Mendapatkan Solusi Sistem Persamaan
Diferensial Linier Biasa dengan
Menerapkan Teknik Diagonalisasi
Matriks
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
Email: [email protected]
1
Pendahuluan
Suatu sistem persamaan diferensial linier yang tersusun atasnpersamaan difer-ensial orde satu dengannpeubah tak bebas:
˙
x1=a11x1+a12x2+. . .+a1nxn
˙
x2=a21x1+a22x2+. . .+a2nxn
· · ·
˙
xn=an1x1+an2x2+. . .+annxn
(1)
denganx1, . . . , xnadalah peubah tak bebas,a11, . . . , annmasing-masing adalah
konstanta, dan:
˙ x1=
dx1
dt
˙ x2=
dx2
dt
· · ·
˙ xn=
dxn
dt .
dengantadalah peubah bebas. Di sini, diberikan
x1(0), x2(0), . . . , xn(0)
yang masing-masing adalah nilai x1, x2, . . . , xn ketika t = 0. Dalam bentuk
matriks vektor, (1) dapat dinyatakan sebagai:
˙
dengan:
˙
x=
˙ x1
˙ x2
· · ·
˙ xn
,
A=
a11 a21 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · ·
an1 an2 · · · ann
,
dan:
x=
x1
x2
· · ·
xn
.
JikaApada (2) mempunyai nilai-nilai eigen:
{λ1, λ2, . . . , λn}
yangreal danberbeda, maka suatu matriksPyang tersusun dari vektor-vektor
eigen yang berhubungan dengan nilai-nilai eigen tersebut:
P= v1 v2 . . . vn
memiliki invers (invertible).1 Dapat ditunjukkan bahwa:
D=P−1AP
, (3)
dengan
D= diag (λ1, λ2, . . . , λn),
adalah matriks diagonalisasiA.
Dalam hal (3) terpenuhi, suatu matriks:
E(t) = diag eλ1t, eλ2t, . . . , eλnt
membentuk solusi bagi sistem persamaan diferensial (1) yang dinyatakan oleh:
x(t) =PE(t)P−1c
(4)
dengan:
x(t) =
x1(t)
x2(t)
· · ·
xn(t)
,
dan
c=
x1(0)
x2(0)
· · ·
xn(0)
.
1
2
Komputasi
Langkah pertama adalah mendapatkan A menyatakan (1) dalam bentuk (2).
Nilai-nilai eigenAselanjutnya diperoleh menggunakan persamaan:
|A−λIn|= 0, (5)
denganIn adalah matriks identitas orde n. Nilai-nilai eigenA (λ1, λ2, . . . λn)
adalah setiap nilaiλyang memenuhi (5). Seperti diuraikan di atas, diperlukan nilai-nilai eigen yang real dan berbeda agar (3) terpenuhi.
Vektor eigen vi yang berhubungan dengan dengan λi dihitung menggunakan
persamaan2 :
(A−λiIn)vi=0. (6)
Nilaiviadalahsetiapsolusi tak nol (non-trivial) persamaan (6)3. Hal ini dapat
diperoleh, antara lain, dengan menyatakan (6) dalam bentu matriks diperbesar (augmented matrix) dan selanjutnya melakukan reduksi eselon terhadap ma-triks tersebut. Langkah ini akan dijelaskan lebih lanjut pada bagian Contoh.
Setelah seluruh vektor eigen diperoleh, maka langkah berikutnya adalah mem-bentuk matriksP:
P= v1 v2 . . . vn
dan selanjutnya menghitungP−1. Akhirnya, solusi persamaan diferensial dapat
diperoleh dengan menghitung (4).
3
Contoh
Selesaikan sistem persamaan linier tergandeng
˙
x1=−9x1−2x2
˙
x2= 6x1−x2
(7)
dengan nilai-nilai awalx1(0) = 2 danx2(0) = 0.
3.1
Mendapatkan Nilai-nilai Eigen
Dalam bentuk matriks vektor, (7) menjadi:
˙ x1
˙ x2
=
−9 −2
6 1
x1
x2
.
Nilai-nilai eigenAdiperoleh menggunakan (5):
|A−λI|= 0
−9 −2 6 −1
−
λ 0 0 λ
=
−9−λ −2 6 −1−λ
= 0
(−9−λ)(−1−λ)−(−2)(6) =λ2+ 10λ+ 21 = 0 (λ+ 3)(λ+ 7) = 0,
diperoleh nilai-nilai eigen masing-masing: λ1=−3 danλ2=−7.
2
Perhatikan bahwa ruas kanan pada (6) adalah vektor nol. 3
3.2
Mendapatkan Vektor-vektor Eigen
• Menerapkan (6) untuk mendapatkansalah satuvektor eigen yang berhubun-gan denberhubun-ganλ1=−3:
Dalam bentuk matriks diperbesar, reduksi sistem persamaan di atas ke dalam bentuk eselon menghasilkan:
Dengan demikiansalah satu eigenvektor yang berhubungan dengan λ=
−3 adalah:
• Menerapkan (6) untuk mendapatkansalah satuvektor eigen yang berhubun-gan denberhubun-ganλ2=−7:
Dalam bentuk matriks diperbesar, reduksi sistem persamaan di atas ke dalam bentuk eselon menghasilkan:
Misalkanv2=
x y T
, maka dari bentuk eselon di atas:
x+y= 0.
Pilihy= 1:
x+ 1 = 0−→x=−1.
Dengan demikiansalah satu eigenvektor yang berhubungan dengan λ=
−7 adalah:
v2=
−1 1
.
3.3
Mendapatkan P dan Menghitung P
−1Matriks yang dibentuk dari vektor-vektor eigen adalah:
P= v1 v2
=
−1 −1
3 1
.
Dengan demikian:
P−1
= 1
(−1)(1)−(−1)(3)
1 1
−3 −1
= 1
2 1 2
−3
2 −
1 2
.
Dapat diperiksa bahwa:
P−1AP
= 1
2 1 2
−3
2 −
1 2
−9 −2 6 −1
−1 −1
3 1
=
−3 0 0 −7
= diag (λ1, λ2).
3.4
Mendapatkan x
(
t
)
Karena Pmemiliki invers, maka:
E(t) = diag eλ1t, eλ2t
=
e−3t
0 0 e−7t
dapat digunakan untuk mendapatkan solusi sistem persamaan diferensial linier (7). Ini berarti seluruh komponen penyusun persamaan
x(t) =PE(t)P−1c
telah diperoleh. Dalam hal ini:
x1(t)
x2(t)
=
−1 −1
3 1
e−3t
0 0 e−7t
1 2
1 2
−3
2 −
1 2
2 0
=
1 2 3e
−7t
−e−3t 1 2 3e
−7t
−e−3t
3 2 e
−3t
−e−7t 1 2 e
−3t
−e−7t
2 0
=
3e−7t
−e−3t
e−3t
−e−7t
,
atau:
x1(t) = 3e−7
t
−e−3t
x2(t) =e
−3t
−e−7t
Kepustakaan
1. Bronson, R. & Costa, G.B., Differential Equations (Schaum’s Outlines). Third Edition, McGraw-Hill, 2006.
2. Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics. Ninth Edition, Wiley, 2006.
3. Lipschutz, S. & Lipson, M.L.,Linear Algebra (Schaum’s Outlines). Fourth Edition, McGraw-Hill, 2009.
4. Perko, L., Differential Equations and Dynamical Systems. Third Edition, Springer, 2001.
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli penulisnya.
This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any concept or method in this paper that represents the author’s original contribu-tion.
