PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA. Oleh: MERYALDI G

(1)

PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN

PELUANG GAMMA

Oleh:

MERYALDI

G54101012

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN

PELUANG GAMMA

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

MERYALDI

G54101012

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(3)

RINGKASAN

MERYALDI. Penduga Kepekatan Kernel bagi Fungsi Kepekatan Peluang Gamma. Dibimbing oleh SISWADI dan I WAYAN MANGKU.

Fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya dari suatu peubah acak sulit atau bahkan tidak mungkin untuk diketahui. Oleh karena itu dibuat suatu penduga bagi fungsi kepekatan peluang sebagai pendekatan sebaran yang sebenarnya. Pendekatan parametrik sebagai salah satu penduga kepekatan peluang dirasa tidak cukup memadai mengingat banyak contoh nyata di mana sebaran parametrik tidak cocok. Oleh karena itu berkembang sejumlah teknik nonparametrik untuk menjawab permasalahan tersebut.

Penduga kepekatan kernel sebagai salah satu penduga kepekatan nonparametrik merupakan generalisasi yang dilakukan Parzen (1962) dari penduga shifted histogram yang dikembangkan Rosenblatt (1956). Penduga kepekatan kernel bergantung pada lebar pita dan fungsi kernel yang digunakan, dan merupakan penduga konsisten.

Studi ini membahas pendugaan kepekatan kernel bagi suatu data yang dibangkitkan dari fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) yang merupakan model sistem standby di mana komponen-komponennya memiliki waktu eksponensial untuk kepekatan kegagalan. Pendugaan dilakukan untuk ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100 yang masing-masing diulang dua puluh lima kali. Fungsi kernel yang digunakan ialah kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss.

Kualitas dari pendugaan dilihat dari mean squared error (MSE) yang dihasilkan. Keempat nilai rata-rata MSE dari keempat fungsi kernel yang digunakan untuk setiap ukuran contoh tidak berbeda pada taraf nyata 5%. Semakin besar ukuran contoh yang digunakan, semakin kecil nilai rata-rata MSE yang dihasilkan dari keempat fungsi kernel tersebut.

Grafik hasil dugaan memperlihatkan bahwa kernel segitiga, Epanechnikov, dan Gauss menghasilkan grafik yang halus. Sedangkan grafik dugaan dengan kernel seragam tidak halus. Dari keempat fungsi kernel yang digunakan, direkomendasikan untuk menggunakan fungsi kernel Epanechnikov atau segitiga dalam menduga data yang dibangkitkan dari sebaran Gamma(3,100).

Sebagai pembanding penduga kepekatan kernel digunakan penduga kemungkinan maksimum yang merupakan penduga parametrik. Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan menggunakan kemungkinan maksimum cenderung lebih baik dibandingkan hasil dugaan dengan kepekatan kernel.

(4)

Judul

: Penduga Kepekatan Kernel bagi Fungsi Kepekatan Peluang

Gamma

Nama

: Meryaldi

NRP

: G54101012

Menyetujui :

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Tanggal Lulus : ………..

Pembimbing I,

Dr. Ir. Siswadi, M.Sc.

NIP. 130 938 651

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS

NIP. 131 473 999

Pembimbing II,

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP. 131 633 020

(5)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 9 Mei 1982 dari ayah Azhar Mahmud dan ibu Megawati. Penulis adalah anak pertama dari empat bersaudara.

Penulis memulai pendidikan formal di SD Negeri 11 Kebayoran Lama Utara Jakarta Selatan dan lulus pada tahun 1995. Pendidikan Sekolah Menengah Pertama ditempuh di SLTP Negeri 31 Jakarta dan lulus pada tahun 1998. Kemudian melanjutkan pendidikan di SMU Negeri 47 Jakarta dan lulus pada tahun 2001. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif di Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) pada periode 2001-2002, dan juga di Dewan Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (DPM FMIPA) pada periode 2002-2003.

(6)

PRAKATA

Bismillahirrahmanirrahim

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kekuatan bagi penulis untuk menyelesaikan skripsi ini sebagai syarat mendapat gelar Sarjana Sains di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Sholawat serta salam tidak lupa penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat, keluarga serta para pengikutnya sampai akhir zaman.

Penulis sangat menyadari bahwa skripsi ini, yang diberi judul “Penduga Kepekatan Kernel bagi Fungsi Kepekatan Peluang Gamma”, merupakan sebagian kecil dari teori mengenai penduga kepekatan kernel yang bahkan masih terus dikembangkan hingga saat ini. Oleh karena itu, skripsi ini akan menjadi langkah awal bagi penulis khususnya untuk mempelajari lebih jauh lagi tentang penduga kepekatan kernel.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan bantuan, dukungan, dan semangat dari berbagai pihak. Untuk itu dengan hati yang tulus, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. dan Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing.

2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS yang telah bersedia menjadi dosen penguji.

3. Kedua orangtuaku tercinta Mama dan Bapak, serta adik-adikku Harmega, Rahmad, dan Firman.

4. Seluruh dosen dan staf pegawai Departemen Matematika IPB. 5. Kawan-kawan di Matematika Agkatan 38.

6. Senior di Matematika Agkatan 35, 36, dan 37 beserta Adik-adik di Matematika Agkatan 39, 40, dan 41.

7. Kawan-kawan di Wisma Galih dan Lux Style 8. Kawan-kawan alumni SMUN 47 Jakarta.

9. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Sebagai manusia, penulis tentu tidak luput dari kesalahan dan kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penulis harapkan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Amin.

Bogor, Agustus 2006

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... vii

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 2

LANDASAN TEORI Sebaran Gamma ... 2

Penduga Tak Bias dan Penduga Konsisten ... 2

Small oh ... 3

Penduga Kepekatan Kernel ... 3

Penduga Kemungkinan Maksimum (MLE) ... 5

BAHAN DAN METODE Alur Penelitian ... 6

Sumber Data ... 6

Metode Pendugaan ... 7

Tahapan Pendugaan Kepekatan Kernel dengan Mathematica ... 8

HASIL DAN PEMBAHASAN Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Fungsi Kepekatan Kernel ... 9

Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Penduga Kemungkinan Maksimum dan Perbandingannya dengan Fungsi Kepekatan Kernel ... 13

KESIMPULAN ... 15

DAFTAR PUSTAKA ... 15

LAMPIRAN ... 16

(8)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Sebuah sistem standby... 6

Gambar 2. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25... 10

Gambar 3. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25... 10

Gambar 4. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Epanechnikov yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25... 10

Gambar 5. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Gauss yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25... 10

Gambar 18. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25... 13

Gambar 22. Boxplot data MSE dari ukuran contoh 25... 14

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1. Beberapa fungsi kernel ... 5

Tabel 2. Nilai rata-rata MSE, simpangan baku MSE dari dugaan kepekatan kernel beserta rata-rata dugaan MLE parameter ˆα dan ˆβ bagi fkp Gamma(3,100)... 9

Tabel 3. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 25... 39

Tabel 7. Nilai dugaan MLE parameter αˆ,_βˆ_{, dan MSE dari ukuran contoh} 25... 43

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1. Bukti Teorema 1 ... 17

Lampiran 2. Bukti Teorema 2 ... 18

Lampiran 3. Grafik Fungsi Kernel ... 19

Lampiran 4. Pembangkitan Data ... 25

Lampiran 5. Penghitungan MSE, Rata-rata MSE, dan Simpangan Baku MSE Hasil Dugaan Kepekatan Kernel... 26

Lampiran 6. Pendugaan dengan Kemungkinan Maksimum ... 35

Lampiran 7. Nilai MSE Minimum dari setiap Contoh beserta Lebar Pita-nya... 39

Lampiran 8. Hasil Dugaan bagi Fkp Gamma(3,100) dengan Menggunakan Kemungkinan Maksimum... 43

(10)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dalam realitas kehidupan sehari-hari banyak permasalahan atau fenomena yang dimodelkan secara matematik, yang disebut model matematik, guna mendapatkan solusi dari permasalahan tersebut.

Berdasarkan kepastian/ketakpastian dari elemen modelnya, model matematik dibedakan menjadi dua, yaitu model deterministik dan model probabilistik atau model stokastik. Perbedaan penting antara model deterministik dan model stokastik adalah pada model stokastik tidak ada nilai tunggal. Model stokastik dapat direpresentasikan antara lain dengan sebaran (distribusi), atau cukup dengan ukuran pemusatan (rataan, median) dan ukuran penyebaran (ragam, simpangan baku) dari suatu sebaran (Purnaba & Mangku 2003). Pada kenyataannya fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya dari suatu peubah acak sulit atau bahkan tidak mungkin untuk diketahui. Oleh karena itu dibuat suatu penduga bagi fungsi kepekatan peluang sebagai pendekatan sebaran yang sebenarnya. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan dalam merumuskan penduga kepekatan peluang, yaitu melalui pendekatan parametrik dan nonparametrik. Penduga parametrik mempunyai struktur fungsi yang tetap, sehingga yang diduga adalah parameter-parameter dari fungsinya. Sedangkan penduga nonparametrik tidak mempunyai struktur yang tetap, sehingga yang diduga adalah fungsinya. Pendekatan parametrik di antaranya adalah fungsi sebaran normal, gamma, eksponensial, dan lain sebagainya. Akan tetapi banyak contoh nyata di mana sebaran normal dan juga sebaran-sebaran parametrik lainnya tidak cocok. Akibat masalah ketidakcocokan model parametrik untuk contoh-contoh real, maka diperlukan suatu pendekatan nonparametrik. Oleh karena itu berkembanglah sejumlah teknik nonparametrik untuk menjawab permasalahan tersebut.

Beberapa metode pendugaan nonparametrik dijelaskan secara singkat oleh Silverman (1986), yaitu histogram, penduga naif, penduga kernel, metode tetangga terdekat, metode variabel kernel, penduga deret ortogonal, dan penduga kemungkinan penalti maksimum. Dalam studi ini digunakan metode kepekatan kernel untuk menduga fungsi kepekatan peluang yang disebut

penduga kepekatan kernel. Metode ini digunakan karena merupakan metode yang paling berkembang secara teori dan mempunyai literatur yang luas.

Berkembangnya penduga kepekatan kernel dimotivasi oleh kelemahan histogram. Histogram merupakan salah satu penduga kepekatan peluang nonparametrik yang tertua. Ide dari histogram adalah untuk mewakili kerapatan data dengan menghitung jumlah observasi pada setiap sub-sub interval berurutan dengan titik awal interval

x

₀. Sub-sub interval tersebut didapat dengan membagi interval yang meliputi seluruh nilai data dengan lebar yang sama. Lebar dari sub-sub interval disebut lebar pita.

Dalam mengkonstruksi suatu histogram perlu mempertimbangkan ukuran lebar pita dan titik awal interval. Misalkan dari data yang sama akan dikonstruksi dua histogram dengan ukuran lebar pita yang sama tetapi titik awal yang berbeda, maka akan dihasilkan dua bentuk histogram yang berbeda. Begitu pula bila titik awalnya sama tetapi lebar pita-nya berbeda, bentuk histogrampita-nya pun berbeda. Untuk lebar pita yang terlalu besar akan menghasilkan blok-blok yang sangat besar dan histogram sangat tak terstruktur, sedangkan lebar pita yang terlalu kecil menghasilkan perkiraan yang sangat berubah-ubah dengan banyak puncak yang tidak berpengaruh (Härdle & Simar 2003). Sehingga kelemahan dari histogram adalah tidak halus, tergantung pada ukuran lebar pita, dan tergantung pada titik awal interval.

Untuk mengatasi kelemahan histogram, Rosenblatt (1956) mengembangkan penduga shifted histogram atau disebut juga penduga naif. Kemudian lebih rinci dijelaskan oleh Parzen (1962) dengan men-generalisasi penduga shifted histogram yang disebut penduga kepekatan kernel. Pada penduga kepekatan kernel terdapat fungsi kernel yang dapat memberikan bobot yang berbeda pada data sesuai dengan fungsi kernel yang dipilih. Bentuk penduga shifted histogram merupakan penduga kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam. Selain fungsi kernel seragam, ada beberapa fungsi kernel lainnya yaitu segitiga, Epanechnikov, kuartik, Gauss, dan lain sebagainya.

Dengan menggunakan penduga kepekatan kernel, dua kelemahan dari histogram dapat teratasi. Pertama, dengan menggunakan fungsi kernel yang halus untuk

(11)

blok bangunan maka akan didapat fungsi penduga kepekatan yang halus. Kedua, untuk menghilangkan ketergantungan titik awal interval, penduga kepekatan kernel memusatkan fungsi kernel pada setiap titik data. Oleh karena itu kualitas dari penduga kepekatan kernel dipengaruhi oleh ukuran lebar pita dan fungsi kernel yang dipilih.

Penduga kepekatan kernel merupakan penduga konsisten sehingga merupakan penduga yang baik digunakan untuk ukuran contoh yang sangat besar. Tetapi untuk memperoleh ukuran contoh yang sangat besar diperlukan biaya yang besar pula. Sehingga yang menjadi permasalahan adalah bagaimana jika ukuran contoh yang digunakan jumlahnya tak terlalu besar.

Dalam reliabilitas, data yang didapatkan mengarah pada suatu sebaran tertentu. Sebaran gamma adalah salah satu yang relatif banyak digunakan. Jika komponen-komponen dari suatu model sistem standby memiliki waktu eksponensial untuk kepekatan kegagalan-nya, maka kepekatan kegagalan model sistem standby tersebut memiliki sebaran Gamma.

Tujuan

Tujuan dari studi ini ialah untuk mempelajari pendugaan kepekatan kernel bagi fungsi kepekatan peluang gamma dengan berbagai ukuran contoh dan membandingkannya dengan pendugaan parametrik.

LANDASAN TEORI

Sebaran Gamma

Definisi 1 (Sebaran Gamma)

Suatu peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran gamma dengan parameter α dan β, yang dinotasikan dengan Gamma(α,β), jika mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut:

( )

1 1 x/

(

0

)

f x _α xα e βI x α β − − = > Γ di mana α >0 dan β >0. (Hogg et al. 2005)

Penduga Tak Bias dan Penduga Konsisten Definisi 2 (Statistik)

Misalkan n peubah acak X₁,X₂,…,X_n merupakan suatu contoh acak dari sebaran peubah acak X. Suatu fungsi

(

1, 2, , n

)

T=T X X …X dari contoh acak disebut statistik.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 3 (Penduga)

Misalkan T=T X X

(

1, 2,…,Xn

)

adalah suatu statistik. T disebut penduga titik bagi θ jika

T digunakan untuk menduga θ.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 4 (Penduga Tak Bias)

Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fkp f x

(

;θ

)

, θ ∈ Ω. Dan misalkan

1, 2, , n

X X … X adalah contoh acak dari sebaran X dan T adalah suatu statistik. T dikatakan penduga tak-bias bagi θ jika

[ ]

E T =θ, untuk semuaθ ∈ Ω.

(Hogg et al. 2005)

Jika lim

[ ]

n→∞E T =θ, maka penduga

T

disebut sebagai penduga tak bias asimtotik.

Definisi 5 (Konvergen dalam Peluang) Misalkan

{ }

X_n adalah suatu barisan peubah acak dan misalkan X adalah suatu peubah acak yang terdefinisi pada ruang contoh. X_n disebut konvergen dalam peluang ke X jika untuk setiap ε >0

(

)

lim Pr _n 0 n→∞ X − ≥X ε = , atau

(

)

lim Pr n 1 n→∞ X X ε − < = ,

yang dinotasikan dengan X_n⎯⎯→P X, untuk n→ ∞.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 6 (Penduga Konsisten)

Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fungsi sebaran kumulatif F x

(

;θ

)

, θ ∈ Ω. Dan misalkan X₁,X₂,…,X_n adalah contoh acak dari sebaran X dan T_n adalah

(12)

suatu statistik. T_n disebut penduga konsisten bagi θ jika T_n⎯⎯→P θ, untuk n→ ∞.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 7 (Mean Squared Error)

Mean Squared Error (MSE) dari suatu penduga ˆθ didefinisikan sebagai berikut:

( )

2 ˆ ˆ ( ) MSE θ =E⎡_⎢_⎣θ θ− ⎤_⎥_⎦. Misalkan θ = ⎣ ⎦E⎡ ⎤θˆ , maka

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

( )

)

2 2 2 2 . ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ MSE E E Var Bias θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ = _⎢ − − − _⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥+ − ⎣ ⎦ = +

( )

ˆ

Bias θ didefinisikan sebagai ˆ

E⎡ ⎤ − = −_{⎣ ⎦}θ θ θ θ.

(Rose & Smith 2002)

Small oh {o(.)}

Definisi 8 (o(.) untuk fungsi real) Suatu fungsi f disebut ( )o h , h→0, jika

0 ( ) lim 0 h f h h → = .

Hal ini berarti ( )f h →0 lebih cepat dari 0

h→ .

(Ross 2000)

Definisi 9 (o(.) barisan bilangan real) Misalkan a_n dan b_n adalah barisan bilangan real. Dikatakan a_n adalah “small oh” b_n, ditulis a_n =o b( _n),n→ ∞, jika

lim n/ n 0 n→∞a b

= .

(Wand & Jones 1995)

Catatan bahwa a_n=o(1) menyatakan 0

n

a → untuk n→ ∞.

Penduga Kepekatan Kernel

Penduga kepekatan kernel merupakan suatu penduga bagi fungsi kepekatan peluang suatu peubah acak kontinu. Penduga kepekatan kernel termasuk ke dalam kelas penduga kepekatan nonparametrik.

Misalkan

{ }

_xi n_i₌₁ adalah contoh acak yang bebas stokastik identik dari suatu sebaran dengan kepekatan peluang f . Dengan mengacu pada Parzen (1962) dan Scott et al. (1977), penduga kepekatan kernel mempunyai bentuk umum:

1 1 ˆ ( ) 1 n n n n n _j j n n x y f x K dF h h x x K nh h ∞ −∞ = − ⎛ ⎞ = ∫ ⎜_⎝ ⎟_⎠ − ⎛ ⎞ = _{∑ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠

(1)

di mana ( ) ( ) lim ( ) 0 y y K y dy Sup K y yK y ∞ −∞ −∞< <∞ →∞ ⎧ <∞ ∫ ⎪ ⎪⎪ _<∞ ⎨ ⎪ ⎪ ₌ ⎪⎩ (2) dan ( ) 0 K y ≥ ( ) 1 K y dy ∞ −∞∫ = (3) (.)

K merupakan fungsi kernel, dan h_n adalah lebar pita.

Kendala (2) dan (3) didasari oleh penduga kepekatan kernel pada persamaan (1) untuk memenuhi sebagai penduga tak bias asimtotik. Untuk menjadi penduga tak bias asimtotik di mana h_n =h n_n( ) dipilih sebagai fungsi dari

n sehingga lim _n 0 n→∞h = , (4) maka haruslah ˆ lim _n( ) ( ) n→∞E f x f x ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ , (5) sedangkan 1 ˆ ( ) 1 _{( )} _. n n n n n x X E f x E K h h x y K f y dy h h ∞ −∞ ⎡ _⎛ ₋ _⎞⎤ ⎡ _{⎤ = ⎢} _⎜ _⎟_⎥ ⎣ ⎦ _⎣ _⎝ _⎠_⎦ − ⎛ ⎞ = ∫ ⎜_⎝ ⎟_⎠ (6)

Agar persamaan (5) terpenuhi, maka ekspresi pada bagian terakhir persamaan (6) harus menuju f x( ). Kondisi di mana ini terjadi diberikan oleh teorema berikut:

Teorema 1:

Misalkan K y( ) adalah suatu fungsi Borel yang memenuhi kondisi (2). Dan misalkan pula ( )g y memenuhi

( ) g y dy ∞

(13)

Jika 1 ( ) ( ) n n n y g x K g x y dy h h ∞ −∞ ⎛ ⎞ = ∫ _⎜ _⎟ − ⎝ ⎠

dengan

{ }

h_n adalah barisan dari konstanta positif yang memenuhi persamaan (4), maka untuk setiap titik x pada kekontinuan (.)g ,

lim _n( ) ( ) ( ) n g x g x K y dy

∞

→∞ = _−∞∫ .

Bukti: Lihat Lampiran 1. Akibat:

Penduga yang didefinisikan pada persamaan (1) merupakan penduga tak bias asimtotik pada semua titikx, di mana fungsi kepekatan peluangnya kontinu, jika konstanta h memenuhi persamaan (4) dan jika fungsi

( )

K y memenuhi (2) dan persamaan (3).

Agar penduga kepekatan kernel pada persamaan (1) menjadi penduga konsisten, diperlukan kondisi tambahan yang diberikan pada teorema berikut:

Teorema 2:

Penduga fˆ_n pada persamaan (1) dengan kendala (2) dan (3) merupakan penduga konsisten jika ditambahkan kendala

lim _n n→∞nh

= ∞.

Bukti: Lihat Lampiran 2.

Untuk memperoleh lebar pita optimal secara asimtotik, seperti dalam Wand dan Jones (1995), digunakan konsep mean squared error (MSE).

Pertama akan diturunkan bias dari ˆ ( )f_n x . Misalkan X adalah suatu peubah acak yang mempunyai fungsi kepekatan peluang f , maka 1 ˆ ( ) 1 _{( )} _. n n n n n x X E f x E K h h x y K f y dy h h ∞ −∞ ⎡ _⎛ ₋ _⎞⎤ ⎡ _{⎤ = ⎢} _⎜ _⎟_⎥ ⎣ ⎦ _⎣ _⎝ _⎠_⎦ − ⎛ ⎞ = ∫ ⎜_⎝ ⎟_⎠ (7)

Dengan melakukan transformasi, di mana

n x y z h − = , sehingga y= −x h z_n dan n dy J h dz

= = , maka persamaan (7) menjadi

( )

ˆ ( )_n ( _n ) . E f x K z f x h z dz ∞ ⎡ _{⎤ =} _∫ ₋ ⎣ ⎦ −∞ (8) Dengan mengekspresikan (f x−h z_n ) dalam bentuk daret Taylor dalam selang sekitar x, didapatkan 2 2 2 1 ( ) ( ) '( ) ''( ) ( ). 2 n n n n f x−h z = f x −h zf x + h z f x +o h

Sehingga persamaan (8) menjadi ˆ ( )_n E f⎡_⎣ x ⎤_⎦ 2 2 2 1 ( ){ ( ) '( ) ''( ) ( )} 2 n n n K z f x h zf x h z f x o h dz ∞ −∞ = ∫ − + + 2 2 2 ( ) ( ) '( ) ( ) 1 _{''( )} _{( )} ₍ ₎ 2 n n n f x K z dz h f x zK z dz h f x z K z dz o h ∞ ∞ −∞ −∞ ∞ −∞ = ∫ − ∫ + _∫ + 2 2 2 1 ( ) ''( ) ( ) ( ) 2 n n f x h f x z K z dz o h ∞ −∞ = + ∫ + , (9) di mana K z dz( ) 1 ∞ −∞∫ = , zK z dz( ) 0 ∞ −∞∫ = , dan 2 ( ) z K z dz ∞ −∞∫ < ∞.

Dari persamaan (9) didapatkan ekspresi bias dari ˆ ( )f_n x sebagai berikut:

2 2 2 ˆ ( ) ( ) 1 _{''( )} _{( )} ₍ _). 2 n n n E f x f x h f x z K z dz o h ∞ −∞ ⎡ _{⎤ −} ⎣ ⎦ = ∫ + (10) Sedangkan untuk ragam dari ˆ ( )f_n x diturunkan sebagai berikut:

{

_{ˆ ( )}

}

1 1 n n n x X Var f x Var K n h h ⎧ ⎛ ₋ ⎞⎫ = ⎨ ⎜_⎝ ⎟_⎠⎬ ⎩ ⎭ 2 2 1 1 1 n n n n x X x X E K E K n h h h h ⎧ _⎡_⎛ _⎞ _{⎤ ⎛} _⎡ _⎤_⎞ ⎫ ⎪ _⎢ ⎛ − ⎞ _⎥ ⎛ − ⎞ ⎪ = ⎨ _⎢⎜ _⎝⎜ ⎟_⎠⎟ _⎥−⎜ ⎢ _⎝⎜ ⎟_⎠⎥⎟ ⎬ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎪ _⎣ _⎦ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭

{

}

2 ₂ 2 1 1 _{( )} 1 ˆ _{( )} n n n x y K f y dy E f x n h h n ∞ −∞ ⎧ ⎛ − ⎞⎫ _⎡ _⎤ = ∫ ⎨_⎩ ⎜_⎝ ⎟_⎠⎬_⎭ − ⎣ ⎦

( )

{

}

2

( )

{

}

2 1 ₍ ₎ 1 ˆ_{( )} n n n K z K z f x h z dz E f x nh n ∞ −∞ ⎡ ⎤ = ∫ − − _⎣ _⎦

( )

{

}

2

{

( )

}

{

( )

}

2 1 _{( )} ₁ 1 _{( )} ₁ n K z f x o dz f x o nh n ∞ −∞ = ∫ + − +

( )

{

}

2

(

( )

1

)

1 _{( )} n n f x K z dz o nh nh ∞ ₋ −∞ = ∫ + (11)

Dari persamaan (10) dan (11) didapatkan pendekatan asimtotik bagi MSE dari ˆ ( )f_n x sebagai berikut:

(14)

{

}

{

( )

}

{

}

(

( )

)

2 2 2 1 4 2 4 1 ˆ ( ) ( ) 1 _{''( )} _{( )} 4 n n n n n MSE f x f x K z dz nh h f x z K z dz o nh h ∞ −∞ ∞ ₋ −∞ = ∫ ⎛ ⎞ + ⎜ ∫ ⎟ + + ⎝ ⎠ ...(12) Dengan mengintegralkan MSE tersebut terhadap x didapatkan mean integrated squared error (MISE) sebagai berikut:

{ }

_ˆ _(.)

{ }

_ˆ_(.)

(

( )

1 4

)

n n n n MISE f =AMISE f +o nh − +h ...(13) di mana

{ }

{

( )

}

{

}

2 2 2 4 1 ˆ (.) 2 1 _{( )} _{''( )} 4 n n n AMISE f K z dz nh h z K z dz f x dx ∞ −∞ ∞ ∞ −∞ −∞ = ∫ ⎛ ⎞ + ⎜ ∫ ⎟ ∫ ⎝ ⎠ (14)

(AMISE: Asymptotic MISE)

Dengan membuat turunan pertama persamaan (14) terhadap h_n sama dengan nol, didapatkan lebar pita optimal secara asimtotik, dinotasikan h_AMISE, sebagai berikut:

( )

[

]

1/5 2 1/5 2 2 2 _{( )} _{''( )} AMISE K z dz h n z K z dz f x dx ∞ − −∞ ∞ ∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎢ _{∫ ⎣}_⎡ _⎤_⎦ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎢ _∫ _∫ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢_⎝ _⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ...(15) Fungsi kernel, (.)K , pada penduga kepekatan kernel mempunyai pilihan yang bervariasi. Beberapa di antaranya, yang biasa digunakan, diberikan pada Tabel 1. Grafik dari masing-masing fungsi kernel dalam Tabel 1 dapat dilihat pada Lampiran 3.

Tabel 1. Beberapa fungsi kernel Kernel K u( ) Seragam 1

( )

₁ 2I u≤ Segitiga

(

₁₋_{u I u}

) ( )

_≤₁ Epanechnikov 3 1

(

2

)

( )

1 4 −u I u≤ Kuartik (Biweight) ₁₅

(

₂

)

2

( )

1 1 16 −u I u≤ Triweight

(

₂

)

3

( )

35 1 1 32 −u I u≤ Gauss 1 _exp

( )

1 2 2 2π − u Cosinus

( )

_{( )}

cos 1 4 2u I u π π _≤

Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator/MLE) Perhatikan suatu contoh acak

1, 2, , n

X X … X dari suatu sebaran yang mempunyai fungsi kepekatan peluang

( ; )

f xθ , θ ∈ Ω. Fungsi kepekatan peluang bersama dari X₁,X₂,…,X_n adalah

1 2

( ; ) ( ; ) ( _n; )

f x θ f x θ …f x θ . Fungsi kepekatan peluang bersama tersebut dapat dianggap sebagai suatu fungsi dalam θ dan disebut fungsi likelihood (fungsi kemungkinan) L, dinotasikan sebagai berikut:

(

; ,1 2, , n

)

( ; ) (1 2; ) ( n; ),

L θ x x …x = f x θ f x θ …f x θ

θ ∈ Ω. ...(16) Misalkan dapat dicari suatu fungsi nontrivial dalam x x₁, ₂,…,x_n, sebut saja

(

1, 2, , n

)

u x x …x , sehingga ketika θ digantikan oleh u x x

(

₁, ₂,…,x_n

)

, fungsi likelihood L dimaksimumkan. Dengan kata lain,

(

)

(

1, 2, , n ; ,1 2, , n

)

L u x x …x x x …x paling kecil sama besarnya dengan L

(

θ; ,x x₁ ₂,…,x_n

)

untuk setiap θ ∈ Ω. Maka statistik

(

1, 2, , n

)

u X X …X disebut penduga

kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimator) untuk θ, dan dinotasikan dengan θ =ˆ u X X

(

₁, ₂,…,X_n

)

.

(15)

Unit 3 Unit 2 Unit 1

KP

Gambar 1. Sebuah sistem standby

BAHAN DAN METODE

Alur Penelitian

Sumber Data

Data yang digunakan dalam studi ini adalah data yang dibangkitkan dari sebaran Gamma(3,100). Nilai parameter tersebut merupakan suatu contoh dari sebuah sistem standby dalam Hines dan Montgomery (1990).

Pada sistem tersebut, ditunjukkan dalam Gambar 1, pada awalnya unit 1 on line, sementara unit 2 dan unit 3 standby. Jika unit 1 rusak, maka keputusan penyambungan (KP) pada unit 2, dan kalau unit 2 juga rusak, kemudian baru disambungkan pada unit 3. Keputusan penyambungan diasumsikan sempurna, sehingga sistem hidup X bisa

ditunjukkan sebagai penjumlahan subsistem,

1 2 3

X =X +X +X . Jika subsistem berjalan bebas satu sama lain, dan jika subsistem mempunyai daya hidup X_j, j=1, 2, 3, dan

mempunyai kepekatan

/100

( ) (1 / 100) xj

j

g x = e− ,

x

_j

≥

0

, maka X akan mempunyai fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100).

Dari sebaran tersebut dibangkitkan empat macam ukuran contoh, yaitu dengan ukuran 25, 50, 75, dan 100. Pendugaan dilakukan untuk masing-masing ukuran contoh tersebut. Karena data yang dibangkitkan untuk masing-masing ukuran contoh merupakan suatu contoh dari populasi, maka diambil lebih banyak contoh, sehingga memberikan gambaran yang lebih baik dari populasi tersebut. Untuk itu data dibangkitkan dua puluh lima kali untuk masing-masing ukuran contoh. Data dibangkitkan dengan menggunakan Mathematica 5.0 (lihat Lampiran 4).

Bandingkan hasil dugaan dengan menggunakan kepekatan kernel dan dugaan dengan penduga parametrik.

Bandingkan masing-masing hasil dugaan tersebut.

Duga fungsi kepekatan peluang dengan menggunakan penduga kepekatan kernel dengan lebar pita yang ditentukan dan fungsi kernel bervariasi untuk masing-masing contoh.

Bangkitkan sejumlah contoh data dengan ukuran yang bervariasi.

(16)

Metode Pendugaan

Untuk menduga fungsi kepekatan peluang digunakan penduga kepekatan kernel sebagai penduga nonparametrik, kemudian dibandingkan dengan penduga parametrik.

Penduga kepekatan kernel dipengaruhi oleh lebar pita dan fungsi kernel. Untuk itu dilakukan simulasi dengan memainkan peranan lebar pita dan fungsi kernel.

Untuk menentukan nilai lebar pita, h_n, digunakan persamaaan berikut:

( ) ( )

{

}

100 2 1 1 ˆ 100 i i i MSE f x f x = = ∑ − , (17) di mana f xˆ

( )

i adalah fungsi dugaan dan

( )

i

f x adalah fungsi yang sebenarnya. Dalam hal ini, ˆf x

( )

i merupakan fungsi dugaan kepekatan kernel dan f x

( )

i merupakan fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100). Sehingga persamaan (17) menjadi

2 2 /100 100 6 1 1 1 1 100 _{2 10} x n _i _j i i i nj n x y x e MSE K nh h − = = ⎧ ⎛ − ⎞ ⎫ ⎪ ⎪ = ∑⎨ ∑ ⎜ ⎟− ⎬ × ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ...(18) di mana x_i = +1 10(i−1), i=1, 2,…,100, merupakan titik-titik di mana nilai fungsi yang sebenarnya dengan nilai fungsi yang diduga dihitung selisihnya, dan

{ }

1

n j _j

y ₌ adalah himpunan contoh acak bebas stokastik identik dari sebaran dengan kepekatan peluang Gamma(3,100). Persamaan tersebut mengekspresikan rata-rata galat kuadrat dari 100 titik x_i. Jumlah 100 titik dipilih karena dilihat dari grafik fungsi sebaran Gamma(3,100), pada titik bernilai 1000 grafik fungsinya sudah mendekati nol, sehingga jika dibuat titik-titik dengan lebar interval 10 pada range 0 sampai 1000 akan ada 100 titik. Untuk suatu fungsi kernel yang telah ditentukan, substitusi y_j dengan data yang telah

dibangkitkan menghasilkan fungsi dalam h_n. Karena ingin didapatkan penduga dengan galat sekecil mungkin, maka h_n haruslah suatu nilai yang meminimumkan fungsi dalam

n

h tersebut. Untuk menentukan h_n tersebut digunakan fungsi Minimize dalam Mathematica (lihat Lampiran 5).

Dari persamaan (18), dengan dua puluh lima kali pengulangan diperoleh dua puluh lima nilai lebar pita dan nilai MSE untuk

setiap ukuran contoh. Kemudian dari setiap ukuran contoh dihitung nilai rata-rata MSE (Average MSE/AMSE) dengan persamaan berikut:

(

) ( )

{

}

25 100 2 1 1 1 1 ˆ _; 25 100 i c i c i AMSE f x y f x = = ⎧ ⎫ = ∑⎨ ∑ − ⎬ ⎩ ⎭ ...(19) Dalam hal ini, f x yˆ

(

i; c

)

merupakan fungsi dugaan kepekatan kernel dengan menggunakan himpunan contoh acak ke-c dan f x

( )

_i merupakan fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100). Sehingga persamaan (19) menjadi 2 2 /100 25 100 6 1 1 1 1 1 1 25 100 2 10 x n _i _cj _i i c i ncj nc x y x e AMSE K nh h − = = = ⎧ _⎧ _⎛ ₋ _⎞ _⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ∑⎨ ∑⎨ ∑ ⎜ ⎟− _× ⎬ ⎬ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ...(20) dimana h_nc adalah nilai lebar pita yang meminimumkan MSE untuk himpunan contoh acak ke-c, dan

{ }

1

n cj _j

y ₌ adalah himpunan contoh acak ke-c yang bebas stokastik identik dari sebaran dengan kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan c=1, 2,…, 25.

Fungsi kernel yang digunakan ialah kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss. Dilihat dari grafiknya, keempat fungsi kernel tersebut mempunyai bentuk yang sangat berbeda satu sama lain. Kernel seragam, segitiga dan Gauss masing-masing mempunyai bentuk persegi panjang, segitiga, dan lonceng. Kernel Epanechnikov mempunyai bentuk hampir seperti segitiga tetapi lebih halus. Sedangkan kernel lainnya, seperti kernel kuartik, triweight, dan cosinus mempunyai bentuk yang hampir sama dengan Epanechnikov hanya saja masing-masing puncaknya mempunyai ketinggian yang berbeda. Kernel kuartik mempunyai ketinggian puncak yang hampir sama dengan segitiga, sehingga kuartik hampir sama seperti segitiga. Kernel cosinus mempunyai bentuk yang hampir sama dengan Epanechnikov dengan puncak yang sedikit lebih tinggi. Kernel triweight mempunyai puncak sedikit lebih tinggi dibandingkan segitiga (lihat Lampiran 3). Untuk keempat fungsi kernel yang digunakan, dilakukan cara yang sama seperti di atas dalam mencari nilai lebar pita. Dengan menggunakan empat fungsi kernel akan didapatkan empat nilai rata-rata MSE dari setiap ukuran contoh. Untuk membandingkan keempat nilai rata-rata MSE tersebut digunakan uji beda nyata terkecil (BNT) dengan taraf nyata 5%.

(17)

Sebagai pembanding penduga kepekatan kernel, digunakan penduga parametrik. Karena datanya dibangkitkan dari sebaran gamma, maka dalam pendugaan parametriknya yang diduga adalah parameter

α dan β. Untuk menduga parameter tersebut digunakan metode penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimator/MLE).

Untuk suatu contoh acak berukuran n dari suatu peubah acak X yang menyebar gamma, fungsi log-likelihood-nya adalah:

/ ₁ 1 1 1 1 1 ln ( , ) ln ( ) 1 ln ( ) ln ( 1) ln n n n x_i i _i i n n i i i i L e x n n x x β _α α α β α β α α β _β α − ∑ ₋ = = = = ⎧_⎛ _⎞ ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨⎜ ⎟ ∏ ⎬ Γ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ =− Γ − − ∑ + − ∑ ...(21) Kemudian dicari nilai α dan β yang memaksimumkan fungsi log-likelihood tersebut, yaitu dengan cara membuat turunan pertama terhadap α dan β sama dengan nol. Tetapi turunan pertamanya hanya dapat diturunkan terhadap β, yaitu

2 1 2 1 2 1 1 ln ( , ) ₁ 1 ₀ 1 1 _. n i i n i i n i i n i i L _n x n _x n _x x n α β _α β β _β α β β α β β α _β = = = = ∂ _{= −} ₊ ∑ ∂ ⇔− + ∑ = ⇔ = ∑ ⇔ = ∑ (22)

Oleh karena itu digunakan metode numerik untuk mencari solusinya.

Dengan mensubstitusikan 1 1 ˆ ( ) n i i x n α β _β = = ∑ ke fungsi log-likelihood-nya, didapatkan ( ) 1 1 1 1 ˆ ln ( ( ), ) ln ln 1 1 ln . n n n i i i n i i i i i x x x L n x n n α β β =_β =_β β =_β = ⎛_∑ ⎞ _∑ ⎛_∑ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − Γ⎜ ⎟− + +⎜ − ∑⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ...(23) Untuk mencari β yang memaksimumkan persamaan tersebut, digunakan fungsi Maximize dalam Mathematica. Setelah β didapatkan, dicari nilai α dengan mensubstitusikan β ke fungsi ˆ ( )α β (lihat Lampiran 6).

Untuk membandingkan dengan dugaan hasil penduga kepekatan kernel, dihitung nilai MSE dan rata-rata MSE dengan menggunakan persamaan (17) dan (19) dimana f xˆ

( )

i merupakan fungsi kepekatan peluang gamma dengan nilai dugaan α dan β yang diperoleh dari metode kemungkinan maksimum dan

( )

i

f x merupakan fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) (lihat Lampiran 6).

Tahapan Pendugaan Kepekatan Kernel dengan Mathematica

1) Data

Data yang merupakan input didefinisikan pada notebook Mathematica dalam bentuk list. 2) Definisi Penduga Kepekatan Kernel

Setelah data disiapkan, tahapan selanjutnya adalah mendefinisikan fungsi penduga kepekatan kernel pada notebook Mathematica dengan fungsi kernel dan lebar pita yang telah ditentukan. Kemudian

substitusikan data pada fungsi penduga kepekatan kernel yang telah didefinisikan, sehingga dihasilkan dugaan fungsi kepekatan peluang untuk data tersebut.

3) Plot

Dugaan fungsi kepekatan peluang yang telah didapat, diplot untuk melihat sebaran peluang yang terbentuk.

Plot Definisi Penduga Kepekatan Kernel

(Fungsi kernel dan lebar pita telah ditentukan) Data

(18)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Fungsi Kepekatan Kernel

Dari perhitungan yang dilakukan, didapatkan nilai MSE terkecil dari setiap

contoh acak beserta lebar pita-nya yang dilampirkan pada Lampiran 7. Sedangkan nilai rata-rata MSE dan simpangan baku MSE dirangkum pada Tabel 2.

Tabel 2. Nilai rata MSE, simpangan baku MSE dari dugaan kepekatan kernel beserta rata-rata dugaan MLE parameter ˆα dan ˆβ bagi fkp Gamma(3,100)

Ukuran contoh

25 50 75 100 Rata-rata Simpangan Rata-rata Simpangan Rata-rata Simpangan Rata- rata Simpangan

Kernel

MSE Baku MSE MSE Baku MSE MSE Baku MSE MSE Baku MSE Seragam 9.43098 x 10-8_{6.38888 x 10}-8_{6.28648 x 10}-8_{4.69654 x 10}-8_{5.5582 x 10}-8_{4.22732 x 10}-8_{4.77274 x 10}-8_{2.40563 x 10}-8 Segitiga 8.83221 x 10-8_{6.61025 x 10}-8_{5.99716 x 10}-8_{4.90539 x 10}-8_{5.24432 x 10}-8_{4.34969 x 10}-8_{4.50229 x 10}-8_{2.45922 x 10}-8 Epanechnikov 8.74329 x 10-8_{6.61758 x 10}-8_{5.95435 x 10}-8_{4.91102 x 10}-8_{5.22163 x 10}-8_{4.33662 x 10}-8_{4.50044 x 10}-8_{2.45516 x 10}-8 Gauss 9.0795 x 10-8_{6.70575 x 10}-8_{6.10244 x 10}-8_{4.93163 x 10}-8_{5.30433 x 10}-8_{4.34988 x 10}-8_{4.5688 x 10}-8_{2.47402 x 10}-8

Rata-rata Simpangan Rata-rata Simpangan Rata-rata Simpangan Rata-rata Simpangan MLE

Baku Baku Baku Baku MSE 7.10132 x 10-8_{8.65312 x 10}-8_{4.00662 x 10}-8_{3.68307 x 10}-8_{2.61553 x 10}-8_{3.06213 x 10}-8_{1.46131 x 10}-8_{1.41155 x 10}-8 ˆ α 3.26194 1.04501 3.17667 0.739087 3.2579 0.437496 3.02859 0.359171 ˆ β _{100.09 31.4909 97.2281 21.8578 95.3222 12.6927 100.705 12.2137}

Pada Tabel 2 terlihat bahwa untuk ukuran contoh 25, 50, 75, maupun 100, dugaan dengan metode kepekatan kernel bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan menggunakan fungsi kernel epanechnikov mempunyai nilai rata-rata MSE terkecil. Sedangkan dugaan dengan menggunakan fungsi kernel seragam mempunyai nilai rata-rata MSE terbesar. Tetapi dengan menggunakan uji beda nyata terkecil, untuk setiap ukuran contoh, keempat nilai rata-rata MSE yang didapatkan tidak berbeda nyata pada taraf 5%.

Untuk ukuran contoh 25, dari dua puluh lima nilai MSE hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, didapatkan MSE terkecil bernilai 2.48346 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.87179 x 10-7. Nilai MSE hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) menggunakan kepekatan

kernel dengan fungsi kernel segitiga, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.4091 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.80453 x 10-7. Nilai MSE hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel Epanechnikov, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.40709 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.82958 x 10-7_{. Dan Nilai MSE hasil}

dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel Gauss bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100), didapatkan MSE terkecil bernilai 1.40793 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.82206 x 10-7.

Untuk memberikan gambaran, berikut ini diperlihatkan tumpang tindih grafik fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan grafik dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss yang mempunyai

(19)

nilai MSE terkecil dan MSE terbesar dari ukuran contoh 25: 2 00 4 0 0 6 0 0 8 00 10 0 0 0 . 0 0 05 0 . 0 01 0 . 0 0 15 0 . 0 02 0 . 0 0 25 0 . 0 03 G a mm a T e rb u r u k T e rb a i k

Gambar 2. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 0 . 0 0 0 5 0 . 0 0 1 0 . 0 0 1 5 0 . 0 0 2 0 . 0 0 2 5 0 . 0 0 3 G a m m a T e r b u r u k T e r b a i k

Gambar 3. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25 2 00 4 0 0 6 0 0 8 00 10 0 0 0 . 0 0 05 0 . 0 01 0 . 0 0 15 0 . 0 02 0 . 0 0 25 0 . 0 03 G a mm a T e rb u r u k T e rb a i k

Gambar 4. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel Epanechnikov yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25 2 00 4 0 0 6 0 0 8 00 10 0 0 0 . 0 0 05 0 . 0 01 0 . 0 0 15 0 . 0 02 0 . 0 0 25 0 . 0 03 G a mm a T e rb u r u k T e rb a i k

Gambar 5. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel Gauss yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25

Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dari ukuran contoh 50 dengan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.52431 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.17277 x 10-7. Jika digunakan fungsi kernel segitiga, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.0428 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.21829 x 10-7. Sedangkan jika digunakan fungsi kernel Epanechnikov, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.11693 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.1987 x 10-7. Dan jika digunakan fungsi kernel Gauss, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.0437 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.24462 x 10-7.

Berikut ini diperlihatkan tumpang tindih grafik fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan grafik dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss yang mempunyai nilai MSE terkecil dan MSE terbesar dari ukuran contoh 50:

2 00 4 0 0 6 0 0 8 00 10 0 0 0 . 0 0 05 0 . 0 01 0 . 0 0 15 0 . 0 02 0 . 0 0 25 0 . 0 03 G a mm a T e rb u r u k T e rb a i k

Gambar 6. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50 2 00 4 0 0 6 0 0 8 00 10 0 0 0 . 0 0 05 0 . 0 01 0 . 0 0 15 0 . 0 02 0 . 0 0 25 0 . 0 03 G a mm a T e rb u r u k T e rb a i k

Gambar 7. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50

(20)

Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dari ukuran contoh 75 dengan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.05731 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.22805 x 10-7. Jika digunakan fungsi kernel segitiga, didapatkan MSE terkecil bernilai 7.8127 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 2.23878 x 10-7. Sedangkan jika digunakan fungsi kernel Epanechnikov, didapatkan MSE terkecil bernilai 6.89136 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 2.23206 x 10-7. Dan jika digunakan fungsi kernel Gauss, didapatkan MSE terkecil bernilai 9.24232 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 2.24288 x 10-7. Berikut ini diperlihatkan tumpang tindih grafik fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan grafik dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss yang mempunyai nilai MSE terkecil dan MSE terbesar dari ukuran contoh 75:

(21)

Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dari ukuran contoh 100 dengan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.07826 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 1.18116 x 10-7. Jika digunakan fungsi kernel segitiga, didapatkan MSE terkecil bernilai 6.59011 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 1.17359 x 10-7. Sedangkan jika digunakan fungsi kernel Epanechnikov, didapatkan MSE terkecil bernilai 6.96812 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 1.17534 x 10-7. Dan jika digunakan fungsi kernel Gauss, didapatkan MSE terkecil bernilai 6.21083 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 1.16966 x 10-7. Berikut ini diperlihatkan tumpang tindih grafik fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan grafik dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss yang mempunyai nilai MSE terkecil dan MSE terbesar dari ukuran contoh 100:

Hasil grafik dari keempat fungsi kernel yang digunakan untuk setiap ukuran contoh terlihat tidak jauh berbeda, khususnya grafik yang dihasilkan dari kernel segitiga, Epanechnikov, dan Gauss. Ini sesuai dengan hasil uji beda nyata terkecil di mana keempat nilai rata-rata MSE yang didapatkan tidak berbeda pada taraf nyata 5%.

Dari gambar di atas terlihat bahwa grafik yang dihasilkan oleh dugaan dengan menggunakan fungsi kernel segitiga, Epanechnikov, dan Gauss merupakan grafik yang halus. Sedangkan kernel seragam, walaupun fungsinya sederhana, tetapi grafik hasil dugaannya tidak halus.

Kernel segitiga dan Epanechnikov mempunyai fungsi yang lebih sederhana dibandingkan kernel gauss (lihat Tabel 1).

Dilihat pada Tabel 2, semakin besar ukuran contoh, semakin kecil nilai rata-rata MSE yang dihasilkan dari keempat fungsi kernel tersebut. Begitu pula nilai simpangan baku MSE yang dihasilkan semakin kecil dengan bertambahnya ukuran contoh. Ini berarti semakin besar ukuran contoh yang digunakan, hasil dugaan kepekatan kernel, apapun fungsi kernelnya dari keempat fungsi kernel tersebut, akan mendekati fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya.

(22)

Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Penduga Kemungkinan Maksimum dan Perbandingannya dengan Fungsi Kepekatan Kernel

Hasil pendugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dari ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100 dengan penduga kemungkinan maksimum dilampirkan pada Lampiran 8. Sedangkan pada bagian bawah Tabel 2 diperlihatkan nilai rata-rata dan simpangan baku dari dugaan parameter dan MSE hasil pendugaan dengan kemungkinan maksimum.

Pendugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan ukuran contoh 25 dengan menggunakan kemungkinan maksimum menghasilkan dugaan dengan MSE terkecil bernilai 1.1171 x 10-10 dan MSE terbesar bernilai 3.70397 x 10-7 dari dua puluh lima nilai MSE yang diperoleh. Untuk ukuran contoh 50, dari dua puluh lima nilai MSE yang didapatkan, MSE terkecil bernilai 1.26658 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 1.18158 x 10-7. Untuk ukuran contoh 75, dari dua puluh lima nilai MSE yang didapatkan, MSE terkecil bernilai 7.1324 x 10-10 dan MSE terbesar bernilai 1.24838 x 10-7. Dan untuk ukuran contoh 100, dari dua puluh lima nilai MSE yang didapatkan, MSE terkecil bernilai 8.91801 x 10-10 dan MSE terbesar bernilai 4.77985 x 10-8.

Berikut ini adalah grafik hasil dugaan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar untuk ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100: 2 00 4 0 0 6 0 0 8 00 10 0 0 0 . 0 0 05 0 . 0 01 0 . 0 0 15 0 . 0 02 0 . 0 0 25 0 . 0 03 G a mm a T e rb u r u k T e rb a i k

Gambar 18. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25

2 00 4 0 0 6 0 0 8 00 10 0 0 0 . 0 0 05 0 . 0 01 0 . 0 0 15 0 . 0 02 0 . 0 0 25 0 . 0 03 G a mm a T e rb u r u k T e rb a i k 2 00 4 0 0 6 0 0 8 00 10 0 0 0 . 0 0 05 0 . 0 01 0 . 0 0 15 0 . 0 02 0 . 0 0 25 0 . 0 03 G a mm a T e rb u r u k T e rb a i k

Nilai rata-rata MSE dari dugaan kemungkinan maksimum semakin kecil dengan semakin besarnya ukuran contoh. Begitu pula dengan simpangan baku MSE yang dihasilkan. Semakin besar ukuran contoh, semakin kecil simpangan baku MSE yang dihasilkan. Ini berarti hasil dugaan kemungkinan maksimum akan mendekati fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya dengan memperbesar ukuran contoh.

Untuk keempat ukuran contoh, hasil dugaan dengan penduga kemungkinan maksimum bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) mempunyai nilai rata-rata MSE lebih kecil dibandingkan dengan nilai rata-rata MSE hasil dugaan kepekatan kernel. Begitu pula simpangan baku MSE yang dihasilkan. Kecuali simpangan baku MSE untuk ukuran contoh 25, simpangan baku MSE hasil dugaan kemungkinan maksimum lebih kecil dibandingkan simpangan baku MSE hasil dugaan kepekatan kernel.

Untuk memberikan gambaran, data MSE dari masing-masing hasil dugaan dengan menggunakan kepekatan kernel maupun kemungkinan maksimum disajikan dalam bentuk boxplot sebagai berikut:

Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50 Gambar 19.

(23)

25 25 25 25 25 N = MLE Gauss Epanechnikov Segitiga Seragam ,0000004 ,0000003 ,0000002 ,0000001 0,0000000 -,0000001 3 25 4 21 25 25 25 25

Gambar 22. Boxplot data MSE dari ukuran contoh 25 25 25 25 25 25 N = MLE Gauss Epanechnikov Segitiga Seragam ,0000003 ,0000002 ,0000001 0,0000000 -,0000001 25 37 23 13 13 13 13

Gambar 23. Boxplot data MSE dari ukuran contoh 50 25 25 25 25 25 N = MLE Gauss Epanechnikov Segitiga Seragam ,0000003 ,0000002 ,0000001 0,0000000 -,0000001 9 9 9 9 9

Gambar 24. Boxplot data MSE dari ukuran contoh 75 25 25 25 25 25 N = MLE Gauss Epanechnikov Segitiga Seragam ,00000014 ,00000012 ,00000010 ,00000008 ,00000006 ,00000004 ,00000002 0,00000000 -,00000000 18 9 9 9 9

Gambar 25. Boxplot data MSE dari ukuran contoh 100

Masing-masing gambar boxplot di atas terlihat bahwa data MSE hasil dugaan dengan kepekatan kernel untuk keempat fungsi kernel yang digunakan menghasilkan boxplot yang hampir sama. Sedangkan data MSE hasil dugaan dengan kemungkinan maksimum terlihat berbeda sendiri.

Dari boxplot untuk data MSE hasil dugaan dengan kemungkinan maksimum dengan ukuran contoh 25, terlihat ada satu nilai ekstrim yang membuat nilai simpangan baku-nya lebih besar dibandingkan keempat nilai simpangan baku MSE hasil dugaan dengan kepekatan kernel. Nilai ekstrim ini merupakan kontradiksi dari model yang sebenarnya. Karena contoh acak yang digunakan dari peubah acak dengan sebaran yang telah diketahui yaitu Gamma(3,100), maka diharapkan dugaan bagi fungsi kepekatan peluang-nya menghasilkan nilai MSE sekecil mungkin. Tetapi ada satu himpunan contoh dengan ukuran contoh 25 yang menghasilkan dugaan dengan nilai MSE yang ekstrim. Dalam kenyataan yang sebenarnya, ini mungkin saja terjadi karena kesalahan dalam pengukuran, pencatatan data, alat yang dipergunakan ataupun kesalahan-kesalahan lainnya, atau memang terjadi dengan peluang kecil. Oleh karena itu, data ekstrim mungkin saja tidak digunakan dalam analisis lanjutan.

(24)

KESIMPULAN

Pendugaan fungsi kepekatan peluang bagi suatu data yang dibangkitkan dari sebaran Gamma(3,100) dengan menggunakan penduga kepekatan kernel dengan kernel seragam, segitiga, epanechnikov dan gauss, dihasilkan empat nilai rata-rata MSE yang tidak berbeda nyata pada taraf 5% untuk setiap ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100.

Untuk menduga fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan menggunakan penduga kepekatan kernel, dari fungsi kernel seragam, segitiga, epanechnikov, dan gauss, direkomendasikan menggunakan fungsi kernel

epanechnikov atau segitiga yang menghasilkan grafik yang halus dan fungsi kernelnya sederhana.

Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan penduga kemungkinan maksimum lebih baik dibandingkan hasil dugaan dengan penduga kepekatan kernel.

Pada penduga kepekatan kernel maupun penduga kemungkinan maksimum, ukuran contoh mempengaruhi hasil dugaan. Semakin besar ukuran contoh, hasil dugaan semakin baik.

DAFTAR PUSTAKA

Härdle W, Simar L. 2003. Applied Multivariate Statistical Analysis. Berlin: Springer.

Hines WW, Montgomery DC. 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Edisi ke-2. Terjemahan Rudiansyah. Jakarta: UI-Press.

Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Edisi ke-6. New Jersey: Prentice Hall.

Parzen E. 1962. On estimation of a probability density function and mode. Ann Math Statist 33:1065-1076.

Purnaba IGP, Mangku IW. 2003. Suatu pengantar ke pemodelan stokastik. Di dalam: Buku II: Matematika dengan Mathematica. Pelatihan Pemodelan Matematika: Pengembangan dan Implementasinya dalam Komputer; Bogor, 4-16 Agu 2003. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA IPB & Bagpro PKSDM Ditjen Dikti.

Rose C, Smith MD. 2002. Mathematical Statistics with Mathematica. New York: Springer-Verlag

Rosenblatt M. 1956. Remarks on some nonparametric estimates of a density function. Ann Math Statist 27:832-837.

Ross SM. 2000. Introduction to Probability Model. Edisi ke-7. Florida: Academic Press Inc. Orlando.

Scott DW, Tapia RA, Thompson JR. 1977. Kernel density estimation revisited. Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications 1:339-372.

Silverman BW. 1986. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. London: Chapman and Hall.

Wand MP, Jones MC. 1995. Kernel Smoothing. London: Chapman and Hall.

(25)

(26)

Lampiran 1. Bukti Teorema 1

Teorema 1:

Misalkan K y( ) adalah suatu fungsi Borel yang memenuhi kondisi (2). Dan misalkan pula ( )g y memenuhi ( ) g y dy ∞ −∞∫ < ∞ Didefinisikan 1 ( ) ( ) n n n y g x K g x y dy h h ∞ −∞ ⎛ ⎞ = ∫ _⎜ _⎟ − ⎝ ⎠

dengan

{

h n( )

}

adalah barisan dari konstanta positif yang memenuhi persamaan (4). Maka untuk setiap titik x pada kekontinuan (.)g ,

lim _n( ) ( ) ( ) n g x g x K y dy ∞ →∞ = _−∞∫ . Bukti: (Parzen 1962) Perhatikan bahwa

{

}

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n y g x g x K y dy g x y g x K dy h h ∞ ∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞ − ∫ = ∫ − − ⎜_⎝ ⎟_⎠

Untuk suatu δ >0, pecah daerah integral menjadi dua daerah, yaitu y ≤δ dan y >δ. Maka

{

}

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sup ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 sup ( ) ( ) ( ) sup ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n z _h y n n y y n n y z _h z y g x g x K y dy g x y g x K dy h h g x y y y g x y g x K z dz K dy y h h y g x K dy h h g x y g x K z dz zK z g y dy g x K z dz δ _δ δ δ δ δ δ δ ∞ ∞ −∞ −∞ ≤ ≥ ≤ ≥ ∞ ∞ ≤ −∞ ≥ −∞ ≥ ⎛ ⎞ − ∫ = ∫ − − ⎜_⎝ ⎟_⎠ − ⎛ ⎞ ≤ − − ∫ +∫ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎛ ⎞ + ∫ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ≤ − − ∫ + ∫ + n h ∫

Untuk n→ ∞, karena h_n →0, bagian kedua dan ketiga menuju ke nol karena g y dy( ) ∞

−∞∫ < ∞ dan lim ( ) 0

y→∞ yK y

= . Dan untuk δ →0, bagian pertama menuju ke nol karena K y dy( ) ∞

−∞∫ < ∞ dan x adalah suatu titik pada kekontinuan g. ▄

(27)

Lampiran 2. Bukti Teorema 2

Teorema 2:

Penduga ˆf_n pada persamaan (1) dengan kendala (2) dan (3) merupakan penduga konsisten jika ditambahkan kendala

lim _n n→∞nh

= ∞.

Bukti: (Scott et al. 1977) Karena Var X( ) 1Var X( )

n = , maka 1 1 ˆ ( )n n n x X Var f x Var K n h h ⎡ ⎛ ₋ ⎞⎤ ⎡ ⎤ = _⎢ _⎜ _⎟_⎥ ⎣ ⎦ _⎣ _⎝ _⎠_⎦ Kemudian 2 2 1 1 1 1 1 1 _{( )} 0 jika lim n n n n n n n n n x y x X x X Var K E K K f y dy n h h n h h nh h h nh ∞ −∞ →∞ ⎧ ⎫ ⎡ ⎛ − ⎞⎤_≤ _⎨⎪⎡ ⎛ − ⎞⎤ ⎪_⎬₌ ⎡ _∫ ⎛ − ⎞ ⎤ ⎢ ⎜_⎝ ⎟_⎠⎥ ⎢ ⎜_⎝ _⎠⎟⎥ ⎢ _⎝⎜ ⎟_⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪⎩⎣ ⎦ ⎪⎭ ⎣ ⎦ → =∞ Sedangkan