Fungsi Tujuan Maksimasi Menggunakan Metode Simpleks

(1)

FUNGSI TUJUAN MAKSIMASI MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS Disusun untuk memenuhi tugas makalah pada mata kuliah Program Linier

Dosen Pengampu:

Dr.Dra Nizlel Huda, M.Kes.

Drs. Wardi Syafmen, M.Si.

Disusun Oleh:

Kelompok 13

1. Nofita Elfitri A1C223059

2. Vemi Azzahra A1C223091

3. Azmi Gunawan A1C223105

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JAMBI TAHUN 2024/2025

(2)

KATA PENGANTAR

Pertama-tama kami panjatkan puja dan puji syukur atas rahmat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik dan tepat waktu.

Tidak lupa kami ucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Dra. Nizlel Huda, M.Kes.dan Bapak Drs. Wardi Syafmen, M.Si. Selaku dosen pengampu mata kuliah Program Linear yang membimbing kami dalam pengerjaan tugas makalah ini. Kami juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman semua, yang selalu membantu dan mendukung kami dalam pembuatan makalah ini. Dalam makalah ini kami akan menjelaskan tentang “Fungsi Tujuan Maksimasi Menggunakan Metode Simpleks”.

Mungkin dalam pembuatan makalah ini terdapat kesalahan yang belum kami ketahui. Maka dari itu kami mohon saran dan kritik dari teman-teman maupun dosen, demi tercapainya makalah yang sempurna.

Jambi, 14 Maret 2025

Kelompok 13

(3)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...i

DAFTAR ISI...ii

BAB I PENDAHULUAN...1

A. Latar Belakang...1

B. Rumusan Masalah...1

C. Tujuan... 2

BAB II PEMBAHASAN... 3

A. Bentuk Standar Model Program Linier...3

B. Metode Simpleks... 4

C. Algoritma Simpleks Untuk Persoalan Maksimasi... 13

BAB III PENUTUP... 20

A. Kesimpulan... 20

B. Saran ... 20

DAFTAR PUSTAKA... 21

(4)

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Program linier memiliki beberapa metode dan cara yang dikembangkan untuk mencari solusi dari berbagai alternatif. Dimana solusi tersebut dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi dan tujuan yang optimum.

Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan program linier yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar. Algoritma simpleks ini diterangkan dengan menggunakan logika secara aljabar matriks, sedemikian sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien.

Algoritma simpleks adalah serangkaian langkah-langkah yang digunakan dalam metode simpleks untuk menemukan solusi optimal dari masalah program linier. Algoritma ini melibatkan konversi formulasi masalah ke dalam bentuk standar, pencarian solusi basis fisibel, identifikasi variabel yang masuk dan keluar dari basis, serta iterasi untuk mencapai solusi optimal. Algoritma simpleks sangat efektif dalam menangani masalah optimasi maksimasi di mana tujuan untamanya adalah untuk mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan yang diberikan.

Pemahaman yang baik tentang program linier akan memberikan manfaat yang besar dalam karier mahasiswa di berbagai bidang, karena kemampuan untuk memecahkan masalah kompleks dan mengoptimalkan keputusan merupakan keterampilan yang sangat dicari dalam dunia kerja.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang di dapat adalah sebagai berikut.

1. Apa saja bentuk standar model program linier.

2. Bagaimana metode simpleks

3. Bagaimana algoritma simpleks untuk persoalan maksimasi 4. Apa contoh soal dan bagaimana cara penyelesaiannya.

(5)

C. Tujuan

1. Mengetahui apa saja bentuk standar model program linier.

2. Memahami metode simpleks

3. Memahamai algoritma simpleks untuk persoalan maksimasi 4. Mengetahui contoh dan cara penyelesaiannya.

(6)

BAB II PEMBAHASAN

Algoritma simpleks adalah serangkaian langkah-langkah yang digunakan dalam metode simpleks untuk menemukan solusi optimal dari masalah program linier. Algoritma ini melibatkan konversi formulasi masalah ke dalam bentuk standar, pencarian solusi basis fisibel, identifikasi variabel yang masuk dan keluar dari basis, serta iterasi untuk mencapai solusi optimal. Algoritma simpleks sangat efektif dalam menangani masalah optimasi maksimasi di mana tujuan untamanya adalah untuk mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan yang diberikan.

A. Bentuk Standar Model Program Linier

Telah diterangkan bahwa model program linier dapat dapat memiliki pembatas-pembatas yang bertanda ≤ , = , maupun ≥ . Demikian juga variabel- variabelnya yang dapat berupa variabel non-negatif, dapat pula variabel-variabel yang tidak terbatas dalam tanda (unrestricted in sign).

Di dalam menyelesaikan persoalan program linier dengan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah bentuk standar, yaitu bentuk formulasi yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1. Seluruh pembatas haruslah berbentuk persamaan (bertanda =) dengan ruas kanan yang non-negatif.

2. Seluruh variabel harus merupakan variabel non-negatif.

3. Fungsi tujuannya dapat berupa bentuk maksimasi atau minimasi.

Untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang belum standar ke dalam bentuk standar ini dapat dilakukan berbagai macam cara sebagai berikut.

1. Pembatas (constraint)

a. Pembatas bertanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu persamaan (bertanda =) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu variabel slack pada ruas kiri pembatas.

Contoh

(7)

𝑥₁+ 2𝑥₂ ≤ 6

Kita tambahkan slack 𝑆₁ ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan

𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝑆₁ = 6, 𝑆₁ ≥ 0

Jika batas atas menyatakan batas penggunaan suatu sumber, maka akan menyatakan banyaknya sumber yang tidak terpakai.

b. Ruang kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan non- negatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1.

Contoh

2x₁− 3x₂− 7x₃=− 5, secara matematis adalah sama dengan

−2x₁+ 3x₂+ 7x₃ = 5.

c. Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.

2 < 4 adalah sama dengan−2 >− 4 2x₁− x₂≤− 5adalah sama dengan−2x₁+ x₂ ≥ 5

d. Pembatas dengan ketidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua ketidaksamaan.

2. Variabel

Suatu variabel yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua variabel non-negatif dengan menggunakan substitusi.

3. Fungsi tujuan

Walaupun model standar program linier dapat berupa maksimasi atau minimasi, kadang-kadang diperlukan perubahan dari suatu bentuk ke bentuk lainnya. Dalam hal ini, maksimasi dari suatu fungsi adalah sama dengan minimasi negatif fungsi yang sama.

B. Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrem yang optimum. Berikut pengertian dan beberapa terminologi yang bayak digunakan dalam membicarakan metode simpleks. Untuk itu, perhatikan model program linier berikut ini:

(8)

Maks, atau min : 𝑧 = 𝑐₁𝑥₁+ 𝑐₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑐_𝑛𝑥_𝑛 Berdasarkan :

𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁ 𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂

⋮

𝑎_𝑚1𝑥₁+ 𝑎_𝑚2𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑚 𝑥_𝑖≥ 0 (𝑖 = 1, 2, ⋯, 𝑛)

Jika kita definisikan

A =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ⋯ 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_2𝑛

⋮ 𝑎_𝑚1

⋮ 𝑎_𝑚2

⋯

⋮ 𝑎_𝑚𝑛

; X = 𝑥₁ 𝑥₂

⋮ 𝑥_𝑛

; b = 𝑏₁ 𝑏₂

⋮ 𝑏_𝑚

Maka pembatas dari model tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk sistem persamaan𝐴𝑥 = 𝑏.

Perhatikan suatu sistem 𝐴𝑥 = 𝑏 dari m persamaan linier dalam n variabel (𝑛 > 𝑚).

Definisi

1. Solusi basis

Solusi basis untuk 𝐴𝑥 = 𝑏 adalah solusi dimana terdapat sebanyak- banyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis dari 𝐴𝑥 = 𝑏 maka sebanyak (𝑛 − 𝑚) variabel harus dinolkan.

Variabel-variabel yang dinolkan disebut variabel non-basis (NBV).

selanjutnya, didapatkan harga dari 𝑛 − (𝑛 − 𝑚) = 𝑚 variabel lainnya yang memenuhi𝐴𝑥 = 𝑏, yang disebutvariabel basis(BV).

2. Solusi basis fisibel

Jika seluruh variabel pada suatu solusi basis berharga non-negatif, maka solusi itu disebutsolusi basis fisibel(BFS).

3. Solusi basis fisibel titik ekstrem

Yang dimaksud dengan solusi fisibel titik ekstrem atau titik sudut ialah solusi fisibel yang terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya.

(9)

Ada tiga sifat pokok titik ekstrem ini, yaitu:

Sifat. 1: Jika hanya ada satu solusi optimum, maka pasti ada satu titik ekstrem.

Jika solusi optimum-nya banyak, maka paling sedikit ada dua titik ekstrem yang berdekatan. (Dua buah titik ekstrem dikatakan berdekatan jika segmen garis yang menghubungkan keduanya itu terletak pada sudut dari batas daerah fisibel.

Sifat. 2: Hanya ada sejumlah terbatas titik ekstrem pada setiap persoalan.

Sifat. 3: Jika suatu titik ekstrem memberikan harga z yang lebih baik dari yang lainnya, maka pasti solusi itu merupakan solusi optimum.

Sifat 3 ini menjadi dasar dari metode simpleks yang prosedur-nya meliputi 3 langkah sebagai berikut.

1. Langkah inisialisasi : mulai dari titik ekstrem(0,0).

2. Langkah iteratif : bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang lebih baik. Langkah ini diulang sebanayak diperlukan.

3. Aturan penghentian : memberikan langkah ke-2 apabila telah sampai pada titik ekstrem yang terbaik (titik optimum).

Ada dua aturan yang berlaku dalam memilih titik ekstrem yang berikut setelah mencapai suatu titik ekstrem tertentu, yaitu.

1. Titik ekstrem yang berikutnya ini harus merupakan titik ekstrem yang berdekatan dengan titik ekstrem yang sudah dicapai. Sebagai contoh, dari titik A tidak bisa bergerak langsung ke titik D atau C karena mereka tidak berdekatan.

2. Solusi ini tidak akan pernah kembali ke titik ekstrem yang telah dicapai sebelumnya. Misalnya E tidak akan kembali lagi ke A.

Sebagai ringkasan dari ide metode simpleks ini ialah bahwa metode ini selalu dimulai pada suatu titik sudut fisibel, dan selalu bergerak melalui titik sudut

(10)

fisibel yang berdekatan, menguji masing-masing titik mengenai optimalitasnya sebelum bergerak pada titik lainnya.

Untuk mengekspresikan ide ini dalam konteks metode simpleks, diperlukan suatu korespondensi antara metode grafis dan metode simpleks mengenai ruang solusi dan titik-titik sudut (titik-titik ekstrem) sebagai berikut.

Definisi geometris (metode grafis) Definisi aljabar (metode simpleks)

Ruang solusi Pembatas-pembatas dalam bentuk

standar.

Titik sudut/ekstrem Solusi-solusi basis dari bentuk standar.

Tabel 3.1 : Korespondensi metode grafis dengan metode simpleks

Contoh

PT Indah Gelas adalah suatu perusahaan yang memproduksi kaca berkualitas tinggi untuk digunakan sebagai jendela dan pintu kaca. Perusahaan ini memiliki tiga buah pabrik, yaitu pabrik 1 yang membuat bingkai aluminium, pabrik 2 yang membuat bingkai kayu, dan pabrik 3 yang digunakan untuk memproduksi kaca dan merakit produk keseluruhan. Saat ini perusahaan mendapat pesanan berupa dua macam produk baru yang potensial, yaitu pintu kaca setinggi 8 kaki dengan bingkai aluminium (produk 1), dan jendela berukuran 4 × 6 kaki dengan bingkai kayu (produk 2). Karena perusahaan sedang mengalami penurunan pendapatan sebagai akibat resesi dunia, maka pimpinan perusahaan merasa perlu untuk memperbaiki/mengubah lintasan produksinya dengan cara menghentikan pembuatan beberapa produk yang tidak menguntungkan sehingga kapasitas produksi dapat digunakan untuk membuat salah satu atau kedua produk baru yang potensial tersebut. Kepala bagian pemasaran telah menyimpulkan bahwa perusahaan harus dapat menjual kedua produk itu sebanyak-banyaknya, yaitu sejumlah yang dapat dibuat dengan kapasitas yang ada. Akan tetapi, karena kedua produk itu akan bersaing untuk menggunakan kapasitas yang sama di pabrik 3, maka persoalannya ialah : berapa banyakkah masing-masing produk harus dibuat

(11)

Penyelesaian

Maka sebagai ilustrasi dari representasi ruang solusi secara aljabar ini, kita lihat lagi dari persoalan di atas. Bentuk standar model persoalan ini adalah:

Maksimumkan : z = 3x₁+ 5x₂+ 0S₁+ 0S₂+ 0S₃

Berdasarkan pembatas : x₁ + S₁ = 4

2x₂ + 0S₂ = 12 3 x₁+ 2x₂ + 0S₃ = 18 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑆₁, 𝑆₂, 𝑆₃ ≥ 0

Langkah (1). Konversi pada bentuk standar Maksimumkan : z = 3x₁+ 5x₂

Berdasarkan : x₁ + S₁ = 4 2x₂ + S₂ = 12 3x₁+ 2x₂ + S₃ = 18 x₁, x₂, S₁, S₂, S₃ > 0 Formulasi untuk bentuk kanonik-nya adalah sebagai berikut.

Baris 0 z − 3x₁− 5x₂ = 0

Baris 1 𝑥₁ + 𝑆₁ = 4

Baris 2 2𝑥₂ + 𝑆₂ = 12

Baris 3 3x₁+ 2x₂ + S₃ = 18

Langkah (2). Menentukan solusi fisibel (BFS)

Dari bentuk kanonik di atas, jika kita tetapkan maka akan kita dapatkan harga dan , yaitu sama dengan ruas kanan masing-masing baris. Dengan mengikutsertakan baris 0 maka kita dapatkan

BV = {𝑧, 𝑆₁, 𝑆₂, 𝑆₃} NBV = {𝑥₁, 𝑥₂}

BFS-nya adalah z = 0, S₁ = 4, S₂= 12, S₃= 18 𝑥₁= 𝑥₂ = 0

Langkah (3). Mencari variabel basis (entering variable)

(12)

Dari formulasi kanonik di atas maka dapat diketahui bahwa seluruh NBV mempunyai koefisien yang berharga negatif sehingga pada iterasi ini BFS belum optimal.

Langkah (4). Menghitung rasio dan melakukan ERO Rasio dari baris 1 adalah⁴

0=−

Rasio dari baris 2 adalah¹²

2 = 6 (rasio terkecil) Rasio dari baris 3 adalah¹⁸

2 = 9

Adapun tabel simpleks-nya adalah sebagai berikut.

Iterasi 0

BV z 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃ Solusi

z 1 −3 −5 0 0 0 0

𝑆₁ 0 1 0 1 0 0 4

𝑆₂ 0 0 2 0 1 0 12

𝑆₃ 0 3 2 0 0 1 18

Dengan menggunakan rumus, maka di dapat Baris 2 (S₂) :0

2 0 2

2 2

0 2

1 2

0 2

12

2 → 0 0 1 0 1

2 0 6

Baris 0 (z) :

1 −3 −5 0 0 0 0

0 0 1 0 1

2 0 6 1 −3 0 0 5

2 30

( − 5)

−

Baris 1 (S₁) : 0 1 0 1 0 0 4

Baris 3 (S₃) :

0 3 2 0 0 1 18 0 0 1 0 1

2 0 6 0 3 0 0 − 1 1 6

(2)

−

(13)

Adapun bentuk kanonik yang baru adalah sebagai berikut.

Baris 0 z − 3x₁ +⁵

2𝑆₂ = 30

Baris 1 𝑥₁ + 𝑆₁ = 4

Baris 2 𝑥₂ +¹

2𝑆₂ = 6

Baris 3 3𝑥₁ − 𝑆₂+ 𝑆₃ = 6

Maka diperoleh BV : {z, S₁, x₂, S₃} NBV : {x₁, S₂}

BFS : z = 30, S₁ = 4, x₂ = 6, S₃= 6dan S₂ = x₁ = 0

Iterasi 1

BV z 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃ Solusi Rasio

z 1 −3 0 0 5

2 0 30

𝑆₁ 0 1 0 1 0 0 4 4

𝑥2 0 0 1 0 1

2 0 6

𝑆₃ 0 3 0 0 -1 1 6 2

Dengan menggunakan rumus, maka di dapat Baris 3 (S₃) :0

3 3 3

0 3

−1 3

1 3

6

3 → 0 1 0 0 −1 3

1 3 2

Baris 0 (z) :

1 −3 0 0 5

2 0 30 0 1 0 0 −1

3 1 3 2 1 0 0 0 3

2 1 36

( − 3)

−

(14)

Baris 1 (S₁) :

0 1 0 1 0 0 4

0 1 0 0 −1 3

1 3 2

0 0 0 0 1

3 −1 3 2

(1)

−

Baris 2 (x₂) : 0 0 1 0 1

2 0 6

Iterasi 2

BV z 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑆₁ 𝑆₂ 𝑆₃ Solusi

z 1 0 0 0 3

2 1 36

𝑆₁ 0 0 0 1 1

3 −1

3 2

𝑥₂ 0 0 1 0 1

2 0 6

𝑥₁ 0 1 0 0 −1

3 1

3 2

Baris 0 z +³

2𝑆₂+ 𝑆₃ = 36

Baris 1 𝑆₁ +¹

3𝑆₂−¹

3𝑆₃ = 2

Baris 2 𝑥₂ +¹

2𝑆₂ = 6

Baris 3 𝑥₁ −¹

3𝑆₂+¹

3𝑆₃= 2

Maka diperoleh BV : {z, S₁, x₂, x₁} NBV : {S₃, S₂}

BFS : z = 36, S₁ = 2, x₁ = 2, x₂ = 6 dan S₂ = S₃ = 0

(15)

Pembuktian

z = 3 2 + 5 6 = 36

Jadi keruntungan maksimum-nya adalah $36, dengan pembuatan produk 1 sebanyak 2 unit dan pembuatan produk 2 sebanyak 6 unit.

Dari uraian di atas, ada dua hal yang dapat kita simpulkan, yaitu:

1. Karena bentuk standar persoalan ini memiliki 3 persamaan pembatas dengan 5 anu, maka setiap titik ekstrem pasti memiliki sebanyak2 = (5 − 3)variabel yang berharga 0.

2. Titik ekstrem yang berdekatan, berbeda hanya pada 1 variabel.

Kesimpulan pertama menunjukkan bahwa kita dapat mengidentifikasi titik-titik ekstrem suatu ruang solusi secara aljabar, dengan cara mengenolkan sebanyak (n − m) variabel. Banyaknya persamaan pembatas fungsional adalah m, sedangkan banyaknya variabel(m ≤ n)adalah n.

Secara matematis, solusi yang diperoleh dari pengenolan variabel itu kemudian disebut sebagai solusi basis (basic solution). Jika suatu solusi basis dapat memenuhi pembatas-pembatas non-negatif, maka solusi ini disebut sebagai solusi basis fisibel (feasible basic solution). Variabel-variabel yang dinolkan disebut sebagai variabel-variabel nonbasis (non-basic variables), dan sisanya disebut sebagai variabel-variabel basis (basic variables). Jumlah iterasi maksimum dalam metode simpleks adalah sama dengan jumlah maksimum solusi basis dalam bentuk standar.

Dengan demikian, jumlah iterasi simpleks ini tidak akan lebih dari:

𝐶_𝑚^𝑛 = 𝑛!

[(𝑛 − 𝑚)! 𝑚! ]

Dari kesimpulan yang kedua, titik ekstrem yang berdekatan-nya hanya berbeda pada satu variabel, kita dapat menetapkan titik ekstrem berikutnya dengan mengganti variabel non-basis (variabel yang dinolkan) yang telah dicapai dengan variabel basis yang telah dicapai.

(16)

C. Algoritma Simpleks Untuk Persoalan Maksimasi

Untuk menyelesaikan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks, kita dapat melakukan beberapa langkah yaitu:

1. Konversi-kan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

2. Cari solusi basis fisibel (BFS).

3. Jika seluruh NBV mempunyai fungsi koefisien non-negatif (artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan (baris persamaan z yang biasa juga disebut garis 0), maka BFS sudah optimal. Jika pada baris 0 masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah satu variabel yang mempunyai koefisien paling negatif pada baris 0 itu.

Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variable, disingkat EV).

4. Hitung rasio dari (ruas kanan)/(koefisien EV) pada setiap baris pembatas dimana EV-nya mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel non-basis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis atauleaving variable, disingkat LV.

Lakukan operasi baris elementer (ERO) untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil ini menjadi berharga 1 dan berharga 0 pada baris lain-lainnya.

Catatan : Jika ditemukan lebih dari satu baris yang mempunyai rasio positif terkecil, pilihlah salah satu. Cara ini tidak akan memengaruhi perhitungan akhir.

Contoh

1. PT. Klamby tekstil memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutra dan kain wol.untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutra, bahan baku benang wol.

(17)

Maksimum penyediaan benang sutra adalah 60Kg hari, benang wol adalah 40Kg hari. Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp40.000.000,00 untuk kain sutra dan Rp30.000.000,00 untuk kain wol.

Masalahnya adalah begaiman menentukan jumlah unit setiap produk yang akan di-produksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel sebagai berikut.

Jenis Bahan Baku

Kg Bahan Baku Maksimum

penyediaan Kain Sutra Kain Wol

Benang Sutra 2 3 60

Benang Wol 2 1 40

Keuntungan 40 juta 30 juta

Penyelesaian

Diketahui : 𝑥₁=Jumlah benang sutra 𝑥₂ =Jumlah benang wol

Fungsi tujuan maksimum : z = 4x₁+ 3x₂ (dalam puluhan juta)

Kendala : 2x₁+ 3x₂≤ 60

2x₁+ x₂≤ 40 x₁, x₂ > 0

Berdasarkan : 2x₁+ 3x₂+ S₁ = 60 2x₁+ x₂ + S₂ = 40 x₁, x₂, S₁, S₂ > 0

Formulasi untuk bentuk kanonik-nya adalah sebagai berikut.

Baris 0 z − 4x₁− 3x₂ = 0 Baris 1 2𝑥₁+ 3𝑥₂+ 𝑆₁ = 60

(18)

Baris 2 2𝑥₁+ 𝑥₂ + 𝑆₂= 40

Langkah (2). Menentukan solusi fisibel (BFS)

Dari bentuk kanonik di atas, jika kita tetapkan maka akan kita dapatkan harga dan , yaitu sama dengan ruas kanan masing-masing baris. Dengan mengikutsertakan baris 0 maka kita dapatkan

BV = {𝑧, 𝑆₁, 𝑆₂} NBV = {𝑥₁, 𝑥₂}

BFS-nya adalah z = 0, S₁ = 60, S₂= 40 𝑥₁= 𝑥₂ = 0

Langkah (3). Mencari variabel basis (entering variable)

Langkah (4). Menghitung rasio dan melakukan ERO Rasio dari baris 1 adalah⁶⁰

2 = 30 Rasio dari baris 2 adalah⁴⁰

2 = 20 (rasio terkecil)

Iterasi 0

BV z 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 Solusi

z 1 −4 −3 0 0 0

𝑆₁ 0 2 3 1 0 60

𝑆₂ 0 2 1 0 1 40

2 2 2

1 2

0 2

1 2

40

2 → 0 1 1

2 0 1 2 20

(19)

Baris 0 (z) :

1 −4 −3 0 0 0

0 1 1

2 0 1 2 20 1 0 −1 0 2 80

( − 4)

−

Baris 1 (S₁) :

0 2 3 1 0 60 0 1 1

2 0 1 2 20 0 0 2 1 − 1 20

(2)

−

Baris 0 z − x₂ + 2𝑆₂ = 80 Baris 1 2𝑥₂+ 𝑆₁− 𝑆₂ = 20 Baris 2 𝑥₁+¹

2𝑥₂ +¹

2𝑆₂ = 20

Maka diperoleh BV : {z, S₁, x₁} NBV : {S₂, x₂}

BFS : z = 80, S₁ = 20, x₁ = 20 dan S₂ = x₂ = 0

Iterasi 1

BV z 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑆₁ 𝑆₂ Solusi Rasio

z 1 0 −1 0 2 80

𝑆₁ 0 0 2 1 −1 20 10

𝑥₁ 0 1 1

2 0 1

2 20 40

Dengan menggunakan rumus, maka di dapat Baris 1 (S₁) :0

2 0 2

2 2

1 2

−1 2

20

2 → 0 0 1 1 2 −1

2 10

(20)

Baris 0 (z) :

1 0 −1 0 2 80

0 0 1 1

2 −1 2 10

1 0 0 1

2 3 2 90

( − 1)

−

Baris 2 (x₁) :

0 1 1

2 0 1

2 20 0 0 1 1

2 −1 2 10 0 1 0 −1

4 3 4 15

(1 2)

−

Iterasi 2

BV z 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑆₁ 𝑆₂ Solusi

z 1 0 0 1

2 3

2 90

𝑥₂ 0 0 1 1

2 −1

2 10

𝑥1 0 1 0 −1

4 3

4 15

Baris 0 z +¹

2𝑆₁+³

2𝑆₂ = 90 Baris 1 𝑥₂+¹

2𝑆₁−¹

2𝑆₂ = 10 Baris 2 𝑥₁ −¹

4𝑆₁+³

4𝑆₂= 15

Maka diperoleh BV : {z, x₂, x₁} NBV : {S₂, S₁}

BFS : z = 90, x₂ = 10, x₁ = 15dan S₂ = S₁ = 0

Pembuktian

z = 4 15 + 3 10 = 90 (dalam puluhan juta)

(21)

Jadi keuntungan maksimum-nya adalah Rp900.000.000,00 dengan menghasilkan benang sutra 15Kg/hari dan benang wol 10Kg/hari.

2. Seorang petani memiliki dua jenis tanaman yang ingin ditanam di ladangnya, yaitu sayur bayam dan sayur kangkung. Setiap hektar sayur bayam memberikan keuntungan Rp8.000.000,00 (8 juta), sedangkan setiap hektar sayur kangkung memberikan keuntungan sebesar Rp5.000.000,00 (5 juta). Namun, petani tersebut memiliki batasan lahan dan sumber daya untuk menanam kedua jenis sayuran tersebut. Total luas ladang yang tersedia untuk menanam kedua jenis sayuran adalah 6 hektar.

Selain itu, petani memiliki stock pupuk yang terbatas. Setiap hektar sayur bayam membutuhkan 9 unit pupuk, sedangkan setiap hektar sayur kangkung membutuhkan 5 unit pupuk. Petani memiliki total stock 45 unit pupuk. Bagaimana cara petani tersebut memaksimalkan pendapatannya dari penjualan sayur bayam dan sayur kangkung.

Penyelesaian

Diketahui : 𝑥₁= Jumlah lahan hektar yang dialokasikan untuk menanam sayur bayam.

𝑥₂= Jumlah lahan hektar yang dialokasikan untuk menanam sayur kangkung.

Fungsi tujuan maksimum pendapatan :z = 8x₁+ 5x₂

Kendala : 𝑥₁+ 𝑥₂ ≤ 6 (luas lahan tidak melebihi 6 hektar) 9𝑥₁+ 5𝑥₂ ≤ 45 (total pupuk tidak melebih 45 unit) 𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0

Berdasarkan : 𝑥₁ + 𝑥₂+ 𝑆₁ = 6 9𝑥₁+ 5𝑥₂ + 𝑆₂ = 45 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑆₁, 𝑆₂ ≥ 0

(22)

Formulasi untuk bentuk kanonik-nya adalah sebagai berikut.

Baris 0 z − 8x₁− 5x₂ = 0 Baris 1 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑆₁ = 6 Baris 2 9𝑥₁+ 5𝑥₂ + 𝑆₂= 45

Langkah (2). Menentukan solusi basis fisibel (BFS)

Dari bentuk kanonik di aras, jika kita𝑥₁= 𝑥₂ = 0tetapkan maka akan kita dapatkan harga-harga 𝑆₁ dan 𝑆₂ yaitu sama dengan ruas kanan masing-masing baris. Dengan mengikutsertakan baris 0 maka kita dapatkan.

BV : {z, S₁, S₂} NBV : {x₁, x₂}

BFS : z = 0, S₁ = 6, S₂ = 45dan x₁ = x₂ = 0

Langkah (3). Mencari basis enetering Variable (EV)

Langkah (4). Menghitung rasio dan melakukan OBE Rasio baris 1 adalah ⁶

1= 6 Rasio baris 2 adalah ⁴⁵

9 = 5 (rasio terkecil)

Hal ini menunjukkan bahwax₁akan menjadi variable basis pada baris 2, menggantikan S₂ yang berubah statusnya menjadi variable non-basis (NBV). Dengan kata lain, sebagai akibat terpilih-nya x₁ sebagai EV, maka S₂ menjadi LV.

Iterasi 0

BV z 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 Solusi

(23)

z 1 −8 −5 0 0 0

𝑆₁ 0 1 1 1 0 6

𝑆2 0 9 5 0 1 45

9 9 9

5 9

0 9

1 9

45

9 → 0 1 5

9 0 1 9 5

Baris 0 (z) :

1 −8 −5 0 0 0

0 1 5

9 0 1 9 5 1 0 −5

9 0 8 9 40

( − 8)

−

Baris 1 (S₁) :

0 1 1 1 0 6

0 1 5

9 0 1 9 5

0 0 4

9 1 −1 9 1

(1)

−

Baris 0 z −⁵

9x₂ +⁸

9𝑆₂= 40

Baris 1 ⁴

9𝑥₂+ 𝑆₁−¹

9𝑆₂ = 1 Baris 2 𝑥₁+⁵

9𝑥₂ +¹

9𝑆₂= 5

Maka diperoleh BV : {z, S₁, x₁} NBV : {S₂, x₂}

BFS : z = 40, S₁ = 1, x₁ = 5dan S₂ = x₂ = 0

Iterasi 1

BV z 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑆₁ 𝑆₂ Solusi Rasio

z 1 0 −5

9 0 8

9 40

(24)

𝑆₁ 0 0 4

9 1 −1

9 1 9

4≈ 2,25

𝑥₁ 0 1 5

9 0 1

9 5 9

Dengan menggunakan rumus, maka di dapat

Baris 1 (S₁) :

0 0 4

9 1 −1 9 1 4

9 4 9

4 9

4 9 0 0 1 9

4 −1 4

9 4

÷

Baris 0 (z) :

1 0 −5

9 0 8

9 40

0 0 1 9

4 −1 4

9 4

1 0 0 5

4 3

4 411 4

( −5 9)

−

Baris 2 (x₁) :

0 1 5

9 0 1

9 5 0 0 1 9

4 −1 4

9 4 0 1 0 −5

4 1 4 33

4 (5

9)

−

Iterasi 2

BV z 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑆₁ 𝑆₂ Solusi

z 1 0 0 5

4 3

4 411

4

𝑥₂ 0 0 1 9

4 −1 4

9 4

𝑥₁ 0 1 0 −5

4 1

4 33

4 Adapun bentuk kanonik yang baru adalah sebagai berikut.

Baris 0 z +⁵

4𝑆₁+³

4𝑆₂ = 41¹

4

(25)

Baris 1 𝑥₂+⁹

4𝑆₁−¹

4𝑆₂ =⁹

4

Baris 2 𝑥₁+ −⁵

4𝑆₁+¹

4𝑆₂ = 3³

4

Maka diperoleh BV : {z, x₂, x₁} NBV : {S₂, S₁} BFS : z = 41¹

4, x₂ =⁹

4, x₁ = 3³

4dan S₂ = S₁= 0 Pembuktian

z = 8 33

4 + 5 9

4 = 411

4 ≈ 41,25

Jadi pendapatan maksimum yang didapatkan petani adalah Rp41.250.000,00 dengan luas ladang adalah 6 hektar. Untuk menanam sayur bayam mendapat sebesar 3,75 hektar dan sayur kangkung sebesar 2,25hektar.

(26)

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari pembahasan di atas maka terdapat beberapa hal yang dapat diambil, yaitu metode simpleks merupakan alat yang efektif dalam menyelesaikan masalah optimasi pada program linier dengan tujuan maksimasi. Melalui langkah-langkah iteratif, metode ini memungkinkan untuk mencapai solusi optimal dari berbagai persoalan yang melibatkan pengambilan keputusan.

Algoritma simpleks memberikan kerangka kejrja yang terstruktur dalam menyelesaikan masalah program linier dengan tujuan maksimasi. Langkah- langkahnya meliputi konversi formulasi masalah, pencarian solusi basis fisibel, identifikasi variabel basis, dan iterasi untuk mencapai solusi optimal.

Penerapan metode simpleks dan algoritma simpleks maksimasi memberikan kontribusi yang signifikan dalam meningkatkan efisiensi dan efektivitas pengambilan keputusan. Dengan pemahaman yang baik tentang konsep-konsep ini, dapat dihasilkan solusi optimal yang memaksimalkan hasil atau keuntungan dari suatu sistem.

Pembahasan mengenai program linier dan metode simpleks juga memberikan pemahaman dan pemecahan yang lebih mendalam tentang konsep optimasi dan pemecahan masalah matematis. Hal ini penting dalam pengembangan kemampuan analitis dan pemecahan masalah yang diperlukan dalam berbagai bidang profesional.

B. Saran

Dalam pengerjaan dan pemahaman metode ini, diharapkan agar pembaca untuk dapat memahami dan mengerti secara mendalam. Hal ini dikarenakan untuk metode simpleks rawan terjadi kekeliruan dalam pengerjaannya. Kami juga menyarankan pembaca untuk memahami dan membaca dari sumber lain, hal ini dikarenakan agar pembaca dapat memahami mana yang benar dan mana yang salah dari makalah yang tekah kami buat ini. Kami juga menerima saran dan kritikan yang membangun dengan suka rela.

(27)

DAFTAR PUSTAKA

Dimyati, T. T., & Dimyati, A. (2009). Teknik Pemecahan Model Programa Linier (pp. 38–47). essay, Sinar Baru Algensindo.