Kunci Kalkulus Lanjut 2 Kunci Kalkulus Lanjut 2
Integral Garis Integral Garis
Rombel 04 (Kamis Pukul 07.00 WIB) Rombel 04 (Kamis Pukul 07.00 WIB) Kelompok 1
Kelompok 1 1.
1. Hitunglah integral garisHitunglah integral garis∫∫ di sepanjang kurva C yang persamaandi sepanjang kurva C yang persamaan parametriknya adalah
parametriknya adalah .. (Purcell, kalkulusjilid 2 edisikedelapan, hal. 361) (Purcell, kalkulusjilid 2 edisikedelapan, hal. 361) Penyelesaian : Penyelesaian : Karena dx = 2t dt dan dy = Karena dx = 2t dt dan dy = dtdt ∫∫ ==∫∫ = = ∫∫ = =∫∫ = = 22 3 3 0 0 8 8 6 6 2 2 1 1 3 3 1 1 t t t t = = = = = = 2.
2. Tunjukkan bahwa integral garis yang diberikan bebas darTunjukkan bahwa integral garis yang diberikan bebas dar i lintasan dan kemudian hitunglahi lintasan dan kemudian hitunglah integralnya!
integralnya!
(Purcell, kalkulusjilid 2 edisi ke delapan, hal. 369) (Purcell, kalkulusjilid 2 edisi ke delapan, hal. 369) Penyelesaian : Penyelesaian :
Jadi integral garis ini bebas lintasan Jadi integral garis ini bebas lintasan
∫∫ ∫∫
Jadi Jadi Jadi∫ [ ]((10,,10,1,0)) = 3+2+1 = 6
3. Hitung∫ di sepanjang lintasan C = seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Hitung pula integral ini di sepanjang lintasan lurus dari (0,2) ke (3,5). ( Purcell, kalkulusjilid 2 edisi kedelapan,hal.361 )
Y (3,5) C3 C2 (0,2) C1 (3,2) X Penyelesaian : Pada C1, y = 2, dy = 0 dan 2 18 3 0 2 x PadaC2, x = 3, dx = 0, dan 117 5 2 3 y Sehingga
PadaC3, y = x +2, dy = dx, sehingga =∫ = 2 ]30 = 2 = Kelompok 2
1. Hitunglah∫ dan ∫ dimana C adalah kurva F(t) = t i + t2 j dengan 0 ≤ t ≤ 1.
( Sugiman. Kalkulus Lanjut. Halaman : 159 ) Jawaban : ∫ dan ∫ Penyelesaian: Diperoleh : x = t y = t2 Sehingga , [] []
2. Tentukan luas permukaan pada tabung yang berada pada kuadran I dan di bawah bidang z = 2 – x!
Jawaban : L = (satuan luas Penyelesaian : z 2 0 C 2 y 2 x
Dalam parameter θ, kurva C dinyatakan sebagai x = 2 cos θ , y = 2 sin θ dengan 0 ≤ θ ≤ π/2. Misal s adalah panjang busur dengan sudut pusat θ dan merupakan bagian dari kurva C, maka :
Diperoleh :
Sehingga luas permukaannya adalah :
Jadi luas permukaan bidang C adalah (satuan luas.
3. Hitunglah∫ , dimana C ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 cos t , y = 3 sin t, 0
≤ t ≤ !
Tunjukkan pula bahwa parametrisasi x = , y = y , 0 ≤ y ≤ 3 menghasilkan nilai yang
sama !
( Purcell. Kalkulus Edisi Kedelapan. Halaman : 358 ) Jawaban : ∫ Penyelesaian : x = 3 cos t y = 3 sin t Sehingga , []
x = = y = y Sehingga, [] * + Kelompok 3
1. Hitung∫ , dengan C ditentukan oleh persamaan parameter
. Buktikan juga bahwa parameter , memberikan nilai yang sama. (27). (Purcell Jilid 2 Edisi 5.Hal 379)
Selesaian :
Jelas
,
Jadi∫ ∫ ()
√ []
Untuk parameterisasi kedua,
Jelas Jadi∫ ∫ []
Jadi terbuti bahwa parameterisasi memberikan nilai yang sama yaitu 27.
2. Hitung integral garis ∫ sepanjang kurva C yang persamaan-persamaannya adalah .
.(Pucell Jilid 2 Edisi 5.Hal 383). Selesaian : Jelas dt , Jadi∫ ∫
. [] []
3. Diketahui adalah kurva
Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gayadalam memindahkan partikel sepanjang kurva
. ( Purcell Jilid 2 Edisi 5.Hal 385 ). Selesaian: Jelas Jadi ∫ [ ]
Jadi kerja yang dilakukan oleh medan gaya dalam memindahkan partikel sepanjang kurva adalah
.
Kelompok 4
1. Hitunglah∫ dan∫ dimana C adalah kurva F(t)= t i + t2 j dengan 0≤ t≤1. ( Sugiman. Kalkulus Lanjut. Halaman : 159 )
Jawaban : ∫ dan ∫ Penyelesaian: Diperoleh : x = t y = t2 Sehingga , [] []
2. Tentukan luas permukaan pada tabung yang berada pada kuadran I dan di bawah bidang z = 2 – x!
( Sugiman. Kalkulus Lanjut. Halaman : 162 ) Jawaban : L = (satuan luas
Penyelesaian : z 2 0 C 2 y 2 x
Dalam parameter θ, kurva C dinyatakan sebagai x = 2 cos θ , y = 2 sin θ dengan 0 ≤ θ ≤ π/2. Misal s adalah panjang busur dengan sudut pusat θ dan merupakan bagian dari kurvaC, maka :
Diperoleh :
Sehingga luas permukaannya adalah :
Jadi luas permukaan bidang C adalah (satuan luas.
3. Hitunglah∫ , dimana C ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 cos t , y = 3 sin t, 0
≤ t ≤ !
Tunjukkan pula bahwa parametrisasi x = , y = y , 0 ≤ y ≤ 3 menghasilkan nilai yang
sama !
( Purcell. Kalkulus Edisi Kedelapan. Halaman : 358 ) Jawaban : ∫
Penyelesaian :
x = 3 cos t y = 3 sin t
[] x = = y = y
Sehingga, [] * + Kelompok 5
1. Hitung integral garis∫ sepanjang kurva C yang persamaan-persamaannya adalah .Pucell Jilid 2 Edisi 5.Hal 383). Selesaian : Jelasdt , Jadi∫ ∫ [] []
2. Hitung∫ , dengan C ditentukan oleh persamaan parameter
. Buktikan juga bahwa parameter , memberikan nilai yang sama. (Purcell Jilid 2 Edisi 5.Hal 379)
Selesaian : Jelas , Jadi∫ ∫ () ∫ ∫ ∫ √ ∫ ∫ √ []
Untuk parameterisasi kedua,
Jelas Jadi∫ ∫ ∫ ∫
3*∫ ()+
[]
Jadi terbukti bahwa parameterisasi memberikan nilai yang sama yaitu 27.
3. Diketahui adalah kurva Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya dalam memindahkan partikel sepanjang kurva. ( Purcell Jilid 2 Edisi 5.Hal 385 ).
Selesaian: Jelas Jadi ∫ [ ] Strategi:
Jadi kerja yang dilakukan oleh medan gaya dalam memindahkan partikel sepanjang kurva adalah .
Kelompok 6
1. Hitunglah∫ dengan C ditentukan oleh persamaan ,
Penyelesaian : 27
(Sumber : Kalkulus Lanjut, Sugiman, hal.150) Jelas , Jadi∫ ∫ () ∫ ∫ ∫ √ ∫ ∫ √ []
Untuk parameterisasi kedua,
Jelas
Jadi∫ ∫ ∫ ∫ 3*∫ ()+ []
Jadi terbukti bahwa parameterisasi memberikan nilai yang sama yaitu 27.
2. Tentukan luas permukaan pada tabung yang berada pada kuadran I dan dibawah bidang
Penyelesaian :
(Sumber : Kalkulus Lanjut, Sugiman, hal.154) z 2 0 C 2 y 2 x
Dalam parameter θ, kurva C dinyatakan sebagai x = 2 cos θ , y = 2 sin θ dengan 0 ≤ θ ≤ π/2. Misal s adalah panjang busur dengan sudut pusat θ dan merupakan bagian dari kurva C, maka :
Diperoleh :
Sehingga luas permukaannya adalah :
Jadi luas permukaan bidang C adalah (satuan luas.
3. Hitung integral garis∫ sepanjang kurva C yang persamaan-persamaannya adalah .Pucell Jilid 2 Edisi 5.Hal 383). Selesaian : Jelasdt , Jadi∫ ∫ [] []
