Kalkulus Multivariabel I

(1)

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Integral Garis

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

(2)

Integral Garis

Salah satu jenis generalisasi integral tentu

b

R

a

f (x )dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan berdimensi tiga.

Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh dengan

menggantikan [a, b] dengan kurva C pada bidang xy . Integral yang dihasilkanR

C

f (x , y )ds disebut integral garis atau integral kurva.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

(3)

Misalkan C adalah sebuah kurva bidang mulus; dalam hal ini, misalkan C dinyatakan secara parametris dengan

x = x (t), y = y (t), a ≤ t ≤ b

di mana x⁰ dan y⁰ kontinu dan tidak secara simultan nol pada (a, b).

(4)

Kita mengatakan bahwa C berorientasi positif jika arahnya berhubungan dengan peningkatan nilai-nilai t. Andaikan C berorientasi positif dan C hanya dapat ditelusuri sekali ketika t berubah dari a ke b. Jadi, C mempunyai titik awal

A = (x (a), y (a)), dan titik akhir B = (x (b), y (b)). Perhatikan pembagian partisi P dari selang parameter [a, b] yang diperoleh dengan memasukkan titik-titik

a = t₀ < t₁ < t₂< . . . < t_n= b

(5)

Partisi dari [a, b] ini menghasilkan pembagian kurva C menjadi n subbusur P_{i −1}P_i di mana titik P_i berhubungan dengan t_i.

(6)

Misalkan ∆si melambangkan panjang busur Pi −1Pi dan misalkan

|P| merupakan aturan untuk mempartisi P; yaitu misalkan |P|

adalah ∆t_i terbesar = t_i − t_{i −1}. Pilih sebuah titik contoh Q_i(¯x_i, ¯y_i) pada subbusur Pi −1Pi.

Selanjutnya, lihat jumlah Riemann

n

X

i =1

f (¯x_i, ¯y_i)∆s_i

(7)

Jika f taknegatif, jumlah ini akan menghampiri luas tirai vertikal melengkung yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

(8)

Jika f kontinu pada daerah D yang mengandung kurva C , maka jumlah Riemann ini memiliki sebuah limit ketika |P| → 0. Limit ini disebut integral garis dari f di sepanjang C dari A ke B

terhadap panjang busur, dalam hal ini Z

C

f (x , y )ds = lim

|P|→0 n

X

i =1

f (¯x_i, ¯y_i)∆s_i

(9)

Untuk f (x , y ) ≥ 0, fungsi tersebut mewakili luas eksak dari tirai melengkung. Hasil perhitungan terbaik dapat dicapai dengan menyatakan segala sesuatunya dengan menggunakan parameter t dan menghasilkan integral tentu biasa. Dengan menggunakan ds =p[x⁰(t)²] + [y⁰(t)²] akan dihasilkan

Z

C

f (x , y )ds =

b

Z

a

f (x (t), y (t)) q

[x⁰(t)²] + [y⁰(t)²]dt

(10)

Definisi dari sebuah integral garis dapat diperluas untuk kasus di mana C , meskipun tidak mulus seluruhnya, adalah mulus sepotong-sepotong yaitu, terdiri dari beberapa kurva mulus C1, C2, . . . , Ck yang digabung, seperti ditunjukkan Gambar 3.4.

Kita tinggal mendefinisikan integral di sepanjang C sebagai jumlah dari integral-integral pada kurva-kurva individunya.

(11)

Contoh 1:

HitungR

C

x²y ds, di mana C ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 cos t, y = 3 sin t, 0 ≤ t ≤ π/2. Tunjukkan pula bahwa parametrisasi x =p

9 − y², y = y , 0 ≤ y ≤ 3 menghasilkan nilai yang sama.

(12)

Penyelesaian:

Parametrisasi I

Z

C

x²y ds =

π/2

Z

0

(3 cos t)²(3 sin t) q

(−3 sint)²+ (3 cos t)²dt

= 81

π/2

Z

0

cos²t sin t dt =

−81 3 cos³t

π/2 0

= 27

(13)

Parametrisasi II

da = s

1 + dx dy

2

dy = s

1 + y²

9 − y²dy = 3 p9 − y²dy dan

Z

C

x²y ds =

3

Z

0

(9 − y²)y 3 p9 − y²dy

= 3

3

Z p

9 − y²y dy

(14)

Contoh 2:

Sebuah kabel tipis dibengkokkan dalam bentuk setengah lingkaran x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ π, a > 0

Jika kerapatan kabel di sebuah titik sebanding dengan jaraknya dari sumbu x , tentukan massa dan pusat massa kabel tersebut.

(15)

Penyelesaian:

Gunakan prinsip iris, hampiri, dan integralkan. Massa seutas kabel dengan panjang ∆s dapat dihampiri dengan δ(x , y )∆s, di mana δ(x , y ) = ky adalah kerapatan di (x , y ) (k adalah konstanta).

Jadi, massa m di seluruh kabel adalah

m = Z

C

ky ds =

π

Z

0

ka sin tp

a²sin²t + a²cos²tdt

= ka²

π

Z

sin t dt = [−ka²cos t]^π₀ = 2ka²

(16)

Momen kabel tersebut terhadap sumbu x dinyatakan dengan

M_x = Z

C

y ky ds =

π

Z

0

ka³sin²t dt

= ka³ 2

π

Z

0

(1 − cos 2t)dt

= ka³ 2

t − 1

2sin 2t

π 0

= ka³π 2 Jadi,

¯ y = M_x

m =

1 2ka³π

2ka² = 1 4πa

Berdasarkan sifat simetri, ¯x = 0, sehingga pusat massanya ada di (0, πa/4).

(17)

Contoh 3:

Tentukan massa dari seutas kabel dengan kerapatan δ(x , y , z) = kz jika kabel ini mempunyai bentuk heliks C dengan parametrisasi

x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4t 0 ≤ t ≤ π

(18)

Penyelesaian:

m = Z

C

kz ds = k

π

Z

0

(4t)p

9 sin²t + 9 cos²t + 16dt

= 20k

π

Z

0

t dt =

20kt²

2

π 0

= 10 kπ²

Satuan untuk m bergantung pada panjang dan kerapatannya.

(19)

Contoh 4:

Hitung integral garis Z

C

(x²− y²) dx + 2xy dy

di sepanjang kurva C yang persamaan parametriknya adalah x = t², y = t³, 0 ≤ t ≤ ³₂.

Penyelesaian:

Karena dx = 2t dt dan dy = 3t²dt, Z

C

(x²− y²) dx + 2xy dy =

3/2

Z

0

[(t⁴− t⁶)2t + 2t⁵(3t²)]dt

(20)

Contoh 5:

HitunglahR

C

xy²dx + xy²dy di sepanjang lintasan C = C1∪ C₂ seperti ditunjukkan gambar. Hitung pula integral ini di sepanjang lintasan lurus C₃ dari (0, 2) ke (3, 5).

(21)

Penyelesaian:

Pada C₁, y = 2, dy = 0, dan

Z

C1

xy²dx + xy²dy =

3

Z

0

4x dx = [2x²]³₀= 18

Pada C2, x = 3, dx = 0, dan Z

C2

xy²dx + xy²dy =

5

Z

2

3y²dy = [y³]⁵₂ = 117

Kita dapat menyimpulkan bahwa

(22)

Pada C3, y = x + 2, dy = dx , sehingga

Z

C3

xy²dx + xy²dy = 2

3

Z

0

x (x + 2)²dx

= 2

3

Z

0

(x³+ 4x²+ 4x )dx

= 2 x⁴ 4 +4x³

3 + 2x²

3 0

= 297 2 Perhatikan bahwa kedua lintasan dari (0, 2) ke (3, 5) menghasilkan nilai yang berbeda untuk integral ini.

(23)

Latihan

1 Hitunglah setiap integral garis berikut a. R

C

(x³+ y )ds; C adalah kurva x = 3t, y = t³, 0 ≤ t ≤ 1 b. R

C

xe^yds; C adalah ruas garis dari (−1, 2) ke (1, 1) c. R

C

(x + 2y )dx + (x − 2y )dy ; C adalah ruas garis dari (1, 1) ke (3, −1)

(24)

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.

Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga.

Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.