18. Modul Limit Fungsi Pak Sukani

(1)

LIMIT FUNGSI a. Limit Fungsi Aljabar

Secara umum bentuk limit ditulis : f (x) a

x lim = f (a)

Jika f (a) = k, maka f(x) a

x lim = k

Jika f (a) = k

0

, maka f (x) a

x lim = 0

Jika f (a) = 0 k

, maka f (x) a

x lim = ∞

Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit). Contoh :

1. 4x 5

2

x lim  = 4 . 2 + 5 = 13 2.

x 3 2x 3 x lim



 = 3

3 3 .

2 

= 3

3 6

= 3 9

= 3 3.

5x 5 4x x 1 x lim

2

 

 = 5 0

0 5

5 4 1 )

1 ( 5

5 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2

      

4.

2x 4 3x x 0 x lim

2  

 =       0 

4 0

4 0 0 )

0 ( 2

4 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2

Jika f(x) a

x lim = 0 dan x limag(x) = 0, sehingga ₀

0 g(x) f(x) lim

a

x   maka harus

difaktorkan atau diuraikan terlebih dahulu. Contoh :

1.

2 -x

2 3x -x 2 x lim

2 

  substitusi langsung : 0

0 2

2 2 2 . 3 22

  

 _{(tidak boleh)}

2 -x

2 3x -x 2 x lim

2 

 = ( 2)

) 2 ...)( ( lim

2

x 



 _x

x x

(perhatikan angka belakang : berapa kali (-2) hasilnya (+2)  (-1))

2 -x

2 3x -x 2 x lim

2 

 = (x -2) x -1

2) -(x . 1) -(x

lim

2 x 2

x  

 = 2 – 1 = 1

2.

6 5x x

10 3x x

lim ₂

2

x  

  

 = ....

Substitusi langsung :

6 ) 2 ( 5 ) 2 (

10 ) 2 ( 3 ) 2 (

2 2

  

   

 ₌

6 10 4

10 6 4

    ₌

0 0

(tidak boleh)

6 5x x

10 3x x

lim ₂

2

x  

  

 = (x...)(x 2)

2) (x (x...) lim

2

x 







(2)

6 lim

2 lim

2

(tidak boleh)

3x lim

a

x   maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.

(a + b)  sekawannya : (a – b) atau sebaliknya lim

3

 substitusi langsung :

0 lim

3 lim

(3)

Jika  

 f(x) lim

x dan x limg(x) , sehingga  lim

x maka harus dibagi

dengan pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya. Contoh : f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.

3x

lim



lim



lim

x lim

x

Untuk menjawab soal pilihan ganda : Untuk soal :

0 0 g(x) f(x) lim

0

x   maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya.

Jika ada diatas hasilnya = ∞, jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah

pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x. 3x lim

x maka harus dilihat pangkat tertingginya

(4)

3x

b. Limit Fungsi Trigonometri

1

x sin

x x

x sin

lim

0 sin

ax ax

ax sin

lim

0 tan

x x

x tan

lim

0 tan

ax ax

ax tan

lim

0

Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung hasilnya 0 0

funsi f (x) harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.

Contoh : cos

2x cos 4

x lim

 cos

45 . 2 cos

 = o o

o 45 sin 45 cos

90 cos

 = ₂

fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri. cos 2x = cos2 x – sin2 x = (cos x – sin x) (cos x + sin x)

sin x x cos

2x cos 4

x lim



 = (cos x sin x)

sin x) x

(cos sinx) x (cos 4 x

lim

  cos 1 lim

0 sin ). 0 ( 5

0 cos 1 f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri

sin x 5x

2x cos 1 lim

0 x



 = _5x_{sin x}

x) 2sin (1 1 lim

2 2sin 1 1 lim

2 2sin lim

2 0

x  = _{sin x}

(5)

= 5 2

. 1 . 1 =

5 2

Pembahasan soal-soal :

1.

3 -x

27 x lim

3 3 x



 = ….

A. 9 B. 12 C. 18 D. 21 E. 27

UN 03/04 Jawab : E Penyelesaian :

3 -x

27 x lim

3 3 x



 = ₍_x_-₃₎

3) -(x . 9) 3x (x lim

2 3 x

  

= lim(x2 3x 9) 3

x    = 32 + 3 . 3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27

atau dengan cara diturunkan. 3

-x

27 x lim

3 3 x



 = ₁

3x lim

2 3 x  = 3 . 32 = 3 . 9 = 27

2.

2 x 8 5x

5 x 10 3x

lim ₃

3

x  

  

 = ….

A. 5 2

B. 5 3

C. 3 5

D. 2 5

E. ∞ UN 03/04

Jawab : B Penyelesaian :

2 x 8 5x

5 x 10 3x

lim ₃

3

x  

  

 =

3 3 3

3

3 3 3

3

x

x 2 x 8x x 5x

x 5 x

x 10 x 3x

lim

 

 

 

=

3 2

3 2 x

x 2 x

8 5

x 5 x 10 3 lim

 

   

=

 

    

 8 2

(6)

=

0 0 5

0 0 3

   

= 5 3

atau dengan cara langsung, yaitu jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka lihat angka didepan x pangkat tertinggi

2 x 8 5x

5 x 10 3x

lim ₃

3

x  

  

 = ₅

3

3.

2 x

2 3x x lim

2

x 

 

 = ….

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 

UN 04/05 Jawab : A Penyelesaian :

2 x

2 3x x lim

2

x 

 

 = x 2

2 3x x lim

2

x 

 

 . x 2

2 x

 

=

2) (x

2 x 1) (x 2) (x lim

2

x 

 





= lim (x 1) x 2 2

x    = (2 – 1) . 22 = 1 . 0

= 0

4.

2 0

x _5x

2x cos 1

lim 

 = ….

A. 2 5

B. 2 3

C. 3 2

D. 5 2

E.  UN 04/05

Jawab : D Penyelesaian :

2 0

x _5x

2x cos 1

lim 

 = 2

2 0

x _5x

x) sin 2 (1 1

lim  



=

2 2 0

x _5x

x sin 2 lim



= 5 2

.

x sin x lim

0

x  . _x

sin x lim

0

x  =

5 2

. 1 . 1 =

(7)

5. Nilai dari

7 4x x

5 2x 3x 2x lim

3 2 3

x  

   

 = ….

A. 0 B.  C. 2 D. 3 E. 4

UN 05/06 Jawab : C Penyelesaian :

Untuk limit dengan batas x , yang harus diperhatikan adalah pangkat tertingginya. 7

4x x

5 2x 3x 2x lim

3 2 3

x  

   

 = 1

2 = 2

6. lim 4sin 2x .cotg2x

0

x  = ….

A.  B. –1 C. 0 D. 2 E. 4

UN 05/06 Jawab : E Penyelesaian :

2x cotg . 2x sin 4 lim

0

x   cotg 2x = _sin_2x

2x cos

2x sin

2x cos . 2x sin 4 lim

0

x  = x lim04cos2x

= 4 . cos 0o = 4 . 1 = 4

7. Nilai ₂

2 x _2x

2 x x

lim  



 = ....

A. 0 B.

2 1

C. 1 D. 2 E. 

UN 07/08 Jawab : B Penyelesaian :

Untuk limit dengan batas tak terhingga, jika pangkat tertinggi antara atas dan bawah sama maka lihat angka yang ada di depan pangkat tertinggi.

2 2 x _2x

2 x x

lim  



 = ₂

1

8. Nilai

3x sin . x

4x tan . 3x

lim ₂

2 0

x  adalah ....

A. 4 B. 2 C.

3 5

D. 3 4

E. 3 1

UN 07/08 Jawab : D Penyelesaian :

3x sin . x

4x tan . 3x

lim ₂

2 0

x  = _sin_3x 3x lim

0

x  . _sin_3x x lim

0

x  . _x 4x tan lim

(8)

=

3x sin

3x lim

0

x  . _sin_3x x lim

0

x  . ₃ 3

.

x 4x tan lim

0

x  . ₄ 4

= 3 4

.

3x sin

3x lim

0

x  . _sin_3x 3x lim

0

x  . _4x 4x tan lim

0 x  =

3 4

. 1 . 1 . 1 =

3 4

Soal latihan :

1.

2 4 lim

2 2 x 



 _x

x

= ….

A. -2 B. 0 C. 4 D. 6 E. 8

2. Nilai dari

4 2x

16 2x 3x lim

2

x 

 

 = ….

A. 7 B. 6 C. 4 D. 2 E. 0

3.

6 3x

14 5x x lim

2 2

x 

  

 = ….

A. –3 B. –

3 4

C. 2 D. 6 E. 9

4.

16

4

lim ....

16

x

x x

  

A. 8 1

B. 4 1

C. 2 1

D. 4 E. 8

5.

2 1 x

6 2x lim

3

x   

 = ....

A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E. 

6.

x x 

  ₃

9 lim

9

x = ….

A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 E. 0

7.

2 2

(2 3) ( 4)

lim ....

(4 3)(2 1)

x

x x



  _

 

A. 4 B. 2 C.

4 3

D. 2 1

E. 3 1

8.

) 1 4 ( 2

) 1 3 (

lim ₂

3

x 

 

 _x _x

x

= ….

A. 8 3

B. 4 3

C. 2 3

D. 8 27

E. 3 9.

4 x 3 x 5

2 x 3 x 2

3 2 3

~ x

lim



 



 = ....

A. 5 7

B. 5 4

C. 5 3

D. 5 2

(9)

10. Nilai dari ₂ ₃ 2 3

4x 2x 8

3x 5x 2x lim

x  

  

 = ....

A. – 2 5

B. – 2 1

C. 0 D.

4 1

E. 

11. Nilai dari

sin x 4x

1 -2x cos lim

0

x  = …. A.

2 1

 B.

4 1

 C. 0 D.

4 1

E. 2 1

12. lim 2cos x . tg x 2

x 

= ....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 

13. 2

0

x 2x

1 x 2 cos

lim 

 = ….

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

14.

sin x x cos

2x cos lim

4

x  

= ….

A. 2 1

2 B. 2 C. 2 D. 2 2 E. 

15. lim 2 tan x .cos x

2 x 

= ….

A.  B. 2 C. 1 D. 0 E. –1

16. Nilai dari

sin x 4x

2x cos -1 lim

0

x  = …. A.

2 1

 B.

4 1

 C. 0 D.

4 1

E. 2 1

17.

8 2x x

4 x lim ₂

4

x   

 = ….

A. 8 1

B. 6 1

C. 4 1

D. 3 1

E. 2 1

18.

12 x x

3 7x 2x lim ₂ 2 3

x    

 = ….

A. 3 5

B. 7 5

C. 5 2

D. – 5 2

E. – 3 5

19.

2 1 3x

2 2x lim

1

x   

 = ….

A. 3 2

B. 1 3 2

C. 2 3 1

D. 2 3 2

E. 3 3 1

20.

3 5x 2x

4 5x x

lim ₂

2 0

x    

 = ….

A. 3 4

B. 1 C.

2 1

D. – 2 1