BAB 5
POSET dan LATTICE
1.
Himpunan Urut Parsial
Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan urut parsial pada S, jika R bersifat :
1. Refleksif, yaitu a R a, untuk setiap a Є s
2. Anti simetris, yaitu a R b dan b R a maka a = b
3. Transitif, yaitu jika a R b dan b R c maka a R c.
Himpunan S berikut dengan urut parsial pada S dikatakan himpunan urut parsial
atau POSET (Partially Ordered Set)
Relasi urutan yang paling dikenal, disebut urutan usual, adalah relasi ≤ (kurang
dari atau sama dengan) pada N atau secara lebih umum pada subset dari R. karena
alasan ini, sebuah relasi urutan parsial biasanya dinotasikan oleh ≤; dan a≤b dibaca “a mendahului b”. Dalam kasus ini, juga dituliskan:
a<b (dibaca “a secara kuat mendahului b”) jika a≤b tetapi a≠b a≥b (dibaca “a didahului b”) jika b≤a
a>b (dibaca “a secara kuat diahului b”) jika b<a
Memang istilah pengurutan (ordering) berarti bahwa benda-benda di dalam
himpunan itu diurutkan menurut sifat atau kriteria tersebut. Akan tetapi, juga ada
kemungkinan bahwa dua benda di dalam himpunan itu tidak berhubungan dalam
relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tak dapat membandingkan
keduanya dan tidak mengidentifikasi mana yang lebih kecil atau lebih rendah. Itulah
alasannya digunakan istilah “ pengurutan parsial ( partial ordering ) ”.
Contoh :
1. Misal X adalah sebarang kelas dari himpunan. Relasi antara himpunan ⊆
a. A ⊆A, untuk setiap A Є S
b. Jika A ⊆B dan B ⊆A maka A = B
c. Jika A ⊆B dan B ⊆C maka A ⊆C
2. Misal N himpunan bilangan-bilangan positif. Sebut “a membagi b” ditulis a|b, jika terdapat sebuah bilangan bulat c sedemikian sehingga ac = b.
Contoh : 2|4, 3|12, 7|21, dsb. Tunjukkan bahwa pembagian adalah pengurutan
parsial dai N, yaitu tunjukkan bahwa:
a) a│a b) jika a│b dan b│a maka a = b c) jika a│a dan b│c maka a│c
Jawab:
a. Karena a.1 = a, maka a│a
b. Anggap a│b dan b│a, misal b = ra dan a = sb. Maka b = rsb sehingga rs =1.
Karena r dan s adalah bilangan bulat positif maka r =1 dan s = 1. Dengan
demikian a = b
c. Anggap a│b dan b│c, misal b = ra dan c = sb. Maka c = sra sehingga a│b
b) Himpunan Z adalah himpunan bilangan bulat positif. Relasi (kurang atau sama
dengan) adalah sebuah parsial order pada Z . Hal ini berlaku pula untuk relasi
Jawab :
Bila (a,b) ada didalam R jika a b.
a. Karena setiap bilangan bulat = dirinya sendiri refleksif
b. Karena a b dan b a kecuali a = b antisimetris
c. Jika a b dan b c maka a c transitif.
Latihan soal:
1. Misalkan bilangan-bilangan bulat positif N = {1, 2, 3, …} diurutkan dengan relasi dapat dibagi :
a. Isilah simbol yang tepat, <, > atau || (tidak dapat dibandingkan) antara
setiap pasangan dari bilangan-bilangan :
b. Nyatakan apakah masing-masing sub-sub himpunan dari N adalah terurut
secara linier:
a. [24, 2, 6] b. [3, 15, 5] c. [15, 5, 30]
d. [2, 8, 32, 4] e. [1, 2, 3,…] f. [7]
2. Misalkan V = {a, b, c, d, e} terurut menurut diagram berikut. Sisipkan simbol
yang tepat, <, >, atau || setiap pasangan dari elemen-elemen :
a. a … c b. b … c c. d … a d. c … d
a
b c
d e
3. Misalkan S = {1, 2, 3}. Tuliskan himpunan urut parsial dari R pada S.
4. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}. Apakah R adalah
himpunan urut parsial pada A = {1, 2, 3, 4}.
5. Misalkan R = {(1, 1), (2, 2)}. Apakah R adalah suatu himpunan urut parsial
pada A = {1, 2}
2.
Diagram Poset
Misal S adalah suatu himpunan urut parsial. Sebut a dalam S adalah suatu yang
mendahului dari b atau b sesudah a ditulis a ≤ b jika a < b tetapi tidak ada elemen dari S yang terletak diantara a dan b, jadi tidak ada X dalam S sedemikian sehingga
a < X < b.
Misal S adalah suatu POSET yang hingga. Maka urut pada S adalah diketahui secara
relasi ≤ pada S. Sehingga x<y jika dan hanya jika terdapat elemen x = a0, a1, …am
= y sedemikian sehingga ai-1≤ ai untuk I = 1, …, m.
Menurut diagram dari suatu POSET S yang hingga kita artikan suatu graph berarah
dimana vertex adalah merupakan elemen dari S dan akan terdapat busur yang
menghubungkan a dan b jika a≤b dalam S (dalam menggambarkan suatu arah panah dari a ke b, kita kadang-kadang menempatkan b lebih tinggi daripada a
dalam diagram dan garis dari a ke b mengarah ke atas). Pada diagram S, terdapat
suatu path berarah dari suatu vertex x ke vertex y dan hanya jika x<y. Juga
terdapat sebarang cycle dalam diagram S karena urut relasinya adalah anti simetris.
Contoh :
2. Misal B = {a, b, c, d, e}. Gambar diagramnya yang didefinisikan suatu urut
parsial pada B dengan cara alfabetis. Jadi d ≤ b, d ≤ a, e ≤ a, dst. Penyelesaian :
a
b c
3. Diagram suatu himpunan urut linier yang hingga yaitu suatu chain hingga yang
terdiri dari sebuah path yang sederhana. Seperti contoh pada gambar berikut
yang menunjukkan diagram dari suatu chain dengan 5 elemen.
Y
U
Z
Y
X
Latihan Soal:
1. Terdapat 7 partisi dari m = 5 : 5, 3-2, 2-2-1, 1-1-1-1-1, 4-1, 3-1-1, 2-1-1-1
Gambarlah diagram dari partisi bulat m = 5
2. Misalkan D = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Gambarlah diagram posetnya dalam
urut “x membagi y”.
3. Perhatikan himpunan B = {a, b, c} dan himpunan P merupakan semua subset
dari B. gambarkan diagram untuk elemen-elemen dari P.
4. Perhatikan himpunan D = {1, 2, 3, 4, 5} yang terurut secara linier seperti
gambar berikut:
1 5 gambarkan diagram untuk urutan invers dalam D
2 4
3
3.
Supremum dan Infimum
Misal A adalah subset dari Poset S. Sebuah elemen M pada S dikatakan batas atas
x ≤ M
Jika suatu batas atas dari A mendahului setiap batas atas lain dari A maka dikatakan
batas atas terkecil atau SUPREMUM dari A dinotasikan dengan
sup (A) atau sup (a1, …, an)
Dengan cara yang sama, sebuah elemen m dalam Poset S dikatakan sebuah batas
bawah dari A jika m mendahului setiap elemen dari A, yaitu, m adalah sebuah batas
bawah jika untuk setiap x dalam A kita dapatkan m ≤ y.
Jika batas bawah dari A melampaui setiap batas bawah dari A maka disebut batas
bawah terbesar atau INFIMUM dari A dan dinotasikan dengan
inf (A) atau inf (a1, …, an)
sub A dan inf A masing-masing adalah unik jika mereka ada.
Jika A mempunyai sebuah batas atas kita mengatakan A terbatas di atas, dan jika A
mempunyai sebuah batas bawah, kita mengatakan A terbatas di bawah. Dan
khususnya, A terbatas jika ia mempunyai sebuah batas atas dan batas bawah.
Misal a,b Є Poset (A, ≤)
Dalam suatu Poset, LUB tidak selalu ada. Tetapi jika LUB ada, maka LUB tersebut
Contoh Soal:
1. Misal A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }. Relasi Partial Order didefinisikan pada
himpunan A atau (A, ≤) dalam diagram Posset di bawah ini. Carilah elemen maksimal, minimal, terbesar dan terkecil !
2. Misalkan V ={a, b, c, d ,e, f ,g} terurut seperti gambardan misalkan X = {c, d, e}
a. Tentukan batas atas dan batas bawah dari X
b. Tentukan sup(X) dan inf(X)
f g
e
c d X
a b
Penyelesaian:
a. Elemen e, f dan g “didahului” oleh setiap elemen dari X; sehingga e, f dan g adalah batas atas dari X
b. Elemen a “mendahului” setiap elemen dari X; sehingga a adalah batas bawah dari X. Perhatikan bahwa b bukan sebuah batas bawah karena b tidak
3. Misalkan W = {a, b, c, d, e, f} terurut seperti gambar dan misalkan Y = {b, c, d}
a. Tentukan batas atas dan batas bawah dari Y
b. Tentukan sup(Y) dan inf(Y)
e f
c d
b Y
a
Penyelesaian:
a. Elemen e dan f didahului setiap elemen dalam Y; jadi e dan f adalah batas
atas dari Y. Elemen a dan b mendahului setiap elemen dalam Y; jadi a dan b
adalah batas bawah dari Y.
b. Karena dua batas atas dari Y, e dan f tidak comparable, sup(Y) tidak ada.
Inf(Y) = b, karena elemen b melampaui a.
Latihan Soal:
1. Misalkan B = {1,2, 3, 4, 5} terurut seperti gambar :
a. Carilah semua elemen minimal dari B
b. Carilah semua elemen maksimal dari B
2. Misalkan D = {1, 2, 3, 4,5, 6} terurut seperti gambar, sub himpunan E = {2, 3,
4} dari D :
a. Carilah batas atas dai E
b. Carilah batas bawah dari E
c. Apakah sup(E) ada?
3. Misalkan S = {1, 2, 3, …, 8} terurut seperti gambar dan misalkan L = {4, 5, 7}, M = {2, 3, 6} dan K = {1, 2, 4, 7}
c. Tunjukkan batas-batas atas dan bawah dari L, M, dan K
d. Tentukan sup(L), sup(M), sup(K) dan inf(L), inf(M), inf(K) jika ada
1 2
3
4 5
6 7
8
4. Misalkan himpunan S = {3, 6, 9, 12, 18} terurut menurut pembagian.
a. Untuk subset S apakah dimana {6, 12, 18} merupakan himpunan batas-batas
atas?
b. Untuk subset S apakah dimana {3, 6} merupakan himpunan batas-batas
bawah?
c.
Lattice
Berdasar konsep batas atas terkecil (b.a.t) dan batas bawah terbesar (b.b.t),
Contoh Soal
1. Tentukan apakah Poset yang dinyatakan dengan diagram di bawah ini
merupakan Lattice !
Jawab:
(a). Lattice, sebab setiap dua Titik mempunyai b.a.t dan b.b.t.
(b). Bukan Lattice, sebab b.a.t dari a & b tidak ada.
(c). Bukan Lattice, sebab b.a.t dari c & d tidak ada, ( b ≤ a ).
(d). Lattice, sebab setiap pasang titik mempunya b.a.t & b.b.t.
2. Mana dari poset-poset pada gambar berikut yang merupakan lattice?
I I I
d c e c d c d
a b a b d b
o o o
(a) (b) (c)
Jawab:
(a)Lattice, sebab setiap dua Titik mempunyai b.a.t dan b.b.t.
(b)Lattice, sebab setiap dua Titik mempunyai b.a.t dan b.b.t.
(c)Bukan, karena {d, b} mempunyai tiga batas atas c, d, dan I, dan tidak ada
Latihan soal:
1. Mana dari poset-poset pada gambar berikut yang merupakan lattice?
2 1 7 5
3 5 6 2 3 4
4 2 3 4 1
1
(a0 (b) (c)
2. Mana dari poset-poset pada gambar berikut yang merupakan lattice?
6 6 6
4 5 5 5
2 3 2 4 3 4
1 1 1 2
