2.1 Masalah Optimisasi dan Program Non Linier
Menurut Asghar (2000), secara garis besar masalah optimisasi terbagi dalam beberapa tipe berikut:
1. Masalah optimisasi tanpa kendala.
2. Masalah pemrograman linear.
3. Masalah pemrograman kuadratis.
4. Masalah pemrograman nonlinear/optimisasi nonlinear.
Sedangkan masalah optimisasi nonlinear menurut Bronson (1997) terbagi dalam tiga bagian, yaitu:
1. Masalah optimisasi nonlinear satu variable.
2. Masalah optimisasi nonlinear multi variable tanpa kendala.
3. Masalah optimisasi nonlinear multi variable dengan kendala.
Dilihat dari bentuk kendalanya, masalah optimisasi nonlinear dengan kendala terbagi menjadi 3 bagian, yaitu:
1. Fungsi kendala berbentuk persamaan
2. Fungsi kendala berbentuk pertidaksamaan
3. Fungsi kendala berbentuk campuran persamaan dan pertidaksamaan.
Hamdy (2003) menawarkan beberapa metode penyelesaian berdasarkan kri-teria permasalahan:
1. Pemrograman Terpisah, jika fungsi obyektif dan kendala merupakan fungsi yang terpisah (separable).
2. Pemrograman Kuadratik, jika fungsi obyektif berupa fungsi kuadrat, dan kendalanya fungsi linear.
3. Pemrograman Geometrik. Teknik ini telah dikembangkan oleh R. Duffin dan C. Zener tahun 1964. Metode ini dapat digunakan jika fungsi obyektif dan kendala berupa fungsi f(X) = PNj=1Uj, dimana Uj = cjQni=1xaij
i , j =
1,2, . . . , N, dan cj >0, dan N berhingga. Pangkataij tidak terbatas dalam
tanda. Fungsi f(X) berupa fungsi polynomial.
4. Metode Kombinasi Linear, jika kendalanya berupa fungsi linear.
5. Algoritma SUMT (Sequential Unconstrained Maximization Technique), jika fungsi obyektifnya cekung dan fungsi kendalanya cembung, serta daerah fisi-belnya memiliki interior. Metode ini mengubah optimisasi berkendala menja-di optimisasi tanpa kendala, hampir mirip dengan metode Pengali Lagrange.
Bronson (1997) juga mengemukakan beberapa metode penyelesaian masalah optimisasi nonlinear berkendala, yaitu:
1. Pengali Lagrange(Lagrange Multipliers), jika kendalanya berupa persamaan.
2. Persyaratan Kuhn-Tucker (Kuhn-Tucker condition), jika kendalanya berupa pertidaksamaan, dan masing-masing fungsi obyektif dan kendala memiliki turunan parsial pertama yang kontinu.
3. Metode arah layak(feasible directions), jika kendala berupa pertidaksamaan. Metode ini dapat digunakan jika daerah fisibel memiliki interior. Metode ini akan konvergen ke maksimum global hanya jika iterasi awal dekat dengan solusi sebenarnya. Daerah fisibel tidak akan memiliki interior jika dua dari kendala pertidaksamaannya merupakan perubahan dari kendala persamaan.
memaksimumkan z =f(x) dengan kendalahi(x) = 0 , maka masalah diubah
menjadi memaksimumkan q = f(x) + cP(x), dengan c > 0 yang disebut bobot penalty. Penyelesaian dari bentuk yang terakhir ini menjadi penyele-saian dari masalah awal jika tiap-tiap hi(x) = 0 .
2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear Pandang suatu sistem persamaan nonlinear n×n.
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0
f2(x1, x2, . . . , xn) = 0
...
fn(x1, x2, . . . , xn) = 0
Sistem persamaan nonlinear tersebut dapat diselesaikan secara iterasi dengan me-tode Newton-Raphson, dengan menggunakan iterasi
xk+1 =xk+δxk, k = 0,1,2, . . .
dimanax0 adalah titik awal.
2.3 Metode Homotopy Newton
Jika masalah SPNL adalah f(X) = 0, dengan f = (f1, f2, . . . , fn)T dan X =
(x1, x2, . . . , xn)T , maka penyelesaiannya adalah:
X =X0−J−1.H
dimana:
X0 : titik awal yang diambil
H : fungsi homotopy yang berbentukH(x, t) = f(x)−(1−t)f(x0), 0≤t≤1
2.4 Metode Newton-Rapshon
Masalah optimisasi non linear tanpa kendala dapat diselesaikan secara itera-tif dengan menggunakan metode Newton-Rapshon. Ide dasar metode ini adalah melakukan pendekatan fungsi nonlinear dengan fungsi kuadrat.
Pendekatan kuadratik dari fungsif :Rn →Ryang memiliki derivatif tingkat
dua dapat diperoleh dengan menggunakan deret Taylor di sekitar titikx(k).
f(x)∼f(x(k)) + (∆x)∇f(x(k)) + 1 2(∆x)
2∇2f(x(k))
2.5 Optimisasi Nonlinear Berkendala dengan Pengali Lagrange
Metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi non linear berkendala adalah pengali Lagrange (Lagrange multipliers). Bentuk umum-nya adalah:
Minimum f(x)
Kendala h(x) = 0
dimanax∈Rn, f :Rn →R, h:Rm →Rn, m < n.
Diasumsikan bahwa fungsih diferensiabel.
∇f(x∗) +λ∇h(x∗) = 0
2.6 Heuristik
Tonge (1961). Sementara menurut Nicholson (1971) metode heuristik adalah su-atu prosedur untuk menyelesaikan problema dengan pendekatan intuisi, yang di dalamnya problema dapat diterjemahkan dan digali untuk memperoleh penyelesai-an ypenyelesai-ang dapat diterima.
Heuristik baik digunakan pada saat:
1. Data yang tidak tepat atau terbatas.
2. Model yang disederhanakan.
3. Metode tepat yang terpercaya tidak tersedia.
4. Untuk memberikan penyelesaian awal/pemandu pencarian/mengurangi jum-lah calon penyelesaian.
5. Kebutuhan pengulangan untuk menyelesaikan problema yang sama.
6. Keterbatasan sumber lain, misal dana, waktu, tenaga kerja, pengetahuan, dll.
Suatu heuristik yang baik hendaknya memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
1. Kesederhanaan.
2. Memori yang dipakai.
3. Kecepatan waktu komputasi.
4. Ketepatan.
5. Metode harus memperoleh penyelesaian yang baik dalam waktu singkat, tidak sensitif terhadap perubahan parameter.
6. Menerima beberapa titik awal, tidak perlu layak.
7. Kriteria penghentian yang baik
Burkardet. al. (1997)
(bukti, teorema, konvergensi, optimalitas). Hal ini dirasakan akibat oleh reaksi yang lambat antara praktisi-peneliti praktisi. Namun akhir-akhir ini gambaran tersebut mulai berubah, terbukti dengan semakin banyaknya tulisan terkait dalam journal ilmiah terkemuka, dan sekarang dalam tahap percepatan, praktisi ditekan oleh kemerosotan produktivitas untuk menganalisis problema manajemen yang rumit, dengan ketersediaan sumber daya yang terbatas, sehingga menimbulkan bertambahnya kebutuhan untuk menggunakan heuristik. Keterbukaan peneliti akhirnya menyadari bahwa kekuatan matematika tidak menjamin sukses sistem OR dalam praktek.
Kebanyakan dari alasan di atas telah diajukan oleh orang-orang praktisi, namun perlu dicatat bahwa, bukan dianjurkan untuk mengesampingkan metode optimisasi. Jadi, jika algoritma optimisasi dapat diterapkan secara efektif untuk menyelesaikan problema, maka algoritma tersebut dapat dipakai.
Dalam aplikasi berskala besar, seperti penempatan fasilitas, perbedaan satu atau dua persen dapat berakibat kerugian jutaan rupiah. Untuk keputusan keua-ngan demikian, dipandang lebih baik untuk pengumpulan data dan pembentukan modal, karena itu teknik optimisasi lebih sesuai.
Umumnya tanpa memandang spesifikasi problema, suatu heuristik yang baik harus memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
1. Kesederhanaan kepada pemakai.
2. Memori pada computer yang dipakai.
3. Kecepatan, yaitu waktu komputasi memadai yang tidak berkembang secara polinomial ataupun eksponensial bila ukuran problema bertambah.
4. Ketepatan, yaitu galat kuadrat rataan(mean square error)kecil, yang dapat mengakibatkan peningkatan kemungkinan diperolehnya penyelesaian yang baik.
5. Metode harus memperoleh penyelesaian baik, dalam waktu yang cukup singkat, untuk berbagai problema, dan tidak terlalu sensitif karena perubahan para-meter.
7. Menghasilkan penyelesaian ganda dengan memilih parameter masukan, atau menggeser penyelesaian akhir.
8. Kriteria penghentian yang baik.
9. Estimasi statistik dari optimum sebenarnya.
10. Kemampuan interaktif dengan analisis dalam pengambilan keputusan.
