4. Sebaran Peluang Kontinyu

4. Sebaran Peluang Kontinyu

EL2002-Probabilitas dan Statistik

Isi

1. Sebaran normal/Gauss

2. Luas daerah di bawah kurva normal

3. Hampiran normal untuk sebaran binomial

4. Sebaran Gamma, Eksponensial, dan

Chi-kuadrat

Pendahuluan

• Sebaran normal adalah sebaran paling

penting dalam Statistika.

• 1733, DeMoivre mengembangkan ekspresi

matematika untuk kurva normal.

• Gauss (1777-1855) menurunkan persamaan

normal ketika mempelajari kesalahan dari

eksperimen berulang.

• Sebaran normal n(x; μ, σ) dari peubah acak

Konsep

• SEBARAN NORMAL. Fungsi kerapatan (peluang) dari peubah acak normal X, dengan mean μ dan variansi σ2_{, adalah}

dimana π=3.14159 … dan e=2.71828 …

( ) 2 2 1 2 1 , ; ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = σ μ σ π σ μ x e x n %---%Fig.4.1: Gaussian Curve n(x,mu,sigma) % mean=0.0 and sigma=1

%---mu=0.0;sigma=1.0 x=-10:0.1:10; g=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu).^2/sigma^2); figure(1); plot(x,g); %---%Fig.4.2: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma) % with mu1=-2.0, mu2=2.0 and sigma=1 %---mu1=-2;mu2=4;sigma=1.0 x=-10:0.1:10; g1=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu1).^2/sigma^2); g2=(1/sqrt(2*pi)/sigma)*exp(-0.5*(x-mu2).^2/sigma^2); figure(1); plot(x,g1,'r-',x,g2,'b:'); -1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 μ 1 μ₂ σ 1 σ2= σ1 -1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 μ σ

Kurva normal dng berbagai

μ dan σ

%---%Fig.4.3: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma) % with mu1=mu2=0.0 and sigma1<sigma2 %---mu1=0.0;mu2=0.0;sigma1=1.0;sigma2=3 x=-10:0.1:10; g1=(1/sqrt(2*pi)/sigma1)*exp(-0.5*(x-mu1).^2/sigma1^2); g2=(1/sqrt(2*pi)/sigma2)*exp(-0.5*(x-mu2).^2/sigma2^2); figure(1); plot(x,g1,'r-',x,g2,'b:'); %---%Fig.4.3: Two Gaussian Curves n(x,mu,sigma) % with mu1<mu2 and sigma1 < sigma2

%---mu1=-4.0;mu2=2.0;sigma1=1.0;sigma2=3 x=-10:0.1:10; g1=(1/sqrt(2*pi)/sigma1)*exp(-0.5*(x-mu1).^2/sigma1^2); g2=(1/sqrt(2*pi)/sigma2)*exp(-0.5*(x-mu2).^2/sigma2^2); figure(1); plot(x,g1,'r-',x,g2,'b:'); -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 σ 1 μ 2= μ1 σ 2>σ1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 σ 1 σ 2>σ1 μ 2> μ1 μ 1

Sifat-sifat kurva normal

1. Modus, yaitu titik dalam sumbu mendatar dimana

kurva mencapai maksimum adalah x = μ

2. Kurva simetrik terhadap mean μ

3. Kurva memiliki titik infleksi pada x = μ±σ, yaitu

telungkup (concave) kebawah saat

μ-σ<X<μ+σ,

dan telungkup keatas didaerah lainnya.

4. Semakin jauh dari mean μ, kurva mendekati

sumbu mendatar secara asimptotis.

5. Luas daerah dibawah kurva (diatas sumbu

mendatar) sama dengan 1.

Bukti

μ adalah mean

• Integral pertama adalah μ dikalikan dng luas daerah dibawah kurva normal (=1), dng demikian hasilnya adalah μ

• Integral kedua adalah integral terhadap fungsi ganjil, hasilnya akan sama dengan nol.

• Dengan demikian: E(X) = μ

( )

X xe dx E x

∫

∞ ∞ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = 2 2 1 2 1 _σμ σ π

Dng membuat z=(x-μ)/σ dan dx = σ dz, maka akan kita peroleh

( ) ( )

∫

∫

∫

∞ ∞ − − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − + = + = dz ze dz e dz e z X E z z z 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 π σ π μ σ μ σ π

Bukti

σ

2

adalah variansi

• Integrasi perbagian dng u=z dan dv= z exp(-z2/2), sehingga du=dz dan v=-exp(-z2/2) , diperoleh

(

)

[

X

]

(

x

)

e dx E x

∫

∞ ∞ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − = − 2 2 1 2 2 2 1 _{μ σ}μ σ π μ

Dng membuat z=(x-μ)/σ => (x-μ)2_=z2σ2 dan dx = σ dz, maka

( )

[

]

∞

_∫

∞ − − = − z e dz X E z 2 2 2 2 2 2π σ μ

(

)

[

]

(

)

2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 σ σ π σ μ = + = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − ∞

∫

∞ − − ∞ ∞ − − dz e ze X E z z

Luas daerah di bawah

kurva normal

Integrasi fs sebaran dan Nilai Peluang

• Setiap kurva dari sebaran peluang kontinyu atau fungsi kerapatan dibuat

sedemikian hingga daerah dibawah kurva yang dibatasi dua ordinatnya, x=x₁ dan x=x₂, sama dengan nilai peluang dari peubah acak X antara x=x₁ dan x=x₂. Dng demikian, untuk gambar 4.5 dibawah:

(

x

X

x

)

n

(

x

)

dx

e

dx

P

x x x x x

∫

∫

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

=

=

<

<

2 1 2 2 1 2 1 2 1

2

1

,

;

σ μ

σ

π

σ

μ

μ x₁ x₂ x

Luas ditentukan oleh

μ dan σ

2

• Gambar 4.6 menunjukkan, untuk selang x₁ dan x₂ yang sama, luas daerah dibawah kurva bisa berlainan. Nilainya bergantung juga pada μ dan σ2_.

μ₁ x₁ x₂

x μ₂

Transformasi peubah acak

• Untuk beberapa keperluan, perlu dilakukan tabulasi nilai peluang sebaran normal dalam selang tertentu. Ini tidak mungkin dilakukan untuk semua kombinasi μ dan σ2_.

• Untunglah kita bisa melakukan transformasi sebarang observasi normal ke sebaran baku yang memiliki mean nol dan variansi satul.

• Tranformasi yang dipakai: Z=(X-μ)/σ

• Jika X memiliki nilai batas x₁ dan x₂, maka luas daerah antar batas tsb akan sama dengan luas dibawah kurva normal baku yang memiliki batas z₁=(x₁-μ)/σ dan z₂=(x₂-μ)/σ. Akibatnya:

(

)

(

)

(

1 2

)

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 , 0 ; 2 1 2 1 z Z z P dz z n dz e dx e x X x P z z z z z x x x < < = = = = < <

∫

∫

∫

⎟⎠ − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − π σ π σ μ

Sebaran Normal Baku

• Def. 4.1. Sebaran dari peubah acak normal dengan

mean nol dan variansi 1 disebut sebagai sebaran

normal baku

μ x₁ x₂ x 0 z₁ z₂ z Z = (X- μ)/σ σ σ=1

• Dalam buku teks, sebaran normal baku diberikan

pada Tabel IV di lampiran.

∫z

Contoh 4.1

• Soal: Diberikan suatu sebaran normal dengan μ=50 dan σ=10, tentukan peluang X bernilai antara 45 dan 62

• Jawab: nilai z yang terkait dengan x₁=45 dan x₂= 62 adalah z₁ = (45-50)/10 = -0.5

z₂ = (62-50)/10 = 1.2 Dengan demikian

P(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2) Dari Tabel IV, kita peroleh

P(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2) = P(Z<1.2) - P(Z<-0.5) = 0.8849 – 0.3085 =0.5764 -0.5 1.2 z

Sebaran normal baku dan T. Chebysev

• T. Chebysev mengatakan bahwa peluang suatu peubah acak berada dalam 2 simpangan baku, sedikitnya ¾. Untuk sebaran normal baku, z untuk x₁=μ-2σ dan

x₂=μ+2σ dapat dihitung sbb z₁ = [(μ-2σ)-μ]/σ = -2, dan z₂ = [(μ+2σ)-μ]/σ = 2, dan Dengan demikian, P(μ-2σ<X< μ+2σ) = P(-2<Z<2) = P(Z<2) – P(Z<-2) =0.9772 – 0.0228 (Tabel IV) = 0.9544

• Hasil ini jauh lebih “kuat” daripada yang diberikan oleh Teorema Chebysev.

Contoh 4.2

• Soal: Sejenis batere tertentu rata-rata akan habis listriknya

dalam 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5 tahun. Jika waktu hidup batere tersebar normal, tentukan peluang bahwa suatu batere tertentu akan habis listriknya dalam 2.3 tahun!

• Jawab: Peluang yang dimaksud dilukiskan pada gambar 4.9. Untuk menentukan P(X<2.3), kita perlu menghitung luas

dibawah kurva normal dari -∞ dampai 2.3. Transformasi ke kurva normal baku memberikan z=(2.3-3)/0.5 = -1.4.

Berdasarkan Tabel IV diperoleh P(X<2.3) = P(Z<-1.4)

= 0.0808

2.3 ₃

Contoh 4.3

• Soal: Sebuah pabrik memproduksi bola lampu yng memiliki waktu hidup tersebar normal dengan mean 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Tentukan peluang suatu bola lampu produksi pabrik tsb terletak antara 778 dan 834 jam.

• Jawab: Sebaran spt dilukiskan pada Gb.4.10. nilai z untuk x₁=778 dan x₂=834 adalah z₁ = (778-800)/40 = -0.55 z₂ = (834-800)/40 = 0.85 Dengan demikian P(778<X<834) = P(-0.55<Z<0.85) = P(Z<0.85) – P(Z<-0.55) = 0.8023 – 0.2912 = 0.511 778 800 834 σ=40 x

Contoh 4.4

• Soal: Suatu jenis komponen akan direject jika berada diluar persyaratan 1.50±d. Hasil pengukuran tersebar normal dengan mean 1.50 dan simpangan baku 0.2. Tentukan nilai d sehingga spesifikasi ini meliput 95% pengukuran.

• Jawab: Dalam soal ini akan ditentukan nilai z sehingga prosentase terpenuhi, lalu kembalikan menjadi x dengan rumus x=σz+μ. Dari Tabel IV diperolah

0.95 = P(-1.96 <Z<1.96)) Jadi: 1.50 +d = (0.2)(1.96)+1.50 atau: d = (0.2)(1.96) = 0.392 1.108 1.50 σ=0.2 1.892 0.025 0.025

Contoh 4.5

• Soal: Suatu mesin pembuat resistor dengan sebaran normal. Mean dari resistor 40 ohm dan simpangan bakunya 2 ohm. Akurasi bisa berapapun, tentukan prosentase resistor yang melebihi 43 ohm

• Jawab: Prosentasi ditentukan dengan mengalikan frekuensi dengan 100%. Kita akan menghitung nilai peluang

disebelah kanan 43 pd gambar 4.12. Ini bisa dilihat pada Tabel IV setelah dihitung z-nya, yaitu

z = (43-40)/2 = 1.5 Dengan demikian

P(X>43) = P(Z>1.5) = 1-P(Z<1.5) = 1-0.9332

= 0.0668

Jadi, ada 6.68% resistor yang nilainya diatas 43 Ohm

40

σ=2.0

Contoh 4.6

• Soal: Tentukan prosentase dari resistor spt pada soal sebelumnya yang melebihi 43 ohm jika resistansi diukur pada nilai ohm terdekat.

• Jawab: Soal ini sedikit berbeda dari sebelumnya, nilai 43 ohm di-assign untuk semua resistor yng terletak dalam selang 42.5 – 43.5. Jadi, kita menghitung nilai aproksimasi sebaran diskrit deng sebaran normal yang kontinyu. Dari gambar 4.13 dpt dihitung

z = (43.5 - 40)/2 =1.75

jadi P(X>43.5) = P(Z>1.75) = 1 – P(Z<1.75) = 1 – 0.9599

= 0.0401

Jadi ada 4.01% resistor yang melebihi 43 ohm diukur dng ohm terdekat.

Perbedaan sebesar 6.68%-4.01% = 2.67% dng jawab sebelumnya adalah kontribusi resistor yang lebih dari 43 tapi kurang dari 43.5 (tercatat sbg 43 ohm).

40

σ=2.0

4.3 Hampiran sebaran binomial

dengan sebaran normal

Hampiran sebaran

• Nilai b(x;n,p) telah ditabulasi untuk n kecil. Jika

tdk ada di tabel, kita harus menghitung sendiri. Ini

bisa dilakukan secara hampiran.

• Sebelumnya telah dijelaskan bahwa sebaran

Poisson dapat dipakai sebagai hampiran sebaran

binomial jika n besar dan p mendekati 1.

Kedua-duanya sebaran diskrit.

• Akan diperlihatkan bahwa sebaran normal dapat

menjadi hampiran yang cukup teliti untuk sebaran

binomial, jika n besar dan p mendekati ½.

Teorema

• Teorema 4.1 Jika X suatu peubah acak binomial

dengan mean μ=np dan variansi σ

2

_{=npq, maka}

batas dari sebaran

ketika n→∞ adalah sebaran normal n(z;0,1)

npq np X

Contoh

• Tinjau sebaran binomial b(x;15,0.4).

• Untuk x=4, kita dapatkan b(4;15,0.4)=0.1268

• Nilai tsb didekati dng kurva dibawah kurva normal dng batas antara x1=3.5 sampai dengan x2=4.5

⇒ z1=(3.5-6)/1.9 = -1.316 z2=(4.5-6)/1.9 = -0.789

Jika X peubah acak binomial dan Z peubah acak normal, maka P(X=4) = b(4;5, 0.4) ~ P(-1.316<Z<-0.789) = P(Z<-0.789) – P(Z<-1.316) = 0.2151 – 0.0941 = 0.1210

Contoh …

• Pendekatan ini sangat berguna untuk menghitung jumlah binomial untuk n besar. Andaikan kita akan menghitung peluang X bernilai antara 7 dan 9 (inklusif) dari soal sebelumnya, maka

P(7≤ X ≤9) = ∑9 7 b(x;15,0.4) = ∑9 0 b(x;15,0.4) - ∑60 b(x;15,0.4) = 0.9662 – 0.6098 = 0.03564

• Dengan pendekatan normal, kita akan hitung luas daerah dibawah

kurva normal dengan batas antara x1=6.5 sampai dengan x2=9.5. Nilai z1, z2 ybs adalah z1 = (6.5-6)/1.9 = 0.263; z2= (9.5-6)/1.9 =1.842 P(7≤ X ≤9) ~ P(0.263≤ Z ≤1.842) = P(Z<1.842) – P(Z<0.263) = 0.9673 – 0.6037 = 0.3636

Latihan

• No: 2, 3

• No: 15, 16

4.4 Sebaran Gamma,

Fungsi Gamma

• Teorema 4.2 Fungsi gamma didefinisikan sebagai dimana α >0.

( )

₌

_∫

∞ − − Γ 0 1 dx e xα x α

substitusi dengan u=xα-1 dan dv=e-xdx, kemudian integrasi parsial, akan menghasilkan

Γ(α) = -e-xxα-1|₀∞ + ∫₀∞e-x(α-1)xα-2 dx = (α-1) ∫₀∞_e-x_xα-2 _dx

Kita peroleh rumus rekursi

Γ(α) = (α-1)Γ(α-1) = (α-1) (α-2)Γ(α-2) = … dst. Untuk α=n bulat positif, maka: Γ(n) = (n-1)(n-2) … Γ(1). Perdefinisi Γ(1) = ∫₀∞e-xdx =1. Dengan demikian, maka

Γ(n) = (n-1)!

Sebaran Gamma

• SEBARAN GAMMA. Peubah acak kontinyu X memiliki sebaran

gamma dengan parameter α dan β, jika fungsi kerapatannya diberikan oleh dimana α>0 dan β>0. ( ) _{( )} lainnya x e x x f x , 0 0 , 1 ₁ = > Γ = α− −β α _α β

• Grafik sebaran gamma. Jika α=1, sebaran menjadi eksponensial.

f(x) 1 2 3 4 5 6 7 0.5 1 x α=1, β=1 α=2, β=1 α=4, β=1

Sebaran eksponensial

• SEBARAN EKSPONENSIAL. Peubah acak kontinyu X

akan memiliki sebaran eksponensial dengan parameter

β

jika fungsi kerapatannya diberikan oleh

dimana

β

>0.

( )

lainnya x e x f x , 0 0 , 1 = > = −β

β

• Sebaran eksponensial memiliki banyak aplikasi dalam

statistik, khususnya menyangkut teori keandalan (reliability) dan teori antrian ( queueing theory).

Contoh 4.10

• Soal: Suatu sistem mengandung komponen tertentu yang waktu kegagalannya (dalam tahun) diberikan oleh peubah acak T yang memiliki sebaran eksponensial dengan parameter β=5. Jika 5 dari komponen ini dipasang pada berbagai sistem, berapa

peluang 2 diantaranya tetap berfungsi setelah 8 tahun?

• Jawab: Peluang suatu komponen tetap berfungsi setelah 8 tahun diberikan oleh

P(T>8) = (1/5)∫₈∞ _e-t/5 _dt

= e-8/5 ~0.2

Andaikan X menyatakan jumlah komponen yang masih berfungsi stlh 8 tahun. Maka dengan sebaran binomial

P(X ≥2) = ∑₂5 _{b(x;5,0.2) = 1-} ∑

01 b(x;5,0.2)

Sebaran Chi-kuadrat

• Kasus khusus kedua untuk sebaran gamma diperoleh ketika α=v/2, dan β=2. Sebaran yang dihasilkan disebut sebaran

chi-kuadrat dengan derajat bebas v.

• SEBARAN CHI-KUADRAT. Peubah acak kontinyu X

memiliki sebaran peluang chi-kuadrat, dengan derajat bebas v, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh

dimana v bilangan bulat positif.

( )

lainnya x e x v x f x v v , 0 0 , 2 2 1 1 ₂ 2 2 = > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = − −

• Sebaran Chi-kuadrat adalah salah satu perangkat penting dalam bidang pengujian hipotesis.

Mean dan variansi

• TEOREMA 4.2 Mean dan variansi dari sebaran

gamma adalah

μ = αβ

dan

σ

2

= αβ

2

• COROLLARY 1. Mean dan variansi dari sebaran

eksponensial adalah

μ=β dan σ

2

=β

2

• COROLLARY 2. Mean dan variansi dari sebaran

chi-kuadrat adalah

Pengantar

• Teknologi modern memungkinkan dibuatnya

sistem/perangkat yang operasi maupun keselamatannya tergantung dari berbagai komponen.

• Contoh: sekering dpt terbakar, kolom beton dapat roboh, atau pengindera panas dapat gagal.

• Komponen yang sama dalam pengaruh lingkungan sama dapat mengalami kegagalan dlm waktu berbeda dan tak teramalkan.

• Waktu kegagalan atau waktu hidup komponen diukur dari saat mula tertentu sampai gagal dinyatakan dengan peubah acak T dan fungsi rapat peluang f(T). Salah satu yang

terpenting dalam permasalahan keandalan adalah sebaran

Sebaran Weibull

• SEBARAN WEIBULL. Peubah acak kontinyu T disebut memiliki sebaran Weibull dengan parameter α dan β, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh

dimana α>0 dan β>0.

( )

lainnya t e t t f t , 0 0 , 1 = > =_αβ β− −α β f(t) 0.5 1.0 1.5 t β=1 β=2 β=3 Sebaran Weibull (α=1)

Mean dan variansi

• Terlihat kurva berbeda-beda untuk parameter yang

berlainan, khususnya

β. Jika β=1, sebaran Weibull

menjadi sebaran eksponensial.

• Untuk

β>1, kurva mendekati bentuk lonceng dan

mirip kurva normal, tapi punya skewness.

• TEOREMA 4.3 Mean dan variansi dari sebaran

Weibull adalah:

μ = α

-1/β

_Γ(1+1/β)

Aplikasi

• Untuk menerapkan sebaran Weibull dalam teori keandalan, definisikan keandalan dari produk sebagai peluang bahwa

produk ini berfungsi secara benar untuk sedikitnya dalam waktu tertentu dalam kondisi percobaan tertentu pula.

• Jadi, jika R(t) keandalan komponen pada saat t, maka R(t) = P(T>t) = ∫₁∞ f(t) dt

= 1-F(t)

dimana F(t) adalah sebaran kumulatif dari T.

• Peluang bersyarat bahwa suatu komponen akan gagal dalam selang T=t sampai T= t + Δt, diberikan komponen ini tahan sampai t, adalah

Lanjutan …

• Laju kegagalan adalah

( )

(

) ( )

_{( )}

_{( )}

( )

_{( )}

( )

( )

( )

t F t f t R t f t R t F t R t t F t t F t Z t − = = = Δ − Δ + = → Δ 1 ' 1 lim 0

• Karena R(t) = 1-F(t) dan R’(t) = -F’(t), kita dapat menuliskan persamaan diferensial berikut

Z(t) = -R’(t)/R(t) = -d[ln R(t)]/dt dan kemudian dengan memecahkan

ln[R(t)] = - ∫Z(t) dt , atau R(t) = exp(-∫Z(t)dt) + c

dimana c menyatakan asumsi awal R(0) =1 atau F(0) = 1-R(0) =0. • Terlihat bahwa pengetahuan fungsi kerapatan f(t) atau laju

Contoh 4.11

• Soal: Tunjukkan bahwa fungsi laju kegagalan diberikan oleh Z(t) = αβtβ-1 _{, t>0}

jika dan hanya jika sebaran waktu ke kegagalan adalah sebaran Weibull dengan fungsi kerapatan

f(t) = αβtβ-1 _exp(-αtβ_{), t>0}

• Jawab: asumsikan bahwa Z(t) = αβtβ-1_{, t>0. Maka kita dapat}

menuliskan

f(t) = Z(t) R(t), dimana

R(t) = exp(-∫Z(t)dt) = exp(-∫αβtβ-1_{dt) = exp(αt}β _+c)

dari kondisi R(0) = 1, kita temukan c=0. Maka R(t) = exp(-αtβ_{) dan}

Lanjutan …

• Dengan mengasumsikan

f(t) = αβtβ-1 _exp(-αtβ_{), t>0}

maka Z(t) ditentukan dengan menuliskan Z(t) = f(t)/R(t) dimana R(t) = 1-F(t) = 1-∫₀t αβxβ-1 exp(-αxβ_)dx, = 1+∫₀t d(exp(-αxβ₎₎ = exp (-αtβ₎ Maka Z(t) = αβtβ-1 exp(-αtβ)/exp(-αtβ) = αβtβ-1 _{, t>0}

• Dlm contoh ini, laju kegagalan menurun thd waktu jika β<1, meningkat jika β>1, dan konstan jika β=1.

• Dari sudut pandang β=1 sebaran Weibull menjadi eksponensial, asumsi kegagalan konstan sering diacu sebagai asumsi eksponensial.