20. Modul Integral Pak Sukani

(1)

INTEGRAL

12.1. Integral Tak Tentu

a. Integral Fungsi Aljabar

Rumus Dasar Integral tak tentu :

1. x C

1 n

a dx

axn n 1



 



 n  -1

2.



adxax C

3.



dx



x dx lnx C x

1 -1

Contoh :

1.



(2x 3)dx = 1 1

2  x

1+1

+ 3x + C = x2 + 3x + C

2.



(3x26x 5)dx

= 1 2

3  x

2+1_– 1 1

6  x

1+1

+ 5x + C

= x3– 3x2 + 5x + C

3.



x  x₃₎dx

5 2 2 3

( 2 = x  x ₃xC

2 5 2

3 2 3

2 3

= x  x ₃xC

5 1 2

1 3 2

4.



x  x  )dx

3 2 5 4

( 4

1 3 1

= x  x  xC

3 2

4 5 5

3 4

4 ₃4 ₄5

= x  x  xC

3 2 4

3 4

5 3 4

5.



₄x₍₃x₅₎dx₌



₍₁₂x2 ₂₀x₎dx

= 3x3 + 10x2 + C

6.



₍₂x₄₎₍x₆₎dx =



₍₂x2 ₁₂x₄x₂₄₎dx =



₍₂x2 ₈x₂₄₎dx

= x ₄x ₂₄xC 3

2 3 2

7.



₍x₅₎2dx₌



₍x2 ₁₀x₂₅₎dx

= x ₅x ₂₅xC

3

1 3 2

8.



₍₃x₂₎2dx₌



₍₉x2 ₁₂x₄₎dx = 3x3 + 6x2 + 4x + C

9.



  dx

x x

x )

3 5 2

( ₂ ₃ =



₍₂x1₅x2 ₃x3₎dx

= x x x C

  

 1 2

2 3 1

5 ln

2 = C

x x

x  

2

(2)

10.



₍ x₂3 x₎dx₌



₍_x ₂_x3₎_dx 1 2 1

= x  x3 C

4 2

3

3 4 2

2 3 1

= x  x3 C

4 2

3

3 2 3

2

b. Integral Fungsi Trigonometri

Rumus dasar integral :

1.



sinx dx = – cos x + C

2.



 cosax C

a 1 dx ax

sin ;



  cos(ax b)C

a 1 dx b) (ax sin

3.



cosx dx = sin x + C

4.



 sinax C

a 1 dx ax

cos ;



  sin(ax b)C

a 1 dx b) (ax cos

Contoh :

1.



2sin3xdx =  _cos₃xC

3 2

2.



₃_cos₅xdx = _sin₅xC

5 3

3.



₄_sin(₅₂x₎dx₌  x C 

 cos(5 2 )

2 4

= 2cos(5 – 2x) + C

4.



x₁₎dx

2 1 cos(

2 = x₁₎C

2 1 sin(

2 1 2

= x₁₎C

2 1 sin( 4

5.



₍₅_cos₂x₃_sin(₄x₃₎₎dx₌ x  ₎_cos(₄x₃₎C

4 3 ( 2 sin 2 5

= x _cos(₄x₃₎C

4 3 2 sin 2 5

12.2. Integral Tertentu (Integral Batas)

Rumus Dasar :

F(a) F(b) F(x)

f(x)dx b

a b

a

 





a = batas bawah b = batas atas

Contoh :

1.



 

3

1 2

) 4 6 3

( x x dx₌ 3

1 2

3

) 4 3

(x  x  x

= (33– 13) + 3(32– 12) – 4(3 – 1) = (27 – 1) + 3(9 – 1) – 4(3 – 1) = 26 + 24 – 8

(3)

2.



  4 0 ) 3 )( 4 2

( x x dx₌



  

4 0 2 ) 12 4 6 2

( x x x dx₌



 

4 0 2 ) 12 2 2

( x x dx

= 4 0 2 3 ) 12 3 2

( x x  x

= 3 2

(43– 03) + (42– 02) – 12(4 – 0)

= 3 2

(64 – 0) + (16 – 0) – 12(4 – 0)

= 42 3 2

+ 16 – 48

= 10 3 2

3.



  2 1 2 ) 3 2

( x dx =





 

2

1

2 ₁₂ ₉₎

4

( x x dx

=

2

1 2

3 ₆ ₉ ₎

3 4 (

 

 x x

x

= 3 4

(23– (-1)3) – 6(22– (-1)2) + 9(2 – (-1))

= 3 4

(8 + 1) – 6(4 – 1) + 9(2 + 1)

= 12 – 18 + 27 = 21

4.



4

1

3 xdx₌



4

1 2 1

3x dx

= 4 1 2 3 2 3 3            

x =

4 1 2 3 ) 2

( x =

4 1 3 ) 2 ( x

= 2( 43  13)₌₂₍ ₍₂2₎3  ₁₎

= 2(23– 1) = 2(8 – 1) = 14

5.





3 1 3 2 ) 6 2 ( dx x

x =



  _ 3 1 3 2 ) 6 2

( x x dx

= 3 1 2 1 ) 2 6 1 2 (    

 x x =

3 1 2) 6 2 ( x x  = ) 1 1 3 1 ( 6 ) 1 1 3 1 ( 2 2    

= 1)

9 1 ( 6 ) 1 3 1 (

2   

 = ) 9 8 ( 6 ) 3 2 (

2   

 = 3 16 3 4  = 3 12 

(4)

6.



2

0

cos 2



xdx₌ 2

0

) sin 2 (

 x

= 2(sin 90o– sin 0o) = 2(1 – 0)

= 2

7.



 

2

2 sin

3 xdx₌

 

2

) 2 cos 2 3

( x

= 2 3

 (cos 2(180o) – cos 2(90o)

= 2 3

 (cos 360o– cos 180o)

= 2 3

 (1 – (-1))

= –3

8.





3

0

) sin 4 3 cos 2 (



dx x

x ₌ 3

0

) cos 4 3 sin 3 2 (

 x x

= 3 2

(sin 3(60o) – sin 3(0o)) + 4(cos 3(60o) – cos 3(0o))

= 3 2

(sin 180o– sin 0o) + 4(cos 180o– cos 0o)

= 3 2

(0 – 0) + 4(–1 – 1)

= –8

12.3. Pemakaian Integral a. Luas Daerah

1. Daerah diatas sumbu x

Jika y = f (x) > 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung

dengan rumus :





b

a

dx

(x)

f

L

(daerah diatas sumbu x)

2. Daerah dibawah sumbu x

Jika y = f (x) < 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung

dengan rumus :







b

a

dx

(x)

f

L

(daerah dibawah sumbu x)

a b x

y

y = f(x)

a b _x

y

(5)

3. Daerah diatas dan dibawah sumbu x

Jika y = f (x) > 0 dan y = f (x) < 0, (daerah diatas dan dibawah sumbu x), maka dapat dihitung dengan rumus :

L =



b

a

dx

(x)

f

_–



c

b

dx

(x)

f

Contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2– 3x – 10 dan sumbu x. Jawab :

Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x x2– 3x – 10 = 0

(x + 2) (x – 5) = 0 x + 2 = 0  x = -2 x – 5 = 0  x = 5

L =





   5

2 2

) 10 3

(x x dx₌

5

2 2

3

) 10 2

3 3 1 (

  

 x x x

= (5 ( 2) ) 10(5 ( 2))}

2 3 ) ) 2 ( 5 ( 3 1

{ 3   3  2   2   



= (25 4) 10(5 2)}

2 3 ) 8 125 ( 3 1

{     



= –(44 3 1

– 31 2 1

– 70) = 57 6 1

satuan luas

Untuk luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x dapat juga dihitung dengan :

2

6a D . D

L   D = b2– 4ac

y = x2– 3x – 10  a = 1 ; b = -3 ; c = -10 D = (-3)2– 4 . 1 . (-10) = 9 + 40 = 49

L =

2

) 1 .( 6

49 . 49

= 6 343

L = 57 6 1

satuan luas

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 0 dan x = 8 Jawab :

Luas daerah ada di atas sumbu x dan di bawah sumbu x

L =



 





4

0

8

4

) 4 ( )

4

( x dx x dx

=

8

4 2 4

0 2

) 2 1 4 ( ) 2 1 4

( x x  x x

= (8 4 )}

2 1 ) 4 8 ( 4 { )} 0 4 ( 2 1 ) 0 4 ( 4

{   2  2    2  2 = (16 – 8) – (16 – 24)

= 8 + 8 b

a c x

y

y = f(x)

y

x 5 -2

y = x2– 3x – 10

0 4 8 x

4 y

(6)

L = 16 satuan luas

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 2 dan x = 4 Jawab :

Kurva ada di atas sumbu x

L =





4

2

) 4

( x x dx₌

4

2 3 2

) 3 1 2

( x  x

= (4 2 )

3 1 ) 2 4 (

2 2  2  3  3

= (64 8)

3 1 ) 4 16 (

2   

= 24 – 18 3 2

L = 5 3 1

satuan luas

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 sin 2x, x = 0 dan x =  Jawab :

Kurva ada di atas sumbu x dan di bawah sumbu x

L =







2

0

2

2 sin 4 2

sin 4



 

xdx xdx

= 



2 2

0 ( 2cos2 )

) 2 cos 2

( x   x

= –2(cos 2(90o) – cos 2(0o)) + 2(cos 2(180o) – cos 2(90o) = –2(cos 180o– cos 0o) + 2(cos 360o– cos 180o)

= –2(-1 – 1) + 2(1 – (-1)) = –2(-2) + 2(2)

= 4 + 4

L = 8 satuan luas

b. Volume Benda Putar

1. Perputaran terhadap sumbu x

y Jika daerah yang dibatasi kurva y = f (x), garis x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka akan didapatkan benda yang volumenya :

V =



b

a 2

dx y

π

a b x

2. Perputaran terhadap sumbu y

y x = f (y) Jika daerah yang dibatasi kurva x = f (y), garis y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu y, maka akan b didapatkan benda yang volumenya :

V =



b

a 2

dy x

π

a x

Contoh :

2

0 4 x

y

y = 4x – x2

x y

 /2

0

(7)

1. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 0, dan x = 4 yang diputar 360o mengelilingi sumbu x

Jawab :

V =





4

0

2

) 1 2

( x dx

 =



 

4

0 2

) 1 4 4

( x x dx



=

4

0 2 3

) 2

3 4

( x  x x



= { 3 4

(43– 03) + 2(42– 02) + (4 – 0)}

= { 3 4

(64) + 2(16) + 4

= (85 3 1

+ 32 + 4)

V = 121 3 1

 satuan volum

Atau dapat juga dihitung dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong

) . .(

. 3

2 2 _R_r _r

R t

V   

R = jari-jari lingkaran besar, r = jari-jari lingkaran kecil, dan t = tinggi kerucut

y = 2x + 1 untuk x = 0  r = 1 ; untuk x = 4  R = 9 dan t = 4

V = 3 

. t . (R2 + R . r + r2)

= 3 

. 4 . (92 + 9 . 1 + 12)

= 3 

. 4 . (81 + 9 + 1)

V = 121 3 1

 satuan volum

2. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3 – x, x = 0, dan x = 3 jika diputar 360o mengelilingi sumbu x

Jawab :

V =





3

0

2

) 3

( x dx

 =



 

3

0

2

) 6

9

( x x dx



=

3

0 3 2

) 3 1 3 9

( x x  x 

= {9(3 – 0) – 3(32– 02) + 3 1

(33– 03)}

= {9(3) – 3(9) + 3 1

(27)}

= (27 – 27 + 9) V = 9 satuan volum

3. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2 dan sumbu x jika diputar 360o mengelilingi sumbu x

Jawab :

Batasnya adalah x = 0 dan x = 2

V =





2

0

2 2

) 2

( x x dx

 =



 

2

0

4 3 2

) 4

4

( x x x dx



0 4 x

y

y = 2x + 1

3

0 x

y

(8)

=

2

0 5 4 3

) 5 1 3

4

( x x  x

 = {

3 4

(23– 03) – (24– 04) + 5 1

(25– 05)

= { 3 4

(8 – 0) – (16 – 0) + 5 1

(32 – 0)

= (10 3 2

– 16 + 6 5 2

)

V = 15 16_

satuan volum

Pembahasan soal-soal :

1.



3 5

x dx

= ….

A. x C

2 3 -₃2



 C. x C

2 3 ₃2

 E. x C

8 5 -₅8



B. x C

2 5 ₅2



 D. x C

2 5 -₅2

 

UN 03/04 Jawab : A Penyelesaian :



3 5

x dx

=



3 5

x dx

=



x 3 dx

5

= x C 1

3 5

1 1

3 5

- 





= x C

3 2 1 -₃2

 

= x C 2

3 -₃2

 

2.



 

2

0

2

3 _3x _9x)_dx

x

( = ….

A. 14 B. 9 C. 6 D. –4 E. –8



 

2

0

2

3 _3x _9x)_dx

x

( =

2

0 2 3

4 _x

2 9 x x 4 1

 

= 4 1

(24– 0) – (23– 0) + 2 9

(22– 0)

= 4 1

. 16 – 8 + 2 9

. 4

= 4 – 8 + 18 = 14

3. Nilai dari





 

3

1 2

dx 3) 2x 9x

( adalah ....

A. 20 B. 34 C. 74 D. 80 E. 88

(9)





 

3

1 2

dx 3) 2x 9x

( =



3x3 x2 3x



3_₁

= 3 (33 - (-1)3) - (32 - (-1)2) + 3(3 - (-1)) = 3 (27 + 1) - (9 - 1) + 3 (3 + 1)

= 84 - 8 + 12 = 88

4.



(2x 1)2dx = ….

A. x3 + 4x2 + 1 + C C. 3 4

x3 + 4x2 + x + C E. 3 4

x3 + 2x2 + x + C

B. x3 + 2x2 + x + C D. 3 4

x3 + 2x2 + 1 + C

UN 07/08 Jawab : E Penyelesaian :



(2x 1)2dx =



(4x2 4x1)dx =

3 4

x3 + 2x2 + x + C

5.



2

0

dx 5x) cos 2 -2x sin 4 (



= ….

A. 5 18

B. 2 C.

5 4

D. 5 3

E. 5 2



2

0

dx 5x) cos 2 -2x sin 4 (



= 2

0

5x sin 5 2 -2x cos 2

   



= -2 (cos 2 . 90o– cos 0o) - 5 2

(sin 5 . 90o– sin 0o)

= -2 (cos 180o– cos 0o) - 5 2

(sin 450o– sin 0o)

= -2 (-1 – 1) – 5 2

(1 – 0)

= -2 (-2) - 5 2

= 4 – 5 2

= 5 20

–

5 2

= 5 18

6. Luas daerah yang dibatasi oleh y = 4x – x2, y = 0, x = 1, x = 3 adalah ….

A. 3 20

satuan luas C.

3 32

satuan luas E.

3 64

satuan luas

B. 3 22

satuan luas D.

3 40

satuan luas

(10)

Penyelesaian :

L =



3

1

2

dx ) x -4x (

=

3

1 3 2

x 3 1 2x

  

 _

= 2 (32– 13) – 3 1

(33– 13) = 2 (9 – 1) – 3 1

(27 – 1)

= 2 . 8 – 3 1

. 26

= 16 – 3 26

= 3 48

–

3 26

L = 3 22

satuan luas

7. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x + 2, garis x = 1, garis x = 2, dan sumbu x adalah … satuan luas.

A. 6 2 1

B. 4 2 1

C. 5 4 1

D. 3 2 1

E. 2 4 1

UN 04/05 Jawab : D

Penyelesaian :

L =





2

1

dx 2)

(x =

2

1 2 _2x

x 2 1



= 2 1

(22– 12) + 2 (2 – 1)

= 2 1

. 3 + 2 = 1 2 1

+ 2

= 3 2 1

satuan luas

atau dengan menggunakan rumus luas trapesium.

L = 2 1

. jumlah sisi sejajar . tinggi

L = 2 1

(3 + 4) . (2 – 1)

= 2 1

. 7 . 1

L = 3 2 1

satuan luas

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2– 3x dan y –x = 0 adalah … satuan luas.

A. 12 B.

3 34

C. 3 32

D. 10 E.

3 28

UN 05/06

Jawab : C Penyelesaian :

0 1 2 x y

2 3

4

(11)

Menentukan titik potong dua kurva x2– 3x – x = 0

x2– 4x = 0 x (x – 4) = 0 x = 0 dan x = 4

L =













4

0

2

dx 3x x

x

L =





 



4

0

2

dx 3x x

x

L =









4

0

2

dx x

4x

L =

4

0 3 2

x 3 1

2x 

L = 2 (42– 0) – 3 1

(43– 0)

L = 2 . 16 – 3 1

. 64

L = 32 – 3 64

L = 3 96

–

3 64

L = 3 32

satuan luas

Atau dengan cara rumus : ₂ 6

.

a D D L

x2– 3x = x x2– 3x – x = 0

x2– 4x = 0  a = 1 ; b = -4 ; c = 0 D = b2– 4ac = (-4)2– 4 . 1 . 0 = 16

L = ₂

) 1 .( 6

16 . 16

= 6 64

L = 3 32

satuan luas

9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 6x, garis x = -5, garis x = -2, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

A. 20 B. 24 C. 32 D. 36 E. 38

UN 07/08 Jawab : B Penyelesaian ;

L =





   2

5 2

) 6

(x x dx

=

2

5 2 3

3 3

1 

   

 _

 x x

= - { 3 1

((-2)3 - (-5)3) + 3 ((-2)2 - (-5)2}

= - { 3 1

(-8 + 125) + 3(4 - 25)

= - {39 - 63} = - (-24)

-6 -5 -2 0 x y

y = x2 + 6x

0 3 4 x

y _{y = x}

(12)

L = 24 satuan luas

10. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, x = 1 dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum

A. 21 3 1_

B. 18 3 1_

C. 13 3 1_

D. 6 3 1_

E. 16 3 1_

UN 04/05 Jawab : C

Penyelesaian :

V = 



2

1 2_dx

y = 





2

1

2_dx

1)

(2x

= 



 

2

1

2 _4x ₁₎_dx

(4x

= 

2

1 2 3 _2x _x

x 3 4



= {

3 4

(23– 13) + 2(22– 12) + (2 – 1)}

=  ( 3 4

. 7 + 2 . 3 + 1)

=  (9 3 1

+ 6 + 1)

V = 16 3 1

 satuan volum

atau dihitung dengan rumus kerucut terpotong.

V = 3 

. t (R2 + R . r + r2) ; R = 5, r = 3

= 3 

. (2 – 1) (52 + 5 . 3 + 32)

= 3 

. 1 . (25 + 15 + 9)

= 3 

. 49

V = 16 3 1 _

satuan volume

11. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 8, x = 1 dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum.

A. 244 3 1

 B. 274

3 1

 C. 290

3 2

 D. 300

3 2

 E. 320

3 2



UN 05/06 Jawab : C

Penyelesaian :

V = 









3

1

2

dx 8

2x

V = 





 



3

1 2

dx 64 32x 4x

V = 

3

1 2

3

64x 16x

x 3 4

 

V =  { 3 4

(33– 13) + 16 (32– 12) + 64 (3 – 1)}

0 1 2 x

5 3 y

y = 2x + 1

0 1 3 8

(13)

V =  { 3 4

(27 – 1) + 16 (9 – 1) + 64 (3 – 1)}

V =  {34 3 2

+ 128 + 128}

V = 290 3 2 _

satuan volum

Atau dengan menggunakan rumus volume kerucut terpotong

V =  . 3

t

(R2 + R . r + r2)

R = 2 . 3 + 8 = 14 ; r = 2 . 1 + 8 = 10 dan t = 3 – 1 = 2

V =  . 3 2

(142 + 14 . 10 + 102)

V =  . 3 2

(196 + 140 + 100)

V =  . 3 2

. 436

V =  . 3 872

V = 290 3 2

 satuan volum

12. Volume yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 4, sumbu x, x = -2, dan x = 0, diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

A. 3 42_

B. 3 38_

C. 3 32_

D. 3 20_

E. 3 16_

UN 07/08 Jawab : C Penyelesaian :

V = 







0

2

) 4 2

( x dx₌





 

0

2

2 2

) 16 16 4

( x x dx

= 

0

2 2

3

16 8

3 4

   

 _x _ _x _ _x

=  { 3 4

(03 - (-2)3) + 8 (02 - (-2)2) + 16 (0 - (-2))}

=  { 3 4

(0 + 8) + 8 (0 - 4) + 16 (0 + 2)}

=  ( 3 32

- 32 + 32)

= 3 32

 satuan volum

Atau dengan rumus volume kerucut.

V = 3 1

 . r2 . t

untuk x = -2  r = 2 (-2) + 4 = 0 untuk x = 0  r = 2 (0) + 4 = 4 tinggi t = 0 - (-2) = 2

V = 3 1

 . 42 . 2

-2 0 x

y

(14)

= 3 1_

. 16 . 2

= 3 32

 satuan volum

Soal latihan :

1. Nilai dari :





4

1

dx 2) 6x

( = ….

A. 51 B. 49 C. 45 D. 36 E. 20

2.



 

3

1

2

.... )

2 3

( x dx

A. 56 B. 48 C. 42 D. 38 E. 33

3.



(2cos x -sin 2x)dx = ....

A. 2 sin x – 2 cos 2x + C C. 2 sin x + 2 1

cos 2x + C E. 2 sin x – cos 2x + C

B. 2 sin x – 2 1

cos 2x + C D. 2 sin x + cos 2x + C

4.



 

3

0

2

.... )

3

(x dx

A. 27 B. 18 C. 9 D. 6 E. 3

5.





  



 _

2

0

2

3 dx

x 1 x

2

= ….

A.

8 1

B.

4 1

C.

4 3

D.

4 3

1 _E.

4 9

6.





 

2

1 2

) 4 2 3

( x x dx = ….

A. 18 B. 19 C. 22 D. 24 E. 26

7. Nilai dari :



 

3

2 2

dx 6) 5x x

( = ….

A. –1 6 1

B. – 6 1

C. 6 5

D. 1 3 1

E. 1 3 2

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x - x2, y = 2x, dan sumbu x adalah ... satuan luas.

A. 21 3 1

B. 18 C. 10

3 2

D. 9 E. 4

2 1

9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 0, dan x = 4 adalah ... satuan luas.

A. 21 3 1

B. 18 C. 16 D. 10

3 2

E. 5 3 1

10. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 4x, yang dibatasi oleh sumbu x ; x = -2 dan x = 2

adalah … satuan luas.

A. 16 B. 14 C. 10 D. 8 E. 0

11. Luas daerah yang terjadi jika kurva y = 6x – x2, dibatasi sumbu x, adalah … satuan luas.

A. 3 118

B. 3 114

C. 3 108

D. 6 115

E. 6 112

12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2–5x + 4 dan sumbu x adalah … satuan luas.

A. 12 B. 9 C. 6

3 2

D. 5 4 1

E. 4 2 1

13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2– 4x + 3, dan sumbu x adalah … satuan luas.

A. 1 3 1

B. 1 3 2

C. 2 3 1

D. 2 3 2

(15)

14. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3, dan sumbu x jika diputar 360omengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

A. 27 B. 45 C. 54 D. 63 E. 76

15. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360oadalah … satuan volum.

A. 198 3 1_

B. 200 3 2_

C. 201 D. 211 E. 231

3 2_

16. Volume yang terjadi kurva y = -3x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0 dan x = -3 diputar 360°

dengan sumbu x adalah … satuan volume.

A. 36  B. 48  C. 56  D. 64  E. 81 

17. Volume benda putar yang terjadi jika kurva y = x – 1, yang dibatasi oleh sumbu x, x = 1 dan x = 5, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah … satuan volume.

A. 3 49 _

B. 3 51_

C. 3 54 _

D. 3 64 _

E. 3 68_

18. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu x, x = 0, dan x = 2 diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

A. 18 3 2

 B. 19

5 3

 C. 21 D. 21

3 1

 E. 24

19. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x, x = 0, x = 2, dan sumbu x jika diputar 360omengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

A. 3 3 1

 B. 4

3 2

 C. 5

3 1

 D. 6

3 2

 E. 10

3 2



20. Volume yang terjadi jika kurva y = 4 – x yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0, x = 4 diputar terhadap sumbu x sejauh 360° adalah ... satuan volume.

A. 3 61_

B. 3 64 _

C. 3 67 _

D. 3 73_