BAB 4 MATRIK
1. Operasi Penjumlahan Pada Matriks Dan Sifat-Sifatnya Masalah 2.1
Dua orang bersaudara laki-laki dan perempuan membuka dua cabang toko kue di Padang dan di Medan. Toko kue itu menyediakan 2 jenis kue, yaitu; bronis dan bika ambon. Biaya untuk bahan ditangani oleh saudara perempuan dan biaya untuk chef ditangani oleh saudara laki-laki. Biaya untuk tiap-tiap kue seperti pada tabel berikut:
Tabel Biaya Toko di Padang Tabel Biaya Toko di Medan
Bronis Bika Ambon Bronis Bika Ambon
Bahan Kue 1.000.000 1.200.000 Bahan Kue 1.500.000 1.700.000
Chef 2.000.000 3.000.000 Chef 3.000.000 3.500.000
Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue? Alternatif Penyelesaian
Jika kita misalkan matriks biaya di Padang, sebagai matriks A dan matriks biaya di Medan sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikan sebagai berikut.
(
) (
) Total biaya yang dikeluarkan kedua toko kue tersebut dapat diperoleh, sbb : Total biaya bahan untuk bronis = 1.000.000 + 1.500.000 = 2.500.000
Total biaya bahan untuk bika ambon = 1.200.000 + 1.700.000 = 2.900.000 Total biaya chef untuk bronis = 2.000.000 + 3.000.000 = 5.000.000
Total biaya chef untuk bika ambon = 3.000.000 + 3.500.000 = 6.500.000 Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks berikut:
Tabel Biaya Pembuatan Kue Bronis Bika Ambon Bahan Kue 2.500.000 2.900.000
Chef 5.000.000 6.500.000
Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkan matriks A & B. ( ) ( ) ( ) ( )
Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan karena kedua matriks biaya memiliki ordo yang sama, Seandainya ordo kedua matriks biaya berbeda, kita tidak dapat melakukan penjumlahan dua matriks
Definisi 2.1 (Perkalian Matrik dengan Matrik)
Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks berordo 𝑚 × 𝑛 dengan elemen-elemen 𝑎𝑖𝑗 dan 𝑏𝑖𝑗. Matriks 𝐶 adalah jumlah matriks 𝐴 dan matriks 𝐵, ditulis 𝐶 𝐴 𝐵, dengan elemen-elemen ditentukan oleh 𝑐𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 (untuk semua 𝑖 dan𝑗).
Catatan:
Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.
Masalah 1.1 merupakan salah satu contoh penerapan penjumlahan matrik dengan matrik. Jika biaya pembuatan Kue di medan naik dua kali lipat maka matrik biaya bisa dituliskan sebagai matrik .
( ) ( ) ( × × × × ) ( ) Contoh 2.1 Jika matrik ( ) ( ) ( ) Tentukan nilai dan !
Penyelesaian
( ) ( ) Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh
atau
– atau – atau Jadi diperoleh nilai dan
Masalah 2.2
Perhatikan masalah di bawah ini!
Di suatu pasar terdapat dua orang pedagang mangga, jenis buah yang dijual antara lain mangga dengan kualitas tinggi dan mangga dengan kualitas sedang. Pedagang satu memiliki 3 kg mangga kualitas tinggi dan 6 kg mangga kualitas sedang. Pedagang kedua memiliki 1 kg mangga dengan kualitas tinggi dan 8 kg mangga kualitas sedang. Keesokan harinya kedua pedagang tersebut berbelanja untuk menambah persediaan mangganya. Pedagang satu menambah 20 kg mangga berkualitas tinggi dan 15 mangga kualitas sedang, sedangkan pedagang kedua menambah 20 kg mangga kualitas tinggi dan 10 kg mangga kualitas sedang. Berapakah persediaan mangga setiap pedagang sekarang?
Definisi 2.2
Misalkan 𝐵 sebuah matriks dengan ordo 𝑛 × 𝑚 𝑛 ∈ 𝑁. Hasilnya penjumlahan matriks 𝐵 sebanyak 𝑘 dengan 𝑘 ∈ 𝑁 adalah 𝑘𝐵, ditulis 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝑘
𝑘𝐵 dan matriks 𝑘𝐵 berordo 𝑛 × 𝑛
Alternatif penyelesaian
Pedagang satu dan pedagang dua memiliki mangga kualitas tinggi dan sedang dan pada hari berikutnya kedua pedagang menambah persediaan mangga seperti tabel di bawah ini:
Persediaan mangga sebelum penambahan Tambahan persediaan mangga Kualitas tinggi Kualitas sedang Kualitas tinggi Kualitas sedang Pedagang I 3 6 Pedagang I 20 15 Pedagang II 1 8 Pedagang II 20 10
Jika kita misalkan matriks persediaan buah mangga sebelum penambahan sebagai matriks dan sesudah penambahan sebagai matriks . Matriks dan disajikan sebagai berikut.
( ) ( )
Maka jumlah keseluruhan persediaan mangga dapat diperoleh sebagai berikut
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Berdasarkan hasil operasi di atas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matriks
Contoh 2.2
Diberikan matriks ( ) ( ) dengan hasil penjumlahan matriks (
). Tentukan matriks dan ! Alternatif penyelesaian
Berdasarkan Sifat-2.1 di atas, , sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) (
)
( ) (
)
Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, maka diperoleh
; ; , dan . Dari keempat persamaan ini diperoleh nilai , dan .
diperoleh . maka
Sifat 2.1 (Sifat Komutatif Penjumlahan Matrik)
Misalkan matriks 𝐴 dan 𝐵 berordo 𝑛 × 𝑘. Penjumlahan matriks A dan B memenuhi sifat komutatif jika dan hanya jika 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴
Dengan demikian matriks ( ) ( × ) ( ) ( ) ( × ) ( ) Contoh 2.3 Misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )
Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matrik ( ) ( )
Sifat 2.2 (Sifat Assositif Penjumlahan Matrik)
Misalkan matriks 𝐴 , 𝐵 dan 𝐶 berordo 𝑛 × 𝑘. Penjumlahan matriks 𝐴 , 𝐵 dan 𝐶 memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika 𝐴 (𝐵 𝐶) (𝐴 𝐵) 𝐶
2. Pengurangan Dua Matriks Masalah 2.3
Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10 % dari harga perolehan sebagai berikut: Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks!
Jenis Aktiva Harga Perolehan (Rp) Penyusutan Tahun I (Rp) Harga Baku (Rp)
Mesin A 25.000.000 2.500.000
Mesin B 65.000.000 6.500.000
Mesin C 48.000.000 4.800.000
Alternatif penyelesaian
Misalkan: Harga perolehan merupakan matriks (
) dan
Penyusutan tahun I merupakan matriks (
) Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah
( ) ( ) ( )
Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita diterapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks dengan matriks .
Misalkan dan adalah matriks-matriks berordo × . Pengurangan matriks dengan matriks didefinisikan sebagai jumlah matriks dan lawan matriks – , ditulis: ( ).
Matriks – merupakan matriks yang setiap unsurnya berlawanan tanda dengan setiap unsur yang bersesuaian dengan matriks .
3. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks
Dalam aljabar matriks, bilangan real sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks. Pada kajian pengurangan dua matriks, ( ), (– ) dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua elemen matriks . Artinya, matriks (– ) dapat kita tulis sebagai : – , dengan – .
Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut.
Misalkan suatu matriks berordo × dengan elemen-elemen dan adalah suatu bilangan real. Matriks adalah hasil perkalian bilangan real kdengan matriks , dinotasikan , bila matriks berordo × dengan elemen-elemennya ditentukan oleh :
4. Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifatnya Masalah 2.4
P.T Melodi adalah sebuah perusahaan multinasional yang bergerak di bidang penjualan alat-alat musik. Perusahaan tersebut memiliki beberapa toko penjulan di beberapa kota besar di Indonesia. Persediaan alat-alat olah raga di setiap toko disajikan pada tabel berikut.
Tabel Alokasi setiap sumber yang tersedia Tabel harga satuan alat musik
Sumber Jenis Alat Musik Jenis Alat Musik Harga (Rp)
Piano Gitar Terompet
Medan 95 68 85 Piano 15.000.000,–
Surabaya 70 57 120 Gitar 1.500.000,–
Yogya 45 90 87 Terompet 5.000.000,–
Setiap toko di masing-masing kota telah berhasil menjual berbagai jenis alat musik yang disajikan pada tabel berikut.
Tabel Alokasi setiap sumber yang tersedia Kota/
Terjual
Jenis Alat Musik
Piano Gitar Terompet
Medan 85 56 84
Surabaya 55 52 85
Yogya 42 60 67
Amatilah data di atas dan tentukan nilai dari a. Nilai persediaan alat musik seluruhnya! b. Penghasilan kotor perusahaan P.T Melodi Alternatif Penyelesaian
Misalkan P adalah matriks yang menyatakan persediaan alat musik di setiap kota dan matriks H adalah matriks yang menyatakan harga untuk setiap jenis alat musik serta T adalah matriks yang menyatakan banyaknya barang yang telah berhasil dijual di setiap kota. Matriks P, H, dan T dapat ditulis sebagai berikut.
( ) ( ) ( )
Nilai Barang Keseluruhan (
) × ( ) ( × × × × × × × × × ) ( ) ( )
Catatan: Matriks A dan B dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.
Contoh 2.4
Mari kita tentukan hasil perkalian matriks (
) × (
) dengan menggunakan konsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh:
( ) × ( ) ( ) ( ) Contoh 2.5 Misalkan Matriks ( ) ( ) ( ) × ( × ) ( ) × (( ) × ( )) × ( × ) ( ) × ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) × ( × ) ( ) × ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) × ( × ) ( ) ( × ) × (( ) × ( )) × ( ) ( × ) × ( ) × ( ) ( × ) × ( )
Dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan × ( × ) ( × ) × . Definisi 2.3
Misalkan 𝐴 𝑎𝑖𝑗 adalah matriks yang berordo 𝑚 × 𝑝 dan 𝐵 𝑏𝑖𝑗 adalah matriks yang berordo 𝑞 × 𝑛.
Hasil kali matriks A dan B adalah suatu matriks C berordo 𝑚 × 𝑛 dinotasikan 𝐴 × 𝐵 𝐶 𝐶𝑖𝑗 berordo 𝑚 × 𝑛 dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah: 𝐶𝑖𝑗 𝑎𝑖1× 𝑏1𝑗 𝑎𝑖2× 𝑏2𝑗 ⋯ 𝑎𝑖𝑝× 𝑏𝑝𝑗, dengan i= 1,2,3, …, m; dan j= 1,2,3,…,n.
Sifat 2.3 (Sifat Assositif Perkalian Matrik)
Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo p × q dengan m, n, p, q ∈ N. Perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) (𝐴 × 𝐵) × 𝐶
Misalkan Matriks ( ) ( ) ( ) × ( ) ( ) × (( ) ( )) × ( ) ( ) × ( ) × ( ) ( ) ( × ) ( × ) (( ) × ( )) (( ) × ( )) ( × ) ( × ) ( ) ( ) ( × ) ( × ) ( )
Dari perhitungan di atas, disimpulkan bahwa × ( ) ( × ) ( × )
Uji Kompetensi 2.1
1. Hasil penjumlahan matriks ( ) (
) ( ) Tentukan nilai p dan q! 2. Misalkan matriks ( ) ( ), Bila 3A = B, Tentukan nilai p dan q! 3. Diberikankan matriks ( ) ( ) ( ), Tunjukkan bahwa A+ B= B2 + C.!
4. Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut! a. ( ) × ( ) c. ( ) ( ) b. ( ) ( ) d. ( ) ( ) Sifat 2.4 (Sifat Distributif Perkalian Matrik)
Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo p × q dengan m, n, p, q ∈ N. Perkalian matriks memenuhi sifat Distributif jika dan hanya jika 𝐴 × (𝐵 𝐶) (𝐴 × 𝐵) (𝐴 × 𝐶)
Definisi 2.5
Misalkan matriks A berordo p× q dan n ∈ N. 𝐴𝑛 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 × … × 𝐴 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
5. Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I terdiri atas 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan 4 kali makan. Paket II dengan 4 malam menginap, 5 tempat wisata dan 8 kali makan. Paket III dengan 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan tidak 1 makan. Sewa hotel Rp 250.000,00 per malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp 35.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 75.000,00.
a. Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket.
b. Paket mana yang menawarkan biaya termurah?
6. Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa Timur. Perusahaan angkutan tersebut mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif, Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah kursi penumpang tiga jenis bus tersebut disajikan pada tabel di bawah ini.
Tabel Jumlah kursi Penumpang Tabel jumlah penumpang
Jenis Bus Kategori
penumpang Jumlah penumpang Excecutif Economi AC Umum 40 42 41 Umum 123 Mahasiswa 33 41 35 Mahasiswa 109 Pelajar 30 39 28 Pelajar 94
Berapa banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut? 5. Determinan Matriks.
Masalah 2.5
Siti dan teman-temannya makan di sebuah warung. Mereka memesan 3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, Beni datang dan teman-temannya memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp 70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp 115.000,00 untuk semua pesanannya, berapakah harga satu porsi ayam penyet dan es jeruk per gelasnya?
Alternatif Penyelesaian
Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan dengan matriks.
Misalkan : = harga satu porsi ayam penyet = harga es jeruk per gelas
Sistem persamaan linearnya: { Dalam bentuk matriks adalah: (
) ( ) (
)
Mengingat kembali bentuk umum persamaan linier dua variabel 1 1 1 2 2 2} ( 1 1 2 2) ( ) ( 1 2)
Determinan matriks dinotasikan | 1 1
2 2|atau det(A), dengan matriks (
1 1
2 2) Nilai x dan y dapat dirumuskan sebagai berikut:
| 1 1 2 2| | 1 1 2 2| 1 2 1 2 1 2 2 1 | 1 1 2 2| | 1 1 2 2| 1 2 1 2 1 2 2 1
Sehingga permasalahan didapat:
| | | | × × × × | | | | × × × × Jadi, harga satu porsi ayam penyet adalah Rp 20.000,00 dan harga satu gelas Jus adalah Rp 5.0000,00.
Masalah 2.6
Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut.
Tabel Jumlah kursi Penumpang Tabel jumlah penumpang
Kategori Airbus 100 Airbus 200 Airbus 300 Kategori Jumlah
Klas Turis 50 75 40 Klas Turis 305
Klas Ekonomi 30 45 25 Klas Ekonomi 185
Kelas VIP 32 59 30 Kelas VIP 206
Definisi 2.5
Misalkan matriks 𝐴 (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑) Determinan dari matriks A dapat dinyatakan 𝑑𝑒𝑡 ( 𝐴) 𝐴 |𝑎 𝑏
𝑐 𝑑| 𝑎𝑑 𝑏𝑐 Sifat 2.5
Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo 𝑚 × 𝑚 dengan m ∈ N. Jika determinan matriks A dinotasikan 𝐴 dan determinan matriks B dinotasikan 𝐵 , maka 𝐴 × 𝐵 𝐴 × 𝐵
Sifat 2.6
Misalkan matriks A dan B merupakan matrik persegi berordo 𝑚 × 𝑚 dengan m ∈ N. Jika determinan matrik A 𝐴 dan determinan matrik 𝐴𝑡 𝐴𝑡 , maka 𝐴 𝐴𝑡
Berapa banyak pesawat masing-masing yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut?
Alternatif Penyelesaian
Misalkan, : banyaknya pesawat Airbus 100 : banyaknya pesawat Airbus 200 : banyaknya pesawat Airbus 300 Sistem persamaan yang terbentuk adalah: } ( ) × ( ) ( )
Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita periksa apakah matriks A adalah matriks tak singular (determinannya tidak sama dengan 0).
Cara untuk menentukan det (A), dengan Metode Sarrus. Yaitu sebagai berikut: Misalnya matriks 3×3 ( 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ) ( ) | 11 12 13 21 22 23 31 32 33 | | 11 12 13 21 22 23 31 32 33 | 11 12 21 22 31 32 ( ) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 ( ) 33 21 12
Untuk matriks pada Masalah di atas: | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nilai x, y dan z dapat di peroleh dengan cara sebagai berikut:
| | | | | | | | | | | |
Oleh karena itu: banyak pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak 3 unit banyak pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit banyak pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit
6. Invers Matriks
Invers matrik ordo 2x2
Pada teori dasar matriks, bahwa tidak ada operasi pembagian pada matriks, tetapi yang ada adalah invers matriks atau kebalikan matriks. Misalkan A matriks persegi, berordo 2 ×2.
Jika ( ) maka invers matriks A, dinotasikan 1: 1
× (
)
(
) disebut adjoint matriks A, dinotasikan adj(A) Salah satu sifat invers matriks adalah 1× × 1
Misalkan A , B dan X adalah matriks yang memenuhi persamaan × , maka 1×
Invers matrik ordo 3x3
Untuk mencari invers matrik ordo 3 x 3, kita bisa menggunakan metode kofaktor. Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan adalah determinan matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Jika Aadalah sebuah matriks bujur sangkar berordo n × n, maka minor elemen yang dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berordo ( ) × ( ) setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan.
Misalnya matriks 3×3 (
11 12 13
21 22 23
31 32 33
)
Minor elemen 11 adalah (
11 12 13
21 22 23
31 32 33
) sehingga 11 ( 22 23
32 33)
11, 12, dan 13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke–1 dari matriks A. Matriks kofaktor matriks A di lambangkan:
( ) ( ) ( ) | 22 23
32 33|
Sehingga diperoleh matriks kofaktor A, Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan ( ) ( ) dan diperoleh inver matriks A.
Definisi 2.6
Misalkan A sebuah matriks persegi dengan ordo n× n, n ∈ N.
Matriks A disebut matriks tidak singular, apabila det(A) ≠ 0.
Matriks A disebut matriks singular, apabila det(A)=0.
𝐴 1disebut invers matriks A jika dan hanya jika 𝐴 1× 𝐴 𝐴 × 𝐴 1 𝐼 , dengan I adalah matriks identitas perkalian matriks.
Dengan Rumus :
1
( ) Contoh 2.5
Tentukan invers matrik dari matriks (
) Alternatif penyelesaian
langkah 1, menentukan determinan Matrik A
Dengan menggunakan metode sarrus diperoleh ( ) Langkah 2, menentukan minor tiap elemen
11 ( ) ( ), 12 ( ) ( ) 13 ( ) ( ) dan seterusnya. Langkah 3, menentukan kofaktor
11 ( )1 1 ( 11) ( )2 | | ( ) ( )
12 ( )1 2 ( 12) ( )3 | | ( ) ( )
13 ( )1 3 ( 13) ( )4 | | ( )
21 ( )2 1 | | ( )
dan seterusnya sehingga diperoleh semua nilai dari Kofaktor matrik A, yaitu: 22 , 23 , 31 , 32 dan 33
atau dengan menentukan matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus: ( ) ( 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ) ( )
Langkah 4, Menentukan Adjoin(transpose dari Matrik Kofaktor) dari matrik A ( ) ( 11 21 31 12 22 32 13 23 33 ) ( ) Langkah 5, menentukan invers Matriks A
1 ( ) ( ) ( 1 32 23 32 5 32 13 32 32 5 32 1 32 13 32 32)
Uji kompetensi 2.2
1. Winarno bermaksud mengikuti ujian saringan masuk perwira. Setelah berkonsultasi dengan seorang perwira dan memperoleh saran mengenai pola makan yang hendak dikonsumsi lebih baik dimasak sendiri. Pengalaman perwira tersebut menyarankan untuk mencampurkan dua sumber zat gizi dalam jumlah yang berbeda untuk menghasilkan tiga jenis biskuit. Jumlah (dalam satuan gram) kalsium, protein, dan karbohidrat dalam setiap sumber gizi ditunjukkan oleh matriks G, dan jumlah (dalam satuan gram) setiap sumber zat gizi yang dikonsumsi dalam setiap biskuit ditunjukkan oleh matriks J.
Tabel Kandungan zat gizi (matrik G) Tabel Jumlah zat gizi (matrik J)
Sumber 1 Sumber 2 Biskuit
jenis A Biskuit jenis B Biskuit jenis C Kalsium 12 16 Protein 32 24 Sumber 1 24 18 25 Karbohidrat 20 8 Sumber 1 25 32 16
a. Tentukanlah jumlah kalsium dalam biskuit B!
b. Hitunglah G.J dan jelaskan arti setiap elemen matriks tersebut!
2. Agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Bali. Paket I terdiri 4 malam menginap, 3 tempat wisata dan 5 kali makan. Paket II dengan 3 malam menginap, 4 tempat wisata dan 7 kali makan. Paket III dengan 5 malam menginap, 4 tempat wisata dan tidak ada makan. Sewa hotel Rp400.000,00 per malam, tranprotasi ke tiap tempat wisata Rp80.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 90.000,00.
a. Nyatakan matriks harga sewa hotel, tranportasi dan makan. b. Nyatakan matriks paket yang ditawarkan.
Sifat 2.7
Misalkan matriks A berordo 𝑛 × 𝑛 dengan n ∈ N. Jika det(A)≠0, maka 𝐴 1 1
det 𝐴 𝐴𝑑𝑗(𝐴) dan 𝐴
1× 𝐴 𝐴 × 𝐴 1 𝐼, I adalah matriks identitas perkalian matriks
Sifat 2.8
Misalkan matriks A dan B berordo 𝑚 × 𝑚 dengan m ∈ N. Jika 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝐴 dan 𝑑𝑒𝑡(𝐴 1) 𝐴 1 maka 𝐴 1 1
𝐴 .
Sifat 2.9
Misalkan matriks A dan B berordo 𝑚 × 𝑚 dengan m ∈ N. Jika 𝑑𝑒𝑡(𝐴) dan 𝐴 1adalah invers matriks A, maka (𝐴 1) 1 𝐴.
Sifat 2.10
Misalkan matriks A dan B berordo 𝑛 × 𝑛 dgn n∈N, 𝑑𝑒𝑡(𝐴) & 𝑑𝑒𝑡(𝐵) jika 𝐴 1dan 𝐵 1 adalah invers matrik A dan B, maka (𝐴 𝐵) 1 𝐵 1 𝐴 1.
c. Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket.
d. Paket mana yang menawarkan biaya termurah
3. Sebuah toko penjual cat eceran memiliki persedian tiga jenis cat eksterior yaitu regular, deluxe, dan commercial. Cat-cat tersebut tersedia dalam empat pilihan warna yaitu, biru, hitam, kuning, dan coklat. Banyak penjualan cat (dalam gallon) selama satu minggu dicatat dalam matriks R, sedangkan inventaris toko pada awal minggu dalam matriks S berikut ini.
a. Tentukan inventaris toko pada akhir minggu
b. Jika toko tersebut menerima kiriman stok baru yang dicatat dalam matriks T. Tentukan inventaris toko yang baru.
LATIHAN SOAL 1. Diketahui 4 1 1 2 A , y 3 2 y x B , dan 1 3 2 7 C . Apabila B – A = Ct, dan Ct = transpose matriks C, maka nilai x.y =
A. 0 D. 25 B. 15 E. 30 C. 20 2. Diketahui 5 2 0 3 A , 1 y 1 -x B , dan 5 15 -1 0
C , At adalah transpose dari A. Jika At . B
= C maka nilai 2x + y = ….
A. – 4 D. 5
B. – 1 E. 7
C. 1
3. Matriks X berordo ( 2 x 2 ) yang memenuhi 1 2 3 4 X 4 3 2 1 adalah…. A. 4 5 5 -6 - D. 1 3 -2 -4 B. 5 4 6 5 E. 8 10 -10 12 C. 5 4 5 -6 -4. Diketahui 5 3 2 1 A , 4 1 2 -3
B , dan P(2x2). Jika matriks A x P = B, maka P = ….
A. 10 8 -18 13 D. 2 7 8 21 -B. 2 7 -8 21 E. 12 14 6 5 C. 10 8 18 13 5. Jika 7 9 3 16 d b a 2 1 3 4 c . Maka Nilai a + b + c + d = …. A. 6 D. 9 B. 7 E. 10 C. 8 6. Diketahui 4p -3 9 -4 A , 3 1 5 5p B , dan 6 4 -8 10 -p
C , Jika matriks A – B = C–1, nilai 2p =
A. – 1 D. 1 B.–½ E. 2 C. ½ 7. Diketahui A-21 32, 10 4 -12 6 B dan 2 . Nilai = …. A. – 4 D. 1½ B.–1 E. 2 C. – ½
8. Jika 4 3 2 1 A , dan 2 3 2 3
B Maka B.A – A.B = ….
A. 2 6 -11 2 D. 11 6 2 2 B. 2 6 -6 2 E. 2 6 11 2 C. 11 2 -6 2 9. Jika c 3 3b a 5 A , b -5a 4 a 8 a 2 2a
B , dengan Bt adalah transpose dari matrik B, maka konstanta c adalah ……… A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3 10. 1 a c 1 2c 3 4 -1 2 b 3 -5 4 3 b -1
- d , Nilai a dari persamaan di atas adalah ….
A. – 2 D. ⅔ B. – 43 E. 2 C. – ⅔ 11. 2 5 0 1 1 2 3 2 16 20 -0 2 6 3 a
5 b b Nilai a.b dari persamaan di atas adalah .
A. – 6 D. 3 B. – 5 E. 1 C. – 4 12. Diberikan dan 6 5 2 1 -, 4 3 1 2 B A , 3 2 1 a
C jika determinan dari matrik 2A – B + 3C adalah 10 maka nilai a = …
A. – 5 D. 2
B. – 3 E. 5
C. – 2
13. Apabila x1 dan x2 akar persamaan
3 -4x 2 3 1 x x x = 2x2 – x, maka jumlah x1 + x2 = A. – 4 D. 4 B. – 3 E. 6 C. – 1 14. Jika 3 1 5 2 -M , dan 3 2 -1 0 .M K maka matrik K = A. 1 2 -3 4 D. 2 1 4 3 B. 4 3 2 1 - E. 4 3 2 1 C. 4 3 2 1
15. Hasil kali 27 35 30 10 -6 0 3 5 x A , matrik A adalah …. A. 7 4 1 1 - D. 4 1 -2 7 B. 1 7 4 2 - E. 1 7 2 4 C. 1 4 2 7 16. Jika 24 13 -y x 6 4 5 1
maka x dan y berturut-turut adalah ….
A. 3 dan 2 D. 5 dan 6 B. 3 dan - 2 E. 4 dan 5 C. – 3 dam – 2 17. Jika 2 1 . 3 y x 6 5 4 3 maka x + y adalah ……. A. 4 D. 5¼ B. 4½ E. 6 C. 5 18. Jika 1 8 y x 1 3 3 2 maka 4x + 5y adalah …… A. – 8 D. – 5 B. – 7 E. – 4 C. – 6
19. Nilai t yang memenuhi, jika determinan 0 1 4 3 2 t t adalah …. A. – 2 D. 1 B. 2 E. 6 C. 5 20. Jika 4 -13 -z 7 5 3 2 1 x 1 4 y maka x + y + z = A. – 3 D. 3 B. – 2 E. 4 C. 2 21. Diketahui 4 7 x -9 B dan 3 5 x x 5 A
x jika determina A dan B sama maka harga x yang memenuhi adalah …… A. 3 atau 4 D. – 4 atau – 5 B. - 3 atau 4 E. 3 atau – 5 C. 3 atau – 4 22. Jika 1 1 4 5 B dan 3 1 5 2
A maka determinan (A.B)-1 adalah
A. – 2 D. 2
B. – 1 E. 3
