Catatan Kuliah :
Fisika Matematika I
Muhammad Fauzi Mustamin
𝛁
\𝒊𝒏𝒇𝒕𝒚
press
Muhammad Fauzi Mustamin
Catatan Kuliah: Fisika Matematika 1
Edisi Pertama
KATA PENGANTAR
Ilmu Fisika merupakan ilmu mendasar dengan tujuan mendeskripsikan bagaimana alam semesta bekerja. Berbagai fenomena alam kemudian diformulasikan ke dalam Matematika untuk mencari tahu deskripsi tersebut secara terperinci. Hasil perincian ini kemudian dikembangkan menjadi berbagai bidang keteknikan yang memfokuskan pada salah satu cabang ilmu Fisika. Bahkan penjabaran ilmu Fisika tidak jarang diterapkan dalam pemecahan masalah-masalah sosial-politik.
Buku ini merupakan kumpulan catatan kuliah saat mengikuti mata kuliah Fisika Matematika I di program studi Fisika, Universitas Hasanuddin. Terinspirasi dari hadits Rasulullah, “Ikatlah ilmu
dengan menuliskannya”, saya memulai sedikit demi sedikit menuliskan bahan perkuliahan.
Setelah satu tahun berlalu, buku ini akhirnya bisa saya rampungkan meskipun masih jauh dari kata sempurna untuk menjelaskan luasnya samudera Fisika Matematika.
Kepada dosen-dosen pengajar; Prof. Wira Bahari Nurdin dan Dr. Tasrief Surungan, serta teman-teman sekelas pada mata kuliah Fisika Matematika semester ganjil 2014, saya mengucapkan banyak terimakasih atas berbagai inspirasi saat perkuliahan.
Bagi teman-teman, para pembaca sekalian, saran dan feedback selalu dinanti di [email protected].
Makassar, September 2015
DAFTAR ISI
1. Kalkulus Vektor ...1
1.1 Diferensial Vektor ...1
1.2 Integral Vektor ...2
1.3 Kurva Ruang ...3
1.4 Operasi Vektor ...5
1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola ...8
1.6 Integral Kalkulus ...11
2. Deret ...15
2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen ...15
2.2 Uji Konvergen Suatu Deret ...15
2.3 Deret Selang Seling ...17
2.4 Deret Pangkat ...18
2.5 Deret Taylor ...18
3. Bilangan Kompleks ...21
3.1 Dasar Bilangan Kompleks ...21
3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks ...22
3.3 Representasi Polar ...25
3.4 Teorema de Moivre ...26
3.5 Fungsi Hiperbolik ...28
4. Deret Fourier ...30
4.1 Kondisi Dirichlet ...30
4.2 Koefisien Fourier ...31
4.3 Fungsi Diskontinu ...32
4.5 Deret Fourier Kompleks ...33
4.6 Teorema Parseval ...34
5. Transformasi Fourier ...35
5.1 Pengantar Transformasi Fourier ...35
5.2 Fungsi Delta Dirac (𝛿) ...36
5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap ...38
6. Persamaan Diferensial Biasa ...39
6.1 Persamaan Diferensial Orde I...39
6.2 Persamaan Diferensial Orde II ...42
7. Transformasi Laplace ...48
7.1 Definisi ...48
7.2 Fungsi Elementer ...48
7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace ...50
7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial ...51
1.
KALKULUS VEKTOR
Sebagaimana diketahui bersama, kalkulus merupakan alat yang sangat penting dalam pendeskripsian berbagai kuantitas fisis. Pada tingkatan sekolah menengah tentu telah diperkenalkan dasar dari kalkulus; diferensial, integral, dan berbagai materi berkaitan dengan hal tersebut. Perbedaan mendasar dari kalkulus pada kuantitas skalar, kalkulus vektor, sesuai namanya, mengolah berbagai vektor dengan menggunakan prinsip kalkulus. Hal ini mengingat banyaknya kuantitas fisis berupa vektor, misalnya sebaran medan magnet pada sebuah muatan listrik, kecepatan alir fluida, dan masih banyak lagi fenomena alam lain yang dalam pendeskripsiannya menggunakan kalkulus vektor.
1.1 Diferensial Vektor
Misalkan sebuah vektor 𝐚 yang terdiri dari fungsi skalar dengan variabel 𝑢. Kita dapat menuliskan vektor tersebut sebagai 𝐚(𝑢). Misalnya pada kordinat kartesian, 𝐚(𝑢) = 𝑎𝑥(𝑢)𝐢 +
𝑎𝑦(𝑢)𝐣 + 𝑎𝑧(𝑢)𝐤.
Perubahan kecil pada vektor 𝐚(𝑢) menghasilkan perubahan ∆𝑢 sehingga ∆𝑎 = 𝑎(𝑢 + ∆𝑢) −
𝑎(𝑢). Diferensial dari 𝐚(𝑢) terhadap 𝑢 didefinisikan :
𝑑𝐚
𝑑𝑢 = 𝑙𝑖𝑚∆𝑢→0
𝐚(𝑢 + ∆𝑢) − 𝐚(𝑢)
∆𝑢 (𝟏. 𝟏)
Pada kordinat kartesian, diferensial vektor (𝑢) = 𝑎𝑥(𝑢)𝐢 + 𝑎𝑦(𝑢)𝐣 + 𝑎𝑧(𝑢)𝐤 :
Pada vektor komposit, setiap vektor atau skalar dapat berupa fungsi dari variabel 𝑢. Dengan mengasumsikan 𝐚 dan 𝐛 adalah vektor terdiferensiasi terhadap skalar 𝑢 dan bahwa 𝜙 adalah fungsi skalar terdiferensiasi terhadap 𝑢 :
𝑑
Dari persamaan (1.1), dapat dilihat saat ∆𝑢 → 0, perubahannya terhadap 𝑎 akan sangat kecil. Sehingga diperoleh persamaan :
𝑑𝐚 =𝑑𝐚𝑑𝑢 𝑑𝑢 (𝟏. 𝟒)
Sebagai pemisalan adalah perubahan yang sangat kecil dari vektor posisi sebuah partikel pada selang waktu :
𝑑𝐫 = 𝑑𝐫𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝐯𝑑𝑡
Dengan 𝐯 adalah kecepatan partikel.
1.2 Integral Vektor
Kita ketahui bahwa intgerasi merupakan invers dari diferensiasi. Beberapa poin penting dalam integrasi :
Misalnya, jika 𝐚(𝑢) = 𝑑 [𝐀(𝑢)] 𝑑𝑢⁄ menghasilkan integral (𝑢) :
∫ 𝐚(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐀(𝑢) + 𝐛 (𝟏. 𝟓)
Dimana 𝐛 adalah konstanta vektor. Jika ditetapkan batas dari 𝑢 = 𝑢1 sampai = 𝑢2 :
∫ 𝐚(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐀(𝑢𝑢1 2) + 𝐀(𝑢1) 𝑢2
(𝟏. 𝟔)
1.3 Kurva Ruang
Sebuah kurva 𝐶 pada ruang dapat dideskripsikan dengan vektor 𝐫(𝑢)terhubung dengan titik awal 𝑂 dari sebuah sistem kordinat menuju sebuah titik pada kurva. Karena variasi 𝑢, vektor tersebut akan terus bergerak sepanjang kurva. Pada kordinat kartesian :
𝐫(𝑢) = 𝑥(𝑢)𝐢 + 𝑦(𝑢)𝐣 + 𝑧(𝑢)𝐤 (𝟏. 𝟕)
Dengan 𝑥 = 𝑥(𝑢), 𝑦 = 𝑦(𝑢),dan 𝑧 = 𝑧(𝑢) merupakan persamaan parameter dari kurva tersebut.
Gambar 1.2 Tangen satuan 𝐭̂, normal 𝐧̂ dan binormal 𝐛̂ terhadap kurva 𝐶 pada titik 𝑃.
Kurva ruang juga dapat direpresentasikan dengan 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑧 = 𝑔(𝑥), yang dapat dikonversei seperti persamaan parameter :
Sebuah kurva terkadang dideskripsikan dengan formasi parametrik dengan vektor 𝐫(𝑠), dimana parameter 𝑠 adalah panjang garis sepanjang kurva diukur dari titik tetap. Untuk kurva yang dideskripsikan dengan 𝐫(𝑢), perubahan vektor yang sangat kecil :
𝑑𝐫 = 𝑑𝑥𝐢 + 𝑑𝑦𝐣 + 𝑑𝑧𝐤 (𝟏. 𝟗)
Vektor satuan 𝐛̂ = 𝐭̂ × 𝐧̂, tegak lurus terhadap permukaan datar 𝐭̂ dan 𝐧̂disebut sebagai binormal terhadap 𝐶. Vektor 𝐛̂, 𝐭̂, dan 𝐧̂ membentuk sistem kordinat kartesian tangan-kanan pada setiap titik di 𝐶.
Secara ringkas, 𝐛̂, t̂, dan 𝐧̂ serta diferensiasinya terhadap 𝑠 saling berhubungan, hubungan ini disebut juga dengan formula Frenet-Serret :
1.4 Operator Vektor
Proses diferensiasi dapat dilakukan pada medan skalar dan medan vektor yang memiliki aplikasi sangat luas dalam dunia fisika. Medan skalar secara sederhana dapat diperhatikan pada tekanan dalam fluida dan potensial elektrostatis akibat adanya sebuah muatan listrik. Adapun medan vektor berhubungan dengan hal tersebut adalah kecepatan vektor dalam fluida serta medan listrik.
Dalam penjabaran tersebut diperlukan operator vektor. Operator terpenting penerapannya adalah mencari gradien dari medan skalar serta mencari divergen dan curl dari medan vektor. Operator ini menggunakan konsep diferensiasi. Operator vektor 𝛁 atau sering disebut del atau nabla memiliki peran sentral pada pembahasan ketiga operator vektor tersebut. Pada kordinat kartesian didefinisikan :
𝛁 ≡ 𝐢𝜕𝑥 + 𝐣𝜕 𝜕𝑦 + 𝐤𝜕 𝜕𝑧 𝜕 (𝟏. 𝟏𝟐)
Penjabaran selanjutnya memfokuskan pada sifat matematis dari operator vektor tersebut.
1.4.1 Gradien sebuah Medan Skalar
Gradien dari medan skalar 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :
grad 𝜙 = 𝛁𝜙 = 𝐢𝜕𝜙𝜕𝑥 + 𝐣𝜕𝜙𝜕𝑦 + 𝐤𝜕𝜙𝜕𝑧 (𝟏. 𝟏𝟑)
Secara matematis, grad 𝜙 merupakan medan vektor yang setiap komponennya diturunkan satu kali secara parsial terhadap 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧).
Secara umum, perubahan 𝜙 terhadap jarak 𝑠 pada arah :
𝑑𝜙
𝑑𝑠 = 𝛁𝜙. 𝐚̂ (𝟏. 𝟏𝟒)
yang disebut sebagai turunan berarah.
Dapat dilihat bahwa
𝑑𝜙
dengan 𝜃 merupakan sudut antara vektor 𝐚̂dan 𝛁𝜙 yang ditunjukkan pada gambar 1.3.
Gambar 1.3 Sifat geometri 𝛁𝜙, 𝑃𝑄 merupakan nilai 𝑑𝜙/𝑑𝑠 pada arah 𝐚̂.
Sifat menarik lain, 𝛁𝜙 merupakan vektor normal pada permukaan 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐 pada setiap titik, seperti ditunjukkan pada gambar 1.3. Jika 𝐧̂ normal satuan permukaan dengan arah
𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) meningkat, maka gradien juga sering dituliskan
𝛁𝜙 ≡𝜕𝜙𝜕𝑛 𝐧̂ (𝟏. 𝟏𝟓)
dimana 𝜕𝜙
𝜕𝑛 ≡ |𝛁𝜙| adalah perubahan 𝜙 pada arah 𝐧̂ dan disebut sebagai turunan normal.
1.4.2 Divergen
Secara sederhana, divergen dapat dianggap sebagai kuantitas pengukuran dari seberapa banyak medan vektor menyebar (divergen) atau menyusut (konvergen) pada sebuah titik.
Divergen dari medan vektor 𝐚(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :
div 𝐚 = 𝛁. 𝐚 =𝜕𝑎𝜕𝑥 +𝑥 𝜕𝑎𝑦𝜕𝑦 +𝜕𝑎𝜕𝑧 𝑧 (𝟏. 𝟏𝟔)
Selanjutnya, jika suatu medan vektor 𝐚merupakan diferensiasi dari medan skalar, 𝐚 = 𝛁𝜙, maka
yang disebut Laplacian dan muncul pada persamaan diferensial parsial.
1.4.3 Curl
Curl dari sebuah medan vektor 𝐚(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :
curl 𝐚 = 𝛁 × 𝐚 = (𝜕𝑎𝜕𝑦 −𝑧 𝜕𝑎𝑦𝜕𝑧 ) 𝐢 + (𝜕𝑎𝜕𝑧 −𝑥 𝜕𝑎𝜕𝑥 ) 𝐣 + (𝑧 𝜕𝑎𝑦𝜕𝑥 −𝜕𝑎𝜕𝑦 ) 𝐳 𝑥 (𝟏. 𝟏𝟖)
dimana 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 dan 𝑎𝑧 merupakan komponen dari vektor 𝐚. Hasil dari sisi sebelah kanan persamaan tersebut didapatkan dari proses determinan :
𝛁 × 𝐚 = ||
Untuk medan vektor 𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang mendeskripsikan kecepatan lokal pada setiap titik di dalam sebuah fluida, 𝛁 × 𝐯 adalah pengukuran kecepatan sudut dari fuida pada daerah sekitar titik tersebut. Jika sebuah kincir air kecil ditempatkan di dalam fluida tersebut, maka kincirnya akan berotasi pada daerah 𝛁 × 𝐯 ≠ 𝟎, sementara kincirnya tidak akan berotasi pada daerah 𝛁 × 𝐯 = 𝟎.
Sebagai rangkuman hasil kombinasi dari ketiga operator vektor, tabel 1.1 menyajikan hal tersebut.
1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola
Pendeskripsian fenomena fisis tidak hanya diekspresikan dalam kordinat kartesian. Dalam berbagai situasi, kordinat sistem lain lebih mendasar, seperti kordinat silinder dan kordinat bola. Seperti fluida dalam pipa pendeskripsiannya lebih alami menggunakan kordinat silinder, ataupun muatan listrik dalam ruang pendeskripsiannya lebih alami dengan kordinat bola.
1.5.1 Kordinat Silinder
Posisi titik 𝑃 pada kordinat kartesian 𝑥, 𝑦, 𝑧 dapat diekspresikan dalam kordinat silinder 𝜌, 𝜙, 𝑧 seperti terlihat pada gambar 1.5, dimana :
𝑥 = 𝜌 cos 𝜙 , 𝑦 = 𝜌 sin 𝜙 , 𝑧 = 𝑧 (𝟏. 𝟐𝟎)
Gambar 1.4 Kordinat silinder 𝜌, 𝜙, 𝑧
dan 𝜌 ≥ 0, 0 ≤ 𝜙 < 2𝜋 dan − ∞ < 𝑧 < ∞. Posisi vektor dari titik 𝑃 kemudian dapat ditulis
𝐫 = 𝜌 cos 𝜙 𝐢 + 𝜌 sin 𝜙 𝐣 + 𝑧 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟏)
dimana, dengan melakukan diferensial parsial 𝐫 terhadap 𝜌, 𝜙 dan 𝑧 lalu membagi dengan setiap modulusnya didapatkan vektor pada kordinat silinder
𝐞̂𝜌 = 𝐞𝜌 = cos 𝜙 𝐢 + sin 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟐𝐚)
𝐞̂𝜙= 1𝜌 𝐞𝜙 = − sin 𝜙 𝐢 + cos 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟐𝐛)
Perpindahan sangat kecil 𝑑𝐫 dari titik 𝑃 memenuhi
𝑑𝐫 = 𝜕𝐫 𝜕𝜌 𝑑𝜌 +
𝜕𝐫 𝜕𝜙 𝑑𝜙 +
𝜕𝐫 𝜕𝑧 𝑑𝑧
= 𝑑𝜌𝐞̂𝜌+ 𝜌𝑑𝜙𝐞̂𝜙+ 𝑑𝑧𝐞̂𝑧 (𝟏. 𝟐𝟑)
Elemen volume dari kodinat silinder diperoeh dengan mengkalkulasi bidang paralelipiped sangat kecil, didefinisikan oleh vektor 𝑑𝜌𝐞̂𝜌, 𝜌𝑑𝜙𝐞̂𝜙 dan 𝑑𝑧𝐞̂𝑧:
𝑑𝑉 = |𝑑𝜌𝐞̂𝜌∙ (𝜌𝑑𝜙𝐞̂𝜙× 𝑑𝑧𝐞̂𝑧)| = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 (𝟏. 𝟐𝟒)
Gambar 1.5 Elemen volume kordinat silinder
Perubahan kordinat ini juga memengaruhi operator vektor. Tabel 1.2 merangkum operator vektor dalam kordinat silinder.
1.5.2 Kordinat Bola
Posisi titik 𝑃 dalam kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙 dapat diamati pada gamba 1.6, dimana
𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 , 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 (𝟏. 𝟐𝟓)
Gambar 1.6 Kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙
dengan 𝑟 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 dan 0 ≤ 𝜙 < 2𝜋. Posisi vektor 𝑃 dapat dituliskan sebagai
𝐫 = 𝑟 sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝐢 + 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 𝐣 + 𝑟 cos 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟔)
Vektor satuannya, kembali dapat ditelusuri dengan melakukan diferensial parsial terhadap
𝑟, 𝜃, dan 𝜙, lalu membaginya dengan modulus tiap vektor
𝐞̂𝑟= sin 𝜃 cos 𝜙 𝐢 + sin 𝜃 sin 𝜙 𝐣 + cos 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟕𝐚) 𝐞̂𝜃 = cos 𝜃 cos 𝜙 𝐢 + cos 𝜃 sin 𝜙 𝐣 − sin 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟕𝐛) 𝐞̂𝜙= − sin 𝜙 𝐢 + cos 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟕𝐜)
Perpindahan sangat kecil vektor tersebut pada kordinat bola
𝑑𝐫 = 𝑑𝑟𝐞̂𝑟+ 𝑟𝑑𝜃𝐞̂𝜃+ 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙𝐞̂𝜙 (𝟏. 𝟐𝟖)
Elemen volume pada kordinat bola merupakan volume dari paralelipiped sangat kecil yang memenuhi
Gambar 1.7 Elemen volume kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙
Perubahan kordinat ini tentu juga memengaruhi perubahan operator vektor. Tabel 1.3 merangkum perubahan operator vektor untuk kordinat bola.
Tabel 1.3 Operator vektor pada kordinat bola, dengan Φ medan skalar dan 𝐚medan vektor.
1.6 Integral Kalkulus
1.6.1 Integral Garis
Integral garis secara umum memiliki persamaan
∫ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫𝑏
Gambar 1.8 Visualisasi integral garis
dimana 𝐚 merepresentasikan fungsi vektor dan 𝑑𝐫 adalah vektor perpindahan untuk elemen kecil, dengan integralnya dilakukan sepanjang titik 𝑎 sampai titik 𝑏. Saat integrasinya dilakukan untuk lintasan tertutup, 𝑎 = 𝑏, maka bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai integral tertutup
∮ 𝐚. 𝑑𝐫 (𝟏. 𝟑𝟏)
Esensi dari integral garis ini, kita melakukan perkalian skalar vektor dari 𝐚 dengan vektor perpindahan elemen kecil 𝑑𝐫 sepanjang lintasan. Bagi fisikawan, bentuk paling sering dijumpai adalah integral garis persamaan kerja oleh sebuah gaya, 𝑊 = ∫ 𝐅. 𝑑𝐫.
Integral garis untuk beberapa kasus memiliki keunikan, dimana integral garis antara dua titik tidak bergantung pada lintasan yang dilalui. Medan vektor dengan karakteristik tersebut disebut konservatif. Sebuah vektor 𝐚 dengan diferensial parsial berhubungan pada daerah 𝑅 dikatakan konservatif jika dan hanya jika memenuhi beberapa syarat berikut.
(i) Integral ∫ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫𝐴𝐵 , dengan 𝐴 dan 𝐵 berada pada daerah 𝑅, tidak bergantung pada lintasan 𝐴 ke 𝐵. Dapat dikatakan bahwa ∮ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫 pada lintasan tertutup adalah nol. (ii) Terdapat fungsi nilai tunggal 𝜙 dari posisi, dimana 𝐚 = 𝛁𝜙.
(iii) 𝛁 × 𝐚 = 0.
(iv) 𝐚 ∙ 𝑑𝐫merupakan diferensial eksak.
∮ (𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦)
𝐶 = ∬ (
𝜕𝑄 𝜕𝑥 −
𝜕𝑃 𝜕𝑦)
𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 (𝟏. 𝟑𝟐)
terlihat hubungan integral garis sepanjang lintasan 𝐶 terhadap integral lipat dua dengan luas 𝑅.
1.6.2 Integral Permukaan
Integral permukaan secara umum memiliki persamaan
∫ 𝐚. 𝑑𝐒
𝑆 (𝟏. 𝟑𝟑)
Gambar 1.9 Visualisasi integral permukaan
dimana 𝐚merupakan fungsi vektor dan 𝑑𝐒 merupakan elemen kecil luas, dengan arah tegak lurus dengan permukaan. Saat permukaannya tertutup, maka persamaannya dapat dituliskan sebagai integral tertutup
∮ 𝐚. 𝑑𝐒 (𝟏. 𝟑𝟒)
Jika 𝐚 mendeskripsikan aliran fluida (massa persatuan luas persatuan waktu), maka ∫ 𝐚 ∙ 𝑑𝐒 merepresentasikan massa total persatuan waktu yang melewati permukaan atau lebih sering disebut sebagai flux.
Lebih detail, elemen luas dapat dituliskan
𝑑𝐒 = 𝒏̂𝑑𝑆 (𝟏. 𝟑𝟓)
1.6.3 Integral Volume
Integral volume memiliki persamaan umum
∫ 𝜙 𝑑𝑉
𝑉 (𝟏. 𝟑𝟔)
dengan 𝜙 fungsi skalar dan 𝑑𝑉 elemen volume kecil, dimana untuk kordinat kartesian 𝑑𝑉 =
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧.
Misalnya 𝑇 adalah densitas suatu bahan, maka ∫ 𝑇𝑑𝜏 merepresentasikan massa total.
1.6.4 Teorema Divergence
Teorema divergence menghubungkan flux total dari medan vektor yang menyebar dari permukaan tertutup 𝑆 menuju integrasi divergence dari medan vektor volume tertutup 𝑉. Ungkapan matematis dari teorema divergence memenuhi
∫ 𝛁 ∙ 𝐚 𝑑𝑉
𝑉 = ∮ 𝐚.𝑆 𝑑𝑺 (𝟏. 𝟑𝟕)
1.6.5 Teorema Stokes
Teorema Stokes menghubungkan integral dari curl dari medan vektor sepanjang sebuah permukaan terbuka 𝑆 dengan integral garis dari medan vektor sekitar lintasan 𝐶 yang menghubungkan permukaan. Ungkapan matematis teorema Stokes memenuhi
∫ (𝛁 × 𝐚)
2.
DERET
Banyak situasi fisika yang kita sajikan dalam bentuk deret. Sebuah deret dapat berupa penjumlahan berhingga ataupun penjumlahan tak hingga dari sekumpulan angka. Secara umum, penjumlahan dari 𝑁 bagian dari sebuah deret dapat ditulis :
𝑆𝑁 = ∑ 𝑢𝑛 𝑁
𝑛=1
= 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3+ ⋯ + 𝑢𝑁 (𝟐. 𝟏)
Jenis deret berhingga, berarti nilai 𝑁 mencapai angka tertentu. Sedangkan untuk deret tak hingga nilai 𝑁 = ∞. Dalam dunia fisika, banyak kejadian alam yang memenuhi konsep deret tak berhingga. Atas dasar ini, pembahasan selanjutnya akan fokus pada deret tak hingga.
2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen
Dalam pembahasan deret untuk menganalisa keadaan fisis, perlu diperhatikan bahwa kita akan menjumlahkan sekian banyak angka yang jumlahnya tak berhingga. Sesuai dengan persamaan (2.1), karena deretnya tidak berhingga :
𝑆∞= ∑ 𝑢𝑛 ∞
𝑛=1
= 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3+ ⋯ + 𝑢∞ (𝟐. 𝟐)
Atau juga dapat dicari engan menggunakan konsep limit :
𝑆 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑆𝑛 (𝟐. 𝟑)
Jika nilai 𝑆 menuju sebuah angka tertentu deretnya dikatakan deret konvergen. Sementara jika 𝑆 menuju ±∞, deretnya dikatakan sebagai deret divergen.
2.2 Uji Konvergen Suatu Deret
2.2.1 Nilai Mutlan dan Konvergensi Deret
∑|𝑢𝑛| yang setiap bagiannya merupakan nilai absolut dari deret awal ∑ 𝑢𝑛 yang hendak dicari. Setiap bagian dari deret mutak tersebut akan menghasilkan nilai positif.
Jika deret ∑|𝑢𝑛| konvergen, maka deret ∑ 𝑢𝑛 juga konvergen, dan ∑ 𝑢𝑛 dapat dikatakan sebagai deret konvergen mutlak. Untuk deret konvergen mutlak, setiap bagiannya dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi konvergensi dari deret tersebut.
Jika deret ∑|𝑢𝑛| divergen namun deret ∑ 𝑢𝑛 konvergen, deretnya dikatakan konvergen kondisional. Untuk deret konvergen kondisional, jika urutan bagiannya diubah, maka akan berpengaruh pada deret semula, sehingga tidak jelas, apakah deretnya konvergen atau divergen.
2.2.2 Konvergensi Deret Positif
Deret positif merupakan deret yang semua bagiannya terdiri dari bilangan konstan positif. Untuk meguji konvergensitas suatu deret positif, ada beberapa cara yang dapat dilakukan :
1. Uji Awal
Uji awal digunakan untuk mendeteksi apakah deret tersebut sudah pasti divergen. Untuk deret
∑ 𝑢𝑛 dikatakan konvergen jika hasilnya menuju nol saat 𝑛 menuju tak hingga.
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑢𝑛 = 0
Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka deretnya sudah pasti divergen. Namun, meski telah terpenuhi, deretnya juga bisa berupa deret divergen, sehingga membutuhkan pengujian yang lain untuk membuktikan.
2. Uji Banding
Uji banding merupakan pengujian paling mendasar dalam menguji konvergensi suatu deret. Misalkan kita memiliki dua deret, ∑ 𝑢𝑛 dan ∑ 𝑣𝑛 dan kita mengetahui bahwa salah satunya deret konvergen. Sehingga jika setiap bagian 𝑢𝑛 pada deret awal kurang dari atau sama dengan bagian dari deret 𝑣𝑛, untuk setiap 𝑛 yang lebih besar dari nilai tetap 𝑁 yang bisa bervariasi setiap deret, deret awal ∑ 𝑢𝑛 juga merupakan deret konvergen.
Dengan kata lain, jika ∑ 𝑣𝑛 konvergen dan
Maka deret ∑ 𝑢𝑛 juga konvergen.
Namun jika ∑ 𝑣𝑛 divergen dan 𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛 untuk setiap 𝑛 yang lebih besar untuk nilai tetap, maka
∑ 𝑢𝑛 merupakan deret divergen.
3. Uji Perbandingan d’Alembert
Jika sebuah deret ∑ 𝑢𝑛 dan didefinisikan :
𝜌 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞(𝑢𝑢𝑛+1
𝑛 ) (𝟐. 𝟒)
Berlaku hubungan, jika 𝜌 < 1 deretnya konvergen; jika 𝜌 > 1 deretnya divergen; jika 𝜌 = 1 maka deretnya bisa konvergen mapun divergen.
4. Uji Integral
Namun jika integralnya tak hingga, maka deretnya dikatakan deret divergen.
2.3 Deret Selang Seling
Deret selang seling dapat ditulis sebagai :
∑(−1)𝑛+1𝑢
|𝑎𝑛+1| < |𝑎𝑛|
Jika setiap suku dalam deret diambil harga mutlaknya, kita peroleh deret baru yang sema bagiannya positif. Deret ini disebut deret mutlak, yang bisa bersifat konvergen ataupun divergen.
2.4 Deret Pangkat
Formasi umum dari deret pngkat adalah :
𝑃(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3+ ⋯ (𝟐. 𝟕)
Dimana 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …. Meruakan konstanta. Deret tersebut secara umum sering muncul dalam fisika dan sangat berguna, untuk |𝑥| < 1, bagian seanjutnya deret tersebt dapat menjadi sangat kecil dan diabaikan.
Dengan menggunakan uji perbandingan d’Alembert, kita dapat melihat bahwa 𝑃(𝑥) konvergen mutlak jika :
𝜌0 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞|𝑎𝑎𝑛+1
𝑛 𝑥| = |𝑥| 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞| 𝑎𝑛+1
𝑎𝑛 | < 1
Atau dapat ditulis :
|𝑥| <1𝜌 (𝟐. 𝟖)
Konvergensi dari 𝑃(𝑥) bergantung pada nilai 𝑥, dimana daerah 𝑥 bergantung pada nilai 𝜌.
1. Jika 𝜌 = 0, deretya konvergen untuk semua nilai 𝑥.
2. Jika 𝜌 = ∞, deretnya konvergen hanya untuk nilai 𝑥 = 0.
3. Jika −1 𝜌⁄ < 𝑥 < +1 𝜌⁄ , deretnya konvergen untuk daerah 𝑥 antara −1 𝜌⁄ sampai +1 𝜌⁄ .
2.5 Deret Taylor
∫ 𝑓(𝑛)(𝑥
Dengan mengintegralkan sebanyak 𝑛 kali, didapatkan formasi :
∫ 𝑑𝑥𝑛𝑥
Dengan melakukan pengurutan ulang, didapatkan nilai (𝑥) :
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑓′(𝑎) +(𝑥 − 𝑎)2
𝑅𝑛 dapat ditulis dengan menggunakan konsep integral kalkulus :
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑓′(𝑎) +(𝑥 − 𝑎)2
(𝑛 − 𝑎)! 𝑓′′(𝑎) + ⋯ +
(𝑥 − 𝑎)𝑛−1
(𝑛 − 1)! 𝑓𝑛−1(𝑎) (𝟐. 𝟏𝟑)
Atau disederhanakan menjadi :
𝑓(𝑥) = ∑(𝑥 − 𝑎)𝑛! 𝑛 ∞
𝑛=0
𝑓(𝑛)(𝑎) (𝟐. 𝟏𝟒)
Deret Taylor yang didapatkan mendefinisikan nilai fungsi pada titik 𝑥, yang merupakan bagian dari nilai fungsi dan turunannya pada titik 𝑎. Ini merupaan ekspansi pangkat dari perubahan variable, atau 𝑥 − 𝑎. Definisi ini dapat memperjelas deret Taylor dengan menggunakan formasi alternative, menggantikan 𝑥 dengan 𝑥 + ℎ dan 𝑎 dengan :
𝑓(𝑥 + ℎ) = ∑ℎ𝑛!𝑛 ∞
𝑛=0
𝑓(𝑛)(𝑥) (𝟐. 𝟏𝟓)
Jika dipilih 𝑎 = 0, ekspansi Taylor di atas berubah menjadi ekspansi Mclaurin :
𝑓(𝑥) = ∑(𝑥)𝑛!𝑛 ∞
𝑛=0
3.
BILANGAN KOMPLEKS
3.1 Dasar Bilangan Kompleks
Perhatikan persamaan kuadrat berikut :
𝑧2 − 4𝑧 + 5 = 0 (3.1)
Solusinya dapat dicari dengan menggunakan persamaan akar persamaan kuadrat :
𝑧1,2 = 2 ±√−42 (3.2)
Setiap persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi dan tentunya juga berlaku untuk persamaan
(3.2). Bagian kedua dari persamaan sebelah kanan disebut bagian 𝑖𝑚𝑎𝑗𝑖𝑛𝑒𝑟 karena memilii akar dari sebuah bilangan negative, sementara bagian pertamanya disebut bagian 𝑟𝑖𝑙. Solusi totalnya merupakan jumlah antara bagian ril dan bagian imajiner yang disebut dengan bilangan kompleks. Fungsinya dapat dilihat dari gambar di bawah.
Gambar 3.1 Grafik persamaan kuadrat 𝑧2 − 4𝑧 + 5 = 0
Persamaan umum dari bilangan kompleks disimbolkan sebagai 𝑧, yang merupakan gabungan dari bagian ril 𝑥 dan 𝑖 dikalikan bagian imajiner 𝑦 :
Dengan 𝑖 digunakan sebagai symbol dari akar -1. Bagian ril 𝑥 dinotasikan dengan ℜ𝑧 sementara bagian imajiner 𝑦 dinotasikan sebagai ℑ𝑧.
Pada contoh di atas, √−4 = 2√−1 = 2𝑖, sehingga solusi yang kita dapatka adalah :
𝑧1,2 = 2 ±2𝑖2 = 2 ± 𝑖
Dengan 𝑥 = 2 dan 𝑦 = ±1.
Persamaan bilangan kompleks biasa ditulis dengan bentuk :
𝑧 = (𝑥, 𝑦)
Dimana komponen dari 𝑧 bisa umpamakan berada pada koordinat kartesian. Plot fungsi tersebut disebut diagram Argand.
Gambar 3.2 Diagram Argand
3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks
3.2.1 Modulus, Argumen dan Konjugat Kompleks
Modulus dari bilangan kompleks 𝑧 dinotasikan sebagai |𝑧| dan didefinisikan :
|𝑧| = √𝑥2+ 𝑦2 (3.4)
Sehingga modulus dapat diartikan sebagai jarak sebuah titik dar titik pada diagram Argand.
arg 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑦
𝑥) (3.5)
Dapat pula dilihat bahwa arg 𝑧 adalah sudut yang menghubungan titik asal sampai 𝑧 pada diagram Argand dengan sumbu-𝑥 positif. Menurut hasil konvensi, arah berlawanan jarum jam adalah positif.
Gambar 3.3 Representasi modulus dan arg bilangan kompleks 𝑧
Sementara konjugat kompleks, didenotasikan sebagai 𝑧∗, dimana jika 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka 𝑧∗ =
𝑥 − 𝑖𝑦. Secara umum, konjugat kompleks 𝑧 adalah nilai yang sama dengan besar 𝑧 yang jika dikalikan dengan 𝑧 menghasilkan hasil ril.
Gambar 3.4 Hubungan geometri konjugat bilangan kompleks
Hal ini dapat diuktikan, misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka jika dikalikan dengan konjugat kompleksnya akan menghasilkan :
𝑧𝑧∗ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥2− 𝑖𝑥𝑦 + 𝑖𝑥𝑦 − 𝑖2𝑦2 = 𝑥2+ 𝑦2 = |𝑧|2
3.2.2 Operasi Matematika
Penjumlahan dalam bilangan kompleks pada kordinat kartesian sama persis dengan penjumlahan biasa :
𝑧1+ 𝑧2 = (𝑥1+ 𝑖𝑦1) + (𝑥2+ 𝑖𝑦2) = (𝑥1+ 𝑥2) + 𝑖(𝑦1+ 𝑦2) (3.6)
Untuk perkalian :
𝑧1𝑧2 = (𝑥1+ 𝑖𝑦1)(𝑥2+ 𝑖𝑦2) = (𝑥1𝑥2− 𝑦1𝑦2) + 𝑖(𝑥1𝑦2+ 𝑦1𝑥2) (3.7)
Perkalian dari suatu bilangan kompleks memenuhi aturan komutatif dan asosiatif :
𝑧1𝑧2 = 𝑧2𝑧1 (3.8)
(𝑧1𝑧2)𝑧3 = 𝑧1(𝑧2𝑧3) (3.9)
Produk dari perkalian bilangan kompleks juga menghasilkan hubungan :
|𝑧1𝑧2| = |𝑧1||𝑧2| (3.10)
𝑎𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝑎𝑟𝑔𝑧1+ 𝑎𝑟𝑔𝑧2 (3.11)
Untuk bilangan kompleks 𝑧 yang dikalikan dengan ±1 dan ±𝑖, menghasilkan suatu pola yang menarik. Ketika mengalikan 𝑧 dengan kesatuan (yang memiliki argument nol) memberikan 𝑧 yang tetap dikedua modulus dan argument.
Adapun dengan mengalikan −1 (argumennya 𝜋) mengakibatkan rotasi, sepanjang sudut 𝜋, dari garis yang menghubungkan titik asal dengan 𝑧 pada diagram Argand. Sama halnya dengan mengalikan 𝑖 atau −𝑖 yang menghasilkan putaran 𝜋 2⁄ atau −𝜋 2⁄ .
Sementara untuk operasi pembagian, misalkan diketahui bilangan kompleks 𝑧1 dan 𝑧2, jika keduanya dibagi akan membentuk formasi :
𝑧1 𝑧2 =
𝑥1+ 𝑖𝑦1
𝑥2+ 𝑖𝑦2 (𝟑. 𝟏𝟐)
Untuk mendapatkan hasil yang terpisah antara bagian ril dan kompleksnya, kita kalikan dengan rasio kompleks konjugat dari pembagi atau dalam persamaan (3.12) adalah 𝑧2 :
𝑧1
Sama halnya dengan perkalian, pembagian bilangan kompleks juga menghasilkan beberapa persamaan yang sesuai dengan persamaan (3.10) dan (3.11) :
|𝑧1𝑧
Sebuah alternative untuk memetakan bilangan kompleks adalah dengan menggunakan kordinat polar (𝑟, 𝜃), yang memenuhi persamaan :
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 , atau 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝜃 = tan (𝑦
𝑥) (𝟑. 𝟏𝟔)
Dengan melakukan subtitusi pada persamaan umum bilangan kompleks pada kordinat kartesian,
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, diperoleh persamaan :
𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 𝑟 sin 𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 (𝟑. 𝟏𝟕)
Dimana 𝑒𝑖𝜃 merupakan persamaan euler yang sesuai definisi :
Gambar 3.6 Representasi polar bilangan kompleks 𝑧
Penyederhanaan representasi dari modulus dan argument merupakan salah satu alas an menggunakan kordinat polar. Sudut 𝜃 secara konvensional terletak pada −𝜋 < 0 ≤ 𝜋, namun karena rotasi 𝜃 adalah sama dengan rotasi 2𝑛𝜋 + 𝜃, dengan 𝑛 adalah bilangan bulat, didapatkan persamaan umum bilangan kompleks :
𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃≡ 𝑟𝑒𝑖(𝜃+2𝑛𝜋) (𝟑. 𝟏𝟗)
Jika kita memiliki dua buah bilangan kompleks dengan formasi polar, 𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 dan 𝑧2 =
𝑟2𝑒𝑖𝜃2, jika dikalikan :
𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2𝑒𝑖(𝜃1+𝜃2) (𝟑. 𝟐𝟎)
Sementara untuk pembagian :
𝑧1 𝑧2 ==
𝑟1 𝑟2𝑒
𝑖(𝜃1−𝜃2) (𝟑. 𝟐𝟏)
3.4 Teorema de Moivre
Kita tahu bahwa (𝑒𝑖𝜃)𝑛 = 𝑒𝑖𝑛𝜃, sehingga sesuai dengan persamaan euler didapatkan :
(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑛 = cos 𝑛𝜃 + sin 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟐)
3.4.1 Mencari Identitas Trigonometri
Misalkan kita ingin mencari bentuk pangkat dari cos 𝜃 dan sin 𝜃,
cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)3 = (cos3𝜃 − 3 cos 𝜃 sin2𝜃) + 𝑖(3 sin 𝜃 cos2𝜃 − sin3𝜃)
Metode ini juga dapat digunakan untuk mencari ekspansi pangkat dari cos 𝑛𝜃 dan sin 𝑛𝜃 untuk setiap 𝑛 bilangan bulat.
𝑧𝑛+ 1
𝑧𝑛 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛+ (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)−𝑛
𝑧𝑛 + 1
𝑧𝑛 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 + cos(−𝑛𝜃) + 𝑖 sin(−𝑛𝜃) = 2 cos 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟑)
Dan
𝑧𝑛− 1
𝑧𝑛 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛− (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)−𝑛
𝑧𝑛+ 1
𝑧𝑛 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 − cos(−𝑛𝜃) + 𝑖 sin(−𝑛𝜃) = 2𝑖 sin 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟒)
3.4.2 Mencari Akar ke-𝒏
Persamaan 𝑧2 = 1 memiliki solusi 𝑧 = ±1. Dengan menggunakan konsep bilangan kompleks, kita dapat menyelesaikan persamaa umum dari 𝑧𝑛 = 1. Ingat bahwa persamaan tersebut memiliki 𝑛 buah solusi. Persamaan 𝑧𝑛 dapat ditulis ulang :
𝑧𝑛 = 𝑧2𝑖𝑘𝜋
Dengan 𝑘 adalah bilangan bulat sembarang dan dengan melakukan penyederhanaan kita dapatkan :
𝑧 = 𝑧2𝑖𝑘𝜋 𝑛⁄ (𝟑. 𝟐𝟓)
Sehingga, solusi untuk 𝑧𝑛 = 1 adalah :
𝑧1,2,….,𝑛 = 1, 𝑒2𝑖𝜋 𝑛⁄ , … , 𝑒2𝑖(𝑛−1)𝜋 𝑛⁄
Misalna mencari solusi dari 𝑧3 = 1, sesuai persamaan (4.25) kita dapatkan :
𝑧 = 𝑒2𝑖𝑘𝜋 3⁄
Selanjutnya, solusinya didapatkan dengan memasukkan nilai 𝑘, 𝑧1 = 𝑒0𝑖, 𝑧2 = 𝑒2𝑖𝜋 3⁄ , 𝑧3 =
𝑒4𝜋𝑖 3⁄ . Ketika memasukkan nilai 𝑘 yang lebih besar, misalya 3, 𝑧
4 = 𝑒6𝑖𝜋 3⁄ = 1 = 𝑧1. Sehingga
terbukti hanya terdapat tiga buah solusi untuk 𝑛 = 3.
Gambar 3.7 Representase geometri solusi 𝑧𝑛 = 1
3.5 Fungsi Hiperbolik
Fungsi hiperbolik merupakan analogi kompleks dari fungsi trigonometri. Memiliki hubungan yang mirip dengan fungsi trgonometri, baik dari identitas maupun kalkulusnya.
Terdapat dua fungsi fundamental, cosh 𝑥 dan sinh 𝑥, yang masing-masing merupakan mirip dengan 𝑐𝑜𝑠𝑥 dan 𝑠𝑖𝑛𝑥. Fungsi tersebut didefinisikan dengan relasi :
cosh 𝑥 =12(𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥) (𝟑. 𝟐𝟔)
sinh 𝑥 =12(𝑒𝑥− 𝑒−𝑥) (𝟑. 𝟐𝟕)
Dengan fungsi tersebut, leih jauh dapat dicari hubungan dari fungsi hiperbolik lain untuk tanh 𝑥,
Sesuai dengan persamaan euler, kita mendapatkan :
cos 𝑖𝑥 = 12(𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥)
sin 𝑖𝑥 = 12(𝑒𝑥− 𝑒−𝑥)
Sehingga didapat hubungan yang sangat jelas antara fungsi hiperbolik dengan fungsi trigonometri :
cosh 𝑥 = cos 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟐𝟖)
𝑖 sinh 𝑥 = sin 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟐𝟗)
cos 𝑥 = cosh 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟑𝟎)
4.
DERET FOURIER
Fenomena periodik seperti gelombang, gerak harmonis, atau gaya-gaya berulang lain dideskripsikan dengan fungsi berulang. Deret dan transformasi Fourier merupakan media yang menjadi dasar untuk memecahkan berbagai fenomena berulang tersebut.
4.1 Kondisi Dirichlet
Deret Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan suatu fungsi yang tidak dapat dilakukan dengan ekspansi Taylor. Agar fungsi 𝑓(𝑥) memenuhi kriteria deret Fourier, maka deret tersebut harus memenuhi kondisi Dirichlet :
(i) Fungsinya harus periodic
(ii) Bernilai tunggal dan kontinu, kecuali mungkin pada nilai berhingga tertentu. (iii) Memiliki hanya satu titik maksimum dan minimum pada satu periode. (iv) Integral sepanjang periode |𝑓(𝑥)| harus konvergen.
Gambar 4.1 Sebuah contoh fungsi yang dapat direpresentasikan dengan deret Fourier
Setiap bagian pada deret Fourier saling ortogonal, setiap satu periode. Setiap bagiannya
Ekspansi Fourier dari fungsi 𝑓(𝑥) memiliki bentuk umum :
𝑓(𝑥) =𝑎02 + ∑ [𝑎𝑟cos (2𝜋𝑟𝑥𝐿 ) + 𝑏𝑟sin (2𝜋𝑟𝑥𝐿 )]
Untuk fungsi periodik 𝑓(𝑥) dengan periode 𝐿, koefisien Fourier memenuhi persamaan :
𝑎𝑟 =2𝐿 ∫𝑥0+𝐿𝑓(𝑥) formula ini dapat dilakukan dengan mengalikan 𝑓(𝑥) pada persamaan (𝟒. 𝟒), dengan cos(2𝜋𝑝𝑥/
𝐿), lalu mengintegralkan sepanjang satu periode penuh terhadap 𝑥. Hasil dari tahap tersebut, kemudian diselesaikan dengan menggunakan persamaan (𝟒. 𝟏), (𝟒. 𝟐), dan (𝟒. 𝟑).
nol. Sebaliknya, fungsi dengan 𝑥 genap tidak memiliki bagian sinus dan semua koefisien 𝑏 bernilai nol. Karena deret Fourier dengan fungsi ganjil atau genap hanya menyisakan setengah koefisien untuk menjabarkan perilaku keseluruhan periode, perhitungan deret Fourier akan menjadi lebih mudah.
4.3 Fungsi Diskontinu
Ekspansi deret Fourier juga dapat diimplementasikan untunk fungsi diskontinu pada selang tertentu. Hasil ekspansinya sendiri tidak lah diskontinu dan nilain dari fungsi 𝑓(𝑥) hasil ekspansi akan bernilai setengah antara nilai batas atas dan nilai batas bawahnya.
Pada titik diskontinu, representasi deret Fourier akan meampaui nilainya. Lebih banyak bagian digabungkan, posisi nilai lampauannya menyebabkan fungsi ekspansi bergerak mendekati diskontinu, tidak akan pernah hilang meskipun terdapat takberhingga bagian. Hal ini dikenal sebagai fenomena Gibbs.
Gambar 4.2 Konvergensi deret Fourier fungsi setengah gelombang, dengan (a) satu bagian, (b) dua bagian (c) tiga bagian, dan (d) 20 bagian dengan 𝛿 menunjukkan lampauan fungsi.
4.4 Fungsi Non-Periodik
Misalnya mencari deret Fourier 𝑓(𝑥) = 𝑥2 pada selang −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. Dari gambar 4.3 terlihat periodenya 4. Catat juga bahwa fungsinya merupakan fungsi genap, mengakibatkan bagian 𝑏𝑟 bernilai nol dan menyisakan bagian kosinus.
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑟
mengintegralkannya, serta dengan memperhatikan relasi ortogonal:
∫𝑥0+𝐿exp (2𝜋𝑖𝑟𝑥𝐿 ) exp (−2𝜋𝑖𝑝𝑥𝐿 ) 𝑥0
𝑑𝑥 = {𝐿 , 𝑟 = 𝑝0 , 𝑟 ≠ 𝑝 (𝟒. 𝟗)
Koefisien kompleks dari deret Fourier memiliki hubungan:
𝑐𝑟 =12(𝑎𝑟− 𝑖𝑏𝑟)
𝑐−𝑟= 12 (𝑎𝑟+ 𝑖𝑏𝑟)
Untuk 𝑓(𝑥) real, maka 𝑐−𝑟 = 𝑐𝑟∗, atau biasa disebut sebagai kompleks konjugat dari 𝑐𝑟.
4.6 Teorema Parseval
Teoream Parseval beguna dalam menghubungkan koefisien Fourier dengan fungsi yang dideskripsikannya. Bentuk umumnya:
5.
TRANSFORMASI FOURIER
5.1 Pengantar Transformasi Fourier
Transformasi Fourier merepresentasikan fungsi terdefinisi pada interval takberhingga dan tidak periodik. Dengan kata lain, transformasi Fourier merupakan generalisasi dari deret Fourier yang merepresentasikan fungsi periodik. Misalkan untuk sebuah fungsi dengan periode 𝑇 dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier kompleks
𝑓(𝑡) = ∑ 𝑐𝑟𝑒2𝜋𝑖𝑟𝑡/𝑇
Saat periode 𝑇 menuju tak terhingga, frekuensi quantum, ∆𝜔 = 2𝜋/𝑇 menjadi sangat kecil dan spektrum frekuensi yang diizinkan 𝜔𝑟 menjadi kontinu. Penjumlahan tak terhingga berbentuk deret Fourier menjadi sebuah integral, dan koefisien 𝑐𝑟 menjadi fungsi kontinu dengan variabel
𝜔, dimana persamaannya
Substitusi ke persamaan (𝟓. 𝟏), didapatkan bentuk
𝑓(𝑡) = ∑ ∆𝜔2𝜋 ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑟𝑡
Untuk memudahkan imajinasi, perhatikan gambar 5.1. Setiap titik pada kurva merupakan alur dari 𝑐𝑟 𝑒𝑖𝜔𝑟𝑡 sebagai fungsi dari 𝑟 dan jelas bahwa (2𝜋/𝑇)𝑐𝑟 𝑒𝑖𝜔𝑟𝑡 memberikan luas dari persegi
panjang (garis putus-putus) ke-𝑟. Saat 𝑇 menuju ∞, maka ∆𝜔 (= 2𝜋/𝑇) menjadi sangat kecil, lebar dari persegi panjang akan menuju nol dan, dari definisi matematis dari integral,
∑ ∆𝜔2𝜋 𝑔(𝜔𝑟)𝑒𝑖𝜔𝑟𝑡 ∞
𝑟=−∞
Gambar 5.1 Hubungan bagian Fourier untuk fungsi periode 𝑇 dan integral Fourier dari suatu
Sehingga persamaan (𝟓. 𝟑) menjadi
𝑓(𝑡) =2𝜋 ∫ 𝑑𝜔1 ∞ −∞ 𝑒
𝑖𝜔𝑡∫ 𝑑𝑡∞ −∞ 𝑓(𝑡) 𝑒
−𝑖𝜔𝑡 (𝟓. 𝟒)
Hasil ini dikenal dengan teorema inversi Fourier.
Transformasi Fourier dari 𝑓(𝑡) kemudian didefinisikan
𝑓̃(𝜔) = 1
Fungi delta Dirac dapat divisualisasikan sebagai pulsa sangat tajam (waktu, ruang, densitas, dsb) yang memproduksi sebuah efek dengan magnitude tertentu.
Fungsi 𝛿-Dirac memiliki sifat
namun secara fundamental sifatnya memenuhi
∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑎) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑎) (𝟓. 𝟖)
menghasilkan selang integasi pada titik 𝑡 = 𝑎; selain itu integralnya sama dengan nol. Hal ini mengarahkan pada dua hasil lebih lanjut
∫ 𝛿(𝑡)𝑏
−𝑎 𝑑𝑡 = 1 untuk setiap 𝑎, 𝑏 > 0 (𝟓. 𝟗)
dan
∫ 𝛿(𝑡 − 𝑎)𝑑𝑡 = 1 (𝟓. 𝟏𝟎)
memberikan selang integasi 𝑡 = 𝑎.
Sifat lain dari fungsi delta Dirac antara lain
𝛿(𝑡) = 𝛿(−𝑡), 𝛿(𝑎𝑡) =|𝑎| 𝛿1 (𝑡), 𝑡𝛿(𝑡) = 0 (𝟓. 𝟏𝟏)
Fungsi yang mirip dengan delta Dirac adalah fungsi Heaviside
𝐻(𝑡) = {1 untuk 𝑡 > 00 untuk 𝑡 < 0 (𝟓. 𝟏𝟐)
namun fungsi ini diskontinu pada 𝑡 = 0. Hubungannya dengan fungsi delta Dirac
𝐻′(𝑡) = 𝛿(𝑡) (𝟓. 𝟏𝟑)
Dari teorema inversi Fourier, persamaan (𝟓. 𝟒), dapat dilihat hubungannya dengan fungsi delta Dirac
𝛿(𝑡 − 𝑢) = 2𝜋 ∫ 𝑒1 ∞ 𝑖𝜔(𝑡−𝑢)𝑑𝜔
−∞ (𝟓. 𝟏𝟒)
Adapun transformasi Fourier dari fungsi 𝛿 secara sederhana
𝛿̃(𝜔) = 1
√2𝜋∫ 𝛿(𝑡) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 ∞
−∞ 𝑑𝑡 =
1
5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
Jika 𝑓(𝑡) ganjil atau genap, teorema inversi Fourier dapat disajikan dalam bentuk berbeda.
Untuk fungsi ganjil, didapatkan teorema inversi Fourier
𝑓(𝑡) =𝜋 ∫ 𝑑𝜔2 ∞
0 sin 𝜔𝑡 {∫ 𝑓(𝑢) ∞
0 sin 𝜔𝑢 𝑑𝑢}
menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil
𝑓̃(𝜔) = √2𝑠 𝜋 ∫ 𝑓(𝑡) ∞
0 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 (𝟓. 𝟏𝟔)
𝑓(𝑡) = √𝜋 ∫ 𝑓2 ̃(𝜔)𝑠 ∞
0 sin 𝜔𝑡 𝑑𝜔 (𝟓. 𝟏𝟕)
Untuk fungsi genap, didapatkan teorema inversi Fourier
𝑓(𝑡) = 2𝜋 ∫ 𝑑𝜔∞
0 cos 𝜔𝑡 {∫ 𝑓(𝑢) ∞
0 cos 𝜔𝑢 𝑑𝑢}
menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil
𝑓̃(𝜔) = √2𝑐 𝜋 ∫ 𝑓(𝑡) ∞
0 cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 (𝟓. 𝟏𝟖)
𝑓(𝑡) = √2𝜋 ∫ 𝑓̃(𝜔)𝑐 ∞
0 cos 𝜔𝑡 𝑑𝜔 (𝟓. 𝟏𝟗)
6.
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
6.1 Persamaan Diferensial Orde I
Persamaan diferensial merupakan kelompok dari persamaan yang mengandung derivatives.
Sesuai dengan namanya, persamaan diferensial biasa (PDB) hanya mengandung turunan biasa (tidak mengandung turunan parsial) dan mendeskripsikan hubungan antara variable tidak bebasnya, dengan variable bebasnya. Orde dari PDB secara sederhana mengacu pada orde tertinggi dari turunannya (derivatives). Persamaan yang hanya mengandung 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ disebut PDB orde satu. Untuk persamaan yang mengandung 𝑑2𝑦 𝑑𝑥⁄ 2disebut PDB orde 2, dan seterusnya.
6.1.1 Bentuk Umum
Persamaan diferensial biasa dengan derajat satu hanya mengandung komponen 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ untuk suatu fungsi x dan y. dan dapat ditulis dalam dua bentuk umum :
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (𝟔. 𝟏)
dimana 𝐹(𝑥, 𝑦) = −𝐴 (𝑥, 𝑦) 𝐵⁄ (𝑥, 𝑦), dan 𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐴(𝑥, 𝑦), 𝐵(𝑥, 𝑦), secara umum dapat berupa fungsi x dan y.
6.1.2 Persamaan Variabel Pisah
Persamaan variable pisah merupakan persamaan yang dapat dengan sederhana dituliskan dalam bentuk :
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) (𝟔. 𝟐)
Dimana 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑦) adalah fungsi dari x dan y, termasuk juga dalam kasus 𝑓(𝑥) atau 𝑔(𝑦) adalah sebuah konstanta. Dengan melakukan pengaturan ulang, persamaan tersebut dapat ditulis kedalam bentuk integral
∫𝑔(𝑦) = ∫ 𝑓𝑑𝑦 (𝑥)𝑑𝑥 (𝟔. 𝟑)
6.1.3 Persamaan Eksak
Persamaan diferensial eksak memenuhi bentuk umum
𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, dimana 𝜕𝐴𝜕𝑦 =𝜕𝐵𝜕𝑥 (𝟔. 𝟒)
Persamaan 𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 dapat dituliskan dalam variable 𝑑𝑈(𝑥, 𝑦), atau dengan kata lain
𝑑𝑈 =𝜕𝑈𝜕𝑥 𝑑𝑥 +𝜕𝑈𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 𝐴𝑑𝑥 + 𝐵𝑑𝑦
sehingga terlihat hubungan
𝐴(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑈𝜕𝑥 (𝟔. 𝟓)
𝐵(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑈𝜕𝑦 (𝟔. 𝟔)
Dengan merujuk pada persamaan diferensial eksak, 𝑑𝑈(𝑥, 𝑦) = 0, sehingga memiliki solusi
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑐. Dimana 𝑐 disini dapat dicari dengan menyelesaikan salah satu dari dua persmaan diatas, dimana hasilnya adalah solusi dari persamaan diferensial eksak.
𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐹(𝑦) (𝟔. 𝟕)
Dimana untuk 𝐹(𝑦) dapat ditemukan dengan menurnkan persamaan 𝑈(𝑥, 𝑦) diatas terhadap 𝑦,
kemudian melakukan penyamaan dengan persamaan 𝐵 =𝜕𝑈
𝜕𝑦.
6.1.4 Persamaan Linear
Persamaan diferensial linear dapat ditulis dalam bentuk sederhana :
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) (𝟔. 𝟖)
Dengan memisalkan faktor pengintegralan 𝜇(𝑥, 𝑦), persamaan umum PDB linear menjadi
𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑃(𝑥)𝑦 =𝑑𝑥𝑑 [𝜇(𝑥, 𝑦)𝑦] = 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑄(𝑥)
yang dengan melakukan pengintegralan,
𝜇(𝑥, 𝑦)𝑦 = ∫ 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑄(𝑥)
faktor pengintegralan 𝜇(𝑥, 𝑦) dapat ditemukan dengan melihat bahwa :
𝑑
Bentuk umum persamaan Bernouli adalah :
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦𝑛, dengan 𝑛 ≠ 0 atau 1 (𝟔. 𝟏𝟎)
PDB Bernoulli merupakan kasus khusus dari PDB linear, tapi PDB Bernoulli ini tidaklah linear. Hal ini disebabkan karena adanya 𝑦𝑛 . Namun, PDB Bernoulli dapat diubah menjadi PDB linear dengan melakukan pemisalan sebuah variable baru 𝑣 = 𝑦1−𝑛 yang mengakibatkan 𝑑𝑣 =
(1 − 𝑛)𝑦−𝑛𝑑𝑦.
dimana dengan menggantikan dy pada persamaan sebelumnya didapatkan :
𝑑𝑣
𝑑𝑥 +(1 − 𝑛)𝑃(𝑥)𝑣 = (1 − 𝑛)𝑄(𝑥) (𝟔. 𝟏𝟏)
yang merupakan bentuk PDB linear. Tentu saja, solusinya dicari dengan metoda PDB linear.
6.1.6 Persamaan Homogen
Persamaan diferensial homogen merupakan PDB yang dapat ditulis :
𝑑𝑦 merupakan fungsi homogen, dan dengan derajat yang sama. Kita menjumlahkan setiap pangkat dari x dan y pada bagian A dan B untuk menjadi sama. Sisi kanan dari PDB homogen dapat ditulis sebagai fungsi y/x. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi
𝑦 = 𝑣𝑥, sehingga
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑣)
Ini kemudian merupakan PDB variabel pisah dan dapat langsung diintegralkan
∫𝐹(𝑣) − 𝑣 = ∫𝑑𝑣 𝑑𝑥𝑥 (𝟔. 𝟏𝟑)
6.2 Persamaan Diferensial Orde II
6.2.1 Persamaan Diferensial Linear Secara Umum
Saat 𝑄(𝑥) = 0, persamaannya disebut homogen, sebaliknya, persamaannya disebut tidak homogen. Solusi umum untuk persamaan diferensial linear, mengacu pada persamaan diatas, akan mengandung n buah konstan.
Kasus paling umum yang sering dijumpai dalam masalah fisika adalah persamaan diferensial linear orde dua. Karena itu, buku ini memfokuskan untuk kasus PD Linear orde dua :
𝐴(𝑥)𝑑𝑑𝑥2𝑦2 + 𝐵(𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝐶(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
Dimana 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) dan 𝐶(𝑥) adalah sebuah fungsi yang kontinu. Persamaan ini biasa digunakan untuk mempelajari gerak dari sebuah pegas.
6.2.2 PD Linear Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan
Seperti di awal pembahasan, saat 𝑄(𝑥) = 0, persamaannya menjadi homogen. Bentuk umunya :
𝐴(𝑥)𝑑𝑑𝑥2𝑦2+ 𝐵(𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝐶(𝑥)𝑦 = 0
Dua fakta dasar membantu kita untuk dapat memecahkan solusi untuk persamaan di atas. Pertama adalah jika kita mengatahui dua solusi 𝑦1(𝑥) dan 𝑦2(𝑥) untuk persamaan tersebut, kombinasi linearnya juga merupakan solusi :
𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑦1(𝑥) + 𝑐2𝑦2(𝑥)
Dengan 𝑐1 dan 𝑐2 adalah suatu konstanta tertentu. Hal ini dapat dibuktikan dengan melakukan subtitusi 𝑦1(𝑥)dan 𝑦2(𝑥)pada persamaan yang menghasilkan nilai 0 dan menurunkan 𝑦(𝑥) dua kali lalu melakukan subtitusi pada persamaan awal.
Fakta lain yang membuat kita mampu memecahkan solusi persamaan ini adalah, solusi umumnya berupa kombinasi linear dari dua solusi linear yang independen 𝑦1(𝑥)dan 𝑦2(𝑥). Ini berarti antara 𝑦1(𝑥) dan 𝑦2(𝑥) bukanlah merupakan kelipatan antara satu sama lain. Lebih jelasnya, fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 merupakan fungsi tidak bebas secara linear, tapi
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥dan 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 merupakan fungsi bebas secara linear.
dilakukan. PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan akan memiliki formula sebagai berikut :
𝐴𝑦′′+ 𝐵𝑦′+ 𝐶𝑦 = 0 (𝟔. 𝟏𝟒)
Dengan 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah konstanta dan 𝐴 ≠ 0.
Solusi persamaan di atas adalah sebuah fungsi y, teerdiri dari sebuah konstanta dikalikan dengan turnuan keduanaya (𝑦’’) ditambah dengan kontastanta lain yang dikalikan dengan turunan pertamanya (𝑦’) yang ditambah lagi dengan konstanta kemudian dikalikan dengan (𝑦) menghasilkan 0. Kita mengatahui bahwa fungsi eksponensial 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥 (dengan 𝑟 adalah konstanta) memiliki turunan sebuah konstanta yang dikalikan dengan dirinya sendiri 𝑦′ = 𝑟𝑒𝑟𝑥. Adapun turunan keduanya 𝑦′′ = 𝑟2𝑒𝑟𝑥. Dengan melakukan substitusi dengan persamaan diatas :
𝐴(𝑟2𝑒𝑟𝑥) + 𝐵(𝑟𝑒𝑟𝑥) + 𝐶(𝑒𝑟𝑥) = 0
atau :
(𝐴𝑟2+ 𝐵𝑟 + 𝐶)𝑒𝑟𝑥 = 0
Tapi 𝑒𝑟𝑥 tidak pernah 0, sehingga 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥 adalah solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan, dengan r adalah akar-akar dari persamaan :
𝐴𝑟2+ 𝐵𝑟 + 𝐶 = 0 (𝟔. 𝟏𝟓)
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan 𝐴𝑦′′+ 𝐵𝑦′+ 𝐶𝑦 = 0.
Nilai 𝑟 bisa didapatkan dengan cara pemfaktoran, namun tidak jarang juga menggunakan rumus akar persamaan kuadrat :
𝑟1,2 =−𝐵 ± √𝐵
2− 4𝐴𝐶 2𝐴
Dimana kita dapatkan tiga kasus yang bergantung pada diskriminan 𝐵2− 4𝐴𝐶.
Kasus pertama, saat 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0. Kasus ini, akar-akar 𝑟1 dan 𝑟2 merupakan persamaan yang berbeda. Sehingga 𝑦1 = 𝑒𝑟1𝑥 dan 𝑦2 = 𝑒𝑟2𝑥 adalah dua solusi linear yang bebas dari persamaan
𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥+ 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 (𝟔. 𝟏𝟔)
Kasus kedua, saat 𝐵2− 4𝐴𝐶 = 0. Pada kasus ini r1 = r2. Sehingga akar-akarnya real dan sama. Kita misalkan akar-akar sama ini dengan 𝑟. Sehingga, rumus akar persamaan kuadrat :
𝑟 = −𝐵2𝐴 sehingga 2𝐴𝑟 + 𝐵 = 0
Dari syarat-syarat tersebut, didapatkan solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan dan akar-akar yang sama memberikan :
𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟𝑥+ 𝑐2𝑥𝑒𝑟𝑥 (𝟔. 𝟏𝟕)
Kasus ketiga, saat 𝐵2− 4𝐴𝐶 < 0. Pada kasus ini, r1 dan r2 terdiri dari bilangan kompleks. Kita dapat menuliskan :
𝑟1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 dan 𝑟2 = 𝛼 − 𝑖𝛽
Dimana 𝛼 dan 𝛽 adalah bilangan real (𝛼 = −𝐵 (2𝐴)⁄ dan 𝛽 = √𝐵2− 4𝐴𝐶 (2𝐴)⁄ ), sehingga dengan menggunakan persamaan Euler :
𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃
Solusi yang kita dapatkan menjadi :
𝑦 = 𝐶1𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥+ 𝐶2𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑥 = 𝐶1(𝑒𝛼𝑥𝑒𝑖𝛽𝑥) + 𝐶2(𝑒𝛼𝑥𝑒−𝑖𝛽𝑥)
= 𝐶1𝑒𝛼𝑥(cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥) + 𝐶2𝑒𝛼𝑥(cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥) = 𝑒𝛼𝑥(𝐶
1cos 𝛽𝑥 + 𝑖𝐶1sin 𝛽𝑥 + 𝐶2cos 𝛽𝑥 − 𝑖𝐶2sin 𝛽𝑥) = 𝑒𝛼𝑥((𝐶1+ 𝐶2) cos 𝛽𝑥 + 𝑖(𝐶
1− 𝐶2) sin 𝛽𝑥)
atau disederhanakan
𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1cos 𝛽𝑥 + 𝑐2sin 𝛽𝑥) (𝟔. 𝟏𝟖)
Dengan 𝑐1 = 𝐶1+ 𝐶2 dan 𝑐2 = 𝑖(𝐶1− 𝐶2). Formula ini memberikan semua solusi yang dibutuhkan untuk persamaan diferensial.
6.2.2 PD Linear Tidak Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan
Formasi umum dari persamaannya adalah :
𝐴𝑦′′+ 𝐵𝑦′+ 𝐶𝑦 = 𝑄(𝑥)
Dimana A, B, dan C adala suatu konstanta dan G adalah fungsi kontinu. Kita tahu bentuk homogennya adalah :
𝐴𝑦′′+ 𝐵𝑦′+ 𝐶𝑦 = 0
Solusi umum dari persamaan linear tidak homogen adalah :
𝑦(𝑥) = 𝑦𝑐(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥) (𝟔. 𝟏𝟗)
Dengan 𝑦𝑝(𝑥) adalah solusi khusus dari persamaan linear orde dua tidak homogen dengan koefisien konstan.
Salah satu metode menyelesaikan persamaan jenis ini, pertama-tama, kita ilustrasikan sebuah persamaan :
𝐴𝑦′′+ 𝐵𝑦′+ 𝐶𝑦 = 𝑄(𝑥)
Dimana 𝑄(𝑥) adalah sebuah polynominal. Masuk akal ketika kita menebak bahwa terdapat solusi partikular 𝑦𝑝 yang merupakan polynominal dengan derajat yang sama dengan 𝑄 karena jika 𝑦 adalah polynominal, maka 𝐴𝑦′′+ 𝐵𝑦′+ 𝐶𝑦 juga merupakan polynominal. Kemudian dilakukan subtitusi 𝑦𝑝(𝑥) sebuah polynominal kedalam persamaan tersebut dan menentukan koefisiennya.
Misalkan 𝑄(𝑥) adalah sebuah polynominal 𝑥2, kita dapat mencari solusi khususnya dengan formasi :
𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴𝑥2+ 𝐵𝑥 + 𝐶 (𝟔. 𝟐𝟎)
Adapun ketika Q(x) adalah sebuah fungsi dengan formasi 𝐶𝑒𝑘𝑥 dengan C dan k adalah konstanta, kita menggunakannya solusi percobaan dengan formasi sama
𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴𝑒𝑘𝑥 (𝟔. 𝟐𝟏)
karena turunan dari 𝑒𝑘𝑥 adalah suatu konstanta yang dikalikan dengan 𝑒𝑘𝑥.
Jika 𝑄(𝑥) adalah fungsi yang terdiri dari 𝐶 cos 𝑘𝑥 dan 𝐶 sin 𝑘𝑥, dengan memperhatikan aturan penurunan terhadap sinus dan kosinus, kita ambil sebagai solusi percobaan partikular adalah fungsi dengan formasi :
𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sin 𝑘𝑥 (𝟔. 𝟐𝟐)
Kasus lain, ketika 𝑄(𝑥) merupakan hasil dari suatu fungsi yang didahuli oleh sebuah variabel, kita mengambil solusi percobaan partikular yang sesuai dengan fungsi tersebut. Misalkan :
𝑦′′+ 2𝑦′+ 4𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥
Kita mencoba solusi khususnya :
7. TRANSFORMASI LAPLACE
7.1 Definisi
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Meski berbeda dan menjadi alternatif untuk variasi parameter dan koefisien yang tidak ditentukan, metode Laplace bermanfaat secara terpisah untuk masukan bagian yang hanya terdefinisi sebagian, periodic, ataupun impulsive.
Transformasi Laplace 𝑓(𝑠) dari fungsi 𝐹(𝑡) didefinisikan :
𝑓(𝑠) = 𝐿{𝐹(𝑡)} = ∫ 𝐹(𝑡)𝑒∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡
0 (𝟕. 𝟏)
yang merupakan bentuk umum integral biasa. Karena bentuk integral, sifat-sifat dari integral juga berlaku untuk transformasi Laplace ini. Misalnya :
𝐿{𝑎𝐹(𝑡) + 𝑏𝐺(𝑡)} = 𝑎𝐿{𝐹(𝑡)} + 𝑏𝐿{𝐺(𝑡)} (𝟕. 𝟐)
7.2 Fungsi Elementer
Sebagai pengantar transformasi Laplace, mari kita mengaplikasikannya untuk beberapa fungsi elementer. Untuk setiap kasus, kita asumsikan 𝐹(𝑡) = 0 untuk 𝑡 < 0. Jika
𝐹(𝑡) = 1, 𝑡 > 0
transformasi Laplacenya menjadi :
𝐿{1} = ∫ 𝑒∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡
0 =
1
𝑠 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑠 > 0
Contoh lain,
transformasi Laplacenya menjadi :
𝐿{𝑒𝑘𝑡} = ∫ 𝑒∞ 𝑘𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
0 =
1
𝑠 − 𝑘 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑠 > 𝑘
Dari dua bentuk diatas, transformasi Laplace untuk fungsi hiperbolikus 𝑐𝑜𝑠ℎ dan 𝑠𝑖𝑛ℎ dapat diketahui. Kita tahu,
cosh 𝑘𝑡 =12(𝑒𝑘𝑡+ 𝑒−𝑘𝑡), sinh 𝑘𝑡 = 1
2(𝑒𝑘𝑡 − 𝑒−𝑘𝑡) ,
transformasi Laplacenya menjadi :
𝐿{cosh 𝑘𝑡} =12(𝑠−𝑘1 +𝑠+𝑘1 ) =𝑠2+𝑘𝑠 2 ,
𝐿{sinh 𝑘𝑡} =12(𝑠−𝑘1 −𝑠+𝑘1 ) =𝑠2+𝑘𝑘 2 ,
Dimana keduanya terpenuhi untuk 𝑠 > 𝑘.
Hal tersebut juga dapat dibuktikan untuk mencari transofmasi dari cos 𝑘𝑡 dan sin 𝑘𝑡, dimana :
𝐿{cos 𝑘𝑡} =𝑠2+𝑘𝑠 2,
𝐿{sin 𝑘𝑡} =𝑠2+𝑘𝑘 2,
Keduanya berlaku untuk 𝑠 > 0.
Fungsi elementer lain yang juga sering digunakan, adalah 𝐹(𝑡) = 𝑡𝑛, yang transformasi Laplacenya :
𝐿{𝑡𝑛} = ∫ 𝑡∞ 𝑛𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
0 ,
dengan menyelesaikan bentuk integral tersebut, didapatkan :
𝑓(𝑠) =𝑠𝑛+1𝑛! untuk 𝑠 > 0 dan 𝑛 > −1.
Dari beberapa persamaan di atas, setiap transformasi memiliki variabel 𝑠 pada pembagi, sehingga muncul sebagai pangkat negative. Dari definisi awal transformasi Laplace dan syarat keadaannya, dapat kita lihat bahwa jika 𝑓(𝑠) adalah sebuah transformasi Laplace, 𝑙𝑖𝑚
Suatu hal penting dari fakta ini adalah jika 𝑓(𝑠) bersifat asymptotis untuk nilai 𝑠 yang besar sebagai pangkat positif dari 𝑠, tidak ada transformasi invers yang memenuhi persamaan tersebut.
7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace
Secara umum, fungsi Heaviside merupakan fungsi diskontinu yang nilainya nol untuk bagian negative dan nilainya satu untuk bagian positif. Misalkan fungsi Heaviside kita definisikan sebagai 𝑢(𝑡 − 𝑘),
𝑢(𝑡 − 𝑘) = {0,1, 𝑡 < 𝑘,𝑡 > 𝑘, (𝟕. 𝟑)
Gambar 7.1 Contoh grafik fungsi Heaviside
dimana transformasi Laplace dari fungsi tersebut adalah :
𝐿{𝑢(𝑡 − 𝑘)} = ∫ 𝑒∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡
𝑘 =
1 𝑠 𝑒−𝑘𝑠
Misalnya sebuah grafik signal 𝐹(𝑡) dengan tinggi 𝐴 saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 𝑡0, dengan menggunakan fungsi Heaviside, signal tersebut dapat direpresentasikan sebagai :
𝐹(𝑡) = 𝐴[𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 𝑡0)].
Transformasi Laplacenya menjadi :
𝐿{𝐹(𝑡)} = 1𝑠(1 − 𝑒−𝑡0𝑠).
Penggunaan lebih lanjut pada persamaan diferensial akan berguna dengan menggunakan konsep fungsi Delta Dirac. Transformasi dari fungsi Delta Dirac :
𝐿{𝛿(𝑡 − 𝑡0)} = ∫ 𝑒∞ −𝑠𝑡𝛿(𝑡 − 𝑡0)
0 𝑑𝑡 = 𝑒
Gambar 7.2 Grafik fungsi Delta Dirac
Untuk 𝑡0 = 0 perlu diperhatikan, karena fungsi Delta Dirac berpengaruh pada distribusi kesimetrian dan definisi integral dari transformasi Laplace teerdestriksi untuk 𝑡 ≥ 0. Hasil yang konsisten dari transformasi Laplace, didapatkan ketika urutan delta pada jangkauan 𝑡 ≥ 𝑡0, yang hasilnya :
𝐿{𝛿(𝑡)} = 1
Fungsi delta ini sering disebut fungsi impulse karena sangat berguna dalam mendeskripsikan gaya impulsive, yakni gaya yang terjadi pada waktu yang singkat.
7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial
Salah satu fungsi dari transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan solusi dari persamaan difrensial. Transformasi Laplace menjadikan persamaan diferensial yang dianalisis ditransformasi ke ruang Laplace menjadi fungsi 𝑓(𝑠). Fungsi terebut dapat dirubah bentuknya menjadi aljabar sederhana, lalu melakkukan transformasi balik fungsi tersebut sehingga didapatkan solusi dengan variabel asal fungsi.
Misalkan transformasi Laplace untuk fungsi (𝑡) :
Untuk turunan dengan orde dua, didapatkan :
𝐿{𝐹′′(𝑡)} = 𝑠2𝐿{𝐹(𝑡)} − 𝑠𝐹(0) − 𝐹′(0) (𝟕. 𝟔)
Dari pemaparan tersebut, transformasi laplace untuk turunan dengan orde lebih tinggi akan mengikuti pola :
𝐿{𝐹𝑛(𝑡)} = 𝑠𝑛𝐿{𝐹(𝑡)} − 𝑠𝑛−1𝐹(0) − ⋯ − 𝐹(𝑛−1)(0) (𝟕. 𝟕)
Setelah mendapatkan fungsi dari 𝑓(𝑠), persamaan tersebut diolah dengan operasi aljabar sederhana kemudian melakukan transformasi balik untuk mendapatkan nilai 𝑓(𝑡) yang kembali pada variabel awal :
𝐿−1{𝑓(𝑠)} = 𝑓(𝑡)
Transformasi balik Lapace ini dikaji lebih dalam dengan teorema konvolusi. Misalkan 𝐿{𝑓(𝑡)} =
𝑓(𝑠) dan 𝐿{𝑔(𝑡)} = 𝑔(𝑠), transformasi balik dari hasil kalinya :
𝐿−1{𝑓(𝑠)𝑔(𝑠)} = 𝑓 ∗ 𝑔 (𝟕. 𝟖)
Dimana 𝑓 ∗ 𝑔 adalah konvolusi dari fungsi 𝑓 dan 𝑔 yang memenuhi persamaan :
𝑓 ∗ 𝑔 = ∫ 𝑓(𝑠)𝑔(𝑡 − 𝑠)𝑑𝑠𝑡
𝑜 (𝟕. 𝟗)
Adapun penerapan transformasi laplace pada integral :
𝐿 [∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑡
𝐿 [∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑡
𝑜 ] =
1
𝑠 𝐿[𝑓(𝑡)] (𝟕. 𝟏𝟎)
Bentuk lain, ketika kita memiliki fungsi konvergen bervariabel :
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒∞ −𝑥𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 0
Dengan mengubah urutan integrasinya dapat dilihat bahwa :
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
𝑠 = ∫ 𝑑𝑥
∞
𝑠 ∫ 𝑑𝑡𝑒
−𝑥𝑡𝑓(𝑡) ∞
0 = ∫ 𝑒
−𝑥𝑡𝑓(𝑡) 𝑡 𝑑𝑡 ∞
0 = 𝐿 [
𝑓(𝑡)
𝑡 ] (𝟕. 𝟏𝟏)
Dari berbagai penjabaran tentang transformasi Laplace di atas, berikut adalah table transformasi Laplace untuk fungsi-fungsi standard.
DAFTAR PUSTAKA
[1].K. F. Riley, M. P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and
Engineering, 3rd Ed., Cambridge University Press, London, (2006)
[2].G. B. Arfken, H. J. Weber, F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th Ed., Elsevier, Walthman, (2013)
