MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01

(1)

MATERI I : VEKTOR

Pertemuan-01

1.1 Pendahuluan

Definisi

Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif. Vektor dikatakan berada di ruang – n ( Rn ) jika vektor tersebut mengandung n komponen. Jika vektor bearada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada di R3 maka dikatakan vektor berada di ruang. Secara geometris, di bidang dan di ruang vektor merupakan segmen garis berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis

Contoh 4.1.1

D C

A B

Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor ) seperti AB , AC dan AD dengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan titik B, C dan D disebut titik akhir.

Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O ( untuk vektor di bidang , titik O adalah ( 0,0 )).

1.2 Operasi – operasi pada vektor A. Penjumlahan dua vektor

Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama , maka vektor ( u + v ) didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya = titik

awal u dan titik akhirnya = titik akhir v . Contoh 4.2.1

Perhatikan gambar pada contoh 4.1.1 . Misalkan u = AB dan v = BC , jika vektor w didefinisikan sebagai w = u + v , maka w akan memiliki titik awal

(2)

[email protected] 2

B. Perkalian vektor dengan skalar

Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0. Misalkan u

k , k u didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya u kali panjang u

dengan arah :

Jika k > 0 Æ searah dengan u

Jika k < 0 Æ berlawanan arah dengan u

Contoh 4.2.2 Y 2u u X –2u C. Perhitungan vektor

Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen – komponennya adalah a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 )

Maka

a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 )

a − b = (a1 – b1, a2 – b2, a3 – b3 )

k . a = ( ka1, ka2, ka3 )

Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3 )

maka

c = (b1 − a1 , b2 − a2, b3 − a3 )

1.3 Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vektor Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya

Diketahui a = ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 ) , Hasil kali titik antara vektor

a dan b didefinisikan sebagai : a . b =(a1.b1)+ (a2.b2) +(a3.b3)

Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut antara dua vektor

Diketahui a dan b dua buah vektor yang memiliki panjang berturut – turut a

dan b sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah φ , sudut φ ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor pada titik awal yang sama.

Hasil kali titik antara vektor a dan b didefinisikan sebagai :

(3)

[email protected] 3

a . b > 0 ↔ φ lancip , 0 ≤ φ < 90o

a . b = 0 ↔ φ = 90o , a dan b saling tegak lurus a . b < 0 ↔ φ tumpul, 90o < φ ≤ 180o

1 3

1 2

2 3 Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.

Dengan mengetahui besarnya φ , akan diketahui apakah hasil kali titik akan bernilai positif atau negatif

Contoh 4.3.1

Diketahui a = ( 1, − 3 ) dan b = ( 3k, − 1 )

Tentukan nilai k agar a dan b saling tegak lurus !

Jawab

Agar a dan b saling tegak lurus, maka haruslah a . b = 0 a . b = 3k +3 = 0 Æ k = − 1

Panjang ( norm ) vektor dan jarak antara dua vektor Panjang vektor

Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen a = ( a1,a2,a3 ) didapatkan bahwa

a . a = a 2 + a 2 + a 2 …(1)

Dari definisi hasil kali titik lainnya , didapatkan bahwa

a . a = a a cos 0 ….(2) , dalam hal ini sudut antara a dan a pastilah bernilai 0 karena keduanya saling berhimpit.

Dari persamaan 1 dan 2 , didapatkan persamaan berikut :

a 2 = a . a Æ a = ( a . a )1/2 = a 2 + a 2 + a 2

1.4 Proyeksi orthogonal

Diketahui vektor a dan b adalah vektor – vektor pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini :

a

w2

w1 _b

Vektor a disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w₁_{dan w}₂_, jadi dapat dituliskan a = w₁+ w ₂ ,Dari proses pembentukannya w1 juga

(4)

[email protected] 4 2

hasil proyeksi secara orthogonal vektor a terhadap b , sedangkan w ₂ sebagai komponen dari a yang tegak lurus terhadap b .

disebut

Karena w₁_{merupakan hasil proyeksi di b maka dapat dituliskan w}₁_{= k b ,} nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w_{1 .}Jika sudut antara a dan b adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w₁akan berlawanan dengan arah b .

Menghitung w₁

Untuk menghitung w_{1 ,}_{harus dihitung terlebih dahulu nilai k. Dengan} menggunakan aturan hasil kali titik , diperoleh :

a . b = ( w₁+ w ₂) . b

= w₁_{. b ( karena w}₂dan b saling tegak lurus maka w ₂_{. b = 0 )} = w₁

= k b

b cos θ

b cos 0 ( sudut yang dibentuk adalah 0 atau 180 ) = k b Jadi k = a . b b 2 w = k b = ₁a . b b 2 b dan w ₂ = a – w₁

Panjang dari w₁adalah a . b b Contoh 4.4.1

Diketahui a = ( 4,1,3 ) dan b = ( 4,2,–2 ) Tentukan

a. Vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b ! b. Panjang dari vektor proyeksi tersebut !

c. Komponen dari a yang tegak lurus terhadap b ! Jawab

a. Misalkan w₁_{adalah vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b , maka} a . b (4.4 + 1.2 + 3. − 2) 12 1 w₁= k b sedangkan k = 2 = b 4 2 + 2 2 + (− 2) 2 = = 24 2 Jadi w₁= ½ ( 4,2,–2 ) = ( 2,1,–1 ) a . b 12 3 b. Panjang w₁ adalah = = b 24 6

c. Misalkan w ₂ merupakan komponen dari a yang tegak lurus terhadap b , maka w ₂_{= a – w}₁_{= ( 4,1,3 ) – ( 2,1,–1 ) = ( 2,0,2 )}

(5)

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 1

VEKTOR

I. KOMPETENSI YANG DICAPAI

Mahasiswa dapat :

1. Menggambar vektor dengan sistem vektor satuan. 2. Menghitung perkalian vektor.

3. Menghitung penambahan vektor dengan aturan segitiga, aturan jajaran genjang, dan aturan poligon.

4. Menghitung pengurangan vektor.

5. Menghitung panjang vektor dalam ruang.

II. MATERI A. PENGERTIAN

Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang mempunyai besar dan arah. Secara grafis suatu vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang mempunyai arah. Besar atau kecilnya vektor ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan garis. Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan tanda anak panah.

Dalam gambar vektor di samping, titik A disebut titik awal (initial point) dan titik P disebut titik terminal (terminal point). Pada gambar tersebut vektor dapat ditulis dengan berbagai cara seperti, AB ar, a atau a.

Panjang vektor juga dapat ditulis dengan berbagai cara seperti |AB|, | AB |, |ar|, | a |, atau |a|.

Disini kita akan memakai simbul AB atau a untuk menyatakan vektor dan

|AB| atau | a | untuk menyatakan besaran (modulus) dari vektor tersebut. Contoh

vektor misalnya lintasan, kecepatan, percepatan, dan gaya.

Skalar adalah suatu kuantita yang mempunyai besaran tetapi tidak

mempunyai arah. Suatu skalar adalah bilangan nyata dan secara simbolik dapat ditulis dengan huruf kecil. Operasi skalar mengikuti aturan yang sama dengan aturan operasi aljabar elementer.

A

B

(6)

B. VEKTOR SATUAN

Untuk menggambarkan suatu vektor pada sistem koordinat kartesean diperlukan vektor satuan. Vektor dari titik (0,0) sampai titik (1,0) adalah vektor satuan i . Vektor dari titik (0,0) sampai titik (0,1) adalah vektor satuan j.

Arah vektor i positif sesuai dengan arah sumbu X positif. Arah vektor j

positif sesuai dengan arah sumbu Y positif. Pada gambar disebelah ini vektor a dengan titik awal P dan titik akhir Q diuraikan menjadi dua vektor yaitu vektor ia₁

dan a₂j. Vektor a dan ₁ a disebut komponen vektor a . Besaran ₂ a dan ₁ a ₂

disebut komponen skalar a . Secara simbolis vektor a dan komponennya ditulis a = ia1 + a2j

C. ALJABAR VEKTOR

Aljabar vektor adalah operasi pada dua atau lebih dari vektor yang meliputi penambahan, pengurangan dan perkalian. Operasi vektor dapat dilakukan melalui komponen-komponen skalarnya.

1. Kesamaan Dua vektor

Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta arahnya sama.

a = b → jika | a | = | b | dan arah a = arah b

X Y (1,0) (0,1) i j P Q (0,0) a i a1 j a₂ a _b

(7)

2. Vektor Negatif

Vektor – a mempunyai ukuran sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan.

Jika vektor a = - b maka | a | = |- b |.

Vektor negatif sering disebut sebagai vektor

invers.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika k bilangan real yang positif, maka k u adalah vektor yang panjangnya k | u | dan mempunyai arah yang sama dengan u . Sedangkan –k u adalah vektor yang panjangnya

k | u | tetapi arah berlawanan dengan u .

4. Penjumlahan Vektor

a) Aturan Segitiga

Perhatikan gambar di samping. Jika AB dan BC mewakili a dan b maka AC dikatakan

penjumlahan vektor a + b .

b) Aturan Jajaran Genjang

AB dan DC mewakili vektor a BC dan AD mewakili vektor b ,

maka AC = a + b atau AC = b + a . a b a = − u u k b a+ a b b a + a b b a a b +

(8)

c) Aturan Polygon

Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan

aturan poligon.

5. Selisih Dua Vektor

Selisih dua arah vektor a dan b , dinyatakan sebagai a – b , dapat dipandang sebagai penjumlahan vektor a dengan invers vektor b yaitu vektor – b .

Misalkan a – b = c maka c = a +(– b )

Secara diagram selisih dua vektor tersebut seperti gambar berikut.

6. Vektor Nol

Jika vektor a = b maka a – b = 0. 0 disebut vektor nol. Vektor nol tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu.

b a + a b b a c c c b a + + a b − a b a c = − b

(9)

Dalam aljabar vektor, misalkan vektor a = ia1 + a2 j dan vektor b = ib1 + b2j

maka berlaku aturan :

a). a = b jika dan hanya jika ia1 = ib1 dan a2j = b2j

b). m. a = m. ia₁ + m. a₂j untuk m suatu skalar

c). a + b = (a₁ + b₁) i + (a₂ + b₂ ) j

d). a - b = (a - ₁ b ) i + (₁ a₂ - b ) j ₂

e). a . b = 0 jika a = 0 atau b = 0 atau a tegak lurus dengan b f). i . i = j . j = 1 dan i . j = 0 g). a . b = ( ia₁ + a₂ j ) . ( ib₁ + b₂j ) = a₁ . b + 1 a2 . b 2 h). | a | = 2 2 2 1 a a +

i). ∝ = arc tan ( a2 / a1 )

j). a . b = ⏐ a ⏐⏐b ⏐ cos γ

D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

Vektor OP disefinisikan oleh komponen-komponenya :

a sepanjang OX b sepanjang OY c sepanjang OZ

Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX

j= vektor satuan dalam arah OY

k = vektor satuan dalam arah OZ

maka : OP = ai+bj+ck OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2 O X a L b c r P Z Y

(10)

OP2 = a2 + b2 + c2 jadi r =ai+bj+ck

Contoh penyelesaian soal :

1. Diketahui vektor a = 3i + 4j dan vektor b = 2i + j. Hitunglah harga-harga : a +

b ; b + a ; a – b ; b – a ; a . b ; sudut a ; sudut b ; a . b dan b . a .

Jawab :

Dari vektor a dan b tersebut dapat diketahui bahwa a = 3 ; 1 a = 4 ; 2 b = 2 1

dan b = 1 , sehingga diperoleh : 2

a). a + b = (a +1 b ) i + (1 a + 2 b ) j = ( 3 + 2 ) i + ( 4 + 1 ) j = 5i + 5j 2 b). b + a = (b + ₁ a₁ ) i + (b + ₂ a ) j = ( 2 + 3 ) i + ( 1 + 4 ) j = 5i + 5j ₂ c). a – b = (a – ₁ b ) i + (₁ a – ₂ b ) j = ( 3 – 2 ) i + ( 4 – 1 ) j = i + 3 j ₂ d). b – a = (b – ₁ a ) i + (₁ b – ₂ a ) j = ( 2 – 3 ) i + ( 1 – 4 ) j = -i – 3j ₂ e). ⏐ a ⏐ = 2 2 2 1 a a + = 32 +4 2 = 9+16 = 25 = 5 f). ⏐b ⏐ = b b22 22 12 4 1 2 1 + = + = + = 5

g). Sudut a adalah ∝ = arc tan (a /2 a ) = arc tan ( 4/3 ) = 53,1301° atau 1 ∝

= 53° 7’ 48.36”

h). Sudut b adalah ß = arc tan (b /₂ b ) = arc tan ( ½ ) = 26,565051° atau ß ₁

= 26° 33’ 54,18’

i). a . b = a₁. b₁ + a₂ . b₂ = 3 . 2 + 4 . 1 = 6 + 4 = 10

j). b . a = b1 . a + ₁ b . ₂ a₂ = 2 . 3 + 1 . 4 = 6 + 4 = 10

Jawaban i). dan j). dapat juga menggunakan aturan

a . b = a . b cos γ.

dalam hal ini γ adalah sudut antara a dan b . Dengan aturan tersebut diperoleh :

a . b = a . b cos γ = 5 5 cos (∝ - ß) = 5. 5 cos (53,13 – 26,56) = 5. 5 cos 26,57 = 5. 5 . 0,894427191 = 10

(11)

b . a = b . a cos γ = 5 . 5 cos (ß - ∝) 5 . 5 cos (-26,57) = 10 2. Diketahui vektor-vektor a , b dan c seperti di bawah ini .

Lukislah secara grafis operasi vektor : a - b +2. c dan 3 c - 0,5(2 a - b ). Jawab : a - b +2. c = a + (- b ) + 2 . c 3 c - 0,5(2 a - b ) = 3 c + [-0,5{2 a + (- b )}] a c b − b a c 2 b a− + c 2 a c b b − a 2 b a 2 − c 3 3 c + [-0,5{2 a + (- b )}] 1/2(2 a +(- b )

(12)

Soal-soal vektor :

1. Gambarlah vektor-vektor dibawah ini pada koordinat kartesean. a). a = 4i+5j b). b = -4i+5j c). c = -4i–5j d). d = 4i – 5j

2. Gambarlah dan tuliskan dalam bentuk vektor ai+ bj yang memiliki ketentuan

sebagai berikut :

a. Dari titik sumbu ( 0 , 0 ) ke titik ( 2 ; -3 ) b. Dari titik ( 2 ; 3 ) ke titik ( 4 ; 2 )

c. Mempunyai besar 6 dengan arah 150°

3. Diketahui vektor a = 1,5 i + 3 dan vektor b = j 2- 5j

Hitunglah : a. a + b b. a – b c. a . b

4. Vektor a = 3i + 4j ; vektor b = 2i + 5j dan vektor c = -5i + 3j.

Hitunglah : a. a + b b. a + b + c c. a . b . c

5. Hitunglah kerja yang dilakukan vektor 6i + 8j pada vektor 2i + 3j. 6. tentukan besarnya sudut pada vektor-vektor i + j ; 2i – 3j dan 5j. 7. Vektor a = 1i + 5j, vektor b = -5i – 7j dan vektor c = 3i – 7j.