LAPORAN MAKALAH
DEGENERASI PADA METODE SIMPLEKS Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Program Linear Dosen Pembimbing : Darta. S.Pd., M.Pd., dan Subaryo. S.Pd.
Disusun Oleh :
Nadia Nurulita Fathin (205050036) Luthfiatuz Zahro Nurfauziah (205050038)
Syifa Fahira (205050045) Firdan Firdaus (205050050) Nova Ayu Aulia (205050052)
Kayla Sakila (205050053) KELAS B
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PASUNDAN BANDUNG
2021/2022
2 DAFTAR ISI
DAFTAR ISI BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG B. TUJUAN
C. MANFAAT BAB II
PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR B. PENGERTIAN DEGENERASI
C. DEGENERASI PADA METODE SIMPLEKS D. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA
3 BAB I
PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Dalam matematika terdapat metode untuk mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan yang optimal. Metode ini adalah program linier.
Pemograman linier banyak diterapkan dalam , industri, militer, sosial, dan lain-lain.
Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. Pemrograman linier meliputi perencanaan aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai tujuan terbaik (menurut model matematika) diantara semua kemungkinan alternatif yang ada. Karateristik- karakteristik pada pemrograman linier adalah: fungsi tujuan (untuk memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu), fungsi pembatas yang membatasi tingkatan pencapaian tujuan, adanya beberapa alternatif tindakan yang bisa dipilih, fungsi tujuan dan kendala dalam permasalahan diekspresikan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan linier.
Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang dimungkinkan ke pemecahan dasar yang lainnya dan ini dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi (dengan jumlah iterasi yang terbatas) sehingga pada akhirnya akan tercapai suatu pemecahan dasar yangoptimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih optimal atau sama dari langkah-langkah sebelumnya.
B. Tujuan
1. Menyelesaikan masalah program linear menggunakan metode simpleks 2. Mendefinisikan degenerasi pada metode simpleks
C. Manfaat
1. Untuk menyelesaikan sebuah masalah secara optimal 2. Untuk menentukan nilai minimum dan maksimum biaya 3. Untuk menentukan keuntungan dan kerugian
4 BAB II
PEMBAHASAN A. Pengertian Metode Simpleks
Metode simpleks adalah teknik perhitungan iteratif yang dimulai dengan basis penyelesaian yang menguntungkan untuk persamaan kendala (Rumahorbo &
Mansyur, 2017). Jika persamaan tersebut belum optimal, metode simpleks memperlihatkan variabel mana yang dapat dimasukkan ke dalam basis penyelesaian yang menguntungkan untuk memperbaiki penyelesaian. Jika penyelesaian baru belum optimal pula, variabel lain diperlihatkan dan dimasukkan kedalam penyelesaian, begitu seterusnya hingga penyelesaian optimal diperoleh.
Masalah yang memuat tiga variabel atau lebih, dapat diselesaikan menggunakan metode simpleks biasa, dua fase, bilangan besar-M, dan direvisi. Metode simpleks yang dikembangkan oleh George B. Dantzig adalah sebuah prosedur perhitungan yang mengeksploitasi hasilnya tetapi dalam bentuk aljabar.
1. Metode Simpleks Biasa
Metode simpleks biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier yang kendala-kendala strukturalnya semua menggunakan tanda “≤” (lebih kecil sama dengan) masalah yang memuat variabel longgar (Bazaraa, Jarvis, &
Sherali, 1977).
2. Metode Simpleks Dua Fase
Masalah program linier yang dapat diselesaikan dengan metode ini adalah jika kendala strukturalnya memuat tanda “=” (sama dengan) dan/atau
“≥” (lebih besar sama dengan). Mungkin satu, dua, tiga, atau bahkan semua kendala strukturalnya memakai tanda tersebut. Tetapi, bila memuat cukup satu saja sudah cukup memenuhi kriteria memuat. Metode simpleks ini disebut metode simpleks dua fase karena pada prosesnya dilakukan dua fase / dua tahapan yaitu, tahap I dan tahap II.
3. Metode Simpleks Bilangan Besar-M
Metode ini dikembangkan oleh M. Charnes. Arti M di sini berarti bilangan besar. Pengertian bilangan besar-M di sini berbeda dengan konsep tak hingga, karena yang dimaksudkan bilangan tak hingga adalah bilangan yang besar sekali yang lambangnya ∞. Ciri masalah program linier yang dapat diselesaikan oleh metode simpleks bilangan besar-M adalah bila kendala
5 strukturalnya memuat tanda “≥” (lebih besar sama dengan), sama seperti pada metode simpleks dua fase.
4. Dual Simpleks
Teknik dualitas yakni sebuah konsep dalam pemrograman linear yang menjelaskan secara matematis bahwa sebuah kasus pemrograman linear terdiri dari masalah primal dan dual, dan konsep ini berguna untuk menginterprestasikan angka-angka yang terdapat pada tabel optimal dari masalah primal.
Menurut teori ini, setiap persoalan linier programming saling berhubungan timbal balik dengan persoalan linear programming yang lain merupakan “dual” nya. Hubungan timbal balik antara suatu persoalan linear programming yang asli (disebut primal) dengan persoalan linear programming yang lain (dual), akan menimbulkan manfaat berupa memudahkan orang dalam mengkaji suatu perhitungan dalam linear programming.
B. Pengertian Degenerasi
Dalam penggunaan metode simpleks syarat kelayakan ditunjukkan dengan rasio minimal (Hadley, 1962). Dalam aplikasinya dimungkinkan terjadi rasio minimal tersebut lebih dari satu. Apabila hal itu terjadi, maka satu atau lebih variabel basis akan bernilai nol pada iterasi berikutnya. Kejadian seperti ini dikatakan bahwa penyelesaian baru yang diperoleh mengalami kemerosotan (degenerate).
Sebuah solusi program linier dapat dikatakan mengalami degenerasi jika salah satu kendala non-negatif lainnya selesai dengan kesetaraan. Itu berarti bahwa salah satu variabel dasar sama dengan nol. Jadi, ada lebih dari satu set n kendala yang menentukan solusi data yang sama.
Pivot mengalami degenerasi jika solusi saat ini mengalami degenerasi dan mengingatkan variabel yang masuk memaksa variabel dasar bernilai nol menurun.
Kemudian pivot tidak mengubah solusi, tetapi ia mengubah set n kendala digunakan untuk mendefinisikannya. Jika tidak ada langkah-langkah penyelesaiannya yang dimasukkan, maka mungkin bahwa metode simpleks dapat berputar melalui urutan poros yang mengalami degenerasi tanpa pernah berhenti.
Peristiwa ini terjadi disebabkan permasalahan program linier tersebut memiliki satu fungsi kendala yang berlebih. Secara umum, pada peristiwa degenerasi, prosedur simpleks akan terulang dalam iterasi pada baris yang sama, atau nilai fungsi tujuan tidak berubah, atau perhitungan tidak pernah berhenti. Peristiwa ini
6 disebut cycling. Peristiwa degenerasi tidak selamanya seperti pada cycling, namun ada kemungkinan degenerasi tersebut sifatnya hanya sementara saja ( temporarily degenerate)
C. Degenerasi Pada Metode Simpleks
Digenerasi timbul apabila variabel basis mempunyai nilai nol (0) atau ruas kanan mempunyai nilai nol (0). Maka pada permasalah ini akan memungkinkan muncul 2 hal,yaitu:
1. Pada peristiwa yang sama atau nilai yang fungsi tujuan tidak berubah,atau perhitungan tidak pernah terhenti maka peristiwa ini disebut cycling
2. Peristiwa digenerasi tidak selamanya seperti cycling,namun ada kemungkinan digenerasi tersebut sifatnya hanya sementara saja, maka peristiwa itu dinamakan temporarily degenerate
Bila pada variabel non-basis yang telah berharga nol (0) kemudian pada iterasi berikutnya,kembali bernilai negatif (-). Maka optimalnya yang diambil adalah yang sebelumnya (untuk kasus maksimasi).
D. Contoh Soal dan Penyelesainnya Contoh Soal :
Selesaikan MPL berikut dengan menggunakan metode simpleks biasa.
Minimunkan 𝑧 = 𝑥1 + 𝑥2− 4𝑥3 dp. 𝑥1+ 𝑥2+ 2𝑥3 ≤ 9
𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 ≤ 2
−𝑥1+ 𝑥2 − 𝑥3 ≤ 4 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,2,3 Penyelesaian :
Langkah 1 : Mengubah Masalah a) 𝑥1 + 𝑥2+ 2𝑥3+ 𝑥4 = 9
𝑥1 + 𝑥2− 𝑥3 + 𝑥5 = 2
−𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 + 𝑥6 = 4 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,2,3, … ,6
b) 𝑧 = 𝑥1+ 𝑥2− 4𝑥3+ 0𝑥4+ 0𝑥5+ 0𝑥6
7 Diketik kembali menjadi
𝑧 − 𝑥1− 𝑥2+ 4𝑥3+ 0𝑥4+ 0𝑥5+ 0𝑥6 = 0 𝑥1+ 𝑥2+ 2𝑥3+ 𝑥4 = 9 𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 + 𝑥5 = 2 −𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 + 𝑥6 = 4 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,2,3, … ,6
Langkah 2 :
Tabel Simpleks Awal (TSA)
z 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 RHS OBE
𝑅0 z 1 -1 -1 4 0 0 0 0 𝑅0 → 𝑅0− 4𝑅1 𝑅1 𝑥4 0 1 1 2 1 0 0 9 𝑅1 → 1 2⁄ 𝑅1 𝑅2 𝑥5 0 1 1 -1 0 1 0 2 𝑅2 → 𝑅2+ 𝑅1 𝑅3 𝑥6 0 -1 1 -1 0 0 1 4 𝑅3 → 𝑅3+ 𝑅1
Langkah 3 : Menentukan Fungsi Tujuan 𝑧1− 𝑐1 = −11
𝑧2− 𝑐2 = −1 𝑧3− 𝑐3 = 4
𝑧4− 𝑐4 = 𝑧5− 𝑐5 = 𝑧6− 𝑐6 = 0
Langkah 4 : Menentukan Unsur Pusat (pe)
a) Unsur pusat 𝑧3− 𝑐3 = 4, atau sekolom dengan 𝑥3.
b) 𝑝𝑒 > 0, maka yang memenuhi syarat basis 𝑥4 yaitu 2. 𝑥3 masuk basis menggantikan 𝑥4.
Langkah 5 :
Tabel Simpleks Selanjutnya (TSL)
z 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 RHS OBE 𝑅0 z 1 -3 -3 0 -2 0 0 -18
𝑅1 𝑥3 0 1
⁄ 1 22 ⁄ 1 1
⁄ 0 2 0 9
⁄ 2 𝑅2 𝑥5 0 3
⁄ 3 22 ⁄ 0 1
⁄ 1 2 0 13
⁄ 2 𝑅3 𝑥6 0 −1
⁄ 3 22 ⁄ 0 1
⁄ 0 2 1 17
⁄ 2
8 Karena dari tabel tampak bahwa 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 ≤ 0, untuk semua j. Maka ini sudah selesai.
Dengan 𝑧𝑚𝑖𝑛 = −18, untuk 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 = 9 2⁄ .
Jadi penyelesaian MPL ini adalah 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 = 9 2⁄ dengan 𝑧𝑚𝑖𝑛 = −18.
9 BAB II
PENUTUP A. Kesimpulan
Metode simpleks adalah teknik perhitungan iteratif yang dimulai dengan basis penyelesaian yang menguntungkan untuk persamaan kendala (Rumahorbo &
Mansyur, 2017).
Digenerasi timbul apabila variabel basis mempunyai nilai nol (0) atau ruas kanan mempunyai nilai nol (0). Bila pada variabel non-basis yang telah berharga nol (0) kemudian pada iterasi berikutnya,kembali bernilai negatif (-). Maka optimalnya yang diambil adalah yang sebelumnya (untuk kasus maksimasi).
10 DAFTAR PUSTAKA
Darta & Kandaga, T. (2018). Program nLinear dan Aplikasinya. Bandung: Refika Afitama.
https://scholar.googleusercontent.com/scholar?q=cache:wW4mfvr3YvgJ:scholar.google.com/
+degenerasi+metode+simpleks&hl=en&as_sdt=0,5
https://www.coursehero.com/file/53468808/Makalah-metode-simplexdocx/
