DAFTAR ISI
Halaman KelompokMatematika
PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno
ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL)
Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno
AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto
KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN 38-41
Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz
METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah
KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI 45-47
Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz
TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN 48-53
Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto
KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56 PENGGERAK DINAMO
Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno
INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR 57-63
Pita Rini, Dorrah Aziz, dan Amanto
ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAFWRAPPED BUTTERFLY NETWORKSDANGRAF 64-71
Kelompok Statistika
APROKSIMASI DISTRIBUSIT-STUDENTTERHADAPGENERALIZED LAMBDA 82-85
DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti
ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti
PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAPGENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti
PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM
Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan
PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109 (EXPECTATION MAXIMIZATION)
Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti
KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti
ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGANCROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari
PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122-126 ZILLMER DAN ILLINOIS
Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti
KAJIAN RELATIF BIASMETODEONE-STAGEDANTWO-STAGE CLUSTER SAMPLING 127-130 Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti
PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV
TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO2)
EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan
EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153 KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODEUNSEEDED EXPERIMENT
Miftasani,Suharso dan Buhani
EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160 KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODESEEDED EXPERIMENT
IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI (Dalium indum) 161-168
UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182 DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN
Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak
STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASIPLASTICIZERDALAM 183-190 SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJIBIODEGRADABLEDENGAN METODE FISIK
Yesti Harryzona dan Yuli Darni
KelompokFisika
Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195
BendingDan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140 Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo
Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO3 208-212 Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka
Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO2dengan Metode 213-218 Pelapisan Celup
Dian Yulia Sari dan Posman Manurung
Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225 Aluminosilikat 3Al2O3.2SiO2Berbahan Dasar Silika Sekam Padi
Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring
Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung
Uji Fotokatalis Bahan TiO2yang ditambahdengan SiO2padaZatWarnaMetilenBiru 231- 236 Violina Sitorus dan Posman Manurung
KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B2O3-SiO2BERBASIS 237-241 SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI
Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring
RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247 MIKROKONTROLER ATMega8535
ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250 MENGGUNAKAN METODE GPR (Ground Penetrating Radar) DAN GEOLISTRIK
R. Wulandari,Rustadi dan A. Zaenudin
ISOMORFISME BENTUK-BENTUK
GRAF
WRAPPED BUTTERFLY NETWORKS
DAN
GRAF CYCLIC-CUBES
Ririn Septiana1, Wamiliana2, dan Fitriani3
Jurusan Matematika, FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia1 Septa2014@yahoo.co.id
Jurusan Matematika, FMIPA, Unila, Bandar Lampung Indonesia2 Jurusan Matematika, FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia3
ABSTRAK
Isomorfis merupakan konsep kekongruenan yang dapat diterapkan diberbagai bidang ilmu, termasuk graf. Graf Wrapped Butterfly Networks dan Cyclic-Cubes merupakan dua graf yang memiliki definisi yang berbeda. Kesamaan dari kedua graf ini adalah memiliki jumlahvertexyang sama dengan rumus jumlahvertexnya݊݇. Dari teorema Has dan Lin[2], kedua grafWrapped Buterfly NetworksdanCyclic-Cubesmerupakan dua graf yang
saling isomorfis. Dalam tulisan ini akan didiskusikan bentuk-bentuk graf Wrapped Buterfly Networks yang isomorfis dengan grafCyclic-Cubesdan penggambaran kedua graf tersebut.
Kata Kunci :Wrapped Butterfly Networks,Cyclic-Cubes, Isomorfis, Bentuk-bentuk.
1. Pendahuluan
Graf merupakan salah satu ilmu yang menarik untuk digali dan dikembangkan, salah satunya tentang isomorfisme graf. Dalam mempelajari graf sering ditemukan dua bentuk graf yang
berbeda yang cukup rumit dengan banyaknya vertex dan edge. Namun, ternyata setelah
direpresentasikan ternyata graf tersebut isomorfis. Tidak jarang juga ditemukan dua graf yang sederhana dan memiliki kemiripan secara visual. Namun, setelah dilakukan representasi terhadap graf tersebut ternyata kedua graf tersebut tidak isomorfis. Cyclic-Cubes danWrapped Butterfly Networks (WB) merupakan dua graf yang berbeda dan masih asing ditelinga banyak orang termasuk bentuk dari kedua graf tersebut. Hsu dan Lin[2]menyatakan bahwa graf
Cyclic-CubesdanWrapped Butterfly Networks(WB) merupakan dua graf yang saling isomorfis. Dalam hal ini penulis ingin mendiskusikan keisomorfisan kedua graf tersebut secara visual dengan menggambarkan bentuk-bentuk dari kedua graf tersebut.
Tulisan ini akan dibagi menjadi lima bagian yaitu: pendahuluan yang berisi tentang latar belakang, landasan teori, metode penelitian, pembahasan dan kesimpulan.
2. Landasan Teori
Deo[1]mendefinisikan graf G = (V,E) terdiri dari objek V ={ݒଵǡ ݒଶ… . }yang disebutvertex(titik)
yang tidak kosong, dan objek E ={݁ଵǡ ݁ଶ… . . } yang unsur-unsurnya disebut edge(garis) yang boleh kosong, sehingga setiapedge݁ diidentifikasi dengan pasangan (ݒ,ݒ) darivertex.Vertex
ݒ,ݒberhubungan dengan edge ݁ disebutvertexakhir dari݁. Representasi paling umum dari graf adalah dengan cara diagram, dimanavertexdirepresentasikan sebagai titik dan setiapedge
sebagai garis yang menghubungkanvertex.
Isomorfisme graf G ke H oleh Hsu dan Lin[2]didefinisikan sebagai fungsi bijeksi
݂ ܸ(ܩ)՜ ܸሺܪሻ dimana (ݑǡ ݒ)߳ܧሺܩሻ jika dan hanya jika ݂(ݑ)ǡ ݂(ݒ)߳ܧሺܪሻ. Graf G isomorfis dengan graf H dilambangkan denganܩ ؆ ܪ. Jika G isomorfis dengan H dan H isomorfis dengan G, maka G dan H dikatakan saling isomorfis.
Selain itu, Hsu dan Lin [2] mendefinisikan graf Wrapped Butterfly Networks (WB) (n,k) sebagai
graf yang mempunyaivertex݊Ǥ ݇dan setiapvertexnya direpresentasikan dengan (n-1)-bit factor
direpresentasikan dengan n-bit factor, yang merupakan permutasi siklik dari ݐଵభݐଶమǥ ݐ untuk
ͳ ݅ଵǡ ݅ଶǡ ǥ ǡ ݅ ݇, dengan kata lain, dapat dituliskan sebagai berikut:
ܸ(ܩ)ൌ ቄݐೕݐାଵೕశభǥ ݐݐଵభǥ ݐିଵೕషభቚͳ ݆ ݊݀ܽ݊ͳ ݅ଵǡ ݅ଶǡ Ǥ ǡ ݅ ݇ቅ
Untuk mendefinisikan edge pada graf ܩ, pertama akan kita definisikan fungsi ݂௦ untuk setiap
ͳ ݏ ݇, pemetaanܸሺܩ)onto kepada dirinya sendiri, sesuai dengan definisi berikut ini:
݂௦ቀݐೕݐାଵೕశభǥ ݐݐଵభǥ ݐିଵ ೕషభቁ ൌ ݐ
ାଵ ೕశభǥ ݐ
ݐଵభǥ ݐିଵ ೕషభݐ
௦ݑ݊ݐݑ݇ͳ ݏ ݇
Setiap ݂ adalah fungsi bijektif. Setiap vertex ݔܸ߳(ܩ) mempunyai pasangan ʹ݇ vertex
݂௦(ݔ)dan ݂ିଵ(ݔ)untuk semua ͳ ݆ ݇. Dalam Hsu dan Lin [2], disebutkan bahwa ܩ isomorfis
dengan WB (n,k).
3. Metode Penelitian
1. Mengumpulkan literatur yang sesuai dengan pokok bahasan.
2. Menjelaskan definisi, teorema dan istilah yang digunakan dalam pembahasan.
3. Merepresentasikan bentuk-bentuk graf Cyclic-Cubes danWrapped Butterfly Networks (WB)
dengan membatasi nilai= 2danͳ ݊ Ͷ.
4. Mendiskusikan bentuk graf Wrapped Butterfly Networks (WB) (n,k) yang isomorfis dengan grafCyclic-Cubesdengan menggunakan teorema Hsu dan Lin[2].
4. Pembahasan
4.1 Bentuk-bentuk GrafWrapped Butterfly Networks
Untuk n=1 dan k=2 yang kemudian dapat dituliskan sebagai graf WB(1,2), graf tersebut memiliki jumlahvertex2 dan dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 12. Graf WB (1,2)
Untuk n = 2 dank = 2 yang kemudian dapat dituliskan sebagai graf WB(2,2), graf tersebut memiliki jumlahvertex8 dan dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 13. Graf WB (2,2)
Untuk n = 3 dank = 2 yang kemudian dapat dituliskan sebagai graf WB(3,2), graf tersebut memiliki jumlahvertex24 dan dapat digambarkan sebagai berikut:
Untuk n = 4 dank = 2 yang kemudian dapat dituliskan sebagai graf WB(4,2), graf tersebut memiliki jumlahvertex64 dan dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 15. Graf WB (4,2)
4.2 Bentuk-bentuk GrafCyclic-Cubes
Untuk nilai݊ ൌ ͳdan݇ ൌ ʹ
Sesuai dengan definisi, jumlah vertex pada graf Cyclic-cubes dapat dihitung dengan
ketentuan ݊Ǥ ݇, sehingga diperoleh jumlah vertex untuk graf Cyclic-cubes ܩଵଶ adalah 2
vertex.
Untuk menentukan pasangan setiap vertex pada graf ܩଵଶ dapat dilakukan langsung karena hanya terdiri dari duavertex, sehingga diperoleh bentuk graf sebagai berikut:
Gambar 16. Grafܩଵଶ
Untuk nilai݊ ൌ ʹdan݇ ൌ ʹ
Jumlahvertex untuk ܩଶଶadalah 8, sesuai dengan definisi akan digambarkan graf ܩଶଶdengan
vertexݐଵଵݐଶଵ,ݐଵଵݐଶଶ,ݐଵଶݐଶଵ,ݐଵଶݐଶଶ,ݐଶଵݐଵଵ,ݐଶଵݐଵଶ,ݐଶଶݐଵଵ, danݐଶଶݐଵଶsebagai berikut:
Gambar 17. Grafܩଶଶ
Untuk nilai݊ ൌ ͵dan݇ ൌ ʹ
Jumlah vertex untuk ܩଷଶ adalah 24, sesuai dengan definisi akan digambarkan graf ܩଷଶ
dengan vertex ݐଵଵݐଶଵݐଷଵ, ݐଵଶݐଶଵݐଷଵ, ݐଵଵݐଶଶݐଷଵ, ݐଵଵݐଶଵݐଷଶ, ݐଵଶݐଶଶݐଷଵ, ݐଵଶݐଶଵݐଷଶ, ݐଵଵݐଶଶݐଷଶ, ݐଵଶݐଶଶݐଷଶ, ݐଶଵݐଷଵݐଵଵ, ݐଶଶݐଷଵݐଵଵ,
ݐଶଵݐଷଶݐଵଵ, ݐଶଵݐଷଵݐଵଶ, ݐଶଶݐଷଶݐଵଵ, ݐଶଶݐଷଵݐଵଶ, ݐଶଵݐଷଶݐଵଶ, ݐଶଶݐଷଶݐଵଶ, ݐଷଵݐଶଵݐଵଵ, ݐଷଶݐଶଵݐଵଵ, ݐଷଵݐଶଶݐଵଵ, ݐଷଵݐଶଵݐଵଶ, ݐଷଶݐଶଶݐଵଵ, ݐଷଶݐଶଵݐଵଶ, ݐଷଵݐଶଶݐଵଶ, danݐଷଶݐଶଶݐଵଶsebagai berikut:
Untuk nilai݊ ൌ Ͷdan݇ ൌ ʹ
Jumlah vertex untuk ܩସଶ adalah 64, sesuai dengan definisi akan digambarkan graf ܩସଶ
dengan vertex ݐଵଵݐଶଵݐଷଵݐସଵ, ݐଵଶݐଶଵݐଷଵݐଵସ, ݐଵଵݐଶଶݐଷଵݐସଵ, ݐଵଵݐଶଵݐଷଶݐସଵ, ݐଵଵݐଶଵݐଷଵݐସଶ, ݐଵଶݐଶଶݐଷଵݐସଵ, ݐଵଶݐଶଵݐଷଶݐସଵ, ݐଵଶݐଶଵݐଷଵݐସଶ,
ݐଵଵݐଶଶݐଷଶݐସଵ,ݐଵଵݐଶଶݐଷଵݐସଶ,ݐଵଵݐଶଵݐଷଶݐସଶ,ݐଵଶݐଶଶݐଷଶݐସଵ,ݐଵଶݐଶଶݐଷଵݐସଶ,ݐଵଵݐଶଶݐଷଶݐସଶ,ݐଵଶݐଶଵݐଷଶݐସଶ,ݐଵଶݐଶଶݐଷଶݐସଶ,ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵ,ݐଶଶݐଷଵݐସଵݐଵଵ, ݐଶଵݐଷଶݐସଵݐଵଵ,ݐଶଵݐଷଵݐସଶݐଵଵ,ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଶ,ݐଶଶݐଷଶݐସଵݐଵଵ,ݐଶଶݐଷଵݐସଶݐଵଵ,ݐଶଶݐଷଵݐସଵݐଵଶ, ݐଶଵݐଷଶݐସଶݐଵଵ,ݐଶଵݐଷଶݐସଵݐଵଶ,ݐଶଵݐଷଵݐସଶݐଵଶ,ݐଶଶݐଷଶݐସଶݐଵଵ, ݐଶଶݐଷଶݐସଵݐଵଶ, ݐଶଶݐଷଵݐସଶݐଵଶ, ݐଶଵݐଷଶݐସଶݐଵଶ,ݐଶଶݐଷଶݐସଶݐଵଶ,ݐଷଵݐସଵݐଵଵݐଶଵ, ݐଷଶݐସଵݐଵଵݐଶଵ,ݐଷଵݐସଶݐଵଵݐଶଵ,ݐଷଵݐସଵݐଵଶݐଶଵ,ݐଷଵݐସଵݐଵଵݐଶଶ, ݐଷଶݐସଶݐଵଵݐଶଵ, ݐଷଶݐସଵݐଵଶݐଶଵ,ݐଷଶݐସଵݐଵଵݐଶଶ,ݐଷଵݐସଶݐଵଶݐଶଵ,ݐଷଵݐସଶݐଵଵݐଶଶ,ݐଷଵݐସଵݐଵଶݐଶଶ,ݐଷଶݐସଶݐଵଶݐଶଵ,ݐଷଶݐସଶݐଵଵݐଶଶ,ݐଷଶݐସଵݐଵଶݐଶଶ,ݐଷଵݐସଶݐଵଶݐଶଶ,ݐଷଶݐସଶݐଵଶݐଶଶ, ݐସଵݐଵଵݐଶଵݐଷଵ,ݐସଶݐଵଵݐଶଵݐଷଵ,ݐସଵݐଵଶݐଶଵݐଷଵ,ݐସଵݐଵଵݐଶଶݐଷଵ,ݐସଵݐଵଵݐଶଵݐଷଶ, ݐସଶݐଵଶݐଶଵݐଷଵ,ݐସଶݐଵଵݐଶଶݐଷଵ,ݐସଶݐଵଵݐଶଵݐଷଶ,ݐସଵݐଵଶݐଶଶݐଷଵ,ݐସଵݐଵଶݐଶଵݐଷଶ, ݐସଵݐଵଵݐଶଶݐଷଶ,ݐସଶݐଵଶݐଶଶݐଷଵ,ݐସଶݐଵଶݐଶଵݐଷଶ,ݐସଶݐଵଵݐଶଶݐଷଶ,ݐସଵݐଵଶݐଶଶݐଷଶ,ݐସଶݐଵଶݐଶଶݐଷଶsebagai berikut:
Gambar 19. Grafܩସଶ
4.3 Bentuk-bentuk GrafWrapped Butterfly NetworksdanCyclic-Cubesyang Isomorfis
Asumsi kesamaan jumlah vertexpada graf WB(n,k) dan ܩ dengan nilain = 1 dan k = 2,
sudah terpenuhi yaitu sama-sama memiliki dua vertex. Untuk ketetanggaan setiap vertex
juga terpenuhi, dapat dilihat pada gambar berikut:
Gambar 20. Graf WB(1,2) isomorfis denganܩଵଶ
Asumsi kesamaan jumlah vertex pada graf WB(n,k) dan ܩ dengan nilai n = 2 dan k = 2,
dapat diperlihatkan dengan rumus penentuan jumlah vertex kedua graf tersebut yaitu ݊݇ dengan jumlahvertex8 danedge 12. Untuk ketetanggaan setiapvertex yang dimiliki dapat
diperiksa menggunakan teorema Hsu dan Lin [2] yang didefinisikan fungsi ߨ pemetaan
V(WB(2,2)) pada V(ܩଶଶ)diperoleh pemetaan sebagai berikut:ߨ(000)ൌ ݐଵଵݐଶଵ,ߨ(001)ൌ ݐଶଵݐଵଵ,
ߨ(010)ൌ ݐଵଵݐଶଶ,ߨ(011)ൌ ݐଶଵݐଵଶ,ߨ(100)ൌ ݐଵଶݐଶଵ,ߨ(101)ൌ ݐଶଶݐଵଵ,ߨ(110)ൌ ݐଵଶݐଶଶ,ߨ(111)ൌ ݐଶଶݐଵଶ
Dari hasil pemetaan tersebut, dapat dilihat bahwa ߨ adalah fungsi bijektif. Misalkan untuk
ݑ ൌ ͲͲͲ dan ݒ ൌ ͲͲͳvertex pada graf WB(2,2). Kemudian, ߨሺͲͲͲሻ danߨሺͲͲͳሻ adalah dua
vertex yang berbeda pada graf ܩଶଶ dengan mengikuti aturan pemetaan di atas, maka diperoleh hasil sebagai berikut:
ߨ(000)ൌ ݐଵଵݐଶଵ ߨ(001)ൌ ݐଶଵݐଵଵ ݑdanݒadjacentpada graf WB(2,2). Sehingga,
ߨ(000)ൌ ݐଵଵݐଶଵൌ ݂൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ͲͲͲ
Maka,ߨሺͲͲͲሻdanߨሺͲͲͳሻadjacentpadaܩଶଶ.
Graf
ܩ
ଵଶGraf WB(
1,2
)
Sebaliknya , jika ߨ(ݑ)ൌ ݐଵଵݐଶଵ dan ߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଵଵ adjacent pada ܩଶଶ. Kemudian ݐଵଵݐଶଵ dapat menjadi ݂௦൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଵଵ atau ݂௦ିଵ൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଵଵ untuk beberapa ͳ ݏ ʹ. Kemudian jika
ݐଶଵݐଵଵൌ ݂௦൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଵଵ untuk beberapa ͳ ݏ ʹ. Kemudian, ߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଵଵ dan ݒ ൌ ͲͲͳ.
Sehingga, (000,001)߳ܧ൫ܹܤ(2,2)൯. Sama dengan, ߨ(ݒ)ൌ ݂௦ିଵ൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଵଵ juga berimplikasi(000,001)߳ܧ൫ܹܤ(2,2)൯.
Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk setiapvertexyang ada pada graf. Dengan demikian terbukti bahwa graf WB(2,2) isomorfis dengan grafܩଶଶ.
Untuk lebih jelas melihat ketetanggaan setiap vertex yang ada pada kedua graf tersebut sehingga dikatakan isomorfis, perhatikan gambar berikut ini:
Gambar 21. Graf WB(2,2) isomorfis denganܩଶଶ
Asumsi kesamaan jumlahvertexpada graf WB(n,k) danܩ dengan nilain=3 dank=2,dapat diperlihatkan dengan rumus penentuan jumlahvertexkedua graf tersebut yaitu݊݇ dengan
jumlah vertex 24 dan edge 48. Untuk ketetanggaan setiap vertex yang dimiliki dapat
diperiksa menggunakan teorema Hsu dan Lin [2] yang didefinisikan fungsi ߨ pemetaan
V(WB(3,2)) pada V(ܩଷଶ). Sehingga diperoleh hasil pemetaan untuk setiap vertex pada WB(3,2) adalah sebagai berikut:
ߨ(0000)ൌ ݐଵଵݐଶଵݐଷଵ;ߨ(0001)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐଵଵ;ߨ(0002)ൌ ݐଷଵݐଶଵݐଵଵǢ ߨ(0010)ൌ ݐଵଵݐଶଵݐଷଶ;
π (0011) = tଶଵtଷଵtଵଶ;π (0012) = tଷଵtଶଵtଵଶ; π (0100) = tଵଵtଶଶtଵଷ;π (0101) = tଶଵtଷଶtଵଵ;
ߨ(0102)ൌ ݐଷଵݐଶଶݐଵଵǢ ߨ(0110)ൌ ݐଵଵݐଶଶݐଷଶ;ߨ(0111)ൌ ݐଶଵݐଷଶݐଵଶ; ߨ(0102)ൌ ݐଷଵݐଶଶݐଵଶ; ߨ(1000)ൌ ݐଵଶݐଶଵݐଷଵ;ߨ(1001)ൌ ݐଶଶݐଷଵݐଵଵ; ߨ(1002)ൌ ݐଷଶݐଶଵݐଵଵ;ߨ(1010)ൌ ݐଵଶݐଶଵݐଷଶ;
ߨ(1011)ൌ ݐଶଶݐଷଵݐଵଶ;ߨ(1012)ൌ ݐଷଶݐଶଵݐଵଶǢ ߨ(1100)ൌ ݐଵଶݐଶଶݐଷଵ;ߨ(1101)ൌ ݐଶଶݐଷଶݐଵଵ;
ߨ(1102)ൌ ݐଷଶݐଶଶݐଵଵǢ ߨ(1110)ൌ ݐଵଶݐଶଶݐଷଶ; ߨ(1111)ൌ ݐଶଶݐଷଶݐଵଶ; ߨ(1112)ൌ ݐଷଶݐଶଶݐଵଶ
Dari hasil pemetaan tersebut, terbukti bahwaߨadalah fungsi bijektif.
Untuk ݑ ൌ ͲͲͲͲ dan ݒ ൌ ͲͲͲͳ vertex pada graf WB(3,2). Kemudian,ߨሺͲͲͲͲሻ dan ߨሺͲͲͲͳሻ
adalah dua vertex yang berbeda pada grafܩଷଶ dengan mengikuti aturan pemetaan di atas, maka diperoleh hasil sebagai berikut:
ߨ(0000)ൌ ݐଵଵݐଶଵݐଷଵ ߨ(0001)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐଵଵ udanvadjacent pada graf WB(3,2). Sehingga,
ߨ(0000)ൌ ݐଵଵݐଶଵݐଷଵൌ ݂൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ͲͲͲͲ
Maka, ߨሺͲͲͲͲሻdanߨሺͲͲͲͳሻadjacentpadaܩଷଶ
Sebaliknya , jikaߨ(ݑ)ൌ ݐଵଵݐଶଵݐଷଵ danߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐଵଵadjacentpadaܩଷଶ. Kemudianߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐଵଵ
Kemudian jika ߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐଵଵൌ ݂௦൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଷଵݐଵଵ untuk beberapa ͳ ݏ ʹ. Kemudian,
ߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐଵଵdanݒ ൌ ͲͲͲͳ. Sehingga,(0000,0001)߳ܧ൫ܹܤ(3,2)൯. Sama dengan,
ߨ(ݒ)ൌ ݂௦ିଵ൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଷଵݐଵଵjuga berimplikasi(0000,0001)߳ܧ൫ܹܤ(3,2)൯. Dengan demikian terbukti bahwa graf WB(3,2) isomorfis dengan grafܩଷଶ. Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk setiapvertexyang ada pada graf. Dengan demikian terbukti bahwa graf WB(3,2) isomorfis dengan grafܩଷଶ.
Untuk lebih jelas melihat ketetanggaan setiap vertex yang ada pada kedua graf tersebut sehingga dikatakan isomorfis, perhatikan gambar berikut ini:.
Gambar 22. Graf WB(3,2) isomorfis denganܩଷଶ
Asumsi kesamaan jumlah vertexpada graf WB(n,k) dan ܩ dengan nilain = 4 dan k = 2,
dapat diperlihatkan dengan rumus penentuan jumlah vertex kedua graf tersebut yaitu ݊݇
dengan jumlah vertex 64 dan edge 128. Untuk ketetanggaan setiap vertex yang dimiliki
dapat diperiksa menggunakan teorema Hsu dan Lin[2]yang didefinisikan fungsiߨpemetaan
V(WB(4,2)) pada V(ܩଷଶ). Sehingga diperoleh hasil pemetaan untuk setiap vertex pada WB(4,2) adalah sebagai berikut Dari hasil pemetaan tersebut, terbukti bahwaߨadalah fungsi bijektif.
Untukݑ ൌ ͲͲͲͲͲdanݒ ൌ ͲͲͲͲͳvertexpada graf WB(4,2). Kemudian,ߨሺͲͲͲͲሻdanߨሺͲͲͲͳሻ adalah dua vertex yang berbeda pada grafܩସଶ dengan mengikuti aturan pemetaan di atas, maka diperoleh hasil sebagai berikut:
ݑdanݒadjacent pada graf WB(4,2). Sehingga,
ߨ(00000)ൌ ݐଵଵݐଶଵݐଷଵݐସଵൌ ݂൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ͲͲͲͲͲ
Maka, ߨሺͲͲͲͲͲሻdanߨሺͲͲͲͲͳሻadjacentpadaܩସଶ
Sebaliknya , jika ߨ(ݑ)ൌ ݐଵଵݐଶଵݐଷଵݐସଵ dan ߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵ adjacent pada ܩସଶ. Kemudian
ߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵ dapat menjadi ݂௦൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵ atau ݂௦ିଵ൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵ untuk beberapa ͳ ݏ ʹ. Kemudian jika ߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵൌ ݂௦൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵ untuk beberapa ͳ ݏ ʹ. Kemudian, ߨ(ݒ)ൌ ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵ dan ݒ ൌ ͲͲͲͲͳ. Sehingga,
(00000,00001)߳ܧ൫ܹܤ(4,2)൯. Sama dengan,ߨ(ݒ)ൌ ݂௦ିଵ൫ߨ(ݑ)൯ ൌ ݐଶଵݐଷଵݐସଵݐଵଵ juga berimplikasi
(0000,0001)߳ܧ൫ܹܤ(3,2)൯.
Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk setiapvertexyang ada pada graf. Dengan demikian terbukti bahwa graf WB(4,2) isomorfis dengan grafܩସଶ.
Untuk lebih jelas melihat ketetanggaan setiap vertex yang ada pada kedua graf tersebut sehingga dikatakan isomorfis, perhatikan gambar berikut ini:
5. Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Keisomorfisan graf Wrapped Butterfly Networks (WB) (n,k) dan graf cyclic-cubes dapat
ditunjukkan dengan menggunakan gambar.
2. Pasangan graf Wrapped Butterfly Networks (WB) (n,k) dan graf cyclic-cubes yang isomorfis adalahܹܤ(1,2)؆ ܩଵଶ,ܹܤ(2,2)؆ ܩଶଶ,ܹܤ(3,2)؆ ܩଷଶ, dan
ܹܤ(4,2)؆ ܩସଶ.
3. Bentuk grafcyclic-cubes(ܩ) adalah graf Bipartite.
DAFTAR PUSTAKA
[1]Deo, Narsing. 1989.Graph Teory With applications to engineering and computer science. Prentice
Hall of India Private Limited. New Delhi.
[2]Hsu, Lih-Hsing and Lin, Cheng-Kuan. 2009. Graph Theory and Interconnection Networks. Taylor &
