Modul matematika kelas 8 semester 1

(1)

(2)

Syukur Alhamdulillah, akhirnya kami dapat menyelesaikan Lembar Kerja Siswa (LKS)

Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII Semester 1 dengan bantuan berbagai pihak. Untuk

itu, pada kesempatan ini kami ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada:

1) Direktorat Pembinaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Pendidikan Dasar, Dirjen.

Pendidikan Dasar, Kementerian Pendidikan Dan Kebudayaan, yang telah memberikan

bantuan dana Pengembangan karir PTK Dikdas: MGMP SMP tahun 2012 guna

terselenggaranya penyusunan LKS Matematika ini.

2) Drs. Mustafa, M.Pd., selaku Kepala Dinas Pendidikan Kota Langsa.

3) Hardani, S.Pd., selaku Ketua MGMP Matematika tingkat SMP Wilayah Timur Kota

Langsa,

4) Intan Yuliani, S.Pd., selaku Sekretaris MGMP Matematika tingkat SMP Wilayah Timur

Kota Langsa,

5) Muhammad Yusuf, S.Pd., selaku bendahara MGMP Matematika tingkat SMP Wilayah

Timur Kota Langsa,

6) Yenny Suzana, M.Pd., selaku pembimbing dalam penyusunan dan penyelesaian LKS

Matematika ini,

7) Segenap peserta sebagai Tim Penyusun LKS pada Workshop Pengembangan Karir

Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PTK) Pendidikan Dasar (Dikdas) MGMP Matematika

Matriks tingkat SMP Wilayah Timur Kota Langsa tahun 2012, dan

8) Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian Lembar Kerja Siswa (LKS)

Matematika ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Semoga LKS Matematika ini dapat memberi manfaat bagi siswa, guru, dosen, dan

praktisi di bidang pendidikan, serta bermanfaat bagi masyarakat luas pada umumnya. Atas

bantuan yang telah Bapak/Ibu berikan mendapat balasan yang setimpal dari Allah S.W.T.

Amiin.

Langsa, Juli 2012

(3)

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan

hidayah-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan penulisan Lembar kerja Siswa (LKS) Matematika

untuk SMP/MTs Kelas VIII Semester 1 yang merupakan salah satu produk hasil Workshop

Pengembangan Karir Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PTK) Pendidikan Dasar (Dikdas)

MGMP Matematika Matriks tingkat SMP Wilayah Timur Kota Langsa tahun 2012.

LKS Matematika ini merupakan wujud kerja Guru dalam mengembangkan karir guna

menjadi Guru yang profesional. LKS Matematika ini disusun untuk menuntun siswa agar

menemukan sendiri suatu konsep dalam matematika, dengan cara yang lebih mudah dipahami

dan kontekstual. Dengan adanya LKS Matematika ini diharapkan siswa dapat berperan aktif

dalam proses pembelajaran. Secara keseluruhan, LKS Matematika ini terdiri dari 5 BAB, dan

masing-masing BAB terbagi menjadi beberapa kegiatan Pembelajaran.

Kami menyadari bahwa dalam penyusunan LKS Matematika ini masih jauh dari

kesempurnaan. Untuk itu, kritik dan saran demi perbaikan lebih lanjut sangat kami harapkan.

Mudah-mudahan LKS matematika ini dapat memberi manfaat bagi siswa, guru, dan praktisi

pendidikan.

Langsa, Juli 2012

(4)

(5)

DAFTAR ISI

o

Pembelajaran 1.1 ... 1

o

Pembelajaran 5.5 ... 93

o

(6)

(7)

BAB 1

FAKTORISASI BENTUK ALJABAR

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

1.

1

Bentuk Aljabar

Pada buku kelas VII telah dibahas tentang pengertian aljabar, koefisien, konstanta, variabel,

suku dan faktor.

2a + 5

merupakan bentuk aljabar.

Dari bentuk aljabar tersebut, 2 disebut ...

a disebut ...

5 disebut ...

Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut:

1)

3a

disebut bentuk aljabar suku satu (suku tunggal)

2)

3k + 5

disebut bentuk aljabar suku dua (binom), yaitu: suku pertama

3k

dan suku kedua

5

3)

6x

2

+ 4xy - y

disebut bentuk aljabar suku ..., yaitu: suku pertama..., suku

kedua ... dan suku ketiga ...

4)

7a

2

b - 6a

2

- 5a + 3b

disebut bentuk aljabar suku ..., yaitu: ..., ..., ... dan ...

Jadi, suku merupakan kumpulan bilangan-bilangan yang dipisahkan oleh ...

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Perhatikan uraian berikut ini.

Mutia memiliki 9 buku tulis dan 3 buku gambar. Jika buku tulis dinyatakan dengan x dan buku gambar

dinyatakan dengan y maka banyaknya buku mutia adalah

9x+3y

. Selanjutnya, jika Mutia diberi kakaknya

2 buku tulis dan 4 buku gambar maka banyaknya buku mutia sekarang adalah:

11x + 7y



Hasil ini diperoleh dari (9x + 3y) + (2x + 4y).

9x + 3y

dan

2x + 4y

merupakan bentuk aljabar.

Pada bentuk aljabar, suku-suku yang dapat dijumlahkan dan dikurangkan hanyalah suku-suku sejenis

saja. Suku-suku sejenis adalah suku-suku dengan variabel dan pangkat variabel yang sama.

Standar Kompetensi = Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus.

Kompetensi Dasar

= Melakukan operasi aljabar.

Indikator

= 1. Menjelaskan pengertian koefisien, variabel, konstanta, suku satu, suku dua dan suku tiga

dalam variabel sama atau berbeda.

2. Menyederhanakan bentuk aljabar suku satu, suku dua dan suku banyak.

(8)

Langkah-langkah untuk menyederhanakan bentuk aljabar suku satu, suku dua, dan suku banyak yaitu:

1)

Kelompokkan suku-suku sejenis

2)

Jumlahkan atau kurangkan koefisien suku-suku yang sejenis tersebut.

Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut ini !

1)

2x + 3y + 3x

–

y

Penyelesaian :

Kelompokkan suku-suku sejenis

2x + 3y + 3x

–

y = 2x + ... + ...

–

y

= (... + 3) x + (3

–

1) ...

Jumlahkan atau kurangkan koefisien suku-suku yang sejenis tersebut, menjadi:

2x + 3y + 3x

–

y

=

5x + ... y

2)

6a

2

- 2a

2

+ 2a - 7a

= (6

–

2) ... + ( ...

–

7) a

= 4a

2

–

5 ...

Selain dengan cara di atas, penjumlahan dan pengurangan

pada bentuk aljabar dapat dihitung dengan metode bersusun ke bawah.

3)

Jumlahkan 4x

2

–

5x + 4 dan 3x

2

+ 2x

–

6, dengan metode bersusun :

4x

2

–

5x + 4

3x

2

+ 2x

–

6

...

4)

Kurangkan 2p

–

5 dari 10p + 11

Penyelesaian:

10p + 11

–

(2p - 5)

= 10p + 11

–

2p + 5

= ...

–

2p + 11 +...

= ... + ...

1)

Tentukan variabel dan koefisien dari masing-masing variabel dan banyak suku bentuk aljabar

berikut:

a)

3a

–

7b

... ... ... ...

b)

2x

2

y + 5xy

2

... ... ...

...

c)

3p

2

–

5pq + 3q

2

... ... ... ...

d)

5y (y

2

+ 3) - 7

... ...

...

(9)

2)

Sederhanakan bentuk aljabar berikut:

a)

10a

–

7b + 3a + 2b b)

2p2

–

5q + 4p2

–

5q

... ... ... ... ...

3)

a). Jumlahkanlah bentuk aljabar

3x

2

+ 7xy - y

dan

3x

2

- 2xy + 5y

... ... ... ...

b)

Jumlahkan dengan metode bersusun bentuk aljabar

4x + 2y

–

3z

dan

2x

–

7y

–

6z

... ... ... ...

c)

Kurangkanlah:

(8m + 4)

dari

(9m + 12)

... ... ... ...

d)

Kurangkanlah

-2y

2

+ 4y + 5

dari

10y

2

–

12y + 7

... ... ... ...

4)

Arman mempunyai 5 buah robot dan 8 buah mobil-mobilan. Jika Arman diberi 2 buah robot oleh ibu

dan 3 mobil-mobilannya ia berikan kepada Arif, berapa sisa robot dan mobil Arman! Nyatakan dalam

bentuk aljabar.

... ... ... ... ...

5)

Bu Winda membeli 4 kg tepung, 3 kg wortel dan 6 kg tomat. Karena terlalu lama disimpan 2kg

tepung, 1 kg wortel dan 2 kg tomat ternyata busuk. Tentukan tepung, wortel, dan tomat yang

tersisa! Nyatakan dalam bentuk aljabar.

... ... ... ... ...

Nilai

(10)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

1.

2

Perkalian suku satu dengan suku dua

Perkalian suku satu dengan suku dua dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif berikut:

a(x + y) = ax + ay

a(x

–

y) = ax

–

ay

Tentukanlah hasil perkalian 4 (2a + 3)

Penyelesaian :

4 (2a + 3)

=

(4 x ...) + (4 x...)

=

... + ...

Perkalian suku dua dengan suku dua

Perkalian suku dua dengan suku dua dapat diselesaikan dengan menggunakan 3 cara yaitu:

o

Cara 1 : Menggunakan kartu

Adapun langkah

–

langkah kegiatan perkalian suku dua dengan suku dua dengan menggunakan kartu

adalah sebagai berikut:

1)

Persiapkan dua jenis kartu dengan warna yang berbeda, misalkan kartu berwarna putih dan biru.

2)

Kemudian guntinglah kartu berwarna tersebut dengan ukuran 6 x 6, 6 x 3 dan 3 x 3 sebanyak 20

lembar untuk masing

–

masing kartu.

3)

Untuk kartu putih :

Kartu dengan ukuran 6 x 6 dimisalkan dengan x

2

.

Kartu dengan ukuran 6 x 3 dimisalkan dengan x.

Kartu dengan ukuran 3 x 3 dimisalkan dengan 1.

4)

Untuk kartu Biru :

Kartu dengan ukuran 6 x 6 dimisalkan dengan -x

2

.

Kartu dengan ukuran 6 x 3 dimisalkan dengan

–

x.

Kartu dengan ukuran 3 x 3 dimisalkan dengan -1.

dan

x

2

x

1

-x

2

-x

-1

Selesaikanlah : ( x + 3) ( x - 2 )

Kompetensi Dasar

Indikator

= Menyelesaikan operasi perkalian dan pembagian dari suku satu dan suku dua

(11)

Penyelesaian :

(x + 3) (x - 2)

x

-2

x

3

Jadi, ( x + 3) ( x - 2)

= x

2

+ 3x

–

...

–

...

= ...

+ x - ...

o

Cara 2: Menggunakan Sifat Distribusi

Selesaikanlah (x + 3) (x - 2)

Penyelesaian :

( x + 3) ( x - 2)

= x (x - 2) + ....(x - 2)

= x

2

+ .... + .... - 6

= x

2

+ .... - ....

Secara umum perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat ditulis dengan menggunakan

skema :

= a(... + ...) + b(... + ...)

= ac + ad + ... + ...

Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian dari dua atau lebih bentuk aljabar dalam bentuk yang sederhana adalah jika

bentuk-bentuk aljabar tersebut memiliki faktor-faktor yang sama.

1)

2)

1)

Sederhanakanlah bentuk perkalian suku satu dengan suku dua pada bentuk aljabar berikut ini:

a)

3 (a + 2)

b) 2x (x

–

5)

(12)

2)

Sederhanakanlah bentuk perkalian suku dua dengan suku dua berikut dengan 3 cara yaitu: cara

skema, tabel dan kartu.

a)

( x + 1 ) ( x + 4 )

... ... ... ... ...

b)

( x

–

3 ) ( x

–

2 )

... ... ... ... ...

c)

( 2x + 3 ) ( x

–

1 )

... ... ... ... ... ... ..

3)

Sederhanakanlah:

a)

10ab : 2b

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

b)

64x

2

y

2

: 4xy

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Nilai

(13)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

1.

3

Perpangkatan suku satu

Pangkat dari suatu bentuk aljabar adalah perkalian bentuk aljabar dengan dirinya sendiri,

sebanyak pangkat yang tertera pada bentuk aljabar tersebut. Dengan kata lain pangkat merupakan

perkalian berulang.

2

= 2 x 2

a

3

= ... x ... x ...

(3a)

2

= (3a) x ...

(3a + 5)

2

= (3a + 5) (... + ...)

(a + b)

2

= (... + ...) (... + ...)

(p + q)

3

= (...) (...) (...)

Bentuk aljabar di atas disebut perpangkatan suku dua. Tuliskan contoh lain dari perpangkatan suku dua:

... ... ... ... ... ...

Perpangkatan suku dua

Dari contoh di atas, tentukanlah:

(a + b)

2

= (a + b) (a + b)

= a

2

+ ab + ab + b

2

= a

2

+ ... + ...

(a + b)

3

= (a + b) (a + b)

2

= (a + b) (a

2

+ 2ab + b

2

)

= a

3

+ ... a

2

b + ab

2

+ a

2

b + ... + b

3

= a

3

+ ... + ... + ...

Jika dilihat dari kegiatan diatas dan seterusnya maka akan diperoleh pola dari koefisien-koefisien

(a + b)

n

yang disebut koefisien binomial. Koefisien dari perpangkatan suku dua seperti pada contoh di

atas dapat direpresentasikan dalam bilangan segitiga pascal, yaitu sebagai berikut:

Kompetensi Dasar

Indikator

= Menyelesaikan operasi pangkat dari suku satu dan suku dua

(14)

1



(a + b)

0

= 1

1 1



(a + b)

1

= a + b

1 2 1



(a + b)

2

= 1a

2

+ 2ab + 1b

2

1 3 3 1



(a + b)

3

= 1a

3

+ 3a

2

b + 3ab

2

+ 1b

3

1 4 6 4 1



(a + b)

4

= 1a

4

+ 4a

3

b + 6a

2

b

2

+ 4ab

3

+ 1b

4

...



dst

Selesaikanlah perpangkatan suku dua berikut ini:

1)

(2a + 4)

2

= (2a)

2

+ 2(...)(...) + (...)

2

= 4a

2

+ ... + 16

2)

(p

–

2q)

3

= 1p

3

+ 3(p)

2

(...) + 3p (...)

2

+ 1(-2q)

3

= p3 + (-6p

2

q) +... + (-8q

3

)

= ... - 6p

2

q + 12pq

2

- ...

Latihan

1)

Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut:

a)

(4x)

2

b)

(-5p

2

q)

3

... ... ... ... ... ...

2)

Tentukan hasil dari:

a )

( 2 q + 3 )

2

b ) ( a - 2 b )

2

... ... ... ... ... ... ... ...

b )

( x + 2 )

3

(15)

3)

Bu Asni mempunyai kebun berbentuk persegi, dengan panjang sisinya (X+5).

a)

Nyatakan luas kebun Bu Asni!

... ... ... ... ... ... ...

b)

Apakah luas kebun Bu Asni merupakan bentuk perpangkatan?

...

c)

Jika merupakan bentuk perpangkatan, perpangkatan suku berapakah luas kebun Bu Asni?

...

d)

Nyatakan luas kebun Bu Asni dengan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan.

... ... ... ... ...

Nilai

(16)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

1.

4

Faktor-faktor Suku Aljabar

Berapakah faktor persekutuan dari 6 dan 8?

penyelesaian:

Faktor- faktor 6 : 1, 2, ..., ...

Faktor- faktor 8 : 1, 2, ..., ...

Faktor persekutuan dari 6 dan 8 adalah 1 dan 2. Oleh karena itu 1 < 2 maka 2 dikatakan

sebagai faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 6 dan 8.

Faktorisasi Bentuk ax ± b

Cara untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax ± b adalah sebagai berikut :

1)

Carilah faktor persekutuan setiap suku

2)

Bagilah bentuk aljabar tersebut dengan faktor persekutuan terbesar dari setiap sukunya.



Faktorkanlah bentuk aljabar 6b + 8

Penyelesaian

:

carilah faktor persekutuan dari 6b dan 8, kamu telah mengetahui bahwa FPB dari 6 dan 8

adalah 2, kemudian bagilah setiap suku dengan FPB tersebut:

dan

Dengan demikian, pemfaktoran dari

6b+8

adalah

2(3b + 4)

atau

6b+8=2(3b + 4)

.

Faktorisasi bentuk selisih dua kuadrat

Bentuk x

2

–

y

2

dinamakan bentuk selisih dua kuadrat. Faktorisasi bentuk x

2

–

y

2

adalah sebagai berikut:

x

2

–

y

2

= ( x + y ) ( x

–

y )

untuk membuktikan persamaan diatas, coba kamu perhatikan uraian berikut :

( x + y ) ( x

–

y ) = ( x + y ) x + ( x + y ) ( -y )

= x

2

+ ...

–

xy

–

...

= x

2

–

y

2

Kompetensi Dasar

Indikator

= a). Memfaktorkan suku bentuk aljabar sampai dengan suku tiga

b). Pemfaktoran selisih dua kuadrat

(17)

Faktorkanlah: 4p

2

–

25

Penyelesaian:

4p

2

–

25

=

(2p)

2

–

(5)

2

=

(2p + ...) (...

–

5)

1)

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar suku dua berikut!

a)

8a

–

2 b) x

2

+ 10x

... ...

2)

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar suku tiga berikut!

a)

10 m

2

+ 15 mn

–

35 m b) x

2

+ 10x + 25

... ... ... ...

3)

Faktorkan selisih dan kuadrat berikut!

b)

25x

2

–

16y

2

b) 16c

2

–

9a

2

... ... ...

c)

4x

2

–

9y

2

... ... ...

Nilai

(18)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

1.

5

Pemfaktoran bentuk kuadrat

o

Pemfaktoran bentuk x

2

+ 2xy + y

2

dan x

2

- 2xy + y

2

Pada bab lalu kamu sudah mempelajari perkalian dua suku seperti;

(a + b) (a + b)

= a(a + b) + b(a + b)

= a

2

+ ab + ab + b

2

= a

2

+ 2ab + b

2

Sekarang jika dibalik, didapat:

a

2

+ 2ab + b

2

= (a + b)(a + b)

a

2

+ 2ab + b

2

= (a + b)

2

Bentuk diatas disebut bentuk ... sempurna.

o

Pemfaktoran tiga suku

1)

faktorkan a

2

+ 10a +25

Penyelesaian:

a

2

+ 10a +25

= (a)

2

+ 2a(5) + 5

2

= (a + 5)

2

(x + y)

2

= (x + y) (x + y)

= x (x + y) + y (x + y)

= x

2

+ ...+ xy + ...

= ... + 2xy + y

2

Perkalian yang diuraikan diatas disebut pengkuadratan suku dua dan hasilnya x

2

+ 2xy + y

2

disebut suku

tiga bentuk kuadrat sempurna, yang mana bila difaktorkan dan disederhanakan maka kembali kebentuk

semula, yakni suku dua yang dikuadratkan (x + y)

2

2)

Faktorkanlah x

2

+ 6x + 9

Penyelesaian:

karena (

x 6) = 3

2

, maka

x

2

+ 6x + 9

= x

2

+ 6x +3

2

= (x + 3) (x + 3)

= (x + ...)

2

atau

Kompetensi Dasar

Indikator

= a). Pemfaktoran bentuk kuadrat

b).

Pemfaktoran bentuk ax + bx + c jika a≠1

(19)

menggunakan hukum distributif, diperoleh:

x

2

+ 6x + 9

= x

2

+ 2(3x) + 3

2

= ...+ ... + 3x + ...

= x (x +...) +3 (x +...)

= (x + ...) (x + ...)

= (x + 3)

2

Pemfaktoran bentuk ax

2

+ bx + c

o

Memfaktorkan bentuk ax

2

+ bx + c jika a = 1

Faktorisasi bentuk ax

2

+ bx + c adalah (x + p) (x + q) dengan b = p + q dan c = p x q

Coba kamu perhatikan bentuk aljabar berikut:

(x + 2) (x + 5)

= (x + 2) x + (x +2) 5

= x

2

+ ...+ ...+ 10

= ...

+ 7x + 10

Koefisien suku kedua pada bentuk aljabar diatas yaitu

7

merupakan hasil penjumlahan dua konstanta,

yaitu:

2

dan

5

. Adapun suku ketiga yaitu:

10

merupakan hasil perkalian dua konstanta yaitu:

10 = 2 x 5



Faktorkanlah bentuk x

2

+ 8x + 15

Penyelesaian:

x

2

+ 8x + 15 = x

2

+ (p + q)x + pq

= (x + p) (x + q)

Tentukan nilai p dan q terlebih dahulu:

p + q = 8

p x q = 15

sehingga diperoleh nilai p = 3 dan q = 5

(karena 3 + ... = 8 dan 3x5 = ...)

Jadi,

x

2

+ 8x + 15

= (x + ...) (... + 5)

o

Memfaktorkan bentuk ax

2

+ bx + c, jika a≠1

Setelah kamu mempelajari pemfaktoran bentuk ax

2

+ bx + c untuk a = 1, sekarang muncul pertanyaan

bagaimana memfaktorkan bentuk ax

2

+ bx + c, jika a

≠

1. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, amatilah

contoh soal dibawah ini.



Faktorkanlah 3x

2

+ 13x + 10 = 0

Penyelesaian:

3x

2

+ 13x + 10 = 0

a = 3, b = 13, c = 10

p + q = 13

p x q = a x c = 3 x 10

p = 3 dan q =10

dengan menggunakan hukum distributif, diperoleh:

3x

2

+ 13x + 10 = 3x

2

+ 3x +10x +10

= 3x (... + 1) + ... (x + ...)

= (...+ 10) (x + ...)

(20)

1)

Tentukanlah faktor dari bentuk aljabar berikut ini!

a)

x

2

+ 7x + 12 b) x

2

- 6x + 8

... ... ... ... ... ...

b)

x

2

- 8x

–

9 d) x

2

- x

–

2

... ... ... ... ... ...

2)

Tentukanlah faktor dari bentuk aljabar berikut ini!

a)

2x

2

+ 5x + 3 b) 6a2 + 7a + 2

... ... ... ... ... ... ...

Nilai

(21)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

1.

6

Penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar

Pada penjumlahan dan pengurangan pecahan, penyebutnya harus sama. Jika penyebut-penyebutnya

berbeda harus disamakan dahulu dengan cara mencari Kelipatan Persekuuan ter-Kecil (

KPK

) dari

penyebut-penyebutnya.

bd

bc

ad

d

c

b

a







bd

bc

ad

d

c

b

a







1)

Sederhanakan penjumlahan bilangan pecahan berikut!

3

2

5

1



Penyelesaian:

....

...

15

10

15

3

2

5

1









2)

Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan berikut!

x

5

2

3

5



Penyelesaian:

x

15

..

...

15

...

15

25

5

2

3

5











KPK dari 3x dan 5x adalah 15x

3)

Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan berikut!

x

5

2

3

5



Penyelesaian:

6

)

3

(

2

6

...

3

2









x



KPK dari 2 dan 3 adalah 6

6

...

2

6

3







x

6

.

...







6

...

....





x

Kompetensi Dasar

Indikator

= a). Menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan dengan penyebut

suku satu dan suku dua

b). Menyelesaikan operasi perkalian dan pembagian bentuk pecahan dengan penyebut suku

satu dan suku dua

(22)

Perkalian dan pembagian bentuk pecahan aljabar

o

Perkalian bentuk pecahan aljabar

Misalnya, bentuk pecahan aljabar a/b dan c/d dengan b

≠

0 dan d

≠

0

bd

d

c

b

a

...





dengan b

≠

0 dan d

≠

0

Coba kamu kerjakan:

1)

2

7

5

3



=

...

2)

a

2

3



=

...

Selesaikan perkalian bentuk pecahan aljabar:

q

p

3

2



Penyelesaian:

...

.

...

2

3

2









q

p

o

pembagian bentuk pecahan aljabar

Misalnya, bentuk pecahan aljabar a/b dan c/d dengan b

≠

0, c

≠

0 dan d

≠

0

..

...

..

...

.

...









c

a

d

c

b

a

dengan b

≠

0 dan d

≠

0

Coba kamu kerjakan:

1)

...

3

2

5

3





2)

...

6

3





y

x

Selesaikan perkalian bentuk pecahan aljabar

x

2

4

3



Penyelesaian:

2

...

4

3

2

4

3





x



x

(23)

Selesaikan penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan berikut!

a)

a

2

1



e)

5

7

2

5

a



b

b)

x

y

x

2



f)

ab

b

7

5

3

4



c)

3

7

6

5

2







a

g)

q

pq

p

3

2

5

3

2





d)

a

5

2

3

1









1)

Tentukan hasil perkalian bentuk pecahan aljabar berikut:

a)

b

a

7

6

5



b)

2

9

4

2

3

q

pr

r

pq



2)

Tentukan hasil pembagian bentuk pecahan aljabar berikut.

a)

b

a

2

3

7

2



b)

1

3

1







m

Nilai

(24)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

1.

7

Menyelesaikan operasi pangkat pada bentuk pecahan aljabar



Sederhanakan bentuk pecahan aljabar

3 2

3

6

3



























b

a

Penyelesaian:

3 3 2 2 3 2

...

8

9

3

2

3

b

a

b

a

b

a

b

a































.

...

.

...



Menyelesaikan operasi pangkat pada bentuk pecahan aljabar

Pecahan aljabar dapat disederhanakan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dari pecahan itu

dengan suatu bilangan yang sama yaitu, KPK dari masing- masing penyebutnya.

Sederhanakan pecahan aljabar berikut

2

1

4

1

4

1

3

2





Penyelesaian:











 











 







2

1

4

1

12

4

1

3

2

12

2

1

4

1

4

1

3

2

.

...

3

.

...







...



1)

Sederhanakanlah bentuk pecahan aljabar berikut!

a)

3 2

3

2



























b

a

b

a

... ... ...

Kompetensi Dasar

Indikator

= a).

Menyelesaikan operasi pangkat bentuk pecahan aljabar

b). Menyederhanakan bentuk pecahan aljabar

(25)

b)



























2 3 3 2

2

3

b

a

b

a

... ... ... ... ...

c)

₅ 2 2 6 4 10

3

2

y

x

y

x

y

x

















... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2)

Sederhanakanlah pecahan bersusun berikut!

a)

6

1

3

1

2

1





c)

x

2

1

2



b)

x

1





Nilai

(26)

BAB 2

RELASI DAN FUNGSI

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

2.

1

Relasi

Perhatikan permasalahan berikut!

Bu Ani mempunyai empat orang anak yaitu Rina, Siska Dedi dan Tomi. Masing

–

masing anak

mempunyai makanan kegemaran yang berbeda. Rina gemar makan bakso, Siska gemar makan sate

dan bakso, sedangkan Dedi dan Toni gemar makan mie goreng.

Jika anak

–

anak bu Ani di kelompokkan dalam suatu himpunan A, maka kita dapat menuliskannya sebagai

berikut:

A = {...,...,...,...}

jenis makanan yang digemari anak-anak bu Ani dikelompokkan dalam suatu himpunan B, maka kita dapat

menuliskannya sebagai berikut:

B = {...,...,...}

himpunan anak-

anak buk ani mempunyai hubungan dengan himpunan jenis makanan yaitu “ kegemaran”

Dari permasalahan di atas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa:

Menyatakan Relasi

Relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam

beberapa cara, yaitu diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Kompetensi Dasar

= Memahami Relasi dan Fungsi

Indikator

= 1. Menjelaskan pengertian relasi dan fungsi

2. Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi ke dalam diagram

panah, himpunan pasangan berurutan dan diagram Cartesius

Tujuan Pembelajaran = 1. Siswa dapat menjelaskan pengertian relasi dan fungsi

2. Siswa dapat menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi

kedalam diagram panah,himpunan pasangan berurutan dan diagram cartesisus.

relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah :

(27)

o

Diagram panah

Apabila permasalahan Bu Ani seperti dinyatakan dengan diagram panah, maka kita dapat

merepresentasikan sebagai berikut:

o

Himpunan Pasangan Berurutan

Apabila diagram panah pada nomor (1) dinyatakan dengan pasangan berurutan maka dapat ditulis sebagai

berikut:

Himpunan pasangan berurutan

= {(Rina,...), (..., bakso), (..., ...),

(...,...), (...,...)}

o

Diagram Cartesius

Dari himpunan pasangan berurutan pada no (2) apabila

dinyatakan dalam diagram Cartesius, maka grafiknya

dapat digambar disamping.

1)

Tuliskan sebuah contoh relasi yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dan nyatakan dalam

diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan diagram Cartesius:

... ... ... ... ... ...

2)

Himpunan

P

= {6, 10, 14, 22, 26

} dan

Q

= {7, 11, 13, 3, 5},

tentukan:

a)

Relasi yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q

b)

Nyatakan relasi tersebut dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan

berurutan!

(28)

3)

Perhatikan diagram Cartesius berikut!

Ceritakanlah dengan bahasa kamu tentang

diagram Cartesius disamping!

... ... ... ... ...

...

... ... ... ... ... ...

4)

Relasi dari

A = {a, e, i, o, u}

ke

B = {b, c, d, f, g, h}

dinyatakan sebagai

R = {(a,b), (a,c), (e,f), (i,d ),

(o,g), (o,h), (u,h)}

. Nyatakan relasi tersebut ke dalam bentuk diagram panah dan diagram Cartesius

... ... ... ... ... ... ... ...

5)

Tentukan relasi yang memenuhi dari diagram tersebut, kemudian

nyatakan dalam diagram panah dan himpunan pasangan berurutan.

... ... ... ... ... ... ... ...

Nilai

(29)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

2.

2

Pengertian Fungsi

Kamu sudah mengetahui atau memahami relasi, untuk memahami pengertian fungsi atau pemetaan.

Perhatikan beberapa contoh relasi berikut.

dari contoh

–

contoh relasi diatas,

Gambar (1)

dan

Gambar (2)

merupakan fungsi atau pemetaan.

Gambar

(2)

dan

Gambar (4)

bukan merupakan fungsi. Coba kamu jelaskan perbedaan relasi dan fungsi:

Menyatakan fungsi

Fungsi dapat dinyatakan dalam: diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius

Standar Kompetensi = Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus.

Kompetensi Dasar

Indikator

= 1. Menjelaskan pengertian pemetaan/fungsi

2. Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan pemetaan/fungsi ke dalam diagram

panah, himpunan pasangan berurutan dan diagram Cartesius

3. Menyebutkan domain, kodomin dan range suatu fungsi

Tujuan Pembelajaran = 1. Siswa dapat menjelaskan pengertian pemetaan/fungsi

2. Siswa dapat menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan pemetaan/fungsi

kedalam diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan diagram Cartesius.

3. Siswa dapat Menyebutkan domain, kodomin dan range suatu fungsi

(30)

o

Diagram panah

Pada relasi diatas:

himpunan A={ ...,...,... } disebut

daerah asal (domain)

himpunan B={ ...,...,... } disebut

daerah kawan (kodomain)

Sedangkan range atau daerah hasil adalah { ...,...,... }

o

Himpunan Pasangan Berurutan

Diagram panah pada nomor (1) dinyatakan dengan pasangan berurutan maka dapat ditulis sebagai:

... ...

o

Diagram Cartesius

Himpunan pasangan berurutan pada no (2)

apabila

dinyatakan

dalam

diagram

Cartesius,

maka

grafiknya

dapat

digambar disamping:

1)

Perhatikan gambar (i), (ii), dan (iii), manakah yang merupakan fungsi (pemetaan) dan bukan fungsi,

serta berikan alasannya!

Penyelesaian

i)

………

ii)

………

iii)

………

(31)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

3)

Perhatikan diagram panah pada Gambar disamping.

Tentukanlah:

(i) domain;

(ii) kodomain;

(iii) range;

... ... ... ...

Nilai

(32)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

2.

3

Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, kerjakan kegiatan

berikut:

1)

Jika himpunan A = {a,b} maka n(A) = 2

Himpunan B = {p} maka n(B)= 1

carilah banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi dari A ke B.

n(A)=2 dan n(B)=1

Banyak pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang mungkin

terjadi =

1 cara

.

2)

Misalkan A = {a,b} maka n(A) =

……

B = {p,q} maka n(B

) = ……

Buat diagram panah pemetaan yang mungkin dari A ke B

banyak pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang mungkin terjadi = ...

3)

Misalkan A = {a,b} maka n(A) =

……

B = {p,q, r} maka n(B

) = ……

4)

Misalkan A = {a,b,c} maka n(A) =

……

B = {p} maka n(B

) = ……

Kompetensi Dasar

= Memahami Relasi dan Fungsi

Indikator

= Menentukan banyaknya pemetaan dua himpunan A dan B.

(33)

dari hasil diatas, isilah tabel berikut dan analisalah untuk mendapatkan nilai yang lain !

n(A)

n(B)

Banyak pemetaan dari A ke B

Kuadrat

2

3

4

k

1

2

3

4

5

1

2

1

2

l

1

4

9

………. ……….

1

8

………. ………. ……….

1

2 ………..

3

2 ……….. ……….

1

3

2

3 ……….. ………. ………

Berdasarkan tabel di atas dapat di simpulkan bahwa:

1)

Diketahui himpunan A={a,b,c,d,e} dan himpunan B={p, q}. Berapakah banyak pemetaan yang terjadi

dari himpunan A ke himpunan B tersebut?

... ...

2)

dari soal nomor (1) tentukan pula banyaknya pemetaan darihimpunan B ke himpunan A.

... ...

3)

P={huruf vokal} dan Q={bilangan asli kurang dari 4}.tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin

dari himpunan P ke himpunan Q!

... ... ...

Nilai

Kognitif Afektif Nilai Psikomotorik Nilai Paraf Guru Paraf Orang Tua

jika n(A) = a dan n(B) = b

(34)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

2.

4

Notasi Fungsi

Fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti

f

,

g

, atau

h

. Pada fungsi

f

memetakan

x

anggota

himpunan

A

ke

y

anggota himpunan

B

, dinotasikan dengan

f:x

→

f

(

x

)

Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar disamping menunjukkan:

fungsi himpunan

A

ke himpunan

B

menurut aturan

f

:

x



2

x

+ 1.

x

merupakan anggota domain

f

.

Fungsi

f

:

x



...

berarti fungsi

f

memetakan

x

ke ...

Oleh karena itu, bayangan

x

oleh fungsi

f

adalah ...

Jadi, dapat dikatakan bahwa

f

(

x

) = ... adalah rumus untuk fungsi

f

.

Jika fungsi

f

:

x



2

x

+1

dengan

x

anggota domain

f

, rumus fungsi

f

adalah:

f

(

x

) =

...

1)

Fungsi

f : x

→

4x+1

rumus fungsinya adalah

... ... ...

2)

Fungsi

g : x

→

... ... ...

3)

Fungsi

h : x

→

2x

2

-1

... ... ...

Kompetensi Dasar

= Memahami Relasi dan Fungsi.

Indikator

= 1. Mempresentasikan suatu fungsi dalam notasi.

2. Menghitung nilai fungsi.

(35)

Menghitung Nilai Fungsi

Perhatikan contoh berikut ini.

Y= f(x) = x + 2

x

adalah variabel bebas dan

y

adalah variabel terikat.

Pada materi yang akan kamu terima sekarang adalah menghitung

nilai fungsi

. Menghitung nilai fungsi

berarti mensubstitusikan nilai variabel bebas ke dalam rumus fungsi sehingga diperoleh nilai variabel

bergantungnya.

Perhatikan soal berikut dan cobalah diskusikan cara menyelesaikannya dengan temanmu.

1)

Pemetaan

f:G

→

R

ditentukan oleh

f(x)=x +2

dengan

G={-1,0,1,2,3,4}

dan

R

adalah himpunan

bilangan real. maka daerah hasil dari f adalah ...

Penyelesaian:

f(x)

= x + 2

Substitusikan setiap anggota domain G ke rumus fungsi

f(x)

didapat:

f(-1) = (...) + 2

f (2) = ...

= ...

f(0)

= (...) + ...

f (3) = ...

= ...

f (1) = ...

f (4) = ...

Daerah hasil dari

f

adalah { ... }

Bayangan -1 oleh K adalah ...

2)

Jika f(x) = -3 maka nilai x adalah ...

Penyelesaian:

f(x)

= 3

x + 2 = -3

x

= ...

3)

Fungsi

f

pada R ditentukan oleh formula f(x) = ax + b dan diketahui f(4) = 6 dan f(2) = -2. Tentukan

bentuk fungsi f.

Penyelesaian:

f(x)

= ax + b

f(4)

= 6

→

a (...) + b

= 6

f(2)

= -2

→

a (...) + b

= -2 (-)

... + ...

= 6

...

= ...

...

= ...

Substitusikan a =... Ke persamaan

2a + b = -2

maka akan diperoleh:

2 (...) + b

= -2

b = ...

(36)

Jadi fungsi f adalah

f(x) = ax + b

= ... + ...

Suatu pemetaan K ditentukan oleh

K :

x

→

3x

–

1

dengan x anggota bilangan real. Tentukan:

a)

Bayangan 2 oleh K

... ... ... ...

b)

Nilai k untuk x = -4

... ... ... ... ...

c)

Nilai r sehingga k(r) = 7

... ... ... ... ...

Nilai

(37)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

2.

5

Suatu fungsi dapat ditentukan rumusnya jika nilai data diketahui. Bagaimanakah caranya? Untuk

menjawabnya, pelajarilah contoh soal berikut.

Fungsi

h

pada himpunan bilangan Real ditentukan oleh rumus

h(x) = a x + b

, dengan

a

dan

b

bilangan

bulat. Jika

h

(

–

2) =

–

4

dan

h

(1) = 5

, tentukan:

a)

nilai

a

dan

b,

b)

rumus fungsi tersebut.

Penyelesaian:

h

(

x

)

= ax + b

a)

Oleh karena

h

(

–

2) =

–

4 ,maka

h

(

–

2) =

a

(...) +

b

=

–

4

...a + b =

–

4

--- persamaan (1)

h(1)

= 5 maka

h(1)

= a (...) + b = 5

... + b = 5

b = ... --- persamaan (2)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:

...

a

+

b

=

–

4

...a + (...) =

–

4

...a + 5

–

a =

–

4

–

3a + 5 =

–

4

–

3a =

–

9

a = 3

Substitusikan nilai

a

=3 ke persamaan (2), diperoleh :

b = 5

–

a

b = 5

–

...

b = ...

Jadi, nilai

a

sama dengan 3 dan nilai

b

sama dengan ...

b)

Oleh karena nilai

a

= 3 dan nilai

b

= ...

h

(

x

) = ...

x

+ ...

Kompetensi Dasar

Indikator

= Menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui

(38)

1)

Fungsi f ditentukan oleh

f(x) = ax + b

. Jika

f(2) = 12

dan

f(

–

3) =

–

23

, tentukanlah:

a)

nilai

a

dan

b,

... ... ... ... ... ...

b)

rumus fungsi tersebut.

... ... ... ... ... ... ... ...

2)

Diketahui

R(x) = ax + b

, jika

R(-2) = -4

dan

R(-6) = 12

tulislah bentuk fungsi R.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Nilai

(39)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

2.

6

Menggambar grafik fungsi

Sebelum kamu membuat grafik fungsi pada kooradinat Cartesius, terlebih dahulu kamu memahami:

1)

unsur unsur yang ada pada koordinat Cartesius

2)

Menggambarkan titik koordinat Cartesius

1) Jawablah pertanyaan dibawah ini.

a)

Dari gambar disamping, garis horizontal (mendatar)

disebut dengan sumbu ...

dan garis tegak (...) disebut

sumbu Y

b)

Sumbu mendatar (... disebut absis

Sumbu tegak (y) disebut ... ,

sedangkan Pasangan absis dan ordinat (...)

disebut

koordinat

c)

Perhatikan koordinat titik P merupakan pasangan 3 dan 4

ditulis (……… , ………), 3 disebut ………

dan

4 disebut ………

d)

Koordinat titik A (………… , …………),

dan

koordinat titik B (………… , …………)

2)

Diketahui koordinat titik P (3,4), Q (-3,4) dan

titik R (2,-3), gambarkanlah titik tersebut

pada koordinat Cartesius.

Kompetensi Dasar

= Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius

Indikator

= 1. Menentukan koordinat suatu titik pada koodinat Cartesius

2. Membuat gambar grafik pada koordinat coordinat Cartesius dari persamaan yang

ditentukan

Tujuan Pembelajaran = 1. Siswa dapat menggambar titik coordinat Cartesius dan menentukan titik koordinat pada

koordinat Cartesius

(40)

3)

Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x + 1 dimana x

bilangan Real, Gambar grafik fungsi tersebut.

Penyelesaian:

Untuk mengambar grafik grafik fungsi, tentukan

daerah asal misal {1,2,3,4, dan 5},

Langkah 1:

Tentukan titik koordinat. (dapat disajikan dalam

bentuk tebel)

X

1

2

3

4

5

2x+1

……

…..

7

…..

(x,y)

……

…..

(3,7)

……

…..

Langkah 2:

Gambarkan titik koordinat pada gambar disamping

Langkah 3:

Hubungkan titik pada koordinat Cartesius pada

langkah 2, untuk memperoleh grafiknya

4)

Apabila suatu fungsi f yang dirumuskan sebagai f(x) = 2x

–

3 dengan daerah asal A={-2, -1, 0, 1, 2}.

a)

Tentukanlah dareah hasil atau range dari fungsi f(x) = 2x

–

3

b)

Tentukanlah letak titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius.

c)

Gambarlah suatu garis yang melalui titik-titik tersebut.

Penyelesaian:

a)

Daerah hasil atau range dari f(x) = 2x

–

3 adalah

f(-2) = 2(...)

–

3 = ...

f(-1) = ...

f(0) = ...

f(1) = ...

f(2) = ...

Daerah hasil atau range = (..., ..., ...)

nilai fungsi yang diperoleh dari f(x) = 2x

–

3 dapat disajikan pada tabel berikut ini:

x

-2

-1

0

2

1

2x

–

3

...

-3

...

(x, y)

(-2, ...)

(..., ...)

(0, -3)

(..., ...)

(41)

c)

Untuk menggambar garis dari fungsi f(x) = 2x

–

3 yaitu dengan menghubungkan titik-titik yang

diperoleh pada poin (b)

e)

Apabila suatu fungsi g : x

–

3x + 2 dengan daerah asal A = {x



1 ≤ x ≤ 5, x bilangan real}.

a)

Tentukanlah dareah hasil atau range dari fungsi g tersebut.

b)

Tentukanlah letak titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius.

c)

Gambarlah suatu garis yang melalui titik-titik tersebut.

Penyelesaian:

a)

Daerah hasil atau range dari g adalah

g(1) = ...

g(2) = ...

g(3) = ...

g(4) = ...

g(5) = ...

nilai fungsi yang diperoleh dari g(x) =

–

3x + 2 dapat disajikan pada tabel berikut ini:

x

1

2

3

4

5

...

(x, y)

(..., ...)

(..., ...) (..., ...) (..., ...) (..., ...)

b)

Letak titik-titik pada poin (a) dapat digambarkan pada koordinat Cartesius berikut ini:

(42)

1)

Apabila suatu fungsi f yang dirumuskan sebagai f(x)=3x

–

2 dengan daerah asal A={-2, -1, 0, 1, 2}.

a)

Tentukanlah dareah hasil atau range dari fungsi f(x) = 3x

–

2

b)

Tentukanlah letak titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius.

c)

Gambarlah suatu garis yang melalui titik-titik tersebut.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2)

Diketahui suatu fungsi g dengan rumus g(x) = -5x + 1 dengan daerah asal A = {xl-5

≤

x

≤

5, x

bilangan real}.

a)

Tentukan daerah hasil fungsi g.

b)

Gambarlah grafik fungsi g pada koordinat Cartesius.

c)

Berupa apakah grafik fungsi g?

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

3)

Diketahui suatu fungsi f dengan daerah asal A = {-2, 2, 5, 7} dengan rumus fungsi f(x)=2x+3

a)

Tentukan f(-2) , f(2), f(5) dan f(7). Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh?

b)

Buatlah tabel fungsi di atas.

c)

Tentukan daerah hasilnya.

d)

Gambarlah grafik fungsi dalam koordinat Cartesius.

(43)

4)

Diketahui suatu fungsi g dengan daerah asal P = { x l x ≥ 3, x

bilangan real} dengan rumus fungsi

g(x) = 3x + 4.

a)

Buatlah tabel fungsi di atas dengan mengambil beberapa nilai x.

b)

Tentukan daerah hasilnya.

c)

Gambarlah grafik fungsi dalam koordinat Cartesius.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

5)

Perhatikan grafik fungsi f pada koordinat Cartesius berikut.

a)

Tentukan daerah hasil fungsi f.

b)

Tentukan nilai fungsi f untuk x = 0, x = 1,

x = 2, x = 3 dan x = 4.

c)

Pola apakah yang kamu peroleh?

d)

Tentukan rumus fungsi f berdasarkan (b)?

...

(44)

... ... ... ... ... ...

6)

Diketahui suatu fungsi f dengan rumus f(x)=3x

–

1 dengan daerah asal k {-3, -1, 1, 3, 5, 7}

a)

Buatlah tabel nilai fungsi f.

b)

Tentukan daerah hasil fungsi f.

c)

Gambarlah grafik fungsi tersebut.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Nilai

(45)

BAB 3

PERSAMAAN GARIS LURUS

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

3.

1

Sistem koordinat Cartesius

Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari sistem Cartesius, untuk mengingat kembali perhatikan

gambar di bawah ini.

Gambar diatas merupakan denah perkemahan pramuka dan daerah yang harus mereka jelajahi untuk

kegiatan

“mencari jejak

”

.

Dapatkah kamu melengkapi cerita berikut ini?

Para kelompok pramuka tersebut terbagi menjadi empat kelompok. Masing-masing kelompok

menempati satu tenda, yaitu

tenda 1

pada koordinat (2,0),

tenda 2

di (

...

,

...

),

tenda 3

di

(

...

,

...

), dan

tenda 4

di (

...

,

...

). Koordinasi setiap kegiatan dilakukan di

posko utama

, yaitu di

(

...

,

...

).

Standar Kompetensi = Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.

Kompetensi Dasar

= Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus.

Indikator

= 1. Mengenal persamaan garis lurus dalam membangun bentuk dan variabel.

2. Menggambar grafik pada bidang Cartesius

(46)

Sebelum kegiatan “mencari jejak” dilakukan, mereka diingatkan untuk mengikuti setiap

petunjuk

yang diberikan di setiap pos, yaitu

pos 1

di (

...

,

...

),

pos 2

di (

...

,

...

), dan

pos 3

di (

...

,

...

).

Mereka juga dilarang masuk ke

hutan

, yaitu di (

...

,

...

) karena sangat berbahaya. Selain itu,

mereka juga harus berhati-hati saat melewati

tanah lapang

yang cukup luas di (

...

,

...

),

pemakaman

di (

...

,

...

), dan

sungai

di (

...

,

...

). Para anggota pramuka itu juga harus berusaha

mencari adan memecahkan

teka-teki

yang disembunyikan di (

...

,

...

).

Dari kegiatan diatas, kamu tentunya sudah semakin lancar membaca koordinat Cartesius.

Menggambar garis lurus pada bidang Cartesius

Jika diketahui sebuah pemetaan

f(x)=2x

dengan daerah asal

0



x



3; x

X

R

.

Tentu kamu telah dapat menggambar grafik

fungsinya bukan!

x

0

1

2

3

2x

(x,y)

Dalam permasalahan tersebut, persamaan

f(x)=2x

dapat diubah menjadi

y=2x

.

Untuk menggambar sebuah garis, kamu dapat mengikuti langkah berikut ini:

1)

Tentukan minimal dua titik yang memenuhi persamaan tersebut. Pilihlah titik yang memudahkan

dalam perhitungan.

2)

Buatlah tabel untuk mempermudah perhitungan.

3)

Gambarkan titik tersebut pada bidang koordinat Cartesius.

4)

Hubungkan titik-titik tersebut.

Agar kamu lebih memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut ini.

Menggambar garis dengan persamaan y=mx

1)

Gambarkan grafik y = 3x

Penyelesaian:

Langkah 1

x = ...



y = 3 ...

y = ...

x = ...



y = 3 ...

y = ...

langkah 2

x

y

(x,y)

(47)

2)

Gambarkan grafik y = -4x

Penyelesaian:

x = ...



y = -4 ...

y = ...

x = ...



y = -4 ...

y = ...

x

y

(x,y)

3)

Gambarkan grafik y =

x

Penyelesaian:

x = ...



y = ...

x = ...



y = ...

x

y

(x,y)



Apakah grafik garis y = 3x, y = -4x dan y =

x melewati titik pangkal (0,0) ?

Jawab :

...



Jika koefisien x dari persamaan garis di atas dilambangkan dengan m,

Menggambar garis dengan persamaan y=mx+c

1)

Gambarkan grafik y = 3x+1

Penyelesaian:

x = ...



y = ...

x = ...



y = ...

x

y

(x,y)

(48)

2)

Gambarkan grafik y = 4x-2

Penyelesaian:

x = ...



y = ...

x = ...



y = ...

x

y

(x,y)



Apakah grafik garis y = 3x+1 dan y = 4x-2 melewati titik pangkal (0,0) ?

Jawab :

...



Garis y = 3x+1 memotong sumbu y di titik (

...

,

...

)



Garis y = 4x-1 memotong sumbu y di titik (

...

,

...

)



Dari kegiatan diatas, apa yang dapat kamu simpulkan?

Gambarlah grafik garis lurus yang memenuhi persamaan berikut:

1)

y =

x

2)

y = -3x

3)

y = -x + 5

4)

y =

x - 3

Jika koefisien x = m dan berpotongan dengan sumbu y = c,

maka persamaan garis tersebut adalah:

(49)

Menentukan Persamaan Garis yang digambar pada Bidang Koordinat Cartesius

Pada pembelajaran yang lalu, kamu telah mempelajari cara menggambar grafik garis jika persamaannya

diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari hal yang sebaliknya, yaitu menentukan persamaan garis jika

gambar garisnya diketahui.

Untuk itu, analisa gambar tersebut!

Apakah garis melalui titik (0,0)

YA

y = mx

Pilih salah satu titik

selain (0,0) untuk

menentukan nilai

m

persamaan

TIDAK

y = mx + c

Pilih 2 titik sembarang

untuk menentukan nilai

m

dan

c

persamaan

Untuk lebih memahaminya, lakukanlah kagiatan berikut ini.

1)

Tetukan persamaan garis dari gambar dibawah ini.

Langkah-langkah:



Apakah garis melalui titik (0,0)?

Jawab:

...



Maka persamaan garisnya adalah:

y =

...



Ambil satu titik pada garis.

misalkan ( 4,

...

) maka: x =

...

y =

...



substitusikan nilai x dan nilai y

y = m x

...

= m (

...

)

m =

...



jadi persamaan garisnya adalah

(50)

2)

Tetukan persamaan garis dari gambar dibawah ini.

Langkah-langkah:



Apakah garis melalui titik (0,0)?

Jawab:

...



Maka persamaan garisnya adalah:

y =

...



Titik potong dengan sumbu y dititik ( 0,

...

)

maka c =

...



Titik potong pada sumbu x adalah:

dititik (

...

, 0 ) maka:

x =

...

y =

...



substitusikan nilai x, nilai y dan nilai c

y = m x + c

...

= m (

...

) +

...

m =

...



jadi persamaan garisnya adalah

y =

...

+

...

(51)

2)

Tentukan persamaan garis a, b, dan c pada gambar dibawah ini.

3)

Gambar garis yang melalui titik pangkal (0,0) dan titik (4,-3). Tentukanlah persamaan garisnya.

4)

Gambar garis yang melalui titik P (0,2) dan Q (2,0). Kemudian, tentukanlah persamaan garisnya.

Nilai

(52)

P

e

m

b

el

a

j

a

r

an

3.

2

Pengertian Gradien

Pernahkah kamu melalui jalan yang naik dan turun seperti halnya di daerah pegunungan?

Lereng gunung memiliki kemiringan tanah

yang tidak sama, ada yang curam ada

juga yang landai. Oleh karena itu,

pembangunan suatu jalan yang menanjak

dan

berkelok-kelok

seperti

di

pegunungan

diperlukan

perhitungan

tertentu

agar

kendaraan

mudah

melewatinya.

Salah satu perhitungan matematika yang

harus diperhatikan dalam pembangunan

jalan seperti itu adalah kemiringannya.

Tingkat kemiringan inilah yang disebut

gradien

.

Untuk memahami persoalan tersebut, maka

perhatikanlah gambar disamping (kanan

atas)!

Apabila tanjakan mobil pada gambar yang

tampak seperti permasalahan di atas kita

sajikan pada grafik pada Gambar disamping

(kanan bawah)!

Kemiringan jalan merupakan perbandingan garis tegak (vertikal) dengan garis mendatar (horizontal).

a)

Tentukan panjang garis tegak dengan cara menghitung banyaknya petak satuan. Jadi, banyak petak

satuan pada garis tegak adalah ………..

b)

Tentukan panjang garis mendatar dengan cara menghitung banyaknya petak satuan. Jadi, banyak

petak satuan pada garis mendatar adalah ………

Standar Kompetensi = Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.

Kompetensi Dasar

= Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus.

Indikator

= 1. Menjelaskan pengertian gradien.

2. Menggambar suatu garis yang melalui titik pusat dan titik lain yang diketahui pada koordinat

Cartesius.

3. Menentukan gradien dari suatu garis yang melalui titik pusat dan titik lain yang diketahui

pada koordinat Cartesius.

Tujuan Pembelajaran = 1. Menjelaskan pengertian gradien.

2. Menggambar suatu garis yang melalui titik pusat dan titik lain yang diketahui pada koordinat

Cartesius.

(53)

Sehingga diperoleh kemiringan jalan adalah

...

..

...



mendatar

garis

panjang

tegak

garis

panjang

Kemiringan jalan disebut gradien, maka gradiennya adalah

...

..

...

Pada grafik Cartesius berikut terdapat garis OA, garis OB dan garis OC. Tentukanlah gradien

masing-masing garis tersebut!

a)

Gradien garis OA =

...

3

-...

komponen

y

komponen

OA

mendatar

gari s

panjang

OA

tegak

gari s

panjang



b)

Gradien garis OB =

...

..

...

x

komponen

.

komponen

OB

mendatar

gari s

panjang

...



...



c)

Gradien garis OC =

...

..

...



Berdasarkan perhitungan gradient garis diatas dapat disimpulkan

1)

Gradient positif menyatakan kemiringan garis ke kanan

2)

Gradient negative menyatakan kemiringan garis ke

...

Gradien suatu garis yang melalui titik O(0,0) dan titik (x,y)

...

komponen

y

komponen

m



atau

...

y

(54)

Gradien Garis

y

= m

x

Perhatikan gambar di bawah ini!

Garis-garis pada gamb