Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil

(1)

MAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN

CYCLE GANJIL

DIMAS ENGGAR SATRIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Desember 2013

Dimas Enggar Satria

(4)

ii

ABSTRAK

DIMAS ENGGAR SATRIA. Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle

Ganjil. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.

Karya ilmiah ini membuktikan teorema-teorema untuk memperoleh magic strength pada graf path, graf bistar, dan graf cycle ganjil. Magic strength pada suatu graf adalah nilai minimum dari semua bilangan konstan yang diperoleh dari semua magic labeling pada graf tersebut. Magic labeling pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dimana jumlah label-label pada sebuah sisi yang incident dengan dua simpul adalah suatu bilangan konstan. Terdapat empat pembuktian teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Misalkan n merupakan suatu bilangan asli. Teorema pertama membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf path

berderajat 2n adalah 5n+1. Teorema kedua membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf path berderajat2n+1 adalah 5n+3. Teorema ketiga membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf bistar berderajat n adalah 5n+6. Teorema keempat membuktikan bahwa nilai magic strength dari graf cycle berderajat 2n+1 adalah 5n+4.

Kata kunci: graph labeling, magic labeling, magic strength

ABSTRACT

DIMAS ENGGAR SATRIA. Magic Strength in Path, Bistar, and Odd-Cycle Graphs. Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED and MUHAMMAD ILYAS.

This manuscript proves theorems to obtain magic strength; a minimum of all constant number that has been attained from all magic labeling in that graph, in path, bistar, and odd-cycle graphs. Magic labeling in the graph is defined as a total of labeling two vertices and one edge which is incident with it. The label is natural number and the total of labeling is a constant number. There are four theorems discussed in this paper. Suppose n is a natural number. The first theorem proves that magic strength value of a path graph with degree 2n is 5n+1. The second theorem proves that magic strength value of a path graph with degree 2n+1 is 5n+3. The third theorem proves that magic strength value of a bistar graph with degree n is 5n+6. The fourth theorem proves that magic strength value of a cycle graph with degree 2n+1 is 5n+4.

(5)

MAGIC STRENGTH PADA GRAF PATH, BISTAR, DAN

CYCLE GANJIL

DIMAS ENGGAR SATRIA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

(7)

vii

Judul Skripsi : Magic Strength pada Graf Path, Bistar, dan Cycle Ganjil Nama : Dimas Enggar Satria

NIM : G54080049

Disetujui oleh

Teduh Wulandari Mas’oed, MSi Pembimbing I

Muhammad Ilyas, MSc Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

(8)

viii

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah Magic Labeling dengan judul Magic Strength pada Graf Path,

Bistar, dan Cycle Ganjil.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi dan Bpk Muhammad Ilyas, MSc selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, kakak serta Astriani, atas segala doa dan saran kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini. Terima kasih juga disampaikan untuk rekan kerja penelitian saya, yaitu Rahmalia Yuliarni dan Pipin Urip atas segala saran dan masukan terkait penelitian. Selain itu, tidak lupa rasa terima kasih sebesar-besarnya kepada teman-teman di Departemen Matematika IPB angkatan 45. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan dapat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Desember 2013

(9)

ix

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan 1

LANDASAN TEORI 2

Teori Graf 2

Pelabelan Graf 5

PEMBAHASAN 7

Graf Path Derajat 2n 7

Graf Path Derajat 2n + 1 11

Graf Bistar Derajat n 15

Graf Cycle Derajat 2n + 1 21

SIMPULAN DAN SARAN 24

Simpulan 24

Saran 24

DAFTAR PUSTAKA 25

(10)

DAFTAR GAMBAR

1 Graf G = (V, E). 2

2 Graf J tak terhubungkan 3

3 Cycle dengan 3 simpul. 4

4 Graf Bistar dengan 2 simpul pusat dan 6 simpul cabang. 4

5 Graf G taktrivial dengan 3 simpul. 5

6 Graf cycle ber-order 6. 5

7 Graf pathP3. 6

8 Magic labeling pada graf pathP3. 7

9 Graf pathP6. 8

11 Graf pathP7. 11

13 Graf bistarB5,5. 15

14 Magic labeling pada graf bistarB5,5. 17

15 Graf cycleC3. 21

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Cabang ilmu dalam bidang matematika yang diperkenalkan pertama kali oleh seorang ahli matematika asal Swiss, Leonardo Euler pada tahun 1736, salah satunya adalah “Teori Graf”. Saat itu Euler memperkenalkan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg yang merupakan salah satu masalah transportasi yang terjadi di kota Kaliningrad, Rusia. Sejak saat itu teori graf mulai mendapat banyak perhatian sehingga teori tersebut terus dikembangkan dan memiliki banyak terapan, diantaranya model jaringan komunikasi, ilmu komputer, penjadwalan, riset operasi, dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori graf memiliki cakupan model yang luas. Salah satu permasalahan utama dalam teori graf adalah bagaimana menandai suatu simpul dan sisi, sedemikian sehingga setiap simpul dan sisi yang saling adjacent memiliki tanda yang berbeda. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menandai suatu simpul/sisi, salah satunya adalah metode pelabelan.

Pelabelan pada suatu graf merupakan fungsi injektif yang memetakan setiap unsur himpunan simpul (vertex) dan setiap unsur himpunan sisi (edge) ke bilangan asli yang disebut label (Gallian 2009). Pelabelan pada graf terdiri dari pelabelan simpul, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan domain himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan simpul dan sisi. Ada banyak jenis pelabelan pada graf yang telah dikembangkan, diantaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total, magic labeling, dan pelabelan anti ajaib (antimagic).

Magic labeling pada suatu graf merupakan pelabelan total pada simpul dan sisi suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label-label pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya adalah suatu bilangan konstan. Pada

magic labeling, jumlah label-label pada sebuah sisi dan dua simpul ujungnya menghasilkan suatu konstanta ajaib. Nilai terkecil dari konstanta ajaib yang didapat dari magic labeling tersebut adalah magic strength. Dalam karya ilmiah ini akan dibuktikan beberapa teorema untuk memperoleh magic strength pada graf

path, graf bistar, dan graf cycle. Sumber utama dalam karya ilmiah ini adalah artikel berjudul “Magic Strength of a Graph” yang ditulis Selvan Avadayappan, Vasuki, dan Jeyanthi pada tahun 2000.

Tujuan

(12)

2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Teori Graf

Definisi 1 (Graf)

Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan takkosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V, E). Elemen V

disebut simpul (vertex) sedangkan elemen E disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V(G), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E(G).

(Foulds 1992) Contoh graf G dapat dilihat pada Gambar 1. Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah

V(G) = {a, b, c, d, e, f}

E(G) = {{a, b}, {b, c}, {b, d}, {d, e}, {e, f}}

G :

Definisi 2 (Order dan Size)

Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul pada graf G disebut order dan banyaknya sisi pada graf G disebut size. Order dari graf G dinotasikan dengan |V(G)| dan size dari graf G dinotasikan dengan |E(G)|.

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, nilai dari |V(G)| = 6 dan |E(G)| = 5.

Definisi 3 (Incident dan adjacent)

Misalkan diberikan graf G. Jika e = {u, v} ∈ E(G) dengan u, v∈V(G) maka

u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v.

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, misalkan e = {a, b} ∈E(G) maka a dan b dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan a dan b.

Gambar 1 Graf G = (V, E).

f

b c

d e

(13)

3

Definisi 4 (Degree)

Derajat (degree) dari suatu simpul v pada graf G adalah banyaknya sisi yang

incident dengan v dan dinotasikan dengan deg(v).

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg(a) = 1, deg(b) = 3, deg(c) = 1, deg(d) = 2, deg(e) = 2, dan deg(f ) = 1.

Definisi 5 (Walk)

Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G

dengan bentuk {v1, {v1, v2}, v2, {v2, v3}, v3, … , {vn-1, vn}, vn} dan dapat dituliskan sebagai {v1, v2, … , vn} atau v1, v2, … , vn. Suatu walk yang menghubungkan v1

dengan vn dikatakan tertutup jika v1 = vn. Jika v1 ≠ vn maka walk tersebut dikatakan

terbuka.

(Foulds 1992) Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {a, {a, b}, b, {b, d}, d, {d, e}, e, {e, f}, f}.

Definisi 6 (Path)

Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda. Graf ber-ordern≥ 1 yang berbentuk path disebut graf path ber-ordern, dituliskan

Pn.

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, {a, b, d, e, f} merupakan salah satu contoh path.

Definisi 7 (Graf Terhubungkan)

Graf G dikatakan terhubungkan jika setiap 2 simpul yang berbeda pada graf

G dihubungkan oleh suatu path dan dikatakan tak terhubungkan jika ada 2 simpul yang berbeda, tidak ada path yang menghubungkan kedua simpul tersebut.

(Foulds 1992) Contoh graf terhubungkan dapat dilihat pada Gambar 1, sedangkan contoh graf tak terhubungkan dapat dilihat pada Gambar 2.

J :

Gambar 2 Graf J tak terhubungkan

a b

c

d

(14)

4

Definisi 8 (Cycle)

Cycle pada graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul berbeda.

(Foulds 1992) Contoh cycle dapat dilihat pada Gambar 3.

Definisi 9 (Tree)

Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle.

(Foulds 1992) Gambar 1 merupakan contoh tree dengan 6 simpul.

Definisi 10 (Graf Bistar)

Graf G disebut graf bistar, dinotasikan Bn,n, jika pada graf G terdapat 2 salinan tree K1,n dimana setiap tree K1,n terdiri dari 1 simpul pusat dan simpul

cabang sebanyak n, simpul pusat dari masing-masing tree K1,n dihubungkan oleh

suatu sisi.

(Avadayappan et. al. 2000) Contoh bistar dapat dilihat pada Pada Gambar 4 merupakan salah satu contoh bistar dimana terdiri dari 2 simpul pusat yaitu a dan e yang mana masing-masing dari simpul pusat memiliki 3 simpul cabang secara berurut yaitu b, c, d dan f, g, h. B3,3 :

Definisi 11 (Graf Taktrivial)

Suatu graf G disebut graf taktrivial jika suatu graf G memiliki order paling sedikit dua.

(Chartrand & Oellermann 1993) Gambar 4 Graf Bistar dengan 2 simpul pusat dan 6 simpul cabang.

Gambar 3 Cycle dengan 3 simpul.

c b

a

d c

h

g f

b

(15)

5

Berikut ini diberikan contoh graf taktrivial ber-order 3

G :

Definisi 12 (Graf Cycle)

Suatu graf ber-order n dengan n ≥ 3 yang membentuk sebuah cycle disebut graf cycle dan dinotasikan dengan Cn.

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf cycle ber-order 6.

C6 :

Pelabelan Graf

Karya ilmiah ini membahas suatu magic labeling untuk mencari nilai konstanta ajaib terkecil pada graf path, graf n-bistar, dan graf cycle. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf.

Definisi 13 (Pelabelan)

Pelabelan pada graf merupakan fungsi injektif yang memetakan untuk setiap unsur himpunan simpul (vertex) dan untuk setiap unsur himpunan sisi (edge) ke bilangan asli yang disebut label.

(Gallian 2009) Pada tahun 1970, Kotzig dan Rosa menuliskan definisi mengenai magic labeling, definisi tersebut digunakan juga oleh Avadayappan, Vasuki, dan Jeyanthi dalam penulisan jurnalnya pada tahun 2000.

Definisi 14 (Magic Labeling)

Misalkan G graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E. Magic labeling pada graf G adalah suatu fungsi bijektif f : V ∪E →{1, 2, 3, … , v + ɛ}, sehingga untuk setiap sisi xy, nilai penjumlahan f(x) + f(y) + f(xy) = c(f), dimana

c(f) merupakan konstanta ajaib dari fungsi bijektif f.

(Avadayappan et. al. 2000) Gambar 6 Graf cycle ber-order 6.

Gambar 5 Graf G taktrivial dengan 3 simpul.

c b

a

b

f _e

d

(16)

6

Definisi 15 (Graf Magic)

Graf magic adalah graf yang memiliki magic labeling.

(Gallian 2009)

sehingga didapat nilai c(f) = 10 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (a). Pelabelan kedua, misalnya

sehingga didapat nilai c(f) = 9 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (b). Pelabelan ketiga, misalnya

sehingga didapat nilai c(f) = 8 dan dapat digambarkan seperti Gambar 8 (c). Gambar 7 Graf pathP3.

(17)

7

(a)

(b)

(c)

Dari ketiga pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) berturut-turut adalah 10, 9, dan 8. Jadi, untuk magic strength dari graf P3, m(P3) = min{10, 9, 8} = 8.

Lema 1

Jika G adalah graf magic, maka untuk memperoleh magic strength akan diberikan kisaran nilai sebagai berikut

v + ɛ+ 3 ≤ m(G) ≤ 2v + 2ɛ

dengan v adalah banyaknya simpul dan ɛ adalah banyaknya sisi.

(Avadayappan et. al. 2000)

PEMBAHASAN

Karya ilmiah ini membahas teorema-teorema mengenai magic strength pada graf path, graf n-bistar, dan graf cycle. Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana memperoleh nilai konstanta ajaib terkecil dari suatu magic labeling pada graf-graf tersebut.

Magic labeling tidak hanya dilakukan satu kali melainkan dilakukan beberapa kali hingga diperoleh beberapa nilai konstanta ajaib. Semua nilai konstanta ajaib tersebut akan diambil nilai konstanta ajaib terkecil yang mana nilai konstanta ajaib terkecil yang didapat merupakan magicstrength pada graf tersebut.

Graf Path Derajat 2n

Misalkan G graf dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E. Path

pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda. Graf

ber-order m ≥ 1 yang berbentuk path disebut graf path ber-order m, dituliskan Pm. Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk mencari magic strength

pada graf pathP2n sebelum membuktikan teorema 1. Misalkan diberikan graf path

P6 dengan bentuk seperti pada Gambar 9.

Gambar 8 Magic labeling pada graf pathP3.

1 5 2

4 3

1 3 2

5 ₄

3

4

1

5

(18)

8

P6 :

Pada graf path P6 diatas terdapat 6 simpul dan 5 sisi sehingga kisaran nilai untuk

membantu memperoleh magic strength adalah

(19)

9

sehingga didapat nilai c(f) = 16 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (c). Pelabelan keempat, misalnya

sehingga didapat nilai c(f) = 16 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (d). (a)

(b)

(c)

(d)

Dari keempat pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 17, 18, 16, 16. Jadi, untuk magic strength dari graf P6, m(P6) = min

{17, 18, 16, 16 } = 16.

(20)

(21)

11

Akibatnya c(f) ˃ 5n

Sehingga c(f) ≥ 5n + 1

Karena m(P2n) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan

nilai c(f) maka m(P2n) pasti memenuhi ketaksamaan m(P2n) ≥ 5n + 1.

(ii) Akan dibuktikan m(P2n) ≤ 5n + 1 dengan menunjukan eksistansi

konstanta c(f) pada graf P2n. Misalkan v1, v2, v3, …, v2n adalah simpul

terurut dari P2n dan e1, e2, e3, …,e2n-1 adalah sisi terurut dari P2n. Artinya,

ei = vivi+1 untuk 1 ≤i≤ 2n– 1. Pilih fungsi label : f (v2i– 1) = i untuk 1 ≤ i≤ n,

f (v2i) = n + i untuk 1 ≤ i≤ n,

f (ei) = 4n–i untuk 1 ≤ i≤ 2n– 1.

Akibatnya diperoleh konstanta c(f) sebagai berikut.

c(f) = f(x) + f(y) + f(xy)

= f (v2i– 1) + f (v2i) + f (e2i - 1)

= i + n + i + 4n– (2i– 1)

= i + n + i + 4n– 2i + 1

= 5n + 1

Karena c(f) = 5n + 1 merupakan salah satu nilai konstanta ajaib yang didapat maka m(P2n) ≤ 5n + 1.

Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(P2n) ≤ 5n + 1 dan m(P2n) ≥ 5n + 1, maka dapat diperoleh bahwa m(P2n) = 5n + 1. Dengan demikian dapat dibuktikan bahwa

setiap graf pathP2n memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 1.

■ Terbukti

Graf Path Derajat 2n + 1

Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk memperoleh

magic strength pada graf path P2n+1 sebelum membuktikan teorema 2. Misalkan

diberikan graf pathP7 dengan bentuk seperti pada Gambar 11.

P7 :

Pada graf path P7 diatas terdapat 7 simpul dan 6 sisi sehingga kisaran nilai untuk

7 + 6 + 3 ≤ m(G) ≤ (2)(7) + (2)(6) 16 ≤ m(G) ≤ 30

Gambar 11 Graf pathP7.

(22)

12

(23)

13

f(u4) + f(u5) + f(u4u5) = 6 + 3 + 10 = 19 f(u5) + f(u6) + f(u5u6) = 3 + 7 + 9 = 19 f(u6) + f(u7) + f(u6u7) = 7 + 4 + 8 = 19

Dari 4 pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 18, 19, 20, 20. Jadi, untuk magic strength dari graf P6, m(P6) = min{18, 19, 19, 20 } = 18.

(24)

(25)

15

Akibatnya diperoleh konstanta c(g) sebagai berikut.

c(g) = g(x) + g(y) + g(xy) dimana setiap treeK1,n terdiri dari 1 simpul pusat dan simpul cabang sebanyak n,

simpul pusat dari masing-masing tree K1,n dihubungkan oleh suatu sisi. Berikut

akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk memperoleh magic strength pada graf bistar Bn,n sebelum membuktikan teorema 3. Misalkan diberikan graf bistar B5,5 dengan bentuk seperti pada Gambar 13.

(26)

16

Pada graf bistar B5,5 diatas terdapat 12 simpul dan 11 sisi sehingga kisaran nilai

untuk membantu memperoleh magic strength adalah

12 + 11 + 3 ≤ m(G) ≤ (2)(12) + (2)(11) 26 ≤ m(G) ≤ 46

Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf bistar B5,5 diberi 2 pelabelan yang

berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya

(27)

17

sehingga didapat nilai c(f) = 31 dan dapat digambarkan seperti Gambar 14 (b). (a)

(b)

Dari kedua pelabelan graf di atas, didapat nilai c(f) secara berturut-turut adalah 31 dan 31. Jadi, untuk magic strength dari graf bistar B5,5, m(B5,5) = min{31, 31} =

31.

Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada graf bistar Bn,n. Berikut akan dibuktikan teorema 3 yang akan digunakan untuk menentukan magic strength pada graf bistarBn,n.

(28)

18

Teorema 3

Misalkan Bn,n adalah suatu graf bistar dengan nϵ N. Nilai magic strength dari Bn,n adalah m(Bn,n) = 5n + 6

Bukti :

Misalkan Bn,n adalah graf bistar dengan banyaknya simpul 2n+2 maka Bn,n memiliki |E(Bn,n)| = |V(Bn,n)| - 1 dengan |V(Bn,n)| = |V(K1,n)| + |V(K1,n)| = (n+1) +

(n+1) = 2n + 2. Akan dibuktikan m(Bn,n) = 5n + 6. Pembuktian m(Bn,n) = 5n + 6

dilakukan dengan 2 tahap.

(i) Akan dibuktikan m(Bn,n) ≥ 5n + 6. Misalkan Bn,n memiliki pelabelan magic f dengan konstanta c(f) dan memiliki sisi sebanyak 2n + 1 dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan sebagai berikut.

c(f) = f(u) + f(u1) + f(uu1)

c(f) = f(u) + f(u2) + f(uu2)

c(f) = f(u) + f(u3) + f(uu3)

⁞ ⁞ ⁞ ⁞

c(f) = f(u) + f(un) + f(uun) c(f) = f(v) + f(v1) + f(vv1)

c(f) = f(v) + f(v2) + f(vv2)

c(f) = f(v) + f(v3) + f(vv3)

⁞ ⁞ ⁞ ⁞

c(f) = f(v) + f(vn) + f(vvn) c(f) = f(u) + f(v) + f(uv) + nc(f) + nc(f) + c(f) = (nf(u) + nf(v) + f(u))

+ ( �_�_{= 1} ( _�) + _��_{= 1} ( _�) + f(v)) + ( �_�_{= 1} ( _�) + _��_{= 1} ( _�) + f(uv)) (n + n + 1) c(f) = (nf(u) + f(u) + �_�_{= 1} ( _�) + nf(v) + f(v)

+ �_�_{= 1} ( _�)) + ( �_�_{= 1} ( _�)

+ �_�_{= 1} ( _�) + f(uv))

ɛc(f) = _�� ( ) ( ) + _�� ( )

Karena ɛ(Bn,n) = 2n + 1 , maka

(2n + 1) c(f) = (1 + n) f(u) + �_�_{= 1} ( _�) + (1 + n) f(v)

+ �_�_{= 1} ( _�) + �_�_{= 1} ( _i)

+ �_�_{= 1} ( _�) + f(uv)

(29)

(30)

20

Akibatnya diperoleh konstanta c(f) sebagai berikut.

(31)

21

Graf Cycle Derajat 2n + 1

Misalkan G graf dengan himpunan vertexV dan himpunan edge E. Graf G

disebut graf cycle, dinotasikan Cm, jika graf G ber-order m dengan m ≥ 3 dan membentuk sebuah cycle. Berikut akan diperlihatkan contoh magic labeling untuk memperoleh magic strength pada graf cycle C2n+1 sebelum membuktikan teorema

4. Misalkan diberikan graf cycleC3 dengan bentuk seperti pada Gambar 15. C3 :

Pada graf cycleC3 diatas terdapat 3 simpul dan 3 sisi sehingga kisaran nilai untuk

3 + 3 + 3 ≤ m(G) ≤ (2)(3) + (2)(3) 9 ≤ m(G) ≤ 12

Misalkan simpul-simpul dan sisi-sisi pada graf cycle C3 diberi 4 pelabelan yang

berbeda, yaitu untuk pelabelan pertama, misalnya f(u1) = 6 f(u1u2) = 1

f(u2) = 5 f(u2u3) = 3 f(u3) = 4 f(u3u1) = 2

maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya :

f(u1) = 5 f(u1u2) = 2 f(u2) = 3 f(u2u3) = 6 f(u3) = 1 f(u3u1) = 4

maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya :

sehingga didapat nilai c(f) = 10 dan dapat digambarkan seperti Gambar 16 (b). Pelabelan ketiga, misalnya

f(u1) = 3 f(u1u2) = 4 f(u2) = 2 f(u2u3) = 6 f(u3) = 1 f(u3u1) = 5

Gambar 15 Graf cycleC3.

u3 u2

(32)

22

(b)

(c)

(d)

(33)

23

Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh magic labeling pada graf cycle C2n+1. Berikut akan dibuktikan teorema 4 yang akan digunakan untuk

menentukan magic strength pada graf cycleC2n+1.

Teorema 4

Misalkan C2n + 1 adalah suatu graf cycle dengan nϵN. Nilai magic strength dari C2n + 1 adalah m(C2n + 1) = 5n + 4

Bukti :

Misalkan C2n + 1 adalah graf cycle dengan banyaknya simpul 2n+1 maka C2n+1

memiliki |E(C2n+1)| = |V(C2n+1)| dengan |V(C2n+1)| = 2n+1. Akan dibuktikan m(C2n+1) = 5n + 4. Pembuktian m(C2n+1) = 5n + 4 dilakukan dengan 2 tahap.

(i) Akan dibuktikan m(C2n + 1) ≥ 5n + 4. Misalkan C2n+1 memiliki pelabelan magic g dengan konstanta c(g) dan memiliki sisi sebanyak 2n + 1 dengan setiap sisi yang incident terhadap 2 simpul ujungnya. Sehingga jumlah konstanta yang diperoleh dari semua sisinya dapat dirumuskan sebagai berikut.

c(g) = g(v1) + g(v2) + g(v1v2)

c(g) = g(v2) + g(v3) + g(v2v3)

c(g) = g(v3) + g(v4) + g(v3v4)

⁞ ⁞ ⁞ ⁞

c(g) = g(v_{ɛ - 1}) + g(v_ɛ) + g(v_ɛ - 1vɛ)

c(g) = g(v_ɛ) + g(v1) + g(vɛv1) +

ɛc(g) = _�� ( ) + _�� ( )

Karena ɛ(C2n + 1) = 2n + 1 , maka

(2n + 1) c(g) = _�� ( ) + _�� ( )

= 2_�_{= 1}� + 1 ( _�) + _�2_{= 1}� + 1 ( _�) + _�� ( )

Karena ɛ + v = 4n + 2 , maka = (1 + 2 + … + 4n + 2) + _�� ( )

≥ (4� + 2)(4� + 3)

2 + (1 + 2 + … + 2n + 1)

= (2n + 1) (4n + 3) + (2n + 1) (n + 1) = ((4n + 3) + (n + 1)) (2n + 1) = (2n + 1) (5n + 4)

Akibatnya (2n + 1) c(g) ≥ (2n + 1) (5n + 4) Sehingga c(g) ≥ 5n + 4

Karena m(C2n+1) merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan

nilai c(g) maka m(C2n+1) pasti memenuhi ketaksamaan m(C2n+1) ≥ 5n +

(34)

24

(ii) Akan dibuktikan m(C2n + 1) ≤ 5n + 4 dengan menunjukan eksistansi

konstanta c(g) pada graf C2n + 1. Misalkan v1, v2, v3, …, v2n+1 adalah

simpul terurut dari C2n+1 dan e1, e2, e3, …, e2n+1 adalah sisi terurut dari C2n+1. Artinya, ei = vivi+1 untuk 1 ≤ i ≤ 2n - 1. Kemudian pilih fungsi

label dimana fungsi label berikut adalah magic labeling dari C2n+1 : g (v2i+1) = 1 + i untuk 0 ≤ i≤ n,

g (v2i+2) = n + i + 2 untuk 0 ≤ i≤ n - 1, g (vi+1vi+2) = 4n + 2 – (i + 1) untuk 0 ≤ i≤ 2n– 1, g (v2n+1v1) = 4n + 2.

Akibatnya diperoleh konstanta c(g) sebagai berikut.

c(g) = g(x) + g(y) + g(xy)

= g (v2i + 1) + g (v2i + 2) + g (v2i + 1v2i + 2)

= 1 + i + n + i + 2 + 4n + 2 – (2i + 1)

= 5n + 4

Untuk v2n + 1v1

c(g) = g(x) + g(y) + g(xy) = g (v2n + 1) + g (v1) + g (v2n + 1v1)

= 1 + n + 1 + 4n + 2

= 5n + 4

Karena c(g) = 5n + 4 maka nilai minimum dari semua kemungkinan nilai c(g) akan kurang atau sama dengan 5n + 4.

Dari tahap (i) dan (ii) dapat dibuktikan m(C2n+1) ≤ 5n + 4 dan m(C2n+1) ≥ 5n + 4,

maka dapat diperoleh bahwa m(C2n+1) = 5n + 4. Dengan demikian dapat dibuktikan

bahwa setiap graf cycleC2n+1 memiliki nilai magic strength yaitu 5n + 4.

■ Terbukti

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf path Pn, graf bistarBn,n,

dan graf cycle C2n+1 memiliki nilai konstanta ajaib terkecil (magic strength). Adapun nilai konstanta dari graf path Pn, graf bistar Bn,n, dan graf cycle C2n+1

bergantung pada degree dari suatu simpul v pada graf-graf tersebut.

Saran

Dalam karya ilmiah ini telah dibahas magic strength pada suatu graf yang difokuskan pada graf path Pn, graf n-bistar Bn,n, dan graf cycle C2n+1. Bagi yang

(35)

25

DAFTAR PUSTAKA

Avadayappan S, Vasuki R, Jeyanthi P. 2000. Magic Strength of A Graph. Indian J. Pure Appl. Math. 31(7):873-883.

Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill.

Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Spinger-Verlag.

(36)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 24 Agustus 1990 dari pasangan Bapak Sukino Riyanto dan Ibu Isnaningsih. Penulis merupakan putra ketiga dari tiga bersaudara. Tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 44 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.