MATERI MATEMATIKA KELAS 9
SMP/MTSn Bab 5 : Pangkat dan akar
Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar :1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar
3. Memecahkan masalah sederhanayang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar
Daftar isi
1 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif 2 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif 3 Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
3.1 Bilangan Rasional dan Irasional 3.2 Bentuk Akar
3.3 Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
4 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar 4.1 Penjumlahan dan Pengurangan 4.2 Perkalian dan Pembagian 4.3 Perpangkatan
4.4 Operasi Campuran 5 Merasionalkan Penyebut
5.1 Penyebut Berbentuk √b
5.2 Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b) 5.3 Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d) 6 Referensi
Bilangan Bulat dengan Eksponen
Bilangan Bulat Positif
Masih ingat bentuk berikut : 32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1 an x an = am + n 24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 ) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 24+3 Sifat 2 am : an = am - n, m > n 55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5) = 5 x 5 = 52 = 55 - 3 Sifat 3 (am)n = am x n (34)2 = 34 x 34 = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3) = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3) = 38 = 34 x 2 Sifat 4 (a x b)m = am x bm (4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2) = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2) = 43 x 23 Sifat 5 (a : b)m = am : bm (6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
Bilangan Bulat dengan Eksponen
Bilangan Bulat Negatif
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n , secara umum dapat ditulis :
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini! (1/2)5
Jawab :
Bentuk Akar dan Bilangan
Berpangkat Pecahan
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuka/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0 Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75 Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat
Pecahan dan Sebaliknya
Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√amdapat ditulis am/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.
jawab :
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :
jawab :
Perpangkatan
Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Operasi Campuran
Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut. Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
Jika tidak ada tanda kurungnya maka 1. pangkat dan akar sama kuat; 2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
Merasionalkan Penyebut
Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus
dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
Penyebut Berbentuk √b
Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka
pecahan a/√bdapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan√b/√b .
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
jawab :
Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b)
adalah dan sebaliknya. Bukti
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
jawab :
Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Contoh:
Jawab :
MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn
Bab 4 : Peluang
Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi. Girolamo Cardano (1501-1576), seorang penjudi dan fisikawan adalah orang pertama yang menuliskan analisis matematika dari masalah-masalah dalam permainan judi. Adapun ilmu hitung peluang yang dikenal dewasa ini dikemukakan oleh tiga orang Prancis, yaitu bangsawan kaya Chevalier de Mere dan dua ahli matematika, yaitu Blaise Pascal dan Pierre de Fermat.
Walapun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunanakan sacara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorology, sains, dan industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk kondisi-kondisi cuaca; peluang juga digunanakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum pemilihan umum; peluang juga digunakan PLN untuk merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan, dan lain-lain.lebih lanjut klik disini
Adapun materi peluang yang akan dibahas pada tulisan ini akan dibatasi pada masalah:
A) Percobaan, ruang sampel, dan kejadian B) Peluang suatu kejadian
C) Peluang percobaan kompleks D) Peluang Kejadian Majemuk
A) Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian
Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu.
Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan)
Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel
Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Contoh :
1. Misalkan sebuah dadu bermata enam dilemparkan satu kali maka tentukan!
2. Hasil yang mungkin muncul 3. Ruang Sampel
4. Titik sampel
5. Banyaknya kejadian mata dadu ganjil
6. Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 Jawab:
1. Hasil yang mungkin muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 2. Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6}
3. Titik sampel sama dengan hasil yang mungkin yaitu mata dadu 1,2,3,4,5 dan 6
1. Misalkan A adalah kejadian mata dadu ganjil Kejadian A={1,3,5}
Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah n(A) =3
1. Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3 Kejadian B={1,2}
Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah n(B)=2
1. Sebuah mata uang logam dilambungkan satu kali, tentukan! 2. Ruang sampel
3. Kejadian munculnya angka 4. Banyaknya ruang Sampel
Jawab:
Sebuah mata uang mempunyai dua sisi yaitu Angka (A) dan Gambar(G). 1. Ruang Sampelnya adalah S={A, G}
2. Kejadian munculnya angka adalah {A} 3. Kejadian munculnya gambar adalah {G}
4. Banyaknya ruang sampel, n(S)=2 yaitu {A} dan {G}
5. Banyaknya kejadian muncul angka, n(Angka)=1 atau n(A)=1
1. Dua buah mata uang logam dilemparkan bersama-sama, tentukan! 1. Ruang sampelnya c. Banyaknya kejadian keduanya
gambar.
2. Banyaknya Ruang Sampel Jawab: 1. Ruang sampelnya Mata Uang II A G Mata Uang I A AA AG G GA GG
Ruang Sampelnya : {AA,GA,AG,GG}
1. Banyaknya ruang sampel, n(S)=4
2. Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar. Kejadian B = {GG}
Maka bayaknya kejadian keduanya gambar, n(B) = 1
1. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan: 1. Ruang sampelnya
2. Banyaknya Ruang Sampel
3. Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama. 4. Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua. Jawab:
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut: 1. Ruang sampel
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:
DADU I 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (5,3) (6,4) (6,5) (6,6) S={(1,1),(1,2),(1,3), … (6,4),(6,5),(6,6)}
1. Banyaknya Ruang sampel, n(S)= 36.
2. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama.
Kejadian A = {(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}
Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama, n(A)=4
1. Misalkan B adalah kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.
Kejadian B = {(1,5),(2,5), (3,5),(4,5),(5,5),(6,5)}
Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua, n(B)=4
Soal Latihan
1. Dari satu set kartu Bridge, diambil dua kartu secara acak. Tentukan !
1. Banyaknya Ruang sampel, b. Bayaknya kejadian keduanya kelor(¨).
2. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan
1. Banyaknya kejadian muncul mata dadu yang berjumlah 7 2. Banyaknya kejadian muncul mata dadu 2 pada dadu I 3. Banyaknya kejadian muncul mata dadu 6 pada dadu II 3. Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai 12. Tentukan! 4. Ruang Sampel
5. Banyaknya Ruang Sampel 6. Kejadian kartu kelipatan 3 7. Banyaknya kartu kelipatan 3
8. Dari satu set kartu bridge, diambil dua buah kartu. Tentukan! 1. Kejadian terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K) 2. Banyaknya Kejadian terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)
9. Tiga mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan! 1. Banyaknya Ruang Sampel
2. Kejadian mendapatkan dua gambar.
3. Banyaknya kejadian mendapatkan dua gambar.
10. Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah, 2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan!
1. Banyaknya Ruang Sampel
2. Banyaknya kejadian mendapatkan kelereng berwarna biru. 11. Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning. Diambil 3 bola secara
acak.Tentukan !
1. Banyaknya Ruang Sampel
2. Banyaknya kejadian terambilnya bola warna hitam semua. 3. Banyaknya kejadian terambilnya 2 bola warna putih, dan 1 warna kuning
4. Banyaknya kejadian terambilnya 1 bola hitam, 1 bola putih, 1 bola kuning.
B) Peluang suatu kejadian
1. a. Peluang suatu Kejadian
Kejadian atau Peristiwa adalah Himpunan bagian dari ruang sampel.
Peluang suatu kejadian adalah Banyaknya kejadian dibagi dengan banyaknya ruang sampel.
Misalkan P(A) adalah Peluang Kejadian A, dan S adalah Ruang sampel. Maka
P(A) : Peluang kejadian A
n(A) : Banyaknya anggota dalam kejadian A n(S) : Banyaknya anggota ruang Sampel
Kisaran Nilai Peluang K adalah : 0£P(K) £1
P(K)=0 disebut Peluang Kejadian K adalah nol atau Kemustahilan
P(K)=1 disebut Peluang Kejadian K adalah 1 atau Pasti terjadi / Kepastian
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang
1. Munculnya mata dadu ganjil b. Munculnya mata dadu kurang dari 3 Jawab:
n(S)=6
1. Misalkan A adalah Kejadian Ganjil Kejadian A={1,3,5}, n(A) =3
Maka Peluang munculnya mata dadu ganjil adalah = 3/6=1/2
1. Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3 Kejadian B={1,2}, n(B)=3
Maka peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah = 3/6=1/2
1. Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, tentukan!
1. Peluang munculnya satu gambar b. Peluang muncul keduanya gambar
Jawab: n(S) = 4
1. Misalkan A adalah kejadian satu gambar. Kejadian A = {GA , AG}, n(A) = 2
Maka peluang kejadian satu gambar: =2/4 =1/2
1. Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar. Kejadian B = {GG}, n(B) = 1
Maka peluang kejadian keduanya gambar: =1/4
1. Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua
Jawab:
Misalkan A adalah Kejadian munculnya angka mata dadu 4 pada dadu I. Dan Kejadian B adalah kejadian munculnya angka mata dadu 5 pada dadu II.
n(S)=36
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut: DADU II 1 2 3 4 5 6 DADU I 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (5,3) (6,4) (6,5) (6,6) Kejadian A dan B adalah : {(4,5)}
Peluang munculnya adalah
1. Sebuah dadu bermata enam dilemparkan ke atas satu kali maka tentukan peluang munculnya mata dadu 9.
Jawab :
Mustahil terjadi, P=0 (Kemustahilan)
1. Tentukan peluang matahari akan terbit dari timur pagi hari. Jawab:
Terbitnya matahari dari timur bukan sebuah percobaan. (Pasti)
Soal Latihan
1. Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, tentukan!
2. Dari satu set kartu Bridge, diambil dua kartu secara acak. Berapa peluang terambil keduanya kelor (¨)?
3. Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang :
1. Munculnya mata dadu yang berjumlah 7 2. Munculnya mata dadu 2 pada dadu I 3. Munculnya mata dadu 6 pada dadu II
4. Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai 12. Tentukan peluang terambilnya kartu kelipatan 3
5. Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang muncul keduanya berjumlah kurang dari 8
6. Dari satu set kartu bridge, diambil dua buah kartu. Tentukan peluang terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)
7. Tiga mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan peluang mendapatkan dua gambar dan satu angka.
8. Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah, 2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan peluang mendapatkan kelereng berwarna biru!
9. Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning. Diambil 3 bola secara acak. Tentukan Peluang!
1. Terambilnya bola warna hitam semua,
2. Terambilnya 2 warna putih dan 1 warna kuning, 3. Terambilnya 1 hitam, 1 putih dan 1 kuning. 1. Peluang munculnya satu angka
2. Peluang muncul keduanya angka Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian
Ringkasan materi
Frekuensi harapan suatu peristiwa pada suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali adalah Hasil kali peluang peristiwa itu dengan n.
fh = n x P(A)
Contoh:
1. Sebuah mata uang logam dilemparkan 50 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya angka
Jawab:
Misalkan A adalah kejadian munculnya angka pada mata uang. Ruang Sampel , S={A,G},n(S)=2
Kejadian A={A},n(A)=1, P(A)=1/2
Maka frekuensi harapan munculnya angka adalah fh(A)=1/2 x 50 = 25 kali
1. Sebuah dadu dilambungkan 30 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu prima.
Jawab:
Ruang Sampel adalah S={1,2,3,4,5,6},n(S)=6 Kejadian B adalah B={2,3,5}, n(B)=3,
P(B) = 3/6 =1/2
Maka frekuensi harapan munculnya mata dadu prima adalah fh(B) = 1/2 x 30 = 15 kali
1. Peluang seseorang akan terjangkit penyakit virus AIDS-HIV di Indonesia pada tahun 2005 adalah 0,00032. Diantara 230 juta penduduk Indonesia, berapa kira-kira yang terjangkit virus tersebut pada tahun 2005?
Jawab:
Misalkan C adalah kejadian terjangkitnya seseorang oleh virus AIDS-HIV P(C) =0,00032
Maka fh(C) = 0,00032 x 230.000.000 = 73.600 orang
Soal Latihan
1. Sebuah uang koin dilambungkan 600 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya gambar
2. Peluang Grup A akan memenangkan pertandingan volly terhadap grup B adalah . Berapa frekuensi harapan grup A akan menang jika pertandingan tersebut direncanakan 12 kali.
3. Dalam suatu kotak terdapat 4 bola merah dan 2 bola putih. Diambil secara acak dua bola. Jika percobaan ini dilakukan 10 kali, tentukan
frekuensi harapan terambilnya dua bola merah!
4. Pada bulan April 2004 (jumlah hari ada 30) peluang akan turun hujan untuk satu hari menurut perkiraan cuaca adalah 0,2. Berapa kali hujan yang diharapkan terjadi pada bulan tersebut.
5. Peluang bola lampu akan rusak dalam sebuah peti lampu adalah 0,11. Berapa banyak lampu yang akan rusak dalam peti tersebut jika terdapat 205 bola lampu?
6. Dua buah dadu dilambungkan 120 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu yang kembar (mata dadu sama).
Menentukan Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Ringkasan Materi
Komplemen dari kejadian A ditulis Ac adalah kejadian bukan A. Peluang kejadian bukan A dirumuskan :
Contoh:
1. Sebuah dadu dilambungkan ke atas satu kali. Jika kejadian A adalah munculnya mata dadu genap, maka tentukan kejadian bukan A
Jawab:
Ruang Sampel adalah S = {1,2,3,4,5,6}, n(S)=6 Kejadian A adalah A={2,4,6}, n(A)=3
Kejadian Bukan A adalah Ac = {1,3,5} ,karena A dan Ac ÎS
1. Dari seperangkat kartu Bridge, diambil secara acak sebuah kartu. Tentukan peluang terambilnya
1. Bukan kartu Ace
2. Bukan kartu berwarna merah Jawab:
1. Banyaknya ruang sampel n(S) =52 Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu Ace. n(Ace) = n(A) = 4
Peluang terambilnya Ace, P(A)=4/52 =1/13
Maka peluang bukan Ace, P(Ac) = 1 – 1/13 = 12/13
1. Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu berwarna merah. n(Merah) = n(B) = 26 (ada 26 berwarna merah)
Banyaknya ruang sampel n(S) =52
Peluang terambilnya kartu merah , P(B)= = =
Maka peluang terambilnya bukan kartu berwarna merah, P(Bc) = 1 – =
Soal Latihan
1. Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu bukan kembar.
2. Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng merah, dan 8 kelereng putih, jika diambil 2 kelereng secara acak berapakah peluang
mendapatkan sedikitnya satu kelereng putih?
3. Dari setumpuk bola dalam karton yang diberi nomor 1 sampai
dengan 20, diambil dua bola secara acak. Berapakah peluang mendapatkan bola yang nomornya berjumlah lebih dari 5?
4. Dalam sebuah kantong terdapat 15 baterai, terdapat 5 buah baterai yang rusak/mati. Jika dipilih 3 buah baterai secara acak, berapakah peluang:
1. Tidak ada yang rusak? 2. Hanya sebuah yang rusak?
3. Sekurang-kurangnya sebuah yang rusak?
5. Dalam suatu kelas terdapat 6 siswa gemar belajar Fisika, 5 siswa gemar belajar Kimia, dan 4 siswa gemar belajar matematika. Jika dipanggil 3 orang siswa oleh gurunya untuk datang ke Ruang guru, Berapa peluang tidak terpanggilnya siswa yang gemar belajar Fisika?
6. Dalam sebuah dos terdapat 3 kaleng Coca-cola, 4 kaleng Sprite dan 4 kaleng Fanta. Akan diambil 3 kaleng secara acak. Berapa peluang
terambil maksimal dua jenis kaleng dari ketiga jenis kaleng tersebut?.
Statistika
Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan
data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data.
Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan
'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan
dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil
penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data,
statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan
data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar
statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika
antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.
Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu
alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk
sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri.
Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam
tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling
dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah
prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum
pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu)
atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan
dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.
Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis
lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis
biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh
berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu
-X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y
menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu.
Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY,
selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan
dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik
garis.
Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan
gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran
menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk
membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya
persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut
pusat sektor lingkaran.
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan
perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu.
Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan
batangbatang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan
batang-batang terpisah.
Contoh soal-X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu
Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu.
Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY,
selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan
dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik
garis.
Grafik atau Diagram.
1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas XI SMA 3
disajikan dalam tabel di samping. Penyajian data pada Tabel 1.1
dinamakan penyajian data sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat
menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang.
Berapa orang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang paling
banyak diperoleh siswa? Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu
disajikan dengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh tabel
frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel 1.2 dinamakan
Tabel Distribusi Frekuensi.
2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipahami.
Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka
Anda akan dapat lebih cepat memahami data itu. Diagram adalah
gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal dari
tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih
memiliki kelemahan, yaitu pada umumnya diagram tidak dapat
memberikan gambaran yang lebih detail.
a. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit
(data cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik
dalam bentuk batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang
cartesius. Ada dua jenis diagram batang, yaitu
1) diagram batang vertikal, dan
2) diagram batang horizontal.
b. Diagram Garis
Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau
pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis.
Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan data tentang m
keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu). Misalnya,
jumlah penduduk setiap tahun, perkembangan berat badan bayi setiap
bulan, dan suhu badan pasien setiap jam.Seperti halnya diagram batang,
diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan
sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu
mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat
Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah
yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut.
1) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu
mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data
pengamatan.
2) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada
waktu t.
3) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titiktitik
koordinat tersebut dengan garis lurus.
c. Diagram Lingkaran
Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan,
suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran.
Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk
lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring lingkaran.
Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut.
1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk
menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat.
3. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Kumulatif,
Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive
a. Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel
distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun
dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel
distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus
"Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak
kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan.
• Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan
menggunakan rumus:
• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus
merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar
adalah batas atas interval kelas terakhir. • Langkah ke-5 memasukkan
data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi
setiap kelas dengan sistem turus. • Menuliskan turus-turus
dalambilangan yang bersesuaian dengan banyak turus.
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi
bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah
dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak
data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah
20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas
ini adalah
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang
dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Ada dua macam
frekuensi kumulatif, yaitu
1) frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap
tepi atas kelas)
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi
bawah kelas).
c. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya
seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk
pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi
kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah
kelas yang dapat ditulis sebagai berikut.
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah
setiap puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar
poligon "tertutup" maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas
paling atas, masing-masing ditambah satu kelas.
d. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau
frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk
populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang
menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus,
yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.
simpangan, dan ragam
1. Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.
a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal
b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi
Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian xi = data ke-i
2. Rumus Modus
a. Data yang belum dikelompokkan
Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan
Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:
Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya 3. Rumus Median (Nilai Tengah)
a) Data yang belum dikelompokkan
Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.
Dengan : Qj = Kuartil ke-j j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data
4. Rumus Jangkauan ( J )
Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.
5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)
6. Rumus Simpangan baku ( S )
7. Rumus Simpangan rata – rata (SR)
Uji Kompetensi 1
A.pilihlah jawaban yang tepat
1.Suatu data dimasukkan ke dalam kelas interval 2,3- 3,1.Tepi atas kelas interval tersebut………..
a. 2,25 b. 2,3 c. 2,35 d.3,05 e. 3,15
2.Titik tengah kelas interval 6.5-7.2 adalah……… a. 6,45
b. 6,65 c. 6,8 d. 6,85 e. 7,25
3.Diagram lingkaran berikut menunjukkan mata pelajaran yang disukai di kelas XA yang berjumlah 36 siswa.
Symbol yang digunakan adalah M untuk matematika(900),F untuk fisika(200),B
untuk biologi(…),K untuk kimia(800),I untuk bahasa Indonesia(1000).Banyak
siswa yang menyukai mata pelajaran biologi ………oreang a. 6
b. 7 c. 9 d. 11 e. 12
MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn
Bab 6 : Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
Barisan Aritmatika
(1) 3, 7, 11, 15, 19, ... (2) 30, 25, 20, 15, 10,...
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U1, U2, U3,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan
aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l). 3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka U1 = 3 =+ 4 (0)
U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1) U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2) ....
Un = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
Un = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
U1, U2, U3, ...Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n
Deret Aritmatika
Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, ... barisan aritmetika. U1, U2, U3, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :
Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah
jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah
Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan
rumus
SOAL LATIHAN
1. Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!
Penyelesaian : *) y – x = 36 → y = 36 + x → 5x = 36 + x *) y= 5x 4x = 36→ x = 9 → y = 45 U5 = 9 → a + 4b = 9 U2 = 45 → a + b = 45 - 3b = -36 b = – 12 U10 = a + 9b a = 57 = 57 – 108 = – 51
2. Misalkan a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah
75. Jika a2 = 8 maka tentukan a6 !
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 75 a2 = 8 a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75 a + b = 8 6a + 15b = 75 a = 8 – b 2a + 5b = 25 2(8 – b) + 5b = 25 16 + 3b = 25 → b = 3 → a = 5 → a6 = a + 5b = 5 + 15 = 20 3. 1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ? = 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197 = 1–3+ 12 –9+ 24 – 15+ 36 – 21+….. – 189 + 384 – 195 + 197 = 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195 = 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195) = 198 + 6336 – 3267 = 3267
4. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut : kelompok 1 : {1}, kelompok 2 : {3,5}, kelompok 3 : {7,9,11}, kelompok 4 : {13,15,17,19}, … dst
maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ? kelompok 1 : {1} = 12 – 0 kelompok 2 : {3,5} = 22 – 1 kelompok 3 : {7,9,11} = 32 – 2 kelompok 4 : {13,15,17,19} = 42 – 3 . . Kelompok 100 : = 1002 – 99 = 10.000 – 99 = 9.901
5. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !
Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16 (a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)
a2 = (a + 9)(a – 6)
a2 = a2 + 3a – 54
3a = 54 → a = 18
Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54
6. Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama ! S10 = 5(2a + 9b) U11 + U12 = 2 2a + 9b = – 22 – 110 = 5(2a + 9b) a + 10b + a+ 11b =2 2a + 21b = 2 - – 22 = 2a + 9b 2a + 21b = 2 12b = 24 b =2 → a = – 20 sehingga a + a + b = – 40 + 2 = – 38
7. Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai c ?
a.ar.ar2.ar3.ar4 = 45 karena c merupakan suku
ke-3 maka
a5.r10 = 45 c = ar2 = 4
(ar2)5 = 45
ar2 = 4
8. Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x + y !
y : x = x : 3 18 – y = y – x x2 = 3y 2y = 18 + x → y = (18 + x)/2 x2 = 3(18 + x)/2 2x2 = 3(18 + x) sehingga : x + y = 6 + 12 = 18 2x2 – 3x – 54 =0 (2x + 9)(x – 6) = 0 x = 6 → y = 12
9. Diketahui p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah dari ketiga akar adalah 12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut !
r – q = q – p r = 3p p + q + r = 12 2q = p + r p + 2p + 3p = 12 2q = p + 3p 6p = 12 2q = 4p p = 2→ q = 4 → r = 6 q = 2p
sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0
10. Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku – suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Hitung jumlah dari bilangan yang disisipkan !
2S4 = 3(U2 +U4) 2 a(r4 - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar3) 2a(r4 – 1) = 3ar(1 + r2)(r – 1) 2(r2 + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r2 +1)(r – 1) x = a + 2b = 2 + 4 = 6 2r + 2 = 3r y = a + 4b = 2 + 8 = 10 r = 2 z = a + 5b = 2 + 10 = 12 U1 U2 x U3 y z w U4 w =a+ 6b = 2 + 12 =14 + a 2a 4a 8a x + y + z + w = 42 b =2a – a 2 = a
MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn
Bab 2 : Luas dan volume
Di sekitar kita banyak dijumpai benda-benda yang merupakan refleksi dari bangun ruang sisi lengkung. Bahkan benda-benda tersebut sering kita gunakan baik sebagai peralatan maupun permainan. Sebut saja bola, kelereng, kaleng minuman, bedug, terompet, dan corong. Jika demikian, benda-benda tersebut tidak asing lagi bagi kita. Benda-benda tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang yang berupa bola, tabung, dan kerucut. Akan lebih menyenangkan jika kita dapat mengetahui berapa banyak benda-benda tersebut menampung udara, air, serta berapa panjang dan luas kulit bola atau kaleng tersebut. Untuk itu kita akan pelajari lebih lanjut dalam bab Bangun Ruang Sisi Lengkung. Setelah
mempelajari bab ini diharapkan kalian dapat mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut, dan bola serta menghitung luas selimut dan volume bangun tersebut. Yang tak kalah penting adalah kalian dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan bangun ruang tersebut.
Perhatikan gambar di samping. Bentuk apakah yang dimanfaatkan alat musik tersebut. Mengapa drum selalu berbentuk tabung?
1. Unsur-unsur Tabung dan Melukis Jaring-jaring Tabung
Sebelum kita mempelajari lebih lanjut mengenai tabung, coba sebutkan benda-benda di sekitar kalian yang berbentuk tabung. Berikut ini akan kita pelajari berbagai hal tentang tabung.
a. Unsur-unsur Tabung
Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuah tabung? Agar dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.
Dari kegiatan tersebut kita akan dapat mengetahui unsur-unsur tabung. Salin dan isikan unsur-unsur itu pada tempat yang tersedia.
a. Tinggi tabung ....
b. Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung .... c. Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung ....
d. Alas dan atap tabung berupa bidang datar yang berbentuk .... e. Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibuka dan dilembarkan berbentuk ....
b. Jaring-jaring Tabung
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu: a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder, b. satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.
Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung. Coba kalian gambarkan jaring-jaring dari kaleng tersebut. Apakah kalian mendapatkan jaring-jaring tabung seperti gambar berikut?
Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.
Jaring-jaring tabung terdiri atas:
a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi
tabung t.
b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Tabung
Sebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika kalian ingin membuat tabung dari kertas yang ukurannya tepat sama dengan ukuran benda tersebut, berapakah luas kertas yang kalian perlukan? Untuk menjawabnya, pelajari uraian materi berikut.
a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring tabung sekali lagi.
Sehingga kita dapatkan rumus:
b. Volume Tabung
Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga. Artinya, jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk sebuah tabung dimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.
B. Kerucut
1. Unsur-unsur Kerucut dan Melukis Jaring-jaring Kerucut
Perhatikan gambar di samping. Pernahkan kalian melihat bangunan ini? Jika kita cermati bentuknya, bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang dengan sisi lengkung yaitu kerucut.
a. Unsur-unsur Kerucut
Untuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kita ilustrasikan seperti pada gambar 2.5 berikut.
Dengan mengamati gambar tersebut, kita dapat mengetahui unsur-unsur kerucut
dengan melengkapi pernyataan berikut.
1) Tinggi kerucut = ….
2) Jari-jari alas kerucut = ….
3) Diameter alas kerucut = ….
4) Apotema atau garis pelukis = ….
b. Jaring-jaring Kerucut
Berdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.6(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut t, apotema atau garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua buah bidang datar yang ditunjukkan gambar 2.6 (b) yaitu: a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang
busur 2πr,
b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut
Dapatkah kalian menghitung luas bahan yang diperlukan untuk membuat kerucut dengan ukuran tertentu? Perhatikan uraian berikut.
a. Luas Selimut Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.
Jadi luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.
Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA1 maka kita dapatkan:
Sedangkan luas permukaan kerucut
= luas selimut + luas alas kerucut
= πrs + πr2
= πr (s + r)
dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut s = garis pelukis (apotema)
b. Volume Kerucut
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.
Hubungan antara r, t dan apotema (s) adalah s2 = r2 + t2
Berkas:Bangun Ruang SS Lengkung 19.jpg
1) Luas selimut Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t1, jari-jari r, dan
apotema s1. Sedangkan kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan
apotema s2. Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimut kerucut besar
C. Bola
Perhatikan gambar di samping. Mengapa dalam olahraga bowling, benda yang dilemparkan berbentuk bola? Apakah kelebihannya sehingga benda-benda berbentuk bola digunakan dalam olahraga sepak bola, bola voli, bowling, dan billiard? Agar dapat lebih mengenal bangun bola, pelajarilah materi berikut ini. 1. Unsur-unsur Bola
Perhatikan gambar berikut.
Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Bola
Ternyata dari kegiatan di atas kita dapat merumuskan luas selimut atau permukaan (sisi) bola. Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:
D. Hubungan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
dengan Jari-jari
Pada rumus mencari volume bangun ruang sisi lengkung, semua tergantung pada unsur-unsur bangun tersebut, misalnya jari-jari dan tinggi bangun tersebut. 1. Perbandingan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari
a. Perbandingan Volume Tabung
Apabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama, tetapi jari-jari berbeda, maka perbandingan kedua volume tabung sama dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
b. Perbandingan Volume pada Kerucut
Apabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapi jari-jari alasnya berbeda, maka perbandingan volume kedua kerucut dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.
c. Perbandingan Volume pada Bola
Apabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda, maka perbandingan volumenya sama dengan perbandingan di pangkat tiga dan masing-masing jari-jarinya.
2. Selisih Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari
a. Selisih Volume pada Tabung
Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga
b. Selisih Volume pada Kerucut Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r1 dan tinggi t diperbesar sehingga
jari-jari lingkaran alas menjadi r2 dengan r2 > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:
Jadi selisih volumenya:
dengan r1 = jari- jari awal r2 = jari-jari setelah diperbesar Bagaimana jika jari-jari
c. Selisih Volume pada Bola Sebuah bola dengan jari-jari r1 diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r2 dengan
r2 > r1. Berlaku:
Jadi selisih volumenya:
dengan r1 = jari-jari awal, r2 = jari-jari setelah diperbesar
Bagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r2 = r1 + k, sehingga:
