunakan dapat diketahui oleh publik. Beberapa contoh algoritma ini antara lain Diffie-Hellman, ElGamal, Knapsack, LUC, McEliece, Pohlig-Hellman, RSA, Rabin dan lain-lain.
2.1.2. Tujuan Kriptografi
Penggunaan kriptografi ditujukan untuk mengamankan data yang meliputi aspek – aspek yaitu (Paar et al, 2010) :
a. Kerahasiaan (Confidentiality)
Informasi hanya bisa diakses oleh orang yang berhak. b. Keutuhan Data (Integrity)
Pesan tidak mengalami perubahan pada saat pengiriman hingga pesan diterima oleh penerima.
c. Pembuktian (Authentication)
Identitas dari pembuat pesan dapat dipastikan. d. Tidak dapat dibantah (Nonrepudiation)
Setiap entitas yang berkomunikasi tidak dapat menolak atau menyangkal pesan yang dikirim atau diterima.
2.2. Grup
Sebuah Grup adalah himpunan yang terdiri dari elemen dan sejumlah operasi yang menoperasikan dua elemen untuk memperoleh elemen ketiga. Beberapa ciri yang terdapat dalam grup antara lain (Judson & Austin, 2009):
2. Memiliki elemen identitas (e). e a = a e = a
3. Memiliki elemen inversi (a-1). a a-1 = a-1 a = e
Jika sebuah grup memiliki sifat komutatif a b = b a disebut abelian, sebaliknya disebut non-abelian.
2.3. Teori Bilangan Bulat
Salah satu teori sangat penting dan sering digunakan pada bidang kriptografi dan merupakan teori yang menjadi dasar bagi kriptografi kunci publik adalah teori bilangan bulat ( ) (Munir, 2006). Berikut teori bilangan bulat yang digunakan pada penelitian ini.
2.3.1. Kekongruenan
Sebuah bilangan bulat a disebut kongruen terhadap bilangan b dalam modulus N jika N dapat habis membagi . Kekongruenan a dan b dapat ditulis (Batten, 2013).
Contoh : 5 kongruen dengan 14 dalam modulus 9 karena 9 habis membagi -9.
2.3.2. Faktor Persekutuan Terbesar (Greatest Common Divisior)
Faktor persekutuan terbesar pada bilangan bulat a dan bilangan bulat b adalah bilangan bulat terbesar yang dapat membagi habis a dan b (Mollin, 2007).
Contoh :
Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 dan Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18, sehingga faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 18 adalah 6 atau gcd( )
2.3.3. Relatif Prima
Contoh :
Faktor dari 24 adalah 1,2,3,4,6,8,12,24 dan Faktor dari 25 adalah 1,5 ,25. Faktor Persekutuan Terbesar dari 24 dan 25 adalah 1 sehingga 24 relatif prima terhadap 25 atau gcd(24, 25) = 1.
2.3.4. Fungsi Phi Euler
Fungsi Phi Euler adalah banyak bilangan bulat yang lebih besar dari satu dan lebih kecil dari n yang relatif prima terhadap n dengan . Simbol dari fungsi Phi Euler dari sebuah bilangan n adalah ( ). Untuk mencari nilai fungsi Phi Euler terdapat beberapa cara aturan (Menezes et al, 1996) :
1. Jika p adalah bilangan prima.
( ) – ... (2) 2. Jika ( )
( ) ( ) ( ) ... (3) 3. Jika n = adalah faktorisasi prima dari n, maka
( ) ... (4)
Contoh :
Faktorisasi prima dari 10 adalah 2, 5 sehingga
( )
2.3.5. Algoritma Extended Euclidean
Extended Euclidean adalah algoritma untuk mencari faktor persekutuan terbesar dari
dua bilangan bulat positif serta nilai pengali setiap bilangan. Langkah-langkah untuk algoritma adalah sebagai berikut (Kromodimoeljo, 2010):
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
( ), u dan v dengan .
Contoh :
( ), a = 10 , b = 4
Inisialisasi A = 10, B = 4, u = 1, v = 0, s = 0, t = 1
Perhitungan gcd(10, 4) secara ringkas dapat dilihat pada tabel 2.1 Tabel 2.1.Algoritma Extended Euclidean.
Iterasi q R A B U V u v s T
1 2 2 4 2 1 0 0 1 1 -2
2 2 0 2 0 0 1 1 -2 -2 5
Berdasarkan perhitungan pada tabel 2.1 ( ) adalah 2
2.3.6. Inversi Modulo
Suatu bilangan bulat a mempunyai inversi modulo n jika dan hanya jika . Inversi modulo dari a mod n adalah (Menezes et al, 1996). Untuk menentukan inversi modulo dapat menggunakan algoritma Extended Euclidean (Kromodimoeljo, 2010). Bentuk inversi modulo dapat ditulis dalam persamaan linear yaitu
, dengan u sebagai nilai inversi modulo. Contoh :
Inversi modulo dari ( ) dengan menggunakan algoritma Extended Euclidean adalah :
Inisialisasi : a = 20, b = 17, A = 20, B = 17, u = 1, v = 0, s = 0, t = 1
Untuk menentukan inversi modulo dari 20 (mod 17) secara ringkas dapat dilihat pada tabel 2.2.
Tabel 2.2.Inversi modulo dengan menggunakan algoritma Extended Euclidean.
Iterasi q R A B U V u v s t
1 1 3 17 3 1 0 0 1 1 -1
2 5 2 3 2 0 1 1 -1 -5 6
3 1 1 2 1 1 -1 -5 6 6 -7
Berdasarkan perhitungan pada tabel 2.2, 20 memiliki inversi modulo terhadap 17 karena dan inversi modulo dari 20 mod 17 adalah 6.
2.3.7. Eksponensial Modulo
Operasi eksponensial pada modulo merupakan salah operasi yang paling sering digunakan pada kriptografi. Bentuk umum dari eksponensial modulo adalah dengan a merupakan basis, x merupakan ekponen dan n adalah modulus.
Penggunaan operasi eksponensial akan memerlukan waktu yang lama jika nilai eksponen yang digunakan sangat besar, sehingga ada beberapa cara untuk mempercepat proses perhitungan ekponensial dan salah satu metode yang dapat digunakan adalah metode Binary Square and Multiply (Schneier, 1996).
Metode Binary Square and Multiply antara lain : 1. Mengubah eksponen menjadi bit.
2. Insialisasi s = 1, t = basis.
3. Ambil satu bit dari kanan, jika bernilai 1 maka dihitung s = s t mod n. 4. Dihitung t = t t mod n.
5. Lakukan langkah ke 2 pada semua bit. 6. Hasil dari metode ini adalah s.
Contoh :
Eksponen = 5, basis = 14 dan modulus = 31
5 = , Inisialisasi s = 1, t = 14, Secara ringkas perhitungan dapat dilihat pada tabel 2.3.
Tabel 2.3.Perhitungan modulus eksponensial dengan menggunakan metode Binary Square and Multiply.
i Digit s t
1 1 14 10
2 0 14 7
3 1 5 18
2.3.8. Pengujian Bilangan Prima Miller-Rabin
Algoritma Miller-Rabin adalah algoritma pengujian bilangan prima probabilistik untuk menentukan sebuah bilangan prima atau komposit (Smart, 2004). Bilangan yang akan diuji adalah n. Maka ubah – dalam bentuk dengan t bilangan bulat lebih besar daripada 1 dan u bilangan bulat ganjil. Selanjutnya dilakukan pengujian berdasarkan pseudocode (Cormen et al, 2009).
Miller-Rabin (n, s)
for j = 1 to s
a = Random(1, n-1)
if Witness(a, n)
return composite
return prime
Witness (a, n)
= Modular-Exponentiation(a, u, n) for i = 1 to t
if and and return true
if
return true
return false
Contoh : n = 81
, t = 4 u = 5
Pengujian menggunakan a = 2. Secara ringkas dapat dilihat pada tabel 2.4. Tabel 2.4.Perhitungan Algoritma Miller-Rabin untuk membuktikan
keprimaan 81 dengan angka penguji 2.
i
1 52 32 tidak tidak tidak
2 31 52 tidak tidak tidak
Berdasarkan perhitungan tabel 2.4 serta perhitungan pada i = t = 4 yaitu xt = 702
mod 81 = 40 dan xt≠ maka81 merupakan bilangan komposit
Pengujian menggunakan a = 3. Secara ringkas dapat dilihat pada tabel 2.5.
Tabel 2.5.Perhitungan Algoritma Miller-Rabin untuk membuktikan keprimaan 81 dengan angka penguji 3.
i
1 0 0 tidak tidak tidak
2 0 0 tidak tidak tidak
3 0 0 tidak tidak tidak
Berdasarkan perhitungan pada tabel 2.5 serta perhitungan pada i = t = 4 yaitu xt =
02 mod 81 = 0 dan xt≠ maka81 merupakan bilangan komposit.
n = 89
, t = 3, u = 11
Pengujian menggunakan a = 2. Secara ringkas dapat dilihat pada tabel 2.6. Tabel 2.6.Perhitungan Algoritma Miller-Rabin untuk membuktikan
keprimaan 89 dengan angka penguji 2.
i
1 1 1 ya tidak tidak
2 1 1 ya tidak tidak
Berdasarkan perhitungan pada tabel 2.6 serta perhitungan pada i = t = 3 yaitu xt =
12 mod 81 = 1 dan xt = 1 maka 89 merupakan bilangan prima.
Pengujian menggunakan a = 3. Secara ringkas dapat dilihat pada tabel 2.7. Tabel 2.7.Perhitungan Algoritma Miller-Rabin untuk membuktikan
keprimaan 89 dengan angka penguji 3.
i
1 34 37 tidak tidak tidak
2 88 34 tidak tidak tidak
Berdasarkan perhitungan pada tabel 2.7 serta perhitungan pada i = t = 3 yaitu xt
Fungsi Random() merupakan fungsi pembangkit bilangan acak dengan menggunakan algoritma SHA1 (Secure Hash Algorithm 1).
2.4. Algoritma SHA-1
Algoritma SHA-1 merupakan salah satu jenis algoritma dengan fungsi hash satu – arah. SHA-1 dikembangkan oleh NSA pada tahun 1995 dan distandarisasi oleh NIST. SHA-1 merupakan algoritma hash searah dengan panjang hash-value 160-bit. Maksimal pesan yang dapat diproses adalah bit. Proses pada algoritma ini antara lain (Mollin, 2007):
1. Pesan diubah menjadi bitstream.
2. Hitung g = Panjang bitstream mod 512 jika.
g < 448 bit tambahkan sebuah bit 1 dan bit 0 pada data. g >= 448 bit tambahkan sebuah bit 1 dan bit 0 pada data.
3. Ubah panjang pesan dalam bentuk 64bit kemudian tambahkan pada akhir data yang akan di hash.
4. Data yang akan dihash dipecah-pecah menjadi bagian – bagian dengan panjang sebesar 512 bit.
5. Inisialiasasi variabel, nilai variabel .
6. Setiap blok berukuran 512 bit dipecah menjadi 16 bagian masing-masing berukuran 32-bit (bitword). Dari 16 bitword tersebut akan dihasilkan bitword ke 17 sampai bitword ke 80 dengan menggunakan algoritma sesuai dengan gambar 2.4 :
for i 16 to 79
data
7. Initialisasi varaibel
.
8. Untuk setiap bitword dilakukan perubahan variabel A, B, C, D, E sesuai dengan gambar 2.3
Jika bitword ke-0 sampai bitword ke-19 :
( ) ( ( ) ) .
Jika bitword ke-20 sampai bitword ke-39 :
( ) .
Hapus bit paling kiri sampai t berukuran 32 bit. E = D, D = C, C = (B), B = A, A = t.
Jika bitword ke-40 sampai bitword ke-59 :
(A) ( ) ( ) ( ) .
Hapus bit paling kiri sampai t berukuran 32 bit. E = D, D = C, C = (B), B = A, A = t.
Jika bitword ke-60 sampai bitword ke-79 :
( ) .
Hapus bit paling kiri sampai t berukuran 32 bit. E = D, D = C, C = (B), B = A, A = t. 9. Ubah variabel dengan rumus
. Hapus bit paling kiri sampai berukuran 32 bit. . Hapus bit paling kiri sampai berukuran 32 bit. . Hapus bit paling kiri sampai berukuran 32 bit. . Hapus bit paling kiri sampai berukuran 32 bit. . Hapus bit paling kiri sampai berukuran 32 bit. 10.Lakukan pada blok 512-bit lainnya.
11.Hasil dari proses diatas yaitu kemudian di gabung.
.
Gambar 2.3. Proses SHA-1 untuk setiap bitword
Gambar 2.4. Proses SHA-1 untuk setiap 512 bit blok
2.5. Algoritma SHA-2
Algoritma SHA-2 merupakan salah satu jenis algoritma dengan fungsi hash satu – arah. Algoritma yang termasuk dalam kelas 2 adalah 224 (224 bit), SHA-256 (SHA-256 bit), SHA-384 (384 bit), SHA-512 (512 bit) dan lain-lain. Pada tugas akhir ini panjang hash value yang digunakan. Fungsi logika yang digunakan pada SHA-256 antara lain :
( A D ) ( ( ) A D ) ... (5) ( A D ) ( A D ) ( A D ) ... (6)
( ) ( )
( ) ( ) ... (7) ( ) ( )
( ) ( ) ... (8) ( ) ( )
( ) S ( ) ... (9)
( )
Setiap operasi penjumlahan pada SHA-256 dilakukan dalam modulus . Maksimal panjang pesan yang dapat diproses adalah bit. Proses pada algoritma ini antara lain (SHS, 2015):
1. Pesan diubah menjadi bitstream.
2. Hitung tambahkan sebuah bit 1 dan beberapa bit 0 pada data hingga ukuran pesan 448 (mod 512).
3. Ubah panjang pesan dalam bentuk 64 bit kemudian disisipkan pada akhir data yang akan di hash.
4. Data yang akan dihash dipecah – pecah menjadi berberapa bagian kecil dengan panjang sebesar 512 bit.
5. Inisialiasasi variabel, nilai variabel .
6. Setiap blok berukuran 512 bit dipecah menjadi 16 bagian masing-masing berukuran 32-bit (bitword). Dari 16 bitword tersebut akan dihasilkan bitword ke 16 sampai bitword ke 63 dengan menggunakan algoritma sbb :
for t 16 to 63
( ) (
)
7. Initialisasi variabel .
.
8. Untuk setiap bitword dilakukan pengubahan variabel A, B, C, D, E, F, G, H. for i 0 to 63
data(). Variabel
memiliki nilai sesuai dengan tabel 2.8.
H = G, G = F, F = E, , D = C, C = B, B = A, 9. Ubah variabel dengan rumus :
10. Lakukan pada blok 512-bit lainnya.
11. Hasil dari proses diatas yaitu kemudian di gabung sehingga menghasilkan hash value (h).
S ( ) S ( ) S ( ) S ( ) S ( )
Tabel 2.8.Nilai konstanta dari variabel
428a2f98 71374491 b5c0fbcf e9b5dba5 3956c25b 59f111f1 923f82a4 ab1c5ed5
d807aa98 12835b01 243185be 550c7dc3 72be5d74 80deb1fe 9bdc06a7 c19bf174
e49b69c1 efbe4786 0fc19dc6 240ca1cc 2de92c6f 4a7484aa 5cb0a9dc 76f988da
983e5152 a831c66d b00327c8 bf597fc7 c6e00bf3 d5a79147 06ca6351 14292967
27b70a85 2e1b2138 4d2c6dfc 53380d13 650a7354 766a0abb 81c2c92e 92722c85
a2bfe8a1 a81a664b c24b8b70 c76c51a3 d192e819 d6990624 f40e3585 106aa070
19a4c116 1e376c08 2748774c 34b0bcb5 391c0cb3 4ed8aa4a 5b9cca4f 682e6ff3
748f82ee 78a5636f 84c87814 8cc70208 90befffa a4506ceb bef9a3f7 c67178f2
Gambar 2.5. Proses SHA-2 pada setiap iterasi, dengan merupakan simbol untuk penjumlahan dengan modulus .
2.6. Kurva Elips
Kurva elips adalah kurva yang memiliki persamaan Weierstrass yaitu :
2.6.1. Kriptografi Kurva Elips
Kriptografi kurva elips adalah kriptografi logaritma diskrit dengan menggunakan grup titik kurva elips yang berada pada daerah berhingga. Dibandingkan dengan kriptografi non kurva elips, kriptografi kurva elips memiliki tingkat keamanan yang sama dengan ukuran kunci yang lebih kecil (Hankerson et al, 2004).
Penggunaan kurva ellips dalam kriptografi dapat dikombinasikan dengan algoritma kriptografi non kurva elips. Beberapa algoritma tersebut antara lain :
1. Skema enkripsi (ElGamal ECC).
2. Tanda tangan digital (ECDSA– Elliptic Curves Digital Signature). 3. Protokol pertukaran kunci (Diffie Hellman ECC).
Operasi yang digunakan dalam kriptografi kurva elips adalah operasi grup untuk kurva elips penjumlahan, dan disebut operasi perkalian pada grup . Pada tabel 2.9 memberikan hubungan antara dengan ( ) (Hankerson et al, 2004).
Tabel 2.9. Hubungan antara Grup dengan kurva
Grup Grup Kurva
Elemen Integer p-1} Titik (x,y) pada kurva E + O
Aturan operasi Perkalian modulo p Penjumlahan 2 titik
Notasi
Elemen : g,h Elemen : P,Q
Perkalian : Perkalian : P + Q
Invers : - Invers : -P
Pembagian : Pembagian : P – Q Pemangkatan : Perkalian : aP Discrete
Persamaan kurva elips yang paling sering digunakan dalam kriptografi kurva elips adalah
... (12) , p > 3 dan ( ).
...
(13) Jika hasilnya 1 maka titik terdapat dalam kurva elips sedangkan -1 maka titik tidak terdapat dalam kurva elips.
Contoh :
Himpunan pada kurva elips dengan , dengan
. Nilai , sehingga merupakan
persamaan kurva elips. Untuk menentukan titik yang merupakan anggota dapat dilihat pada tabel 2.10.
Tabel 2.10. Perhitungan Euler Criterion pada setiap kemungkinan titik x Euler Criterion geometris dapat dilihat pada gambar 2.6.
Tabel 2.11. Pasangan koordinat pada kurva elips
Gambar 2.6. Sebaran titik-titik pada kurva elips untuk
2.6.2. Aturan Penjumlahan Dua Titik pada Kurva Elips
Aturan pada penjumlahan dua titik pada kurva elips akan menghasilkan titik ke
tiga yang juga berada dalam kurva elips. Secara geometris aturan penjumlahan pada kurva elips (Hankerson et al, 2004):
1. untuk setiap .
Gambar 2.7. Gambaran secara geometri penjumlahan dua titik
berbeda
Gambar 2.8. Gambaran secara geometri penjumlahan dua titik
Secara geometris dapat dilihat pada gambar 2.9.
Gambar 2.9. Gambaran geometris untuk (3,10) + (9,7) = (17,20)
2. Dari persamaan sebelumnya penjumlahan P=(3,10) terhadap dirinya sendiri
Hasil ini diperlihatkan secara geometris dalam gambar 2.10.
Gambar 2.10. Gambaran geometris untuk (3,10) + (3,10) = (7,12)
Aturan perkalian pada titik kurva elips dapat dijabarkan dengan menggunakan aturan penjumlahan kurva elips.
Contoh :
, dengan .
2.7.Sistem Kriptografi RSA (RSACryptosystem)
Sistem kriptografi RSA merupakan dibangun dengan menggunakan fungsi eksponensial. Seperti kriptosistem pada umumnya, RSA memiliki proses pembangkitan kunci, enkripsi, dan dekripsi.
2.7.1. Pembangkitan Kunci RSA
Langkah – langkah untuk membangkitkan kunci pada RSA adalah (Mollin, 2007): 1. Pengguna memilih p dan q yang merupakan bilangan prima acak dan . 2. Hitung . n disebut juga sebagai modulus RSA.
3. Hitung ( – ) ( – ).
4. Pilih bilangan acak ganjil e dalam rentang ( ) dan ( ( )) . 5. Hitung ( ).
6. Kunci publik pengguna adalah e dan n dan kunci privat pengguna adalah d.
Algoritma pembangkit kunci pada RSA yang sudah dimodfikasi dirubah menjadi (Malhotra, 2014):
1. Pengguna memilih p, q, dan r yang merupakan bilangan prima yang besar dan .
2. Menghitung . n disebut juga sebagai modulus RSA. 3. Menghitung ( – ) – ( ).
4. Memilih bilangan acak ganjil dalam rentang ( ) ( ( )) . 5. Hitung .
Kunci publik adalah e dan n dan kunci privat adalah d.
2.7.2. Enkripsi RSA
Proses enkripsi pada RSA yang dimodifikasi memiliki metode enkripsi yang sama dengan metode enkripsi RSA biasa. Enkripsi dilakukan dengan menggunakan kunci publik yang telah dibangkitkan sebelumnya. Tahap-tahap dalam algoritma enkripsi RSA antara lain:
1. Pengirim pesan mengubah pesan (P) menjadi bitstream.
2. Pengirim pesan mendapatkan kunci publik dari penerima pesan (e dan n). 3. Menghitung ciphertext (C) dari pesan dengan persamaan berikut :
2.7.3. Dekripsi RSA
Untuk menghasilkan kembali plain text dari ciphertext yang sudah dienkripsi, digunakan fungsi eksponensial modular n dengan menggunakan kunci privat. Algoritma dekripsi RSA yang telah dimodofikasi sama dengan algoritma dekripsi RSA biasa yaitu :
1. Penerima pesan mengubah pesan yang diterima (C) menjadi bitstream. 2. Menghitung pesan asli (P) dengan menggunakan persamaan berikut :
... (19)
2.8. Algoritma Tanda Tangan Digital Kurva Elips Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)
Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) merupakan tanda tangan digital
dengan menggunakan kriptografi kunci publik dan fungsi hash searah. Beberapa proses yang terdapat pada algoritma ECDSA adalah pembangkitan kunci, pembentukan tanda tangan dan proses verifikasi tanda tangan.
2.8.1. Pembangkitan Kunci ECDSA
Langkah – langkah dalam pembangkitan kunci pada ECDSA antara lain :
1. Menentukan domain kurva elips yang digunakan yaitu D = (q, FR, S, a, b, P, n, h), dengan q adalah ukuran bidang berhingga, jika bidang berhingga FR (field
representation) adalah indikator basis yang digunakan, S adalah konstanta yang digunakan untuk memverifikasi bahwa a dan b dihasilkan melalui proses yang acak, a dan b adalah dua parameter yang digunakan kurva elips, P adalah titik pada kurva yang dijadikan sebagai titik acuan dalam operasi kurva elips yang merupakan bilangan prima ganjil. n adalah orde dari kurva elips dan h adalah kofaktor yang merupakan hasil pembagian jumlah titik yang terdapat dalam kurva elips ( ) dengan n.
2.8.2. Pembentukan Tanda Tangan Digital ECDSA
Proses pembentukan tanda tangan digital antara lain (Hankerson et al, 2004):
1. Dipilihlah sebuah bilangan bulat acak k yang berada diantara 1 sampai dengan .
2. Menghitung .
3. Mengambil koordinat x kemudian hitung mod . Jika r = 0 kembali kelangkah pertama.
4. Menghitung e = H(m), H merupakan fungsi hash.
5. Menghitung s = - . Jika s = 0 kembali kelangkah 1. 6. Tanda tangan digital untuk pesan adalah r dan s.
2.8.3. Proses Verifikasi Tanda Tangan ECDSA
Untuk memverifikasi tanda tangan dari pesan (m) yang dikirim yaitu (r, s) (Hankerson et al, 2004).
1. Dicek apakah r dan s berada dalam interval 1 sampai n 1. 2. Menghitung e = H(m).
3. Menghitung - - .
4. Menghitung dan mod , dengan P adalah titik awal kurva dan Q merupakan kunci publik pengirim pesan.
5. Pesan valid jika hanya jika .
Pada tugas akhir ini, standar ECDSA yang digunakan adalah FIPS.186-2 untuk kurva elips berukuran 256 bit (DSS, 2010). Berikut parameter yang digunakan : p=1579208921035624876269744694940757353008614341529031419553363130887
097853951
n= 157920892103562487626974469494075735299969552241357603424222590
6108512044369
S = c49d360886e704936a6678e1139d26b7819f7e90
c = 7efba1662985be9403cb055c75d4f7e0ce8d84a9c5114abcaf3177680104fa0d
b = 5ac635d8aa3a93e7b3ebbd55769886bc651d06b0cc53b0f63bce3c3e27d2604b
2.9. Pretty Good Privacy (PGP)
PGP adalah program freeware yang berfungsi untuk mengamankan e-mail. PGP dibuat oleh Philip Zimmerman (1991). PGP menggunakan konsep hybrid cryptosystem yang mengabungkan kriptografi kunci publik (RSA, ElGamal) dan
kriptografi konvensional (IDEA, DES, Blowfish). PGP menggunakan kriptografi konvensional untuk mengenkripsi data, kriptografi kunci publik untuk manajemen kunci dan tangan tangan digital dan fungsi hash satu arah (MD5). Kunci publik acak PGP menggunakan algoritma probabilistik untuk pengecekan bilangan prima dengan menggunakan bilangan acak yang diperoleh dari penggunaan keyboard dan mouse (Schneier, 1996).
Skema pengamanan (enkripsi) data dalam PGP adalah : 1. PGP membangkitkan kunci acak (session key).
2. Data dienkripsi dengan menggunakan algoritma kunci konvensional menghasilkan ciphertext.
3. Kemudian session key dienkripsi dengan menggunakan kunci publik penerima pesan dengan menggunakan algoritma kunci publik.
4. Session key yang sudah dienkripsi serta ciphertext dikirim. Skema pembacaan (dekripsi) data dalam PGP adalah :
1. Penerima mendekripsi session key yang terenkripsi dari pengirim dengan menggunakan kunci privat penerima pada algoritma kunci publik.
2. Kemudian penerima mendekripsi ciphertext dengan menggunakan session key sehingga data dapat dibaca menjadi pesan.
2.10. Penelitian yang Relevan
Beberapa penelitian yang berkaitan dengan penelitian akan dilakukan oleh penulis antara lain :
1. Penelitian yang dilakukan oleh Malhotra (2014) dengan judul A New Encryption Scheme Based on Enhanced RSA and ElGamal menyimpulkan algoritma RSA
yang dimodifikasi memiliki waktu enkripsi dan throughput yang lebih baik dibandingkan dengan algoritma RSA biasa.
bilangan prima dalam RSA dapat meningkatkan kesulitan dalam memfaktoran nilai n sehingga keamanan RSA menjadi lebih baik.
