Definisi 22 Peubah Acak Kontinu
Peubah acak Xdikatakan kontinu jika fungsi sebaran FX
( )
x =P X(
≤x)
dapatdinyatakan sebagai
( )
x( )
X X F x f u du −∞ =∫
,x∈R, dengan f :→0,∞
)
adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X.[Grimmett dan Stirzaker 1992]
Nilai Harapan
Definisi 23 Nilai Harapan
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pX
( )
x ,maka nilai harapan dari X , dinotasikan dengan E X
( )
, adalah( )
X( )
x
E X =
∑
x p x ,jika jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika X adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang
( )
X
f x , maka nilai harapan dari X
adalahE X
( )
x fX( )
x dx∞ −∞
=
∫
, jika integral di atas konvergen mutlak.[Hogg et al 2005]
Definisi 24 Momen
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pX
( )
x ,maka momen ke-k dari X, didefinisikan sebagai
( )
k k( )
X x
E X =
∑
x p x ,jika jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
( )
X
f x , maka momen ke-k dari X, didefinisikan sebagai
( )
k k( )
X E X x f x dx ∞ −∞ =∫
,jika integral di atas konvergen mutlak. [Hogg et al 2005] Momen pertama dari peubah acak Xdisebut nilai harapan dari Xyaitu E X( )
.
Definisi 25 Fungsi Pembangkit Momen Fungsi pembangkit momen dari peubah acak
Xdidefinisikan sebagai,
( )
( )
tX tx( )
X X M t E e e f x dx ∞ −∞ = =∫
,untuk t∈R, jika nilai harapan di atas ada. [Hogg et al 2005] Teorema 26 Deret Taylor
Suatu fungsi f disebut memiliki bentuk deret Taylor di a, jika
( )
0 ( ) ( ) ! n n n f a f x x a n ∞ = =∑
− 2 '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) ... 1! 2! f a f a f a x a x a = + − + − + [Stewart 1999]METODE PENGUKURAN FERTILITAS
1. Metode Rele
Metode Rele merupakan salah satu metode pengukuran fertilitas tak langsung untuk menduga Gross Reproduction Rate (GRR) berdasarkan pada konsep penduduk stabil. Nilai GRR dihitung menggunakan nilai Child Women Ratio (CWR) dan nilai angka harapan hidup ( )e0 . Pada model penduduk
stabil diasumsikan bahwa tingkat fertilitas penduduk adalah tetap (Rele, 1967).
1.1 Model Penduduk Stabil
Misalkan B t( ) menyatakan banyaknya kelahiran hidup pada waktu tdan rb adalah
laju kelahiran bayi untuk interval waktu ∆t, maka banyaknya kelahiran pada waktu t+n
dapat dituliskan: ( ) ( ) b ( ) B t+ ∆ =t B t +r B t∆t ( ) ( ) ( ) b B t t B t r B t t + ∆ − = ∆
0 ( ) ( ) lim ( ) b t B t t B t r B t t ∆ → + ∆ − = ∆ 1 ( ) b dB r B t dt = 1 ( ) ( ) t n t n b t t r dt dB s B s + + =
∫
∫
|t n ln ( )|t n b t t r t+ = B s + ( ) ln ( ) ln ( ) b r t+ − =n t B t+n − B t ( ) ln ( ) b B t n r n B t + = ( ) ( ) b nr B t n e B t + = ( ) ( ) nrb. B t+n =B t e (1) [Brown 1997] Dengan rb≠0 dan n> 0 adalah waktu.Persamaan (1) menunjukkan banyaknya kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi rb.
Misalkan P t( ) merupakan banyaknya penduduk pada waktu t, dan B t( )
merupakan banyaknya kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan (1) maka banyaknya kelahiran pada waktu t−x
adalah:
( ) ( ) r xb ,
B t−x =B t e− (2) dan banyaknya penduduk yang lahir pada waktu t−x(bayi umur nol) sampai umur x pada waktu t adalah B t( −x p x) ( ), dengan
( )
p x adalah peluang bayi hidup sampai umur x. Dengan demikian total penduduk pada waktu tadalah
0 ( ) ( ) ( ) P t B t x p x dx ∞ =
∫
−0 ( ) ( ) B t x p x dx ∞ =
∫
−0 ( ) r xb ( ) B t e p x dx ∞ − =
∫
⋅ (3) Dan total penduduk pada waktu t+nadalah:0 ( ) ( ) r xb ( ) , P t n B t n e p x dx ∞ − + =
∫
+ (4)dari persamaan (1) B t( +n)=B t e( ) nrb
,
makadiperoleh 0 ( ) ( ) nrb r xb ( ) P t n B t e e p x dx ∞ − + =
∫
0 ( ) ( ) b b nr r x e B t e p x dx ∞ − =∫
=P t e( )nrb, (5)persamaan (5) menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk rp merupakan laju
kelahiran bayi rb itu sendiri, sehingga
b p
r =r =rdan B t( +n)=B t e( )nrb.
Misalkan F t dxx( ) menyatakan banyaknya
penduduk umur xsampai x+dxpada waktu
tdan banyaknya penduduk pada waktu t
adalah P t( ), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x+dx pada waktu tadalah
0 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) rx x rx F t dx B t e p x dx P t B t e p x dx − ∞ − =
∫
(6)
karena B t( ) bukan fungsi x maka persamaan (6) menjadi: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) rx x rx F t dx e p x dx P t e p x dx − ∞ − =
∫
(7)
persamaan (7) menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah fungsi dari t, sehingga proporsi penduduk pada umur tersebut tidak berubah. Tingkat kelahiran populasi pada waktu t
dapat dituliskan: 0 ( ) f* ( ) , x B t P ASFR x dx ∞ =
∫
(8) dengan f x
P adalah populasi wanita hidup sampai umur x dan ASFR x( ) adalah angka kelahiran dari wanita berumur x. Banyaknya bayi wanita yang lahir pada waktu t dapat dituliskan:
0 1 * * ( ) 2.05 f x Bf P ASFR x dx ∞ =
∫
( 0.5) 0 0 1 * * * * ( ) 2.05 r x Lx Bf e ASFR x dx l ∞ − + =
∫
(9) dimana 0 ( ) Lx p x l = , dengan membagi Bf diperoleh ( 0.5) 0 0 1 * * * ( ) 1. 2.05 r x Lx e ASFR x dx l ∞ − + =∫
(10)
Jika α dan βadalah batas bawah dan batas atas dari umur wanita reproduktif, sehingga
( ) 0
ASFR x = untuk x<α atau x>β , maka persamaan (8) dan (9) masing-masing dapat dituliskan sebagai berikut:
( ) f* ( ) x B t P ASFR x dx β α =
∫
dan ( 0.5) 0 1 * * * * ( ) , 2.05 r x Lx Bf Bf e ASFR x dx l β α − + =
∫
.dan persamaan (10) menjadi
( 0.5) 0 1 * * * ( ) 1 2.05 r x Lx e ASFR x dx l β α − + =
∫
.Bentuk diskrit dari persamaan (10) dapat dituliskan: 49 ( 0.5) 15 0 1 * * * ( )=1, 2.05 r i i i L e ASFR i l − + =
∑
(11) dengan α=15 dan β=49, 0 ( ) Lx p x l = . 1.2 Hubungan GRR dan CWR
Pendugaan GRR ini dilakukan dengan menentukan hubungan antara peubah takbebas GRR dengan peubah bebas CWR. Berikut notasi yang digunakan
X : CWR.
r
:
laju pertumbuhan penduduk.( )
f
P x
:
peluang penduduk wanita hidup sampai umur x.( )
m
P x
:
peluang penduduk laki-laki hidup sampai umur x.,
c d
:
batas bawah dan batas atas dari selang umur bayi.,
h k
:
batas bawah dan batas atas dari selang umur wanita reproduktif. CWR merupakan perbandingan jumlah sebaran penduduk selang umur c d, tahun (bayi wanita dan bayi laki-laki) terhadap jumlah sebaran penduduk wanita selang umur h k, tahun, sehingga rasio CWR X( )
dapat dituliskan sebagai:
1,05 ( ) ( ) ( ) d d rx m rx f c c k rx f h Be P x dx Be P x dx X Be P x dx − − − + =
∫
∫
∫
1,05 ( ) ( ) ( ) d d rx m rx f c c k rx f h e P x dx e P x dx e P x dx − − − + =∫
∫
∫
1, 05 ( ) ( ) , ( ) d d rv m f c c k ru f h e P x dx P x dx e P x dx − − + =∫
∫
∫
(12) dengan ( ) ( ) k rx f ru h k f h e P x dx e P x dx − − =∫
∫
, 1,05 ( ) ( ) 1,05 ( ) ( ) d d rx m rx f c c rv d d m f c c e P x dx e P x dx e P x dx P x dx − − − + = + ∫
∫
∫
∫
,dengan menggunakan deret Taylor diperoleh
( ) ( ) k f h k f h xP x dx U P x dx =
∫
∫
dan 1,05 ( ) ( ) 1,05 ( ) ( ) d d m f c c d d m f c c xP x dx xP x dx V P x dx P x dx + = +∫
∫
∫
∫
(Lihat Lampiran 1)Udan Vadalah rata-rata umur wanita dan anak, sehingga U−V menyatakan rata-rata panjang satu generasi, yaitu U−V =T+ ∆t
1,05 ( ) ( ) ( ) d d rv m f c c k ru f h e P x dx P x dx X e P x dx − − + =
∫
∫
∫
( ) 1, 05 ( ) ( ) ( ) d d m f c c r U V k f h P x dx P x dx e P x dx − + =∫
∫
∫
Tabel 1 Koefisien adan buntuk berbagai level AHH
CWR Koef Angka Harapan Hidup
20 30 40 50 60 70 C(0-4) a -0.0909 -0.1211 -0.137 -0.1529 -0.1645 -0.1754 W(15-44) b 4.5907 4.1821 3.9298 3.7375 3.5556 3.3878 C(0-4) a 0.0547 0.0284 0.0129 -0.0059 -0.0182 -0.0309 W(15-49) b 4.768 4.3293 4.0617 3.8589 3.6628 3.4829 C(5-9) a -0.1162 -0.1311 -0.1436 -0.1574 -0.1675 -0.1779 W(20-49) b 5.2927 4.4881 4.094 3.8301 3.5967 3.3894 C(5-9) a 0.0245 0.0106 0.0021 -0.011 -0.0226 -0.0345 W(20-54) b 5.4711 4.6398 4.2262 3.948 3.7014 3.4821 1,05 ( ) ( ) 1,05 ( ) ( ) d d m f c c d d m f c c xP x dx xP x dx V P x dx P x dx + = +
∫
∫
∫
∫
(Lihat Lampiran 1)Udan Vadalah rata-rata umur wanita dan anak, sehingga U−V menyatakan rata-rata panjang satu generasi, yaitu U−V =T+ ∆t
1, 05 ( ) ( ) ( ) d d rv m f c c k ru f h e P x dx P x dx X e P x dx − − + =
∫
∫
∫
( ) 1, 05 ( ) ( ) ( ) d d m f c c r U V k f h P x dx P x dx e P x dx − + =∫
∫
∫
( ) 1,05 ( ) ( ) ( ) d d m f c c r T t k f h P x dx P x dx e P x dx +∆ + =∫
∫
∫
0 =K R er t∆, dengan 1, 05 ( ) ( ) , ( ) d d m f c c k f h P x dx P x dx K P x dx + =∫
∫
∫
dan 0 NRR ' GRR R = =K , sehingga ' GRR r t * GRR r t X=K K e∆ = K e∆ ⋅(13) Pengukuran fertilitas dengan menggunakan hubungan linier antara CWR dan GRR pada persamaan (13), dapat dituliskan sebagai fungsi linier GRR dari CWR, yaitu
,
GRR = a + b CWR
(14) dengan menggunakan CWR berdasarkan asumsi model penduduk stabil, Rele (1967) menghitung nilai koefisien adan b, yang dituliskan pada Tabel 1 di atas.
Dari Tabel 1 diperoleh nilai koefisien adan buntuk persamaan (14) memiliki nilai yang berbeda untuk masing-masing kelompok umur CWR dan AHH.
2. Metode Gunasekaran-Palmore
Metode Gunasekaran-Palmore merupakan metode untuk mengukur fertilitas dengan menggunakan data struktur umur penduduk wanita dan angka harapan hidup wanita waktu lahir ( 0)
f
e . Dalam metode ini, ukuran fertilitas dipengaruhi oleh sebaran umur penduduk. Data yang digunakan pada metode Gunasekaran-Palmore adalah data
distribusi umur penduduk wanita untuk mendapatkan nilai peubah CVAG, K3dan β2
yang mempengaruhi nilai peubah GRR dengan:
(i) CVAG (coefficient of variation of female age distribution) yaitu σ µ/ .
(iii) 4 2 4 3 . K β σ = +
(iv) K4 = kumulan ke-4.
Dimana kumulan ke-r dari peubah acak
( ) r r X=K X =K didefinisikan sebagai koefisien dari ! r t
r dalam deret Taylor dari logaritma asli fungsi pembangkit momen:
(
lnM t( )=lnE e( tX))
dengan, Kumulan ke-1=E X( )=µ1=µ . Kumulan ke-2= 2 2 2 ( ) . E X−µ =µ =σ Kumulan ke-3= 3 3 ( ) . E X−µ =µ Kumulan ke-4= 4 4 4 4 ( ) 3 3 . E X−µ − σ =µ − σ (Bukti di Lampiran 2) dan(
)
4 2 4 E X µ β σ − =( )
4( )
3 2( )
2 4 4 4 6 3 , E X µE X µ E X µ σ − + − = dan( )
3( )
2 3 3 3 2 . K =E X − µE X + µModel regresi Gunasekaran-Palmore adalah
0 3 2 lnGRR =f e CVAG K( f, , ,β ) 0 ln( f) a b e = +
2 3 ln( ) ln( ) ln( ) c CVAG d β e K + + + [Palmore, 1978] Dengan menggunakan data fertilitas dari beberapa negara di dunia dari tahun 1965 sampai tahun 1975 seperti yang digunakan Palmore (1978), maka diperoleh persamaan regresi sebagai berikut
(
0)
ln(GRR)=9.65566−0.37613045 lnef+6.08957 ln
(
CVAG)
−0.7403 ln(
β2)
−0.56680627 ln K
(
3)
(15)(
)
exp ln( ) 2.05 * GRR GRR TFR GRR = =dengan asumsi rasio jenis kelamin bayi laki-laki dan perempuan yang lahir adalah 1.05 dan 1.00.
3. Data Input Pengukuran Fertilitas Data yang digunakan untuk menghitung fertilitas adalah data hasil Survei Penduduk Antar Sensus (SUPAS) tahun 2005 (www.datastatistik-indonesia.com) dan hasil
Survei Demografi dan Kesehatan Indonesia (SDKI) tahun 2007 (BPS, 2007).
3.1 Penghitungan GRR dengan metode Rele
Dengan menggunakan data SUPAS 2005 yang terdapat pada Lampiran 3, dapat dihitung nilai CWR untuk kelompok umur anak dan wanita yang digunakan masing-masing yaitu 0-4 tahun dan 15-49 tahun, sedangkan angka harapan hidup ( )e0 tahun
2005 adalah 70.0 tahun. Dari data diperoleh, jumlah penduduk usia 0-4 tahun, yaitu P(0-4)= 19095 dan Jumlah penduduk wanita usia 15-49 tahun, yaitu P(15-49)= 59646. Maka,
P(0-4) 19095
CWR 0.320141
P(15-49) 59646
= = =
dan persamaan (14) menjadi
70.0 70.0 (0 4 /15 49)
GRR = a + b CWR − −
(16)
dengan mensubstitusi nilai a70,b70dan nilai
CWR pada persamaan (16), diperoleh
1.084118852
GRR = dan TFR = 2.05 *GRR 2.05 *1.084118852
= =2.222443647.
Sedangkan untuk data SDKI 2007 yang terdapat pada Lampiran 4, diperoleh jumlah penduduk usia 0-4 tahun, yaitu P(0-4)=16630 dan jumlah penduduk wanita usia 15-49 tahun, yaitu P(15-49)=43476. Maka,
P(0-4) 16630
CWR 0.380149042
P(15-49) 43476
= = =
dengan angka harapan hidup ( )e0 tahun 2007
adalah 70.4 tahun. Sehingga persamaan (14) menjadi 70.4 70.4 (0 4 /15 49) GRR = a + b CWR − −
(17) dengan 70.4 60 70 60 [70.4 60] * ( ) [70 60] -0.0182 + (1.04)*(-0.0309-(-0.0182)) -0.031408 a =a + − a −a − = = dan 70.4 60 70 60 [70.4 60] * ( ) [70 60] 3.6628 + (1.04)*(3.4829-3.6628 ) 3.475704 b =b + − b −b − = =
dengan mensubstitusi a70.4,b70.4dan nilai
CWR pada persamaan (17), diperoleh
-0.031408 + (3.475704)*(0.380149042)
GRR =
dan TFR = 2.05 *GRR =2.05 *1.289877547 2.64424897.
TFR = Hasil penghitungan TFR dengan menggunakan metode Rele untuk data SUPAS 2005 dan data SDKI 2007 masing-masing sebesar 2.22 dan 2.64, sedangkan TFR hasil penghitungan BPS untuk tahun 2005 dan tahun 2007 masing-masing sebesar 2.26 dan 2.6. Hal ini menunjukkan hasil penghitungan TFR dengan metode Rele tidak jauh berbeda
dengan hasil penghitungan TFR yang dilakukan BPS. Pada gambar 1, terlihat proporsi jumlah penduduk Indonesia tahun 2005 dan 2007 tidak jauh berbeda dan memiliki pola yang mirip, hal ini menunjukkan proporsi jumlah penduduk mendekati kondisi stabil sehingga metode Rele cukup sesuai digunakan pada data penduduk Indonesia untuk menghitung fertilitas.
Gambar 1 Proporsi jumlah penduduk
3.2 Penghitungan GRR dengan metode Gunasekaran-Palmore
Dengan menggunakan data SUPAS 2005 yang terdapat pada Lampiran 3, dan angka harapan hidup wanita tahun 2005 adalah 70.2 tahun, dapat diperoleh nilai
( ) 29.06350956 E X
µ= =
19.22594222
σ= ,CVAG=0.6615,β2=2.856,
dan K3=4370.33. Sedangkan untuk data
SDKI 2007 dengan angka harapan hidup wanita tahun 2007 adalah 72.4 tahun, diperoleh nilai µ=E X( )=30.1166 20.691 σ= ,CVAG=0.687, β2=3.008808516, dan K3=6023.305019
.
Dengan,100 0 ( j) j ( j), i i i E X x f x = =
∑
xi= +i 0.5,j=1, 2,3, 4
(
)
4 2 4 E X µ β σ − = , dan( )
3( )
2 3 3 3 2 . K =E X − µE X + µ Substitusikan nilai 0, f e CVAG ,K3, dan β2untuk kedua data tersebut pada persamaan (15), diperoleh hasil sebagai berikut
Proses penghitungan TFR untuk data SUPAS 2005
