DEGENERASI PADA METODE SIMPLEKS MAKALAH
Disusun guna memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Program Linear Dosen: Darta, S.Pd. M.Pd / Thesa Kandaga, S.Si.,M.Pd
Oleh:
Adellya Octaviani Suparman (205050014) Anas Fadhil Marzuqi (205050013) Nurul Sasmitha (205050009) Susan Wulansari (205050012) Tiara Rossa Nurfadhilah (205050010)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PASUNDAN BANDUNG
2022
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT., atas segala nikmat dan rahmat-Nya yang senantiasa memberi kehidupan kepada makhluk-Nya, dan dengan kasih sayangNya lah hingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Shalawat dan salam senantiasa kami sampaikan kepada Nabi Muhammad SAW, yang telah membawa manusia dari zaman jahiliyah hingga zaman yang beradab seperti saat ini.
Dalam rangka memenuhi tugas dari Bapak Darta, S.Pd. M.Pd dan Bapak Thesa Kandaga, S.Si.,M.Pd selaku dosen mata kuliah Program Linear dengan ini penulis membuat makalah yang berjudul “Degenerasi pada Metode Simpleks”. Semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca khususnya bagi penulis. Penulis sadar makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis tidak menutup atas saran dan kritik yang sifatnya membangun bagi penulisan berikutnya.
Bandung, 11 Juni 2022
i
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR...i
DAFTAR ISI...ii
BAB I PENDAHULUAN...1
1.1 Latar Belakang Masalah...1
1.2 Rumusan Masalah...1
1.3 Tujuan...1
BAB II PEMBAHASAN...2
2.1 Degenerasi...2
2.2 Jenis-jenis Degenerasi...2
2.3 Contoh Masalah dan Penyelesaiannya pada Kasus Degenerasi...3
BAB III PENUTUP...7
3.1 Simpulan...7
3.2 Saran...7
DAFTAR PUSTAKA...8
ii
BAB I PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang Masalah
Pemrograman Linear merupakan salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains. Pemograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahaan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Secara umum program linear adalah salah satu teknik menyelesaikan riset operasi, dalam hal ini program linear digunakan untuk menyelesaikan maslaah- masalah khusus mengenai optimasi (memaksimalkan atau meminimumkan), tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linear.Salah satu bentuk pada pemrograman linear ini adalah metode simpleks.
Metode Simpleks adalah tenik perhitungan iteratif yang dimulai dengan basis penyelesaian yang menguntungkan untuk persamaan kendala (Rumahorbo &
Mansyur, 2017). Pada metode simpleks ini tedapat kejadian khusus degenerasi, optimal alternatif, penyelesaian tidak terbatas, dan tidak ada penyelesaian layak.
I.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah sebagai berikut:
I.2.1 Apa yang dimaksud dengan Degenerasi?
I.2.2 Bagaimana contoh soal dan penyelesaian dari Degenerasi?
I.2.3 Apa saja jenis-jenis yang terdapat pada Degenerasi?
I.3 Tujuan
Adapun tujuan sebagai berikut:
1
2
I.3.1 Mengetahui apa yang dimaksud dengan Degenerasi.
I.3.2 Mengetahui contoh soal dan penyelesaian dari bentuk Degenerasi I.3.3 Mengetahui jenis-jenis dari Degenerasi.
BAB II PEMBAHASAN II.1 Degenerasi
Dalam penggunaan metode simpleks, syarat kelayakan ditunjukan dengan rasio minimal (Hadley, 1962). Dalam aplikasinya dimungkinkan terjadi rasio minimal tersebut lebih dari satu. Apabila hal itu terjadi, maka satu atau lebih variable basis akan bernilai nol pada iterasi berikutnya. Kejaduan seperti ini dikatakan bahwa penyelesaian baru yang di peroleh mengalami kemerosotan.
Sebuah solusi program linear dapat dikatakan mengalami degenerasi jika salah satu kendala non-negatif lainnya selesai dengan kesetaraan. Itu berarti bahwa salah satu variable dasar sama dengan nol. Jadi, ada lebih dari satu set dan kendala yang menentukan solusi dasar utama.
Pivot mengalami degenerasi jika solusi saat ini mengalami degenerasi dan meningkatkan variable yang masuk memaksa variable dasar bernilai nol menurun. Kemudian pivot tidak memgubah solusi, tetapi ia mengubah set n kendala digunakan untuk mendefinisikannya. Jika tidak ada langkah-langkah penyelesaian tidak dimasukan, maka mungkin (mawaupun bisa juga tidak mungkin) bahwa metode simpleks dapat berputar (siklik) melalui urutan poros yang mengalami degenerasi tanpa berhenti. Sangat kecil kemungkinannya, metode ini dapat berhenti. Beralih melalui seranngkaian panjang poros yang merosot sebelum akhirnya pindah kesolusi baru.
Pada peristiwa degenerasi, prosedur simpleks akan terulang dalam iterasi pada baris yang sama, atau nilai fungsi tujuan tidak berubah, atau perhitungan tidak pernah berhenti. Peristiwa ini disebut cycling. Namun ada kemungkinan degenerasi tersebut sifatnya hanya sementara saja.
II.2 Jenis-jenis Degenerasi
Degenerasi ini akan timbul jika variabel basis mempunyai nol atau ruas kanan mempunyai nilai nol.
3
4
Pada kasus ini kemungkinan muncul 2 hal:
1) Pemilihan Leaving Variable kembali ke langkah awal dan nilai yang dihasilkan oleh variabel keputusan dan fungsi tujuan adalah sama, yang nantinya akan terjadi loop/cycling.
2) Degenerasi temporer: pada ruas kanan mengandung nilai nol tetapi hasil yang diperoleh pada langkah berikutnya akan menghilangkan nilai nol sehingga variable keputusan mungkin akan berubah nilanya dan nilai fungsi tujuan akan sama dengan langkah sebelumnya.
Bila pada variabel non-basis yang telah berharga nol kemudian pada iterasi berikutnya, kembali bernilai negatif (-), maka optimalnya yang diambil adalah yang sebelumnya (untuk kasus maksimasi).
Degenerasi ada 2 macam:
1. Degenerasi Tetap 2. Degenerasi Temporer
II.3 Contoh Masalah dan Penyelesaiannya pada Kasus Degenerasi II.3.1 Contoh soal dari Degenerasi Tetap
1. Maksimumkan : Z = 12 X1 + 4 X2
Kendala : 8 X1 + 2 X2 ≤ 16 6 X1 + 3 X2 ≤ 12 X1, X2 ≥ 0 Pembahasan:
Langkah 1: Mengubah Kendala Z-12 X1 – 4 X2 – 0 X3 – 0X4 = 0 8 X1 + 2 X2 + X3 = 16 6 X1 + 3 X2 + 0 X3 + X4 = 12
5
Langkah 2: Membuat Tabel Simpleks Awal (TSA) TSA
Basis Z X1 X2 X3 X4 RH S
Pe(bj/aij) OBE
Z 1 -12 -4 0 0 0 - 0
X3 0 8 2 1 0 16 2 b2
8 X4 0 6 3 0 1 12 2 6b2’- b3
Langkah 3: Menilai fungsi tujuan
Baris Z harus positif dan atau nol(0) karena Z maksimum Langkah 4 : Menentukan unsur utama (Pe)
Satu utama terletak pada kolom X1
Pe ≥ 0 dan harus terkecil. Maka satu utama terletak pada kolom X3
baris kedua. Kemudian X1 harus masuk basis menggantikan X3.
TS – 2
TS – 3
Basis Z X1 X2 X3 X4 RHS
Z 1 0 0 1 2/3 24
X1 0 1 0 1/4 -
1/6 2
X2 0 0 1 -1/2 2/3 0
Basis Z X1 X2 X3 X4 RH S
Pe(bj/aij) OBE
Z 1 0 -1 3/2 0 24 -
X1 0 1 1/4 1/8 0 2 8 1
4b3'−b2
X4 0 0 3/2 -3/4 1 0 0 2
3b3
6
Pada tabel diatas (TSA) terdapat dua rasio minimum, maka pemilihan leaving variabel atau kolom pivot dilakukan secara sembarang. Ini menjadi lantaran variabel basis bernilai nol pada iterasi pertama, yang menghasilkan solusi dasar degenerasi.
Solusi optimal tercapai pada iterasi kedua (Z = 24) yang memperlihatkan solusi sama dengan iterasi 1. Disini terlihat adanya mekanisme simpleks uang berulang akan tetapi tidak memperbaiki nilai Z. Nilai variabel dan fungsi tujuan pada iterasi 1 dan 2 sama yaitu X1 = 2, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, dan Z = 24.
Meskipun pada iterasi 1 dan 2 (TS-2 dan TS-3) memperlihatkan hasil yang sama, tetapi pada iterasi 1 tetap diteruskan hingga memenuhi kondisi optimal. Mengapa kita tidak menghentikan saja perhitungannya ? Karena tidak semua masalah degenerasi menghasilkan degenerasi yang tetap, tetapi ada juga yang sifatnya temporer dimana iterasi berikutnya menghilang.
II.3.2 Contoh masalah Degenerasi Temporer 1. Maksimumkan : Z =3 X1+2 X2
Kendala : 4 X1+3 X2≤ 12 4 X1+X2≤ 8 4 X1−X2≤ 8 X1, X2≥ 0 Pembahasan:
Langkah 1 : Mengubah Kendala Z =3 X1+2 X2+0 X3+0 X4+0 X5
Z −3 X1−2 X2−0 X3−0 X4−0 X5=0 4 X1+3 X2+X3=12
4 X1+X2+0 X3+X4=8 4 X1−X2+0 X3+0 X4+X5=8
Langkah 2 : Membuat Tabel Simpleks Awal (TSA)
7
TS-A
Z X1 X2 X3 X4 X5 RHS Pe OBE
Z 1 -3 -2 0 0 0 0
X3 0 4 3 1 0 0 12 3 4 b3'−b2
X4 0 4 1 0 1 0 8 2 1
4b3
X5 0 4 -1 0 0 1 8 2 4 b3'−b4
TS-1
Z X1 X2 X3 X4 X5 RHS Pe OBE
Z 1 0 −5
4
0 3
4
0 6
X3 0 0 2 1 1 0 4 2 1
2b2
X1 0 1 1
4
0 1
4
0 2 8 1
4b2'−b3
X5 0 0 -2 0 -1 1 0 -1 2 b2'+b4
TS-2
Z X1 X2 X3 X4 X5 RHS
Z 1 0 0 5
8
1 8
0 17
2
X2 0 0 1 1
2
−1 2
0 2
X1 0 1 0 −1
8
3 8
0 3
2
X5 0 0 0 1 -2 1 4
Jadi, penyelesaian MPL nya adalah X1=3
2, X2=2 dengan Z =17 2
BAB III PENUTUP III.1 Simpulan
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear yaitu dengan menggunakan cara Metode Simpleks. Tapi perlu diketahui bahwa pada metode simpleks ini dapat terjadi kasus khusus yang disebut Degenerasi. Pada proses degenerasi ini dibagi kembali menjadi dua:
1) Degenerasi Tetap 2) Degenerasi Temporer
Suatu masalah dapat mengalami degenerasi variabel basis mempunyai nol atau ruas kanan mempunyai nilai nol. Itu berarti bahwa salah satu variabel dasar sama dengan nol. Jadi, ada lebih dari satu set dan kendala yang menentukan variabel dasar utama. Sehingga akan menyebabakan prosedur simpleks akan terulang dalam iterasi pada baris yang sama, atau nilai fungsi tujuan tidak berubah, atau perhitungan tidak pernah berhenti. Peristiwa ini disebut loop/cycling. Namun ada kemungkinan degenerasi tersebut sifatnya hanya sementara saja.
III.2 Saran
Semoga dengan adanya makalah ini dapat bermanfaat bagi yang membacanya dan dapat menambah pengetahuan pembaca mengenai Degenerasi pada Metode Simpleks. Penulis tahu bahwa pembuatan makalah ini masih jauh dari kata sempurna sehingga tidak menutup akan saran dan kritik yang disampaikan oleh para pembaca untuk penulisan berikutnya.
8
DAFTAR PUSTAKA
Darta & Kandaga, T. (2018). Program Linear dan Aplikasinya. Bandung:
Refika. Lubis, R. (2015). Metode Simpleks.
9
