©βeta2013
β
eta
p-ISSN: 2085-5893 e-ISSN: 2541-0458
TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL
HENSTOCK-KURZWEIL SERENTAK DAN FUNGSI BERSIFAT LOCALLY SMALL
RIEMANN SUMS (LSRS) DARI RUANG EUCLID
nKE RUANG
BARISAN
p, (1
p<
)
Aniswita
1Abstract: In this paper we discuss Henstock Equi
-integrable and Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) properties for Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces
n into the Sequences space p,(1 p)
Keywords: Henstock Equi
-integrable, Uniformly Locally Small Riemann Sums (UESRS) and Henstock-Kurzweil integrable functions from the Euclidean spaces
n into the Sequences space
p,
(
1
p
)
A.
PENDAHULUAN
Pada tahun 1960, Henstock dan Kurzweil secara terpisah
mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta
menjadi
fungsi positif
dan ternyata integral yang di susun ekuivalen. Oleh karena
itu integral tersebut dikenal dengan integral Henstock-Kurzweil atau
integral Riemann yang diperluas (Gordon, 1994).
Integral ini mendapat perhatian yang sangat besar dari para peneliti,
berbagai penelitian dilakukan untuk menggali sifat-sifat dan aplikasinya.
Diantara sifat tersebut adalah sifat
Locally Small Riemann Sums
(LSRS)
Pengertian LSRS untuk fungsi bernilai Real pada himpunan bilangan Real
yang terintegral Henstock diberikan dan dibukukan oleh Lee (1989).
Indrati (2002) mengitlakkanya untuk fungsi bernilai real pada ruang
1
β
eta
Vol. 6 No. 1 (Mei) 2013|
47Euclide berdimensi n, kemudian Suherman (2003) mengembangkannya
untuk fungsi bernilai vektor pada ruang Euclide berdimensi n, sedangkan
untuk fungsi bernilai barisan
p, (1
p<
) dikembangkan oleh Aniswita
(2006).
Berdasarkan uraian diatas akan diselidiki teorema kekonvergenan
fungsi terintegral Henstock serentak dengan fungsi yang bersifat
Locally
Small Riemann Sums
(LSRS) dari ruang Euclide
nke ruang barisan
p,
(1
p<
).
Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan
.
Untuk
bilangan asli n,
nmenyatakan himpunan semua pasangan atas n
bilangan real, yaitu
n
=
...
. (n factor) =
x
x
x
x
dan
i
n
i
n
1,...,
:
1
.
Untuk titik
x
n, persekitaran (neighborhood) titik
x
dengan jari- jari
r> 0, dinotasikan dengan
B
(
x
,
r
)
dan didefinisikan
B
(
x
,
r
)
=
y
y
ndan
x
y
r
:
.
Untuk (1
p<
),
pmerupakan koleksi semua barisan
x
=
x
k
W
sehingga
1
k p k
x
atau ditulis,
p
=
1
,
k p k
k
W
x
x
x
. (Kreyszig, E, 1978).
Perlu diperhatikan bahwa fungsi
f
:
E
n
pmerupakan barisan
fungsi
f
kdengan
:
n
,
k
E
f
untuk setiap
k
(
k
1
,
2
,
3
,...)
sehingga
f
x
=
f
k(
x
)
p
untuk setiap
x
E.
Selanjutnya jika
f
,
g
fungsi dari
n
E
ke
p
didefinisikan nilai
fungsi
k
f
dan
f
+
g
sebagai berikut
(i) (
k
f
) (
x
) =
k
f
(
x
), untuk setiap
x
E
dan
k
suatu skalar.
(ii) (
f
+
g
) (
x
) =
f
(
x
) +
g
(
x
), untuk setiap
x
E.
48|
β
eta
Vol. 6 No.1 (Mei) 2013(i)
f
g
jika dan hanya jika
f
k
g
k, yaitu
f
k
x
g
kx
, untuk setiap
x
E
dan setiap
k
N.
(ii)
f
<
g
jika dan hanya jika
f
k
g
k, yaitu
f
k
x
g
kx
, untuk setiap
x
E
dan setiap
k
N.
(iii)
g
jika dan hanya jika
f
k
g
k, yaitu
f
k(
x
)
g
k(
x
)
, untuk
setiap
x
E
dan setiap
k
N.
Berikut ini diberikan definisi kekonvergenan barisan fungsi.
Diberikan fungsi
f
n,
f
:
E
n
puntuk setiap
n
N.
i) Barisan fungsi
f
ndikatakan
konvergen
ke fungsi
f
pada
E
, ditulis
dengan
nn
f
lim
=
f
atau
lim
f
n(
x
)
n
=
f
(
x
), jika untuk setiap
x
E
barisan
f
n(
x
)
konvergen ke
f
(
x
), yaitu untuk setiap bilangan
> 0
dan
x
E
terdapat bilangan asli
m = m(
,
x
) sehingga jika
n
m
berakibat
p n
x
f
x
f
(
)
(
)
.
ii) Barisan fungsi
f
ndikatakan
konvergen seragam
ke fungsi
f
pada
E
jika untuk setiap bilangan
> 0 terdapat bilangan asli
m = m(
) sehingga
jika
n
m
berakibat
p n
x
f
x
f
(
)
(
)
, untuk setiap
x
E.
Selanjutnya karena sel E tertutup dan terbatas maka sel E merupakan
himpunan kompak sehingga untuk setiap barisan fungsi yang konvergen
pada sel E merupakan barisan fungsi yang konvergen seragam pada sel
yang sama.
Berikut diberikan definisi, sifat dasar dan sifat lanjut dari integral
Henstock dari ruang Euclide
nke ruang barisan
p, (1
p<
).
Definisi 1.1
Diberikan fungsi volume
pada
ndan
E
nsel. Fungsi
p n
E
f
:
dikatakan terintegral Henstock pada E, ditulis dengan
,
,
*
pE
R
f
jika terdapat
a
a
k
pdengan sifat untuk setiap
bilangan
0
terdapat fungsi positif
pada E sehingga untuk setiap
partisi Perron
-fine
D
D
,
x
D
i,
x
i
:
i
1
,
2
,...,
r
pada E
berlaku
β
eta
Vol. 6 No. 1 (Mei) 2013|
49
p
r
i
i i
p f x D a
a D x f
1
) ( ) ( )
( ) (
D
.
Selanjutnya nilai
a
a
k
pyang dimaksud di atas disebut
nilai integral-
Henstock fungsi
f
pada
E
di tulis dengan
E
d
f
R
a
(
*)
.
Definisi 1.2
Diberikan fungsi volume
pada
n,
E
nsel,
dan
fungsi
f
k:
n
untuk setiap k, (k=1,2, ...). Barisan fungsi {fk}
dikatakan terintegral-
Henstock serentak (Henstock Equi
-
integrable)
pada E dengan F
ksebagai primitifnya jika untuk setiap bilangan
0
terdapat fungsi positif
pada E sehingga untuk setiap partisi Perron
-
fine
D
D
,
x
pada E berlaku
D
fk
x
D Fk
E ,untuk setiap k.
Teorema 1.3
(Kriteria Cauchy
)
Diberikan fungsi volume
pada
ndan
n
E
sel
.
Fungsi
*
,
p,
E
R
f
jika dan hanya jika untuk setiap
bilangan
0
terdapat fungsi positif
pada E sehingga untuk setiap
dua partisi
D
1
D
1,
x
dan
D
2
D
2,
x
pada E berlaku
p
D x f D
x
f( ) ( 1) ( ) ( 2)
1
D
2D
.
Teorema 1.4
(Lemma Henstock)
Diberikan fungsi volume
pada
ndan sel
E
n.
Jika
*
,
p,
E
R
f
dengan
F
sebagai primitifnya,
yaitu untuk setiap bilangan
0
terdapat fungsi positif
pada E
sehingga untuk setiap partisi Perron
-fine
D
D
,
x
pada E berlaku
pE
F
D
x
f
(
)
(
)
(
)
D
, maka untuk setiap jumlah bagian
1dari
D
berlaku
1f
(
x
)
(
D
)
F
(
E
)
p
2
D
.
50|
β
eta
Vol. 6 No.1 (Mei) 2013himpunan tertutup di dalam E dan {E
i} merupakan barisan himpunan
tertutup
sederhana
yang
tidak
saling
tumpang-tindih
dengan
himpunan sederhana yang tidak saling tumpang-tindih dengan
E
, dengan
E
0menyatakan himpunan titik-dalam (interior
point) sel
E
.
. Jika
*
,
p,
B.
TEMUAN DAN PEMBAHASAN
β
eta
Vol. 6 No. 1 (Mei) 2013|
51
p Ek k
x
D
R
f
x
d
f
*D
, untuk setiap k.
Definisi 2.2 Diberikan fungsi volume
pada
n, selE
n dan fungsip n k
E
f
:
untuk setiap k, (k=1, 2, 3, ....).Barisan fungsi terukur
f
k bersifat LSRS seragam atau Unifomly Locally Small Riemann Sums (ULSRS) pada selE
n jika untuk setiap bilangan
0
terdapat fungsi positif
pada E sehingga untuk setiapy
E
dan untuk setiap partisi Perron
-fineD
D
,
x
pada selC
B
y
,
(
y
)
dany
C
berlaku
p k
x
D
f
D
, untuk setiap k.
Lemma 2.3 Jika Barisan fungsi terukur
f
k bersifat LSRS seragam pada seln
E
danf
k
f
h.d. pada sel E maka fungsif
bersifat LSRS.Bukti:
Tanpa mengurangi arti dapat dianggap bahwa
f
k
f
pada sel E , karena jikaf
fungsi terintegral Henstock pada sel E dang
=f
h.d. pada sel E makag
terintegral Henstock, lebih lanjut
g
merupakan fungsi bersifat LSRS pada sel E. Jadif
k
f
berarti untuk setiap bilangan
0
dan untuk setiapE
x
terdapat bilangan positifx
k
,
0 dengan sifat untuk setiap
k
k
0,x berlaku
E
x
f
x
f
kp
k
2
.
Barisan fungsi terukur
f
k bersifat LSRS seragam pada selE
n52|
β
eta
Vol. 6 No.1 (Mei) 2013
p k
x
D
f
D
.
untuk setiap partisi Perron
-fineD
D
,
x
pada selC
B
y
,
(
y
)
dan
y
C
untuk setiap k. Lebih lanjut untuk setiap partisi Perron
-fine
D
,
x
D
pada sel E, cacah titik terkait adalah hingga. Dengan demikianmenurut lemma Henstock, untuk setiap partisi Perron
-fineD
D
,
x
pada selC
B
y
,
(
y
)
dany
C
berlaku
p
D
x
f
D
p k
x
D
f
D
x
f
D
D
p k
x
f
D
3
. Dengank
maks
k
0,x:
x
D
.Teorema 2.4Jika Barisan fungsi terukur
f
k adalah barisan fungsi terintegral Henstock serentak pada selE
n danf
k
f
h.d. pada sel E untuk
k
makaf
terintegral Henstock pada sel E dan
E E
k
k
R
f
d
R
f
d
* *
lim
.Bukti:
Tanpa mengurangi arti dianggap
f
k
f
pada sel E. Berarti untuk setiap bilangan
0
dan untuk setiapx
E
terdapat bilangan positifx
k
dengan sifat untuk setiapk
x
k
berlaku
E
x
f
x
f
p
k
.
Barisan fungsi terukur
f
k adalah barisan fungsi terintegral Henstock serentak pada selE
n sehingga terdapat fungsi positif
pada sel Eβ
eta
Vol. 6 No. 1 (Mei) 2013|
53
* 12
)
(
)
(
kp E
k
k
x
D
R
f
d
f
D
, untuk setiap k
Cacah titik terkait untuk setiap partisi Perron
-fineD
D
,
x
pada Eadalah hingga maka dapat diambil
K
maks
k
x:
x
D
. Dengan demikian untukk
,
m
N
diperoleh
p
E E
m k
d
R
f
f
R
*
*
p E
k
k
x
D
R
f
d
f
(
)
(
)
*
D
p m
k
x
D
f
x
D
f
D
D
(
)
(
)
+
p E
m
m
x
D
R
f
d
f
(
)
(
)
*
D
f
x
f
x
D
p m nk
D
2
+
2
k
D
3
E
.Jadi
f
k merupakan barisan Cauchy, akibatnya
f
k konvergen, katakan kea
. Berarti terdapat bilangan positifk
0 dengan sifat untuk setiapk
k
0berlaku
p E
k
d
a
f
R
*.
Untuk setiap partisi Perron
-fineD
D
,
x
pada E diambil
k
k
x
D
maks
K
0,
x:
maka untuk setiap partisi Perron
-fine
D
,
x
54|
β
eta
Vol. 6 No.1 (Mei) 2013 untuk setiap k.Barisan fungsi terukur
f
k konvergen h.d. pada sel E sehingga menurutTeorema Egoroff terdapat himpunan terbuka O dengan
56|
β
eta
Vol. 6 No.1 (Mei) 2013Jadi terbukti jika barisan fungsi terukur
f
k bersifat LSRS seragam pada selE
maka
f
k terintegral Henstock serentak pada sel E.Teorema 2.6 Jika Barisan fungsi terukur
f
k bersifat LSRS seragam pada selBerdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi
yang terintegral Henstock dari ruang Euclide
nke ruang barisan
p, (1
p<
).
Permasalahan-permasalahan lain yang perlu dikembangkan antara
lain kajian mengenai teorema kekonvergenan Globally Small Riemann
Sums fungsi yang terintegral Henstock dari ruang Euclide
nke ruang
Barisan
p,(1
p<
) serta aplikasinya pada disiplin ilmu lain.
DAFTAR PUSTAKA
Gordon, R. A, 1994, The Integral of Lebesque, Denjoy, Perron and Henstock, American Mathematical Society, USA
Indrati, Ch. R, 2002, Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang Euclide Berdimensi- n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia
β
eta
Vol. 6 No. 1 (Mei) 2013|
57 Lee, P. Y, 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Word Scientific,Singapore.
Pfeffer, W. F, 1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA
