BAB I
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Semenjak manusia pada jaman purbakala sampai dengan jaman sekarang, manusia telah
mengalami perkembangan dalam setiap periode waktu yang dilewatinya yang telah kita kenal
dengan berbagai jaman seperti jaman meolitikum, neolitikum. Perkembangan manusia telah
mengalami jaman revolusi industri yang menggantungkan kehidupan manusia pada bidang
perindustrian. Seperti pada dewasa ini orang-orang sangat `menggantungkan hidupnya pada
teknologi informasi, contohnya dalam mencari posisi dan lokasi sesuatu. Kehidupan ini tidak
bisa dipisahkan dari posisi, dalam mencari posisi orang bisa menggunakan peta pada dasarnya,
dalam peta bisa dicantumkan macam hal dan legenda yang bisa membantu menyampaikan pesan
dan informasi pada tempat yang dicantumkan di peta. Tapi seiring perkembangan jaman orang
sudah bisa menggantungkan kebutuhannya akan segala informasinya akan suatu tempat pada
GPS (Global Positioning System). Seiring perkembangan jaman pula sehingga kebutuhan akan
ilmu Geodesi tidak bisa dipungkiri dan dihindarkan , perkembangan teknologi dalam bidang
geodesi pun tidak akan ada habisnya, seiring akan kebutuhan tiap orangnya juga. Tetapi di
Indonesia yang orang-orangnya tetap meggunakan budaya bertanyanya sehingga kebutuhan akan
peta pun tidak terlalu tinggi, tetapi orang Indonesia pun sangat mencintai kemudahan yang
ditawarkan oleh GPS sehingga GPS perkembangannya di negeri ini bisa mulai diperhitungkan.
Sehingga ilmu geodesi sudah sangat dibutuhkan juga di negeri ini. Dalam ilmu Geodesi , aljabar
linear sangat berkaitan erat dan tidak bisa lepas hubungannya di ilmu ini. Aljajabar linear
memang sudah ada sejak jaman dulu.
1.2 Tujuan
Untuk memenuhi tugas yang diberikan.
Untuk membuat makalah ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan kami tentang betapa bergunanya aplikasi ajabar linier dalam ilmu geodesi dan geomatika yang
BAB II
ALJABAR LINEAR
2.1 Landasan Teori
Aljabar linier adalah salah satu cabang dari ilmu Matematika yang mempelajari system
persamaan linear dan solusinya, vector, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga
merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
2.1.1 Persamaan Linear dan Non Linear
Persamaan dengan 3 variabel :
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
Salah satu solusi dari persamaa diatas adalah x1=2, x2=1, x3=-3
Secara umum, persamaan linear dengan n variable adalah :
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b
Dengan :
a1, a2, …, an = koefisien yang diketahui
x1, x2, …, xn = variable yang tidak diketahui nilainya
b = konstanta yang diketahui
Persamaan diatas dikatakan linier karena variable pada setiap suku berderajat 1
2.1.2 Sistem Persamaan Linear / SPL (Generalisasi)
Sebuah system persamaan linier (mxn) adalah system yang terdiri dari m persamaan dengan n
variable :
A11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
A21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
Secara umum, bisa dikatakan ada 2 proses dalam memecahkan solusi SPL (m x n):
1. Reduksi system (eliminasi variable-variabel)
2. Deskripsi kumpulan solusi
Dua buah SPL dengan n variable dikatakan ekivalen apabila kedua system tersebut mempunyai
kumpulan solusi yang sama. Prosedur reduksi harus menghasilkan SPL baru yang ekivalen.
2.2Penyelesaian Persamaan Linear Dengan Matriks
2.2.1 Eliminasi Gauss
Teknik ini merupakan teknik yang paling sederhana dan terkenal dalam hal penyederhanaan SPL
berdasarkan operasi elementer. Tujuan dari Eliminasi Gauss adalah mereduksi system persamaan asal menjadi system yang ekivalen yang berbentuk “segitiga (triangular)”. Contoh :
X1 – 2x2 + x3 = 2 …. (E1)
2x1 + x2 – x3 = 1 …. (E2)
-3x1 + x2 – 2x3 = -5 …. (E3)
E2-2E1, E3+3E1 x1 – 2x2 + x3 = 2
5x2 – 3x3 = -3
-5x2 + x3 = 1
E3+E2 x1 – 2x2 + x3 = 2
5x2 – 3x3 = -3
-2x3 = -2
Solusi :
X3 = 1 dari persamaan terakhir
X2 = 0 substitusi x3 ke persamaan kedua (E2)
2.2.2 Eliminasi Gauss – Jordan
Tujuan eliminasi Gauss-Jordan adalah untuk menghindari substitusi ke belakang (backsolving)
Contoh :
x1 + x2 + x3 + 4x4 = 4 … (E1)
2x1 + 3x2 + 4x3 + 9x4 = 16 … (E2)
-2x1 + 3x3 – 7x4 = 11 … (E3)
E2-2E1, E3+2E1 x1 + x2 + x3 + 4x4 = 4
x2 + 2x3 + x4 = 8
2x2 + 5x3 + x4 = 19
E1-E2, E3-2E2 x1 – x3 + 3x4 = -4
x2 + 2x3 + x4 = 8
x3 – x4 = 3
E1 + E3, E2 – 2E3 x1 + 2x4 = -1
x2 + 3x4 =2
x3 – x4 = 3
Tanpa prosedur backsolving, diperoleh solusi sebagai berikut :
x1 = -1-2x4
x2 = 2-3x4
x3 = 3+x4
Eliminasi Gauss-Jordan hanya efisien digunakan untuk system persamaan linier berdimensi kecil
(dengan manual). Cara ini lebih baik dalam hal jumlah operasi aritmatika yang lebih sedikit
hitungan dilakukan dengan computer. Kelemahan cara ini adalah sangat rentan terhadap
kesalahan pembulatan. Dalam hal ini tidak dimungkinkan diterapkannya pivoting, sedangkan
2.2.2 Matriks dan Bentuk Eselon
System persamaan linear dapat dipresentasikan dalam bentuk matriks. Dikatakan bahwa dua
matriks B & C ( m x n ) adalah ekivalen
baris apabila salah satu matriks tersebut diperoleh melalui operasi
baris elementer terhadap matriks lainnya.
2.2.4 Bentuk Eselon
Sebuah matriks C ( m x n) dikatakan berbentuk eselon apabila:
1. Semua baris yang semua elemen-elemennya nol dikelompokkan
pada bagian bawah matriks tersebut.
2. Elemen tidak nol pertama (dihitung dari kiri ke kanan) pada
baris ke (i+1) harus terletak pada kolom berikutnya ke arah
kanan dari elemen tak nol pada baris ke-i.
Tujuan bentuk eselon adalah untuk menyederhanakan matriks yang diperbesar sehingga
mempermudah penentuan solusi system persamaan liniernya. Untuk sebuah matriks B ( m x n ),
akan ada sebuah matriks C ( m x n ) sedemikian rupa sehingga:
1. C adalah bentuk eselon.
BAB III
APLIKASI ALJABAR LINEAR DALAM ILMU GEODESI DAN
GEOMATIKA
3.1 Transformasi Koordinat
Untuk dapat mentransformasikan koordinat satu titik dari satu sistem
koordinat ke satu sistem lainnya, terlebih dahulu harus diketahui empat buah
parameternya :
Dengan demikian, sebelum transformasi koordinat dilakukan, terlebih dahulu harus
ditentukan keempat parameter transformasi tersebut. Keempat parameter
transformasi dapat ditentukan berdasarkan data titik sekutu (common point). Titik
sekutu adalah titik yang koordinatnya diketahui pada kedua sistem koordinat. Dalam
hal ini, paling sedikit diperlukan dua buah titik sekutu. Dari (minimal) dua titik
tersebut dapat dibentuk empat buah persamaan yang dapat digunakan untuk
menentukan 4 parameter transformasi.
Dari dua buah titik sekutu, dapat ditulis empat buah persamaan :
Koordinat titik sekutu:
Titik 1:
Titik 2:
Dapat ditulis pula sebagai :
Dengan :
dalam notasi vektor atau matriks :
Keempat parameterdapat ditentukan sebagai solusi dari
sistem persamaan linier di atas. Adapun parameter
rotasi dan faktor skala ditentukan dari :
atau
Selanjutnya, titik-titik ke-n dapat ditransformasikan dari sistem xy ke sistem pq melalui :
3.2 Penentuan Tinggi
Bila tinggi titik Aadalah HA , pada pengukuran sifat datar dari A,1,2,3,4 akan ditentukan tinggi
titik-titik 1, 2, 3, dan 4
Dari hasil pengukuran beda tinggi dapat ditulis empat buah persamaan sebagai berikut :
Variabel- variabel dari sistem persamaan di atas adalah :
Karena tinggi titik A telah diketahui, sistem persamaan tersebut dapat
ditulis kembali sebagai :
Sistem persamaan di atas telah linier. Dalam notasi matriks dan vektor :
Tinggi titik-titik 1,2,3, dan 4 adalah solusi dari sistem
BAB IV
PENUTUP
4.1Kesimpulan
Aljabar Linear memiliki metode yang cukup banyak untuk menyelesaikan soal
soalnya. Seperti menggunakan eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, dan
menggunakan bentuk matriks. Aljabar Linear juga tidak hanya digunakan dalam
perhitungan untuk penelitian atau statistic saja tapi bisa juga diaplikasikan dalam
perhitungan untuk rekayasa seperti aplikasi dalam teknik geodesi dan geomatika.
4.2Saran
Penyusun mohon maaf apabila dalam laporan ini masih terdapat kesalahan yang tak
disengaja. Oleh karena itu, penyusun mengharapkan kritik dan saran dari para
