Kalkulus Vektor

(1)

1 KALKULUS VEKTOR

Pada bab ini kita akan membahas tentang kalkulus Vektor, yang terdiri dari : 1. Medan Vektor

2. Integral Garis 3. Kebebasan Tapak

4. Teorema Green di Bidang 5. Integral Permukaan

6. Teorema Divergensi Gauss 7. Teorema Stokes

1. Medan Vektor

Medan Vektor merupakan daerah yang mengandung besaran medan vector yang berubah sekaligus arah dan besarnya pada setiap titik ruang. Dan di tulis sebagai fungsi. Contoh medan vector adalah medan gaya, medan listrik, medan potensial vector magnetic.

Menurut teori deferensial parsial:

   

T dl dz z T dy y T dx x T dT                              

mengingat dl = i dx + j dy + k dz, maka gradien suhu T = T = i j k z T y T x T        

merupakan besaran vektor dengan 3 komponennya masing-masing mempunyai arah sesuai dengan arah vektor satuan i, j, dan k. Jadi interpretasi geometris suatu gradien, seperti vektor yang mempunyai harga dan arah, dan ditulis dalam bentuk abstrak:

dengan  sudut antara T dengan dl, sehingga operator  didefinisikan dalam koordinat Cartesius sebagai: z y x           i j k

Seperti halnya vektor biasa, operator  dapat bekerja dengan 3 bentuk perkalian: 1. Bekerja pada fungsi skalar: T disebut gradien

(2)

2 3. Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian silang:  x V disebut rotasi atau curl.

Gradien

Gradien suatu fungsi scalar  adalah suatu vector yang harganya merupakan turunan berarah maksimum di titik yang sedang di tinjau, sedangkan arahnya merupakan arah turunan berarah maksimum di titik tersebut.

z k y j x i              Contoh

1. Gradien suatu fungsi r Ambil f(r) = f



x2 y2z2



 

z r f y r f x r f r f           i j k dengan

 

r x x z y x x r x r dx r df x r f               2 2 2 dan sehingga

 

dr df r dr df r dr r df r z r y r x r f _   ˆ₀                            i j k r misal ₀ 2 0 ˆ 1 1 ˆ 1 r r dr r d r r                    

2. Anggap bahwa permukaan yang diperhatikan merupakan kulit bola sepusat/konsentris, maka 



x,y,z



 x2 y2z2 r_i C_i konstandan

i

i C

r 

 

 adalah beda nilai pada kulit bola yang berbeda. Gradien :

 

ˆ0

 

rˆ0 dr r d r r    

(3)

3 Jelaslah bahwa turunan maksimum fungsi adalah dalam arah radial.

Divergensi

Divergensi suatu vector adalah limit integral permukaan persatuan volum, jika volum yang terlingkupi oleh permukaan tersebut mendekati nol.



     S d V F n a 0 V lim F 1

Dalam koordinat tegak lurus, divergensi:

z F y F x Fx y _z           .F

Arti fisis dari divergensi dapat dipahami seperti contoh pada mekanika fluida berikut: Jika v menyatakan kecepatan fluida sebagai fungsi kedudukan, dan  kerapatannya, maka

da S vn



 , jelas merupakan jumlah volum fluida persatuan waktu (atau debit) yang meninggalkan volum yang terlingkupi oleh S. Jadi jelaslah bahwa divergensi dapat ditafsirkan sebagai limit kuat sumber persatuan volum atau merupakan kerapatn sumber fluida tak termampatkan.

Teorema Divergensi/Teorema Gauss

Integral dari divergensi suatu vector pada volum V sama dengan integral permukaan komponen normal vector itu pada permukaan yang melingkupi V.



   S V FdV F nda r1 r2    0 ˆr x y z

(4)

4 Kita tinjau vector-vektor radial yang banyak muncul dalam masalah listrik magnet:





3 .                               z z y y x x z y x z y x j k i j k i r

Bagaimana divergensi perkalian vector dan fungsi scalar radial?

.

 



 





 





 



 

_                     dr df r z dr df r y dr df r x r f r f z z r f y y r f x x r f 2 2 2 3 r

 

dr df r r f r f     r 3 Bila f

 

r rn1, maka rrn1 3rn1



n1



rn1 



n2



rn1 Rotasi atau Curl

Rotasi suatu vector adalah limit angka banding antara integral perkalian silang vector itu dengan normal yang berarah ke luar di seluruh permukaan tertutup terhadap volum yang terlingkup oleh permukaan tersebut untuk untuk harga volum yang mendekati nol.



     S da V V n F F 1 0 lim

Perhatikan bahwa definisi rotasi sangat mirip dengan divergensi, bedanya dot dengan cross. Kita tinjau vector dan fungsi radial

 

r



 



r r        f r f r f r 0           z y x z y x k j i r , dan

 

dr r df r r f  ˆ₀  , sehingga

 

 ˆ₀ 0   r r r dr df r

f karena ˆr0 dan r arahnya sama.

Arti fisis rotasi suatu medan vector adalah setara dengan divergensi suatu medan vector. Namun bahwasanya medan vector ada yang bersifat divergen atau bersifat rotasional. Divergensi medan vector adalah rapat sumber dari medan vector yang bersifat divergen, sedang Rotasi medan vector menghasilkan rapat sumber dari suatu medan vector rotasional.

(5)

5 Operator Laplace . _                                 z y x z y x     i j k i j k   ₂ 2 2 2 2 2 2            z y x 2 2 2 2 2 2 2 z y x          

 , dinamakan operator Laplace

Cari g

 

r ? Dari contoh 1:

 

dr r dg r r g  ˆ₀ 

 

dr dg r dr r dg r r g  r    ˆ₀ Dari contoh 4:

 

3 2₂ ₂ 2 2₂ dr g d dr dg r dr dg r r dr g d r r dr dg r r g              2. Integral Garis

Definisi : Misal ⃗ suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan ⃗ adalah medan vektor yang didefinisikan pada lintasan ⃗. Integral ⃗ sepanjang ⃗ disebut integral garis.

∫ ⃗⃗ ⃗ ∫ , ⃗( )- ( ) Dalam hal ini

⃗⃗ ( ) sedangkan, ⃗ ( ) . Jadi dapat juga ditulis ∑ ∫ , ⃗( )- ( )

(6)

6 Dalam ruang dua dimensi (2D) pernyataannya menjadi → ( ) ( )

Dalam ruang dua dimensi (3D) pernyataannya menjadi → ( ) ( ) ( )

Sifat Integral Garis

1. ∫( ⃗ ⃗) ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ 2. Jika lintasannya adalah

maka ∫ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ c1 c3 cm c2 b a s(t)

3. Bila ab lintasan disebut lintasan tertutup, simbol



biasa digunakan

Contoh 1

Misalkan F

 

x,y  yi



x3y



j, 

 

x,y dengan y 0

Hitunglah kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan suatu partikel dari titik (0,0) ke titik (1,1) sepanjang lintasan berikut:

a. Garis dengan persamaan xt,y t,0t1 b. Garis dengan persamaan xt2,yt3,0t 1

b a 

(7)

7 Jawab : a. Jadi s xiyj s(t)ti tj

 

x y yi



x y



j F

 

t ti

 

t t j F ,   3     3     



     1 0 1 , 1 0 , 0 ) ( ) (t ds t F s d F W    









 

12 17 1 0 3 2 1 1 0 3 _       _ _       W

_

ti t t j i j dt

_

t t t dt y x a b 

 

x y s , , t y t x  

(8)

8 Jadi s xi yj s(t)t2it3j



ti t j



dt t s d  2 3 2 ) (   

 

x y yi



x y



j F ,   3 

 

t t i



t t



j F  32 6  3       s d F W 



   1 , 1 0 , 0 



_ 







_







1 0 2 3 6 2 3 3 2ti t j dt j t t i t     =





42 59 3 2 1 0 5 8 2 5      _ _



t t t dt

Catatan: jika suatu medan vektor Fadalah gradien dari medan skalar , maka  disebut potensial untuk F level set dari disebut permukaan ekipotensial.

Dalam 2D disebut garis-garis ekipotensial (equipotential line) jika, a.  menyatakan temperature  isothermal b.  menyatakan tekanan  isobaric c.  menyatakan density  isodensity

Contoh: (x,y,z)rm dengan _r ₍_x2  _y2 _z2₎12_,_{integer m medan vektor}

   ) , , (x y z F =(rm) =mrm1(r) = 1[ k] z r j y r i x r mrm             = 1[ k] r z j r y i r x mrm    = mrm2r Jadi , F(x,y,z)mrm2r

Sebagai latihan coba anda selesaikan soal ini. Massa m bergerak dalam orbit lingkaran dengan kecepatan sudut . Mengalami gaya sentrifugal F(x,y,z)m2r. Tunjukan bahwa potensial , akibat gaya F adalah ( )

2 1 ) , , (x y z  m2 x2  y2 z2  , r xi yj zk y x a b 

 

x y s , 3 2 t y t x  

(9)

9 3. KEBEBASAN TAPAK

Andaikan C kurva mulus sepotong-sepotong pada bidang xy, , yang dimulai di (x(a), y(a)) dan berakhir di (x(b), y(b)), a ≤ t ≤ b . Maka integral garis disebut bebas tapak apabila integral tersebut hanya dipengaruhi oleh titik awal dan titik akhir (tidak

dipengaruhi oleh bentuk kurva C). Artinya untuk setiap kurva yang mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama, maka integral garisnya sama.

Teorema A (Teorema Bebas Tapak)

Andaikan F(r) kontinu pada suatu himpunan tersambung terbuka D. Maka integral garis bebas tapak jika dan hanya jika F(r) = f (r) untuk suatu fungsi skalar f (F adalah

medan vektor konservatif). Contoh 13

Buktikan integral bebas tapak, kemudian

hitung integral tersebut. Jawab

Diketahui F = (y2 + 2xy)i + (x2 + 2xy)j. Maka f (x, y) = y2x + x2y + g(y)

= 2yx + x2 + g’(y) g’(y) = 0 g(y) = c

Jadi, terbukti F bebas tapak karena ada fungsi potensial f (x, y) = xy2 + x2y + c .

Maka,

Akibat Teorema

Pernyataan di bawah ini ekuivalen:

(10)

10 2. bebas tapak

3. untuk setiap tapak tertutup.

Contoh 14

Hitung , C adalah lingkaran dengan pusat di (0, 0) dan berjari-jari 2, orientasi positif.

Jawab

Dari contoh 13 F medan vektor konservatif dan C kurva tertutup, maka berdasarkan teorema

Teorema B (Teorema Rotasi)

Andaikan F = Mi + Nj + Pk dengan M, N, dan P kontinu bersama-sama dengan turunan parsial tingkat pertamanya ada pada himpunan tersambung D dengan tanpa lubang. Maka F konservatif jika dan hanya jika rot F = 0, yakni

(11)

11 Contoh 15

Buktikan F = (6xy3 + 2z2)i + 9x2y2j + (4xz + 1)k medan vektor konservatif Jawab

, ,

,

Maka diperoleh rot F = 0.

(12)

12 4. TEOREMA GREEN DALAM BIDANG

Misalkan P dan Q dua fungsi dengan dua variable, kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada suatu daerah R di bidang dan daerah ini di batasi oleh kurva C. Maka ∮ ( ) ( ) ∬ 0 1

Simbol ∮ berarti bahwa integral lengkungan diambil satu kali putar pada C dalam arah berlawanan jarum jam.

Teorema:

Jika R suatu daerah macam I atau II (kombinasi), maka luas daerah R tersebut adalah

∮

Dengan C batas daerah R Bukti:

Misal ( ) ( ) Dari Teorema Green

∮ ( ) ( ) ∬ [ ] ∬ ( ) ∬ Jadi ∮ ∬ ∮ Catatan:

(13)

13 Jika lengkungan C dapat diuraikan menjadi ∮ ∮ ∮ ∮ ∮

Contoh

(1) Dit : Tentukan luas daerah yang terkurung oleh ellips Jaw : Perhatikan atau 2 2 1 x y a b   _  _         Misal = cos t → 2 _{0 ≤ t ≤ 2π}

Kita gunakan A = ∮ ... (i) jadi, karena x = a cos t

dx = - a sin t dt

y = b sin t ... (ii) dy = b cos t dt

(ii) pada (i)

A = ∫ , - dt

A = ∫ * + = a b ∫ = π a b sat luas.

(2) Dit : Luas daerah R yang dibatasi lengkungan y = dan y = ⁄

(14)

14 Misal potongan kurva

C1 : y = ⁄ dari (1,1) → (0,0) C2 : y = dari (0,0) → (1,1) C = C1 + C2 Luas R : A = ∮ = ∮ + ∮ sepanjang C1 : y = ⁄ → dy = _⁄

dx , jadi dapat ditulis untuk lengkungan ini = ⁄ _{dx −} ⁄ _{dx = −} ⁄ _dx

C2 : y = → dy = dx jadi = dx − dx = dx Jadi A = ∫ . ⁄ / + ∫ = satuan luas

Theorema Green dalam bentuk vektor

1. Jika F F i₁ F j₂      F F i₁ F j₂     





2 1 1 2 R c F F dxdy F dx F dy x y        _ _   





(Skalar) 2. R c Curl F dxdy F d r      _    





(vektor) F1 C F2 z

(15)

15 Dalam hal ini

1 2 3 i j k Curl F x y z F F F            , dalam 3D Catatan : 3 1 2 V V V DivV x y z           Atau V i j k V i V j V k₁ ₂ ₃ x y z                _   __   _        f f f Gradf i j k x y z        _   _     





2 2 2 2 2 2 2 f f f Div Gradf f x y z           





Curl Gradf O   Ingat : DivV 

menghasilkan skalar Grad V



menghasilkan vektor x

(16)

16 5. Integral Permukaan

Andaikan permukaan G berupa grafik z = f(x, y) dengan (x, y) mempunyai jangkauan atas persegi panjang R pada bidang xy. Andaikan P suatu partisi yang membagi R menjadi n-buah persegipanjang bagian Ri; menghasilkan padanan partisi permukaan G menjadi n-potongan

Gi. Pilih titik di Ri dan tetapkan = ) adalah titik yang

berpadanan di Gi , maka definisi integral permukaan adalah

Definisi di atas tidak praktis untuk perhitungan integral permukaan, sehingga diperlukan cara yang praktis untuk menghitung integral permukaan.

Teorema Integral Permukaan

Andaikan G suatu permukaan berupa grafik dengan di R. Jika f mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dan kontinu

pada R , maka

dengan adalah sudut antara normal satuan ke atas n di dan sumbu z positif. Contoh 1

Hitung dengan G adalah bagian dari kerucut z2 = x2 + y2 di antara bidang z = 1 dan z = 4.

Jawab

didapat

(17)

17 1.2 Fluks Medan Vektor Menembus Permukaan

Permukaan yang dimaksud adalah permukaan dengan dua sisi, yaitu seperti pita m bius Misalkan permukaan ini mulus, maka ia memiliki suatu vektor normal satuan n yang berubah-ubah. Andaikan G suatu permukaan dua sisi yang demikian mulus dan anggap bahwa ia terendam di dalam fluida dengan suatu medan vektor F hampir konstan, dan volume fluida V yang melewati potongan ini dalam arah normal satuan n adalah

V F . n S Fluks F melintasi G =

(18)

18 6. Teorema Gauss

Andaikan S suatu benda pejal tertutup dan terbatas dalam ruang dimensi-3, yang secara lengkap dicakup oleh suatu permukaan mulus sepotong-sepotong S (gambar 12)

z

n

y

x Gambar 12

Teorema Gauss

Andaikan F = Mi + Nj + Pk suatu medan vektor demikian sehingga M, N, dan P mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada S dan batasnya S. Jika n menyatakan normal satuan terluar terhadap S , maka

atau

Bukti

Pertama tinjau kasus dimana S adalah x sederhana, y sederhana, dan z sederhana. Cukup menunjukan bahwa

Cukup membuktikan yang ketiga, karena yang lain serupa.

Karena S adalah z sederhana, maka S dapat dijelaskan oleh . Seperti pada gambar 13, S terdiri dari tiga bagian; S1 yang berpadanan dengan ; S2 yang berpadanan dengan ; dan permukaan S3 samping yang boleh kosong; pada S3 cos = cos 900 = 0, sehingga dapat diabaikan.

(19)

19 Jadi,

Contoh 1

Hitung fluks medan vektor F = x2i + 2xzj +yz3k melewati permukaan benda pejal persegipanjang S yang ditentukan oleh ; 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.

Jawab

M = x2 , maka , N = 2xz, maka

P = yz3 , maka

(20)

20 Perluasan dan Penerapan

Benda pejal S dapat diperluas untuk benda pejal berlubang seperti keju swiss, asal saja mensyaratkan n menunjuk menjauhi bagian dalam benda pejal tersebut. Andaikan S adalah kulit benda pejal antara dua bola sepusat yang berpusat di titik asal. Teorema Gauss berlaku asal saja S terdiri atas dua permukaan (permukaan luar dengan n menunjuk menjauhi titik asal dan permukaan dalam dengan n menunjuk ke arah titik asal)

Contoh 2

Andaikan S benda pejal yang ditentukan oleh 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 dan F = xi + (2y + z)j + (z + x2)k. Hitung

(21)

21 7. Teorema Stokes

Andaikan S, S, dan n seperti yang ditunjukkan di atas dan andaikan F = Mi + Nj + Pk adalah suatu medan vektor dengan M, N, dan P mempunyai turunan parsial tingkat pertama kontinu pada S dan batasnya S, maka

Bukti : pada kuliah kalkulus lanjut Contoh 1

Periksa kebenaran teorema stokes untuk F = yi – xj + yzk jika S adalah paraboloid dengan lingkaran sebagai batasnya

S

n

S

Jawab

Persamaan parameter untuk S adalah x = cos t ; y = sin t ; z = 1, maka dz = 0 dan

cara langsung

Menggunakan teorema stokes

Curl F = F =

(22)

22

KESIMPULAN

Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering disebut analisis vektor dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa berbeda-beda.

Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla.Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu: Gradien, Divergensi, Curl, Laplacian.