APLIKASI METODE FUZZY LINEAR PROGRAMMING DAN CUTTING PLANE DALAM MENGOPTIMALKAN JUMLAH
PRODUKSI DI PABRIK MM ROTI
SKRIPSI
SAVIRA DIANDRA 150803015
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2019
APLIKASI METODE FUZZY LINEAR PROGRAMMING DAN CUTTING PLANE DALAM MENGOPTIMALKAN JUMLAH
PRODUKSI DI PABRIK MM ROTI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SAVIRA DIANDRA 150803015
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2019
PERNYATAAN ORISINALITAS
APLIKASI METODE FUZZY LINEAR PROGRAMMING DAN CUTTING PLANE DALAM MENGOPTIMALKAN JUMLAH PRODUKSI
DI PABRIK MM ROTI
SKRIPSI
Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, April 2019
Savira Diandra 150803015
PENGESAHAN SKRIPSI
Judul : Aplikasi Metode Fuzzy Linear Programming dan Cutting Plane dalam Mengoptimalkan Keuntungan Produksi Di Pabrik MM Roti
Kategori : Skripsi
Nama : Savira Diandra
Nomor Induk Mahasiswa : 150803015
Program Studi : Sarjana Matematika
Fakultas : MIPA - Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, April 2019
Ketua Program Studi
Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing
Dr. Suyanto, M.Kom Dr. Syahriol Sitorus, M.IT NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19710310 199703 1 004
APLIKASI METODE FUZZY LINEAR PROGRAMMING DAN CUTTING PLANE DALAM MENGOPTIMALKAN JUMLAH PRODUKSI
DI PABRIK MM ROTI
ABSTRAK
MM Roti adalah pabrik roti yang memproduksi berbagai jenis roti yaitu roti coklat, roti mocha, roti strawberry, roti srikaya dan roti kelapa. Pabrik MM Roti sering mengalami ketidakstabilan permintaan permintaan pasar yang terkadang tinggi dan rendah. Hal ini menjadi permasalahan bagi pabrik dalam menentukan perencanaan jumlah produksi roti optimal. Permasalaham ini dapat diselesaikan dengan merencanakan jumlah produksi optimal berdasarkan jumlah persediaan bahan baku dan jumlah permintaan dengan metode fuzzy linear programming dan cutting plane dengan menggunakan bantuan software LINDO. Tujuan dari fuzzy linear programming adalah mencari solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif dan kendala. Hasil yang telah diselesaikan dengan fuzzy linear programming yang masih berupa bilangan desimal dapat dibulatkan dengan menggunakan metode cutting plane. Berdasarkan hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode fuzzy linear programming dan cutting plane, pabrik MM Roti mencapai keuntungan optimal yaitu sebesar Rp 2.903.552 dengan memproduksi roti coklat sebanyak 2771 buah, roti mocha sebanyak 3327 buah, roti strawberry sebanyak 2040 buah, roti srikaya sebanyak 1215 buah dan roti kelapa sebanyak 1648 buah dengan nilai λ adalah 0,5. Dengan menerapkan metode fuzzy linear programming dan cutting plane dapat meningkatkan keuntungan pabrik MM Roti sebesar 14,69% dari keuntungan perusahaan.
Kata kunci : cutting plane, fuzzy linear programming, produksi
APPLICATION OF FUZZY LINEAR PROGRAMMING METHODS AND CUTTING PLANE IN OPTIMIZING THE AMOUNT OF
PRODUCTION IN MM ROTI FACTORY
ABSTRACT
MM Roti is a bakery that produces various types of bread namely chocolate bread, mocha bread, strawberry bread, srikaya bread and coconut bread. MM Roti factories often experience occasional high and low market demand instability. This is a problem for the factory in determining the optimal planning for the amount of bread production.
This problem can be solve by planning the optimal amount of production base on the amount of raw material inventory and the number of requests using the fuzzy linear programming and cutting plane methods using LINDO software. The purpose of fuzzy linear programming is to find acceptable solutions based on criteria state in objective functions and constraints. The results that have been complete with fuzzy linear programming which are still in the form of decimal numbers can be rounde using the cutting plane method. Based on the results obtaine using the fuzzy linear programming and cutting plane methods, the MM Roti factory achieve an optimal profit of Rp 2.903.552 by producing 2771 chocolate breads, 3327 mocha breads, 2040 strawberry breads, 1215 srikaya breads. coconut fruit and bread 1648 pieces with a value of λ is 0.5. By applying the fuzzy linear programming method and cutting plane, it can increase the profits of the MM Roti factory by 14.69% of the company's profits.
Keywords : cutting plane, fuzzy linear programming, production
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas berkat serta karunia- Nya sehingga skripsi dengan judul “Aplikasi Metode Fuzzy Linear Programming Dan Cutting Plane Dalam Mengoptimalkan Keuntungan Produksi Di Pabrik MM Roti” dapat diselesaikan dengan baik guna melengkapi syarat memperoleh gelar S1 Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Sumatera Utara.
Dalam kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skrispsi ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, M.IT selaku Dosen Pembimbing atas segala ilmu, waktu, motivasi dan arahan yang diberikan selama penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Dr.Suyanto, M.Kom dan Ibu Drs. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku Dosen Pembanding atas segala saran dan masukan dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan FMIPA USU serta semua Wakil Dekan FMIPA USU.
4. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.
5. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan Departemen Matematika FMIPA USU.
6. Pimpinan Pabrik MM Roti beserta para pegawai.
7. Yang paling teristimewa kepada kedua orang tua tercinta, Ibunda Juliati dan Ayahanda Edy Iskandar serta adik penulis Muhammad Wibi Iskandar atas dukungan, doa, finansial, nasihat, serta semangat yang tidak pernah berhenti selama penulis menempuh masa kuliah hingga akhir penulisan skripsi ini.
8. Seluruh teman-teman Matematika 2015, Keluarga besar IMKUBIK, terkhusus kepada Julia Kartika Hasibuan, Dodi Himawan, Mitha Savira, Nurhasanah Widyasari Pulungan, Heridha Prihandini Muhammad Asyraf Manurung dan Muhammad Nurdin Wijaya yang senantiasa memberikan semangat, motivasi dan arahan dalam penyusunan skripsi ini.
Semoga Allah SWT membalas seluruh dukungan dan doa yang diberikan Bapak, Ibu, dan teman-teman seluruhnya. Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Maka dari itu, diperlukan kritik dan saran dari pembaca untuk penyempurnaan skripsi ini.
Medan, April 2019 Penulis
Savira Diandra
DAFTAR ISI
Halaman
PENGESAHAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
PENGHARGAAN iv
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR LAMPIRAN x
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Batasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Program Linear 4
2.1.1 Definisi Program Linear 4
2.1.2 Bentuk Umum Program Linear 4
2.1.3 Karakteristik Program Linear 6
2.1.4 Metode Simpleks 6
2.2 Fuzzy 8
2.2.1 Himpunan Fuzzy 8
2.2.2 Fuzzy Linear Programming 9
2.3 Fuzzyfikasi 12
2.4 Defuzzyfikasi 13
2.5 Program Bilangan Bulat 14
2.5.1 Metode Cutting Plane 14
2.5.2 Algoritma Metode Cutting Plane 15
2.6 Penelitian Terdahulu 17
2.7 Lindo 19
BAB 3 METODE PENELITIAN
3.1 Objek Penelitian 20
3.2 Sumber Data 20
3.3 Metode Pengumpulan Data 21
3.4 Metode Pengolahan Data 21
3.5 Metodologi Penelitian 22
3.6 Kerangka Penelitian 23
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengumpulan Data 25
4.2 Penyusunan Model Matematika 27
4.2.1 Penentuan Variabel 27
4.2.2 Fungsi Tujuan dan Kendala 27
4.3 Pengolahan Data 30
4.3.1 Proses Fuzzyfikasi 30
4.3.2 Proses Defuzzyfikasi 33
4.3.3 Metode Cutting Plane 39
4.4 Hasil Analisis 41
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 44
5.2 Saran 44
DAFTAR PUSTAKA 45
LAMPIRAN 47
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel Judul Halaman
2.1 Bentuk Tabel Simpleks 7
2.2 Solusi Optimum Masalah Program Linear 16
4.1 Komposisi Bahan Baku Roti 25
4.2 Harga Bahan Baku Roti 26
4.3 Data Biaya Produksi, Harga Jual dan Keuntungan Produksi 26
4.4 Rata – Rata Jumlah Permintaan Roti 27
4.5 Perbandingan Solusi Sebelum dan Sesudah Pembulatan 42
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar Judul Halaman
2.1 Fungsi Keanggotaan 11
3.1 Kerangka Penelitian 23
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Lampiran Judul Halaman
1. Data Permintaan Roti Bulan Januari 2019 47
2. Tabel Simpleks Awal 48
3. Tabel Iterasi untuk t = 0 49
4. Hasil Perhitungan Simpleks Menggunakan Bantuan Software LINDO 58
5. Tabel Simpleks Optimum 64
6. Tabel Simpleks dengan Kendala Gomory 65
7. Iterasi-1 Penambahan Gomory Pertama 66
8. Komposisi Bahan Baku dalam Satu Buah Roti (gr) 67
9. Harga Bahan Baku Roti Bulan Februari 2019 68
10. Data Produksi Roti 69
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Saat ini perkembangan industri terutama di bidang produksi meningkat sangat pesat.
Hal ini terjadi karena kebutuhan manusia yang semakin banyak seiring dengan pertumbuhan penduduk yang semakin tinggi sehingga menyebabkan jumlah produksi semakin meningkat. Perkembangan industri juga ditandai dengan meningkatnya jumlah perusahaan yang mengakibatkan timbulnya persaingan kompetitif antar perusahaan khususnya perusahaan yang bergerak dalam bidang yang sama.
MM Roti adalah pabrik roti yang terletak di jl. Binjai KM.10,5. Pabrik ini memproduksi berbagai jenis roti yaitu roti coklat, roti mocha, roti strawberry, roti srikaya dan roti kelapa. Pabrik MM Roti sering mengalami ketidakstabilan permintaan pasar terhadap produksi roti yang terkadang tinggi dan rendah. Hal ini menjadi permasalahan bagi pabrik MM Roti dalam menentukan perencanaan jumlah produksi roti, sehingga pabrik MM roti sering memproduksi roti yang berlebih dan mengakibatkan kerugian bagi pihak pabrik karena roti yang sudah tidak layak dipasarkan akan dibuang. Selain itu pabrik MM Roti juga sering memproduksi roti kurang dari jumlah permintaan yang mengakibatkan konsumen beralih pada produk roti lain sehingga mengurangi keuntungan pabrik.
Permasalahan pada penelitian ini adalah permasalahan pemrograman linier yaitu optimasi produksi. Namun berdasarkan data yang diperoleh terdapat parameter fuzzy yaitu pada jumlah permintaan. Maka dari itu penelitian ini menggunakan metode Fuzzy Linear Programming untuk menyelesaikannya.
Fuzzy Linear Programming sudah banyak digunakan untuk menyelesaikan kasus optimasi produksi. Agus Wayan Yulianto, Hardi Suyitno dan Mashuri (2012) menerapkan Fuzzy Linear Programming dalam optimalisasi produksi jamu dengan menggunakan 4 variabel dan memperoleh biaya produksi model fuzzy linear
programming kurang dari biaya produksi model upper dan kurang dari realisasi biaya
produksi dengan penambahan bahan baku yang sebaiknya dilakukan maksimal hanya 0,5% dari bahan baku yang tersedia. Hendra Suantio, et al (2013) mengaplikasikan Fuzzy Linear Programming untuk produksi bola lampu dengan 3 variabel yang mampu meningkatkan keuntungan perusahaan sebesar 7,39% dari konsep linear Programming biasa. Penelitian lain juga dilakukan oleh Lazim Abdullah dan Nor Hafizah Abidin (2014) dengan judul A Fuzzy Linear Programming in Optimizing Meat Production dengan menggunakan 2 variabel yang menyimpulkan bahwa keuntungan yang diperoleh bila dibandingkan hasil yang sebenarnya sangat bergantung pada nilai toleransi interval dan bilangan fuzzy yang ditentukan,
Hasil yang telah diselesaikan menggunakan Fuzzy Linear Programming sering kali menghasilkan nilai yang berbentuk pecahan. Namun untuk kasus optimasi produksi roti di Pabrik MM Roti, solusi yang diharapkan haruslah berupa bilangan bulat. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode untuk menghasilkan nilai yang integer dari hasil perolehan Fuzzy Linear Programming tersebut. Salah satu pendekatan yang sering digunakan dalam menyelesaikan persoalan ini adalah dengan menggunakan metode bidang potong Gomory (Cutting Plane).
Penelitian mengenai Cutting Plane pernah dilakukan oleh Nico, Iryanto dan Gim (2013) dalam mengoptimalkan jumlah produksi spring bed. Selain itu penelitian yang sama juga dilakukan oleh Sri Basriati, et al (2018) untuk menentukan berapa banyak pakan ikan yang harus disediakan untuk memproduksi benih ikan dengan biaya seminimal mungkin. Berdasarkan beberapa penelitian yang telah dilakukan, telah dibuktikan bahwa metode Fuzzy Linear Programming dan metode Cutting Plane dapat menyelesaikan kasus optimasi produksi dan dapat meningkatkan keuntungan produksi. Oleh karena itu penulis tertarik untuk menerapkan metode tersebut dalam menyelesaikan kasus optimasi produksi di pabrik MM Roti dengan judul “Aplikasi Metode Fuzzy Linear Programming dan Cutting Plane dalam Mengoptimalkan Jumlah Produksi di Pabrik MM Roti” .
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah berapa jumlah produksi roti yang optimal pada pabrik MM Roti untuk memaksimalkan keuntungan produksi dengan menggunakan metode Fuzzy Linear Programming dan Cutting Plane.
1.3 Batasan Masalah
Agar permasalahan tidak meluas, penulis membuat batasan masalah sebagai berikut:
1. Dipilih 5 jenis roti yang di produksi yaitu roti coklat, roti mocha, roti strawberry, roti srikaya dan roti kelapa.
2. Dalam proses produksi, harga bahan baku dianggap konstan (tidak mengalami perubahan).
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah maka tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan jumlah produksi dari masing – masing produk agar mendapatkan keuntungan yang maksimal.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Dapat menentukan jumlah produksi roti yang optimum untuk memaksimalkan keuntungan produksi.
2. Mengetahui batasan maksimum penambahan jumlah persediaan bahan baku yang harus disediakan oleh perusahaan untuk memproduksi roti dalam jumlah optimal.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Program Linear
2.1.1 Definisi Program Linear
Program linear adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala – kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier. Program Linear sering digunakan dalam menyelesaikan problem alokasi sumber daya (Sitorus,1997). Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program linear adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah dirumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya adalah menerjemahkan masalah ini ke dalam bentuk model matematika, yang mempunyai cara pemecahan yang lebih mudah dan terstruktur guna menemukan solusi terhadap masalah yang dihadapi (Siagian, 1987).
Untuk menyelesaikan problema program linear pada umumnya sering digunakan 2 cara yaitu dengan menggunakan metode grafik dan metode simpleks.
Akan tetap untuk program linear yang memuat lebih dari 3 variabel, cara yang paling baik dan praktis adalah dengan menggunakan metode simpleks. Metode simpleks merupakan proses umum untuk menyelesaikan masalah program linier yang dikembangkan oleh George Dantzig pada tahun 1947 sebagai metode yang efisien untuk menyelesaikan masalah-masalah besar dengan komputer masa kini (Frederick
& Gerald,1994).
2.1.2 Bentuk Umum Program Linear
Bentuk umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik sebagai berikut (Sitorus, 1997):
Maksimumkan atau minimumkan :
Z = 𝑐1 𝑥1+ 𝑐2 𝑥2+ 𝑐3 𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛
𝑍 = ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗 (2.1)
untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛 Kendala:
∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ atau ≥ 𝑏𝑖 untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚 (2.2) 𝑥𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛
Keterangan:
𝑍 = Fungsi tujuan
𝑥𝑗 = Variabel Keputusan 𝑗
𝑐𝑗 = Nilai kontribusi dari Variabel Keputusan 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = Koefisien dari Variabel Keputusan 𝑗 dalam kendala ke-𝑖 𝑏𝑖 = Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke- 𝑖
2.1.3 Karakteristik Program Linear
Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu (Siswanto, 2006):
1. Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan keputusan- keputusan yang akan dibuat.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang berupa fungsi maksimum atau minimum.
3. Fungsi Kendala
Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.
2.1.4 Metode Simpleks
Cara yang paling sederhana unrtuk menyelesaikan permasalahan program linier adalah dengan pendekatan grafikal. Namun cara tersebut hanya bisa diterapkan untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan. Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh penyelesaian dari permasalahan tersebut.
Oleh karena itu, pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah feasible (ruang solusi) menuju titik ekstrim yang optimum.
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks :
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi (≤) diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack.
b. Untuk batasan bernotasi (≥) atau (=) diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini
akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).
2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks Tabel 2.1. Bentuk Tabel Simpleks Variabel
Basis
Harga Basis
𝑋1 ... 𝑋𝑛
Nilai Kanan
𝑍 𝐶𝑍 𝐶1 ... 𝐶𝑛 𝑏𝑍
𝑋𝑩1 𝐶𝐵1 𝑎11 ... 𝑎1𝑛 𝑏1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑋𝑩𝑚 𝐶𝐵𝑚 𝑎𝑚1 ... 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai 𝑍 yang paling positif untuk kasus minimasi atau yang memiliki nilai 𝑍 yang paling negatif untuk kasus maksimasi.
4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.
6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell.
b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris (𝑍) sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus minimasi) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus maksimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
2.2 Fuzzy
2.2.1 Himpunan Fuzzy
Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item 𝑥 dalam suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan 𝜇𝐴(𝑥), memiliki dua kemungkinan yaitu (Kusumadewi dan Purnomo, 2010):
Satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau
Nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.
Menurut Kusumadewi dan Purnomo (2010) ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami sistem fuzzy, yaitu:
a. Variabel fuzzy
Variabel fuzzy merupakan variabel yang hendak dibahas dalam suatu sistem fuzzy. Contoh: umur, temperature, permintaan, dsb.
b. Himpunan fuzzy
Himpunan fuzzy merupakan suatu grup yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy.
c. Semesta pembicaraan
Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan ril yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif maupun negatif.
d. Domain
Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam sutu himpunan fuzzy.
2.2.2 Fuzzy Linear Programming
Salah satu contoh model program linier klasik adalah:
Maksimumkan:
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑇𝑥 Dengan batasan:
𝐴𝑥 ≤ 𝑏 𝑥 ≥ 0
Dengan 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑅𝑛, 𝑏 ∈ 𝑅𝑚, 𝐴 ∈ 𝑅𝑚𝑥𝑛 (2.3) Atau
Minimumkan:
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑇𝑥 Dengan batasan:
𝐴𝑥 ≥ 𝑏 𝑥 ≥ 0
Dengan 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑅𝑛, 𝑏 ∈ 𝑅𝑚, 𝐴 ∈ 𝑅𝑚𝑥𝑛 (2.4) 𝐴, 𝑏 dan 𝑐 adalah bilangan-bilangan crisp (tegas), tanda ≤ pada kasus maksimasi dan tanda ≥ pada kasus minimasi juga bermakna crisp (tegas), demikian juga perintah
“maksimumkan” atau “minimumka” merupakan bentuk imperatif tegas.
Modifikasi dari teori Linear Programming dengan Fuzzy Logic akan menghasilkan teori Fuzzy Linear Programming yang digunakan sebagai alat analisis untuk menentukan jumlah produk dari setiap jenis produk agar diperoleh keuntungan
yang optimal. Fuzzy linear programming menggabungkan antara model pemrograman linier biasa dan konsep logika fuzzy sebagai salah satu cara pengambilan keputusan dalam menentukan jumlah produk yang optimal dengan mempertimbangkan keterbatasan sumber daya produksi (Suantio, Rambe & Siregar, 2013).
Hasil Fuzzy Linear Programming akan lebih kecil jika dibandingkan dengan hasil pada metode Linear Programming. Dengan menerapkan Fuzzy Linear Programming dalam menentukan tingkat produksi maksimum dianggap dapat membantu untuk memetakan suatu input ke dalam suatu output tanpa mengabaikan faktor-faktor yang ada. Dengan metode ini diharapkan nantinya dapat membantu dalam proses pengambilan keputusan yang tepat yang mana Fuzzy Logic dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier tersebut. Hal ini merupakan syarat mutlak untuk dapat digunakan dalam Fuzzy Linear Programming (Wanayumini, 2012).
Pada Fuzzy Linear Programming, akan dicari suatu nilai yang merupakan nilai 𝑍 yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy. Tiap- tiap baris/batasan (0,,1,2,…, m) akan dipresentasikan dengan sebuah himpunan fuzzy, dengan fungsi keanggotaan pada himpunan ke-i adalah 𝜇𝑖(𝐵𝑖𝑥).
Fungsi keanggotaan untuk model keputusan himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai:
𝜇𝐷[𝑋] = min
𝑖 {𝜇𝑖[𝐵𝑖𝑥]} (2.5)
Pada Fuzzy Linear Programming, solusi yang diharapkan adalah solusi dengan nilai keanggotaan yang paling besar sehingga fungsi tujuan pada Fuzzy Linear Programming adalah memaksimumkan nilai keanggotaan. Oleh karena itu solusi sebenarnya adalah:
max𝑥≥0 𝜇𝐷[𝐵𝑥] = max
𝑥≥0 min
𝑖 {𝜇𝑖[𝐵𝑖𝑥]} (2.6) Dari sini terlihat bahwa 𝜇𝑖(𝐵𝑖𝑥) = 0 jika batasan ke-i benar-benar dilanggar.
Sebaliknya, 𝜇𝑖(𝐵𝑖𝑥) = 1 jika batasan ke-i benar-benar dipatuhi (sama halnya dengan batasan bernilai tegas). Nilai 𝜇𝑖(𝐵𝑥) akan naik secara monoton pada selang [0,1], yaitu:
𝜇𝑖[𝐵𝑖𝑥] = { 1;
∈ [0,1];
0;
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐵𝑖𝑥 ≤ 𝑑𝑖 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖 < 𝐵𝑖𝑥 ≤ 𝑑𝑖 + 𝑝𝑖
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐵𝑖𝑥 > 𝑑𝑖+ 𝑝𝑖 (2.7) 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑚
Gambar 2.1. menunjukkan fungsi keanggotaan tersebut
Gambar 2.1. Fungsi Keanggotaan
𝜇𝑖[𝑥] = { 1;
1 −𝐵𝑖𝑥−𝑑𝑝 𝑖
𝑖 ;
0;
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐵𝑖𝑥 ≤ 𝑑𝑖 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖 < 𝐵𝑖𝑥 ≤ 𝑑𝑖 + 𝑝𝑖
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐵𝑖𝑥 > 𝑑𝑖+ 𝑝𝑖
(2.8)
𝑖 = 0,1,2, … , 𝑚
Dengan 𝑝𝑖 adalah toleransi interval yang diperbolehkan untuk melakukan pelanggaran dengan baik pada fungsi objektif maupun batasan. Dengan mensubstitusikan akan diperoleh:
max𝑥≥0 𝜇𝐷[𝐵𝑥] = max
𝑥≥0 min
𝑖 {1 −𝐵𝑖𝑥−𝑑𝑝 𝑖
𝑖 } (2.9) Dari gambar dapat dilihat bahwa, semakin besar nilai domain, akan memiliki nilai keanggotaan yang cenderung semakin kecil. Sehingga untuk mencari nilai 𝜆 − 𝑐𝑢𝑡 dapat dihitung sebagai 𝜆 = 1 − 𝑡, dengan:
𝑑𝑖 + 𝑡𝑝𝑖 = 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑘𝑒 − 𝑖 (2.10)
Dengan demikian akan diperoleh bentuk program linier baru sebagai berikut :
Maksimumkan : 𝜆 (2.11) Dengan batasan : 𝜆𝑝𝑖+ 𝐵𝑖𝑥 ≤ 𝑑𝑖+ 𝑝𝑖; 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑚
𝑥 ≥ 0 Dengan :
𝜆 = Nilai Fuzzy
𝑝𝑖 = Toleransi interval yang diperbolehkan untuk melakukan pelanggaran dengan baik pada fungsi objektif maupun batasan
𝐵𝑖 = Nilai dari variabel 𝑥
𝑑𝑖 = Nilai batasan pada saat t = 0 𝑑𝑖+ 𝑝𝑖 = Nilai batasan pada saat t = 1
2.3 Fuzzyfikasi
Proses fuzzyfikasi merupakan proses untuk mengubah variabel non fuzzy (variabel numerik) menjadi variabel fuzzy (variabel linguistik). Proses fuzzyfikasi ini dilakukan untuk mendapatkan nilai dari model lower ( t=0 ) dan model upper ( t = 1 ) yang dibentuk dari inisialisasi awal variabel keputusan dan batasan. Untuk menghitung nilai nilai lower bound (batas bawah) dan upper bound (batas atas) ini dapat diselesaikan dengan metode simpleks.
Batas bawah dari nilai optimal dinotasikan dengan 𝑍𝐿 yang didapat dari pemecahan program linear berikut :
Maksimumkan :
𝑍𝐿 = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
Dengan kendala :
∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ atau ≥ 𝑏𝑖 untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚 (2.12) 𝑥𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛
Batas atas dari nilai optimal dinotasikan dengan 𝑍𝑈 yang didapat dari pemecahan program linear berikut :
Maksimumkan :
𝑍𝑈 = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
Dengan kendala :
∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ atau ≥ 𝑏𝑖+ 𝑝𝑖 untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚 (2.13) 𝑥𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛
dengan 𝑝𝑖 adalah toleransi yang diberikan pada kendala ke - 𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚).
2.4 Defuzzyfikasi
Keputusan yang dihasilkan dari proses fuzzyfikasi masih dalam bentuk fuzzy. Hasil ini harus diubah kembali menjadi variabel numerik non fuzzy melalui proses defuzzyfikasi.
Setelah melakukan perhitungan untuk mendapatkan nilai model lower ( t=0 ) dan model upper ( t = 1 ) maka akan dibentuk batasan baru untuk menentukan nilai fuzzy.
Masalah Fuzzy Linear Programming dapat diselesaikan dengan menyelesaikan masalah program linear standar berikut :
Maksimumkan : 𝜆 (2.14) Dengan batasan : −𝜆(𝑍𝑈 − 𝑍𝐿) + 𝑐𝑥 ≥ 𝑍𝐿
𝜆𝑝𝑖 + 𝐵𝑖𝑥 ≤ 𝑑𝑖 + 𝑝𝑖; 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑚 𝑥 ≥ 0, dengan 𝜆 ∈ [0,1], 𝑥 ≥ 0
2.5 Program Bilangan Bulat
Program bilangan bulat atau integer programming adalah bentuk lain dari program linear dimana asumsi divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena dalam kenyataannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Salah satu pendekatan yang diterapkan untuk memecahkan permasalahan pemrograman bilangan bulat adalah memecahkan model sebagai sebuah pemrograman linier. Penyelesaian dengan metode integer programming terdiri dari 2 metode, yaitu metode cabang batas (Branch and Bound) dan metode bidang potong Gomory (Cutting Plane). Secara umum, model persoalan integer programming dapat diformulasikan sebagai berikut :
Maksimumkan atau minimumkan :
𝑍 = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
Dengan kendala :
∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 (≤, =, ≥) 𝑏𝑖 untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑚 (2.15) 𝑥𝑗 ≥ 0 , 𝑥𝑗 ∈ (0,1,2, … ), untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛
Keterangan : 𝑍 = Fungsi tujuan
𝑥𝑗 = Variabel Keputusan 𝑗
𝑐𝑗 = Nilai kontribusi dari Variabel Keputusan 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = Koefisien dari Variabel Keputusan 𝑗 dalam kendala ke-𝑖 𝑏𝑖 = Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke- 𝑖
2.5.1 Metode Cutting Plane
Metode cutting plane merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan program linear bilangan bulat, baik bilangan bulat murni maupun campuran dengan penambahan kendala baru yang disebut gomory. Kendala gomory diberikan jika nilai dari variabel keputusan belum bulat (bernilai pecahan). Kendala-kendala tersebut secara efektif akan menyingkirkan beberapa ruang penyelesaian yang tidak berisi titik bilangan bulat yang layak, tetapi tidak pernah menyingkirkan satupun titik bilangan bulat yang layak (Taha, 1996).
Metode cutting plane dikembangkan untuk menemukan solusi optimum bagi program bilangan bulat. Metode ini dilakukan dengan menambahkan suatu kendala yang dinamakan kendala gomory. Penambahan kendala gomory dilakukan pada tabel optimal sehingga dapat mempersingkat perhitungan (Siagian, 2006).
2.5.2 Algoritma Metode Cutting Plane
Persyaratan dasar dari algoritma ini adalah bahwa semua koefisien pembatas dan ruas kanannya harus integer. Hal ini diperlukan karena adanya koefisien pecahan pada pembatas akan menyebabkan harga variabel slack yang pecahan juga.
Menurut Taha (2007) langkah – langkah metode Cutting Plane dapat diringkas sebagai berikut :
1. Menyelesaikan masalah program linear bilangan bulat dengan metode simpleks dengan mengabaikan syarat bilangan bulat.
2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai integer, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecah, teruskan ke langkah 3.
3. Buatlah suatu kendala gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual simpleks. Kembali ke tahap 2.
Tabel 2.2 Solusi Optimum Masalah Program Linear Variabel
Basis
Harga Basis
𝑥1 𝑥2 ... 𝑥𝑛 𝑠1 𝑠2 ... 𝑠𝑛 Nilai Kanan 𝑍 𝐶𝑍 𝐶1 𝐶2 ... 𝐶𝑛 ... ... ... 𝐶𝑚𝑛 𝑏𝑍 𝑠1 𝑐𝐵1 𝑎11 𝑎12 ... ... ... ... ... 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑠2 𝑐𝐵2 𝑎21 𝑎22 ... ... ... ... ... 𝑎2𝑛 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑠𝑛 𝑐𝐵𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ... ... ... ... ... 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑛
di mana: 𝑥𝑗 = variable basis
𝑠𝑗 = variabel nonbasis Misalkan persamaan ke 𝑗 di mana variabel 𝑥𝑗 diasumsikan bernilai tidak bilangan
bulat sebagai berikut:
𝑥𝑗 = 𝑏𝑗− ∑𝑚𝑖=1∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑠𝑗 (2.16) di mana:
𝑥𝑗 = variabel basis
𝑠𝑗 = variabel nonbasis
𝑎𝑖𝑗 = koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala yang berupa noninteger
𝑏𝑗 = sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala yang berupa noninteger
Kemudian pisahkan 𝑏𝑗 dan 𝑎𝑖𝑗 menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah non negatif seperti berikut:
𝑏𝑗 = 𝑏𝑗−+ 𝑓𝑗
sehingga 𝑓𝑗 = 𝑏𝑗− 𝑏𝑗−, di mana 0 ≤ 𝑓𝑗 ≤ 1
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗− + 𝑓𝑖𝑗 sehingga 𝑓𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗− 𝑎𝑖𝑗−,
di mana 0 ≤ 𝑓𝑖𝑗 ≤ 1
sehingga adapun kendala gomory yang diinginkan sebagai berikut:
𝑠𝑔𝑗− ∑𝑚𝑖=1∑𝑛𝑗=1𝑓𝑖𝑗𝑠𝑗 = −𝑓𝑗 (2.17)
di mana:
𝑠𝑔𝑗 = slack variabel gomory
𝑓𝑗 = bagian pecahan dari 𝑏𝑖 𝑓𝑖𝑗 = bagian pecahan dari 𝑎𝑖𝑗 𝑠𝑗 = variabel nonbasis
2.6 Penelitian Terdahulu
Penelitian mengenai metode Fuzzy Linear Programming dan metode Cutting Plane telah banyak dilakukan. Penelitian terdahulu digunakan sebagai referensi dan perbandingan antara penelitian yang akan dilakukan dan penelitian yang telah dilakukan sebelumnya.
Fuzzy Linear Programming dan Cutting Plane sudah banyak digunakan untuk menyelesaikan kasus optimasi produksi.Agus Wayan Yulianto, Hardi Suyitno dan Mashuri (2012) menerapkan Fuzzy Linear Programming untuk optimalisasi produksi pada perusahaan jamu dengan menggunakan 4 variabel keputusan. Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari PT Nyonya Meneer Semarang yang merupakan data pada bulan Agustus 2011 yang meliputi data biaya produksi,komposisi jamu, persediaan bahan baku, jumlah pesanan dan kapasitas
produksi. Berdasarkan hasil perhitungan disimpulkan bahwa biaya produksi dengan model fuzzy linear programming kurang dari realisasi biaya produksi PT.Nyonya Meneer Semarang yaitu Rp 221.543.733,- dengan jumlah produksi jamu galian singset 597,929 kg, jamu singkir angin 745,63 kg, jamu ngeres linu 3974,41 kg, jamu awet ayu 1846 ,1 kg dengan nilai 𝛼 = 0,5093 yang berarti penambahan bahan baku yang sebaiknya dilakakukan maksimal 0,5% dari bahan baku yang tersedia.
Hendra Suantio, dkk (2013) mengaplikasikan Fuzzy Linear Programming untuk produksi bola lampu di PT XYZ dengan 3 variabel yang mampu meningkatkan keuntungan perusahaan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa permintaan pasar terpenuhi untuk ketiga merk bola lampu. Perusahaan dapat menentukan jumlah bahan baku dan waktu yang diperlukan dengan menggunakan nilai Fuzzy sebesar 0,536.
Aplikasi Fuzzy linear programming meningkatkan keuntungan sebesar 5,6% dari konsep Linear Programming biasa. Penelitian lain juga dilakukan oleh Lazim Abdullah dan Nor Hafizah Abidin (2014) dengan judul A Fuzzy Linear Programming in Optimizing Meat Production dengan menggunakan 2 variabel yang menyimpulkan bahwa keuntungan yang diperoleh bila dibandingkan hasil yang sebenarnya sangat bergantung pada nilai toleransi interval dan bilangan fuzzy yang ditentukan,
Nico, dkk (2013) mengaplikasikan metode Cutting Plane dalam optimasi jumlah produksi tahunan pada PT.XYZ dengan menggunakan 3 variabel keputusan dan kendala berupa persediaan bahan baku, jumlah permintaan, kemampuan tenaga kerja dan kemampuan mesin. Berdasarkan hasil perhitungan didapatkan hasil diproduksi berturut – turut adalah 155 unit, 160 unit dan 170 unit dengan keuntungan Rp 270.285.000,-dengan selisih keuntungan sebesar Rp 20.951.000 dengan keuntungan yang diperoleh perusahaan.
Sri Basriati, et al (2018) melakukan penelitian yang berjudul Penggunaan metode cutting plane dalam menentukan solusi integer linier programming (studi kasus: Dinas perikanan pemerintah kabupaten kampar) yang bertujuan untuk meminimalkan biaya produksi 3 jenis pakan untuk benih ikan dengan kendala kadar protein, kadar serat, kadar abu dan kadar air di dalam 3 jenis pakan ikan tersebut.
Berdasarkan hasil perhitungan dapat dsimpulkan bahwa dalam satu bulan masing – masing pakan benih ikan yang diproduksi oleh Dinas Perikanan kabupaten Kampar
adalah sebanyak 11 karung untuk jenis starter I dan 7 karung untuk starter II dengan biaya minimum sebesar Rp 2.875.000,-.
2.7 Lindo
Linear Ineraktive Discrete Optimizer atau yang lebih dikenal dengan LINDO merupakan salah satu dari banyak aplikasi yang dapat dipergunakan dalam menyelesaikan masalah pemrograman linear. LINDO adalah aplikasi yang memungkinkan perhitungan fungsi tujuan dari pemrograman linear menggunakan beberapa variabel yang ditetapkan oleh penggunanya. Secara umum, prinsip kerja LINDO adalah proses pemasukan data, penyelesaian dan menafsirkan hasil perhitungan kepada masing-masing variabel. Menurut Timothy (2012) dalam Linus Scharge (1991), LINDO pada dasarnya menggunakan metode simpleks dan untuk penyelesaian masalah pemrograman linear digunakan metode cabang dan batas.
BAB 3
METODE PENELITIAN
3.1 Objek Penelitian
Objek pada penelitian ini adalah produk roti yang diproduksi oleh Pabrik MM Roti yang terletak di jl. Binjai KM. 10,5. Ada lima jenis rasa roti yang menjadi objek penelitian yaitu roti coklat, roti mocha, roti strawberry, roti srikaya dan roti kelapa.
3.2 Sumber Data
Sumber data yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Data Primer
Data primer yaitu data yang diperoleh dari hasil penelitian langsung dan wawancara sehingga diperoleh informasi sesuai dengan kondisi yang ada pada lapangan. Adapun data primer yang dibutuhkan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Macam – macam produk 2. Bahan baku produk
b. Data Sekunder
Data sekunder yaitu data yang diperoleh dari data historis perusahaan baik berupa dokumen – dokumen atau laporan tertulis serta informasi lainnya yang berhubungan dengan penelitian. Adapun data yang dibutuhkan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Data produksi 1 bulan terakhir
2. Data harga dan persediaan bahan baku
3.3 Metode Pengumpulan Data
Dalam penelitian ini metode pengumpulan data yang dilakukan oleh penulis adalah sebagai berikut:
1. Studi Literatur
Metode ini digunakan untuk mendapatkan data serta teori – teori yang berkaitan dengan penelitian ini. Literatur tersebut dapat berupa buku, jurnal ilmiah maupun sumber – sumber lain yang terkait pada penelitian ini.
2. Observasi
Observasi merupakan teknik pengumpulan data dengan cara pengamatan atau peninjauan secara langsung pada objek penelitian untuk mendapatkan data mengenai variabel yang berhubungan dengan pokok permasalahan yang akan diteliti.
3. Wawancara
Wawancara merupakan suatu cara untuk mendapatkan data atau informasi dengan cara tanya jawab secara langsung pada pihak perusahaan yang mengetahui informasi tentang objek yang akan diteliti.
3.4 Metode Pengolahan Data
Dalam melakukan pengolahan data yang telah diperoleh, maka pengolahan dapat dilakukan secara kuantitatif. Perolehan data kuantitatif diperoleh untuk mendapatkan jumlah produksi yang optimum. Pengolahan data yang dilakukan dengan metode Fuzzy Linear Programming dan metode Cutting Plane akan diselesaikan dengan menggunakan Software LINDO.
Adapun langkah – langkah yang akan dilakukan dalam pengolahan data adalah sebagai berikut:
1. Penentuan komposisi bahan baku per produk 2. Penentuan biaya bahan baku per produk
3. Penentuan biaya produksi serta menentukan keuntungan tiap produk 4. Penentuan jumlah permintaan per produk
5. Penentuan variabel keputusan
6. Penentuan fungsi tujuan yang merupakan keuntungan dari masing – masing produk
7. Penentuan fungsi kendala yaitu batasan bahan baku, jumlah permintaan dan kapasitas produksi
8. Pengolahan data dengan menggunakan metode Fuzzy Linear Programming dan metode Cutting Plane dengan bantuan Software LINDO.
3.5 Metodologi Penelitian
Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya yang berhubungan dengan fuzzy linear programming dan metode cutting plane.
2. Menjelaskan definisi dari program linear, program bilangan bulat, logika fuzzy dan metode cutting plane.
3. Mengumpulkan data yang diperoleh dari catatan hasil produksi di Pabrik MM Roti.
4. Pengolahan data
a. Memodelkan fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam bentuk program linear.
b. Menyelesaikan persoalan dengan mengubah model menjadi program linear fuzzy.
c. Menghitung nilai variabel keputusan dengan menggunakan Software LINDO.
d. Mencari nilai optimal dengan membulatkan hasil program linear fuzzy dengan menggunakan metode Cutting Plane.
5. Membuat kesimpulan dari hasil perhitungan dan saran yang dapat menjadi masukan bagi perusahaan.
3.6 Kerangka Penelitian
Adapun kerangka penelitian yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
Studi Lapangan di Pabrik MM Roti
Jumlah permintaan roti yang tidak stabil
Persediaan bahan baku yang harus disediakan
Menentukan jumlah produk yang harus diproduksi
Menentukan jumlah produksi optimum dengan menggunakan metode Fuzzy Linear Programming dan Cutting Plane
Pengumpulan referensi berupa jurnal dan buku mengenai metode Fuzzy Linear
Programming dan Cutting Plane
Pengumpulan data yang diperoleh dari catatan pembukuan laporan hasil produksi
di pabrik MM Roti yang meliputi jumlah bahan baku, harga bahan baku, data
produksi dan jumlah permintaan
Memodelkan fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam bentuk program linear
A
Gambar 3.1 Kerangka Penelitian
Menyelesaikan persoalan dengan mengubah model menjadi program linear fuzzy
Menyelesaikan fungsi dengan metode simpleks menggunakan bantuan
software LINDO
Mencari nilai optimal dari hasil fuzzy Linear Programming dengan menggunakan metode Cutting
Plane
Jumlah produksi roti optimal
Kesimpulan dan Saran A
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengumpulan Data
Pabrik MM Roti memproduksi berbagai jenis roti yaitu roti coklat, roti mocha, roti strawberry, roti blueberry, roti nanas, roti srikaya dan roti kelapa. Pabrik ini memiliki kapasitas produksi dalam satu hari sebanyak 11.000 buah roti dan memperoleh keuntungan sebesar Rp 2.531.500. Untuk menghitung jumlah produksi optimum diperlukan data dari Pabrik MM Roti sebagai berikut:
a. Komposisi Produk
Untuk membuat suatu produk, dibutuhkan bahan baku penyusun agar produk tersebut dapat diproses lebih lanjut. Dalam satu buah roti yang diproduksi dibutuhkan bahan baku (gr) sebagai berikut:
Tabel 4.1 Komposisi Bahan Baku Roti
No Bahan Baku Jenis Roti Persediaan
Coklat Mocha Strawberry Srikaya Kelapa
1 Tepung Terigu 20 20 20 20 20 2.500.000
2 Mentega 2,11 2,11 2,11 2,11 2,11 1.200.000
3 Gula 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 700.000
4 Garam 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 500.000
5 Ragi 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 100.000
6 Selai Coklat 18,94 - - - - 50.000
7 Selai Mocha - 15,78 - - - 40.000
8 Selai Strawberry - - 15,78 - - 40.000
9 Selai Srikaya - - - 10,52 - 50.000
10 Kelapa - - - - 16,84 50.000
b. Harga Bahan Baku
Harga bahan baku yang dibutuhkan untuk memproduksi roti dapat dilihat pada tabel 4.2 sebgai berikut:
Tabel 4.2 Harga Bahan Baku Roti Bahan Baku Harga ( kg ) Tepung Terigu Rp 7.000
Mentega Rp 8.000
Gula Rp 10.000
Garam Rp 6.000
Ragi Rp 17.000
Selai Coklat Rp 14.000 Selai Mocha Rp 16.000 Selai Strawberry Rp 16.000 Selai Srikaya Rp 18.000
Kelapa Rp 18.000
c. Data Produksi
Data produksi yang dibutuhkan dalam penelitian ini adalah data biaya produksi dalam sekali produksi, harga jual per buah dan keuntungan produksi.
Tabel 4.3 Data Biaya Produksi, Harga Jual dan Keuntungan Produksi Jenis Roti Biaya produksi Harga Jual Keuntungan
Produksi
Roti Coklat Rp 365.730 Rp 650 Rp 251.770
Roti Mocha Rp 359.080 Rp 650 Rp 258.420
Roti Strawberry Rp 366.680 Rp 650 Rp 250.820
Roti Srikaya Rp 376.180 Rp 650 Rp 240.320
Roti Kelapa Rp 399.950 Rp 675 Rp 241.300
d. Data Permintaan
Jumlah permintaan dalam penelitian ini dapat dilihat pada lampiran 1.
Berdasarkan data tersebut maka diambil nilai rata – rata permintaan setiap jenis roti sebagai berikut :
Tabel 4.4 Rata – Rata Jumlah Permintaan Roti
Jenis Roti Jumlah
Roti Coklat 1.647
Roti Mocha 2.429
Roti Strawberry 1.045 Roti Srikaya 1.215
Roti Kelapa 1.648
4.2 Penyusunan Model Matematika 4.2.1 Penentuan Variabel
Menurut Syukur (2016) variabel keputusan merupakan variabel persoalan yang mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Penelitian ini menggunakan lima jenis roti sebagai variabel yaitu :
𝑥1 = Roti Coklat 𝑥2 = Roti Mocha 𝑥3 = Roti Strawberry 𝑥4 = Roti Srikaya 𝑥5 = Roti Kelapa
4.2.2 Fungsi Tujuan dan Kendala
Tujuan dalam penelitian ini adalah memaksimumkan kentungan produksi dengan memaksimumkan jumlah produksi roti. Berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.2) maka fungsi tujuan dan kendala dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
Maksimalkan :
𝑍 = 265 𝑥1 + 272 𝑥2+ 264 𝑥3+ 253 𝑥4+ 254 𝑥5 Dengan kendala :
20 𝑥1+ 20 𝑥2+ 20 𝑥3+ 20 𝑥4+ 20 𝑥5 ≤ 2.500.000 2,11 𝑥1+ 2,11 𝑥2+ 2,11 𝑥3+ 2,11 𝑥4+ 2,11 𝑥5 ≤ 1.200.000
1,58 𝑥1+ 1,58 𝑥2+ 1,58 𝑥3+ 1,58 𝑥4+ 1,58 𝑥5 ≤ 700.000 0,03 𝑥1+ 0,03 𝑥2+ 0,03 𝑥3+ 0,03 𝑥4+ 0,03 𝑥5 ≤ 500.000 0,1 𝑥1+ 0,1 𝑥2+ 0,1 𝑥3+ 0,1 𝑥4+ 0,1 𝑥5 ≤ 100.000
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4+ 𝑥5 ≤ 11.000 18,94 𝑥1 ≤ 50.000
15,78 𝑥2 ≤ 50.000 15,78 𝑥3 ≤ 40.000 10,52 𝑥4 ≤ 40.000 16,84 𝑥5 ≤ 50.000
𝑥1 ≥ 1.647 𝑥2 ≥ 2.439 𝑥3 ≥ 1.045 𝑥4 ≥ 1.215 𝑥5 ≥ 1.647
Dalam penyediaan bahan baku, perusahaan akan memikirkan adanya safety stock. Ini dilakukan agar pada suatu saat terjadi peningkatan jumlah permintaan dapat terpenuhi.
Besaran safety stock yang ditetapkan oleh perusahaan adalah sebesar 10%, sehingga permasalahan di atas dapat dituliskan sebagai berikut :
Maksimalkan :
𝑍 = 265 𝑥1 + 272 𝑥2+ 264 𝑥3+ 253 𝑥4+ 254 𝑥5 Dengan kendala :
20 𝑥1+ 20 𝑥2+ 20 𝑥3 + 20 𝑥4 + 20 𝑥5 ≤ 2.500.000 + 250.000𝑡 2,11 𝑥1+ 2,11 𝑥2+ 2,11 𝑥3+ 2,11 𝑥4+ 2,11 𝑥5 ≤ 1.200.000 + 120.000𝑡
1,58 𝑥1+ 1,58 𝑥2 + 1,58 𝑥3+ 1,58 𝑥4 + 1,58 𝑥5 ≤ 700.000 + 70.000𝑡 0,03 𝑥1+ 0,03 𝑥2 + 0,03 𝑥3+ 0,03 𝑥4 + 0,03 𝑥5 ≤ 500.000 + 50.000𝑡 0,1 𝑥1+ 0,1 𝑥2+ 0,1 𝑥3+ 0,1 𝑥4+ 0,1 𝑥5 ≤ 100.000 + 10.000𝑡
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4+ 𝑥5 ≤ 11.000 18,94 𝑥1 ≤ 50.000 + 5.000𝑡
15,78 𝑥2 ≤ 50.000 + 5.000𝑡 15,78 𝑥3 ≤ 40.000 + 4.000𝑡 10,52 𝑥4 ≤ 40.000 + 4.000𝑡 16,84 𝑥5 ≤ 50.000 + 5.000𝑡
𝑥1 ≥ 1.647 𝑥2 ≥ 2.439 𝑥3 ≥ 1.045 𝑥4 ≥ 1.215 𝑥5 ≥ 1.647
4.3 Pengolahan Data 4.3.1 Proses Fuzzyfikasi
Untuk menghitung hasil dari kendala yang sudah ditentukan dengan menggunakan metode Fuzzy Linear Programming adalah melakukan perhitungan dengan t = 0 dan t
= 1.
a. t = 0
Pada saat t = 0 mempunyai arti bahwa semua fungsi kendala yang dibentuk tidak menggunakan batasan nilai toleransi interval. Berdasarkan persamaan (2.12) maka formulasinya menjadi :
Maksimalkan :
𝑍 = 265 𝑥1 + 272 𝑥2+ 264 𝑥3+ 253 𝑥4+ 254 𝑥5 Dengan kendala :
20 𝑥1+ 20 𝑥2+ 20 𝑥3+ 20 𝑥4+ 20 𝑥5 ≤ 2.500.000 2,11 𝑥1+ 2,11 𝑥2+ 2,11 𝑥3+ 2,11 𝑥4+ 2,11 𝑥5 ≤ 1.200.000 1,58 𝑥1+ 1,58 𝑥2+ 1,58 𝑥3+ 1,58 𝑥4+ 1,58 𝑥5 ≤ 700.000 0,03 𝑥1+ 0,03 𝑥2+ 0,03 𝑥3+ 0,03 𝑥4+ 0,03 𝑥5 ≤ 500.000 0,1 𝑥1+ 0,1 𝑥2+ 0,1 𝑥3+ 0,1 𝑥4+ 0,1 𝑥5 ≤ 100.000 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4+ 𝑥5 ≤ 11.000
18,94 𝑥1 ≤ 50.000 15,78 𝑥2 ≤ 50.000 15,78 𝑥3 ≤ 40.000 10,52 𝑥4 ≤ 40.000 16,84 𝑥5 ≤ 50.000
𝑥1 ≥ 1.647
𝑥2 ≥ 2.439 𝑥3 ≥ 1.045 𝑥4 ≥ 1.215 𝑥5 ≥ 1.647
Selanjutnya adalah menyelesaikan formulasi di atas menggunakan metode simpleks. Setelah membentuk tabel simpleks awal seperti yang dapat dilihat pada lampiran 2, langkah selanjutnya adalah menentukan kolom kunci yaitu kolom dengan nilai 𝑍 yang paling negatif. Berdasarkan tabel pada lampiran 2 maka dipilih kolom 𝑥2 sebagai kolom kunci. Kemudian tentukan baris kunci yaitu baris dengan nilai indeks terkecil. Berdasarkan hasil perhitungan maka dipilih baris 𝐴13 sebagai baris kunci dan didapat nilai kunci adalah 1. Lakukan iterasi pertama dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel slack dan artificial baru.
Setelah menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel slack dan artificial baru maka dapat dibentuk tabel simpleks yang baru. Karena masih ada nilai 𝑍 yang bernilai negatif, maka akan dilakukan iterasi kedua. Dengan cara yang sama akan ditentukan baris kunci, kolom kunci, nilai kunci dan baris – baris baru lainnya. Berdasarkan hasil perhitungan yang dapat dilihat pada lampiran 3, proses iterasi berhenti dan nilai optimal diperoleh pada iterasi ke-8. Proses iterasi akan dihentikan dan nilai optimal telah diperoleh apabila tidak ada lagi nilai 𝑍 yang bernilai negatif
Untuk membantu mempermudah proses perhitungan tabel simpleks dapat digunakan bantuan software LINDO. Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan Software LINDO seperti yang dapat dilihat pada lampiran 4, maka di dapatkan hasil optimum yaitu :
𝑥1 = 2639,92 𝑥2 = 3168,57 𝑥3 = 2328,52
𝑥4 = 1215 𝑥5 = 1648 Dengan nilai fungsi tujuan 𝑍𝐿 = 2. 902.144.
b. t = 1
Pada saat t = 1 mempunyai arti bahwa semua fungsi kendala yang dibentuk menggunakan batasan nilai toleransi interval. Berdasarkan persamaan (2.13) maka formulasinya menjadi :
Maksimalkan :
𝑍 = 265 𝑥1 + 272 𝑥2+ 264 𝑥3+ 253 𝑥4+ 254 𝑥5 Dengan kendala :
20 𝑥1+ 20 𝑥2+ 20 𝑥3+ 20 𝑥4+ 20 𝑥5 ≤ 2.750.000 2,11 𝑥1+ 2,11 𝑥2+ 2,11 𝑥3+ 2,11 𝑥4+ 2,11 𝑥5 ≤ 1.320.000
1,58 𝑥1+ 1,58 𝑥2+ 1,58 𝑥3+ 1,58 𝑥4+ 1,58 𝑥5 ≤ 770.000 0,03 𝑥1+ 0,03 𝑥2+ 0,03 𝑥3+ 0,03 𝑥4+ 0,03 𝑥5 ≤ 550.000 0,1 𝑥1+ 0,1 𝑥2+ 0,1 𝑥3+ 0,1 𝑥4+ 0,1 𝑥5 ≤ 110.000
𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4+ 𝑥5 ≤ 11.000 18,94 𝑥1 ≤ 55.000
15,78 𝑥2 ≤ 55.000 15,78 𝑥3 ≤ 44.000 10,52 𝑥4 ≤ 44.000 16,84 𝑥5 ≤ 55.000
𝑥1 ≥ 1.647 𝑥2 ≥ 2.439
𝑥3 ≥ 1.045 𝑥4 ≥ 1.215 𝑥5 ≥ 1.647
Selanjutnya adalah menyelesaikan formulasi di atas menggunakan metode simpleks dengan bantuan software LINDO. Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan Software LINDO seperti yang dapat dilihat pada lampiran 4 maka di dapatkan hasil optimum yaitu :
𝑥1 = 2903,91 𝑥2 = 3485,43 𝑥3 = 1747,67 𝑥4 = 1215 𝑥5 = 1648 Dengan nilai fungsi tujuan 𝑍𝑈 = 2.904.942.
4.3.2 Proses Defuzzyfikasi
Setelah melakukan perhitungan untuk t = 0 dan t = 1 maka langkah selanjutnya adalah menentukan nilai Fuzzy dengan membuat batasan baru yang merupakan turunan dari fungsi tujuan dengan menambahkan nilai λ. Dari kedua hasil tersebut, dapat ditentukan nilai 𝑝𝑜 yang merupakan hasil pengurangan dari nilai Z pada saat t = 1 dan t = 0 yaitu :
𝑝0 = 𝑍𝑈 − 𝑍𝐿
𝑝0 = 2.904.942 − 2.902.144 = 2.798.
Untuk menghitung nilai λ − cut berdasarkan bentuk (2.14) yaitu dengan mengambil nilai λ = 1 − t, akhirnya dapat dibentuk model program linear fuzzy sebagai berikut :
2.798λ − (265 𝑥1+ 272 𝑥2+ 264 𝑥3+ 253 𝑥4+ 254 𝑥5 ≤ −2.904.942 + 2.798
