Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 27–39
Small points on a multiplicative group and class
number problem
par
Francesco AMOROSO
R´esum´e. SoitV une sous-vari´et´e alg´ebrique du toreGn m֒→P
n
et notonsV∗le compl´ementaire dansV de l’adh´erence de Zariski de l’ensemble des points de torsion deV. Par un th´eor`eme de Zhang, V∗est discr`ete pour la m´etrique induite par la hauteur normalis´ee
ˆ
h. Nous d´ecrirons certaines versions quantitatives de ce r´esultat, proche des conjectures les plus pr´ecises que l’on puisse formuler, et ses applications `a l’´etude du groupe de classes d’id´eaux de certains corps de nombres.
Abstract. LetV be an algebraic subvariety of a torusGn m֒→P
n
and denote byV∗the complement inV of the Zariski closure of the set of torsion points ofV. By a theorem of Zhang,V∗ is discrete
for the metric induced by the normalized height ˆh. We describe some quantitative versions of this result, close to the conjectural bounds, and we discuss some applications to study of the class group of some number fields.
FrancescoAmoroso
Universit´e de Caen
Laboratoire de Math´ematiques
Nicolas Oresme, U.M.R. 6139 (C.N.R.S.) Campus II, BP 5186
F–14032 Caen Cedex
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