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Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

18

(2006), 223–239

An arithmetic formula of Liouville

par

Erin McAFEE

et

Kenneth S. WILLIAMS

R´esum´e. Une preuve ´el´ementaire est donn´ee d’une formule arith-m´etique qui fut pr´esent´ee mais non pas prouv´ee par Liouville. Une application de cette formule donne une formule pour le nombre de repr´esentations d’un nombre entier positif comme ´etant la somme de douze nombres triangulaires.

Abstract. An elementary proof is given of an arithmetic for-mula, which was stated but not proved by Liouville. An appli-cation of this formula yields a formula for the number of repre-sentations of a positive integer as the sum of twelve triangular numbers.

This paper is dedicated to the memory of Joseph Liouville (1809-1882).

ErinMcAfeeand Kenneth S.Williams

School of Mathematics and Statistics Carleton University

Ottawa, Ontario, Canada K1S 5B6

E-mail:erinmcafee@rogers.com, williams@math.carleton.ca

Manuscrit re¸cu le 28 juin 2004.

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