KONSISTENSI METODE SIMPLEKS DALAM MENENTUKAN NILAI OPTIMUM.

(1)

KONSISTENSI METODE SIMPLEKS DALAM MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Oleh :

Rina Lusiana Rumahorbo NIM 4111230007 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

(2)

(3)

Konsistensi Metode Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum Rina Lusiana Rumahorbo (NIM 4111230007)

Abstrak

(4)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas

segala rahmat dan kasih karunia-Nya yang begitu besar telah memberikan

kesehatan dan hikmat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan

baik. Adapun Skripsi berjudul “Konsistensi Metode Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.

Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada

berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini mulai dari

pengajuan proposal penenlitian, pelaksanaan sampai penyusunan skripsi, antara

lain kepada Bapak Dr. Abil Mansyur, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi

yang telah memberikan bimbingan dan saran kepada penulis dalam menyusun

skripsi ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof.Dr. Edi

Syahputra, Bapak Dr. H. Banjarnahor, M.Pd, dan Bapak Dr. Pardomuan Sitompul

S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran-saran

kepada penulis. Terima kasih pula kepada Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku

dosen Pembimbing Akademik, Ketua Jurusan Bapak Dr. Edy Surya, M.Si dan

dosen-dosen jurusan Matematika FMIPA UNIMED yang telah membantu penulis.

Teristimewa ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada keluarga

besar Rumahorbo untuk semua kasih sayang, doa dan dukungan yang telah

diberikan dalam perkuliahan hingga penyelesaian skripsi ini secara khusus

kepada Ayahanda T. Rumahorbo, Ibunda M.Manik. Ucapan terima kasih juga

penulis sampaikan kepada komponen pelayanan UKMKP UP FMIPA yang

mendukung dan terus menyemangati dalam penyusunan skripsi ini. Teristimewa

buat Amadea SG (Romiana, Rosari, Berkat, Yuri dan Kristiani), Adik Kelompok

Kecil (Romli, Shela, Fridayuni, Ivana, Julius, Nina, Penny, Witha, Anggi, Arif,

Hariaty, Lestari, Nova, dan Novelita), Koordinasi UKMKP UP FMIPA 2015

(5)

Sirma dan Andy) juga buat Koordinasi 2014 yang terkasih (Kak Oripa, Reni, Kak

Meyta, Kak Fretty, Kak Herti, Kak Rina M, Bg Tahando, Kak Dewi M, Kak

Marta, Kak Apri, Bg Berton, Kak Lea dan Kak Sulastri). Tak lupa terima kasih

buat teman-teman seperjuangan MM Nondik 2011 yang memberikan semangat

dan doa dalam penyelesaian skripsi ini. Terkhusus teman-teman dekat Rosari,

Roslin, Reni, Oktapina, Orlando dan Joni yang terus menyemangati.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dari segi

materi mapun isinya. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan saran dan

kritik dengan tujuan menyempurnakan dan mengembangkan kajian skripsi ini.

Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.

Medan, Juli 2016

Penulis

Rina Lusiana Rumahorbo

NIM. 4111230007

(6)

DAFTAR ISI

Lembar Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi v

Daftar Tabel viii

Daftar Lampiran ix

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Batasan Masalah 3

1.3 Rumusan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Matriks 5

2.2 Pemecahan Sistem Persamaan Linear 7

2.3 Eliminasi Gauss 7

2.4 Pemograman Linear 9

2.5 Metode Simpleks 12

2.5.1 Bentuk Baku dan Bentuk Kanonik 16

2.5.2 Variabel Semu (Artifisial) 17

2.5.3 Langkah-langkah Metode Simpleks 18

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Lokasi dan Waktu Penelitian 20

3.2 Jenis Penelitian 20

3.3 Teknik Pengumpulan Data 20

3.4 Teknik Analisis Data 21

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Solusi Optimal 26

4.2 Menulis Model Persoalan Program linear 27

4.3 Metode Simpleks 28

4.3.1 Tabel Simpleks 29

4.4 Contoh kasus 1 35

4.6 Software LINDO 41

(7)

4.10Contoh kasus 6 46

4.11Konsistensi Metode Simpleks 48

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 50

5.2 Saran 50

(8)

DAFTAR ISI

Lembar Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar iv

Daftar Isi v

Daftar Tabel viii

Daftar Lampiran ix

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Batasan Masalah 3

1.3 Rumusan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Matriks 5

2.2 Pemecahan Sistem Persamaan Linear 7

2.3 Eliminasi Gauss 7

2.4 Pemograman Linear 9

2.5 Metode Simpleks 12

2.5.1 Bentuk Baku dan Bentuk Kanonik 16

2.5.2 Variabel Semu (Artifisial) 17

2.5.3 Langkah-langkah Metode Simpleks 18

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Lokasi dan Waktu Penelitian 20

3.2 Jenis Penelitian 20

3.3 Teknik Pengumpulan Data 20

3.4 Teknik Analisis Data 21

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Solusi Optimal 26

4.2 Menulis Model Persoalan Program linear 27

4.3 Metode Simpleks 28

4.3.1 Tabel Simpleks 29

4.6 Software LINDO 41

(9)

4.10Contoh kasus 6 46

4.11Konsistensi Metode Simpleks 48

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 50

5.2 Saran 50

(10)

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Simpleks Awal 18

Tabel 4.1 Syarat setiap potongan 22

Tabel 4.2 Kendala 1 24

Tabel 4.5 Solusi yang mungkin 25

Tabel 4.8 Simpleks iterasi pertama 33

Tabel 4.9 Simpleks iterasi kedua 34

Tabel 4.10 Hasil penelitian kasus 1 34

Tabel 4.11 Simpleks ierasi pertama 35

Tabel 4.12 Simpleks iterasi kedua 36

Tabel 4.13 Hasil Optimasi Metode Simpleks kasus 1 37

Tabel 4.14 Hasil Optimasi Metode Simpleks kasus 2 40

Tabel 4.15 Produksi dengan menggunakan Metode Simpleks 40

Tabel 4.16 Distribusi Gula Pasir 46

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Penyelesaian Kasus 2 dengan Metode simpleks 52

Lampiran 2 Penyelesaian Kasus 4 60

Lampiran 3 Penyelesaian Kasus 5 61

(12)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah mengalokasikan

secara umum keterbatasan/kelangkaan sumber daya, berupa uang, tenaga kerja, bahan

mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau teknologi. Hasil yang diinginkan adalah

yang terbaik sebagai maksimasi dari beberapa ukuran profit, penjualan dan

kesejahteraan, atau minimasi pada biaya, waktu dan jarak. Masalah optimasi linear

banyak dijumpai dalam bidang produksi barang, distribusi barang, dalam bidang

ekonomi, dan bidang lainnya yang termasuk dalam kajian Riset Operasional. Masalah

optimasi dapat diselesaikan dengan program linear.

Program linear adalah suatu teknik pengambilan keputusan untuk

memecahkan masalah optimasi. Teknik ini dikembangkan oleh LV Kantorovich,

seorang ahli matematik dari Rusia, pada tahun 1939. Program linear menggunakan

model matematis untuk menggambarkan masalah yang hendak dianalisa. Setiap

modelnya dinyatakan dalam bentuk fungsi tujuan dan fungsi batasan (kendala,

constraint). Dalam masalah optimasi linear, kendala atau batasan-batasannya dapat

diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear (Herjanto Eddy, 2007: 43)

Nilai-nilai variabel yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear berada

pada suatu himpunan penyelesaian yang mempunyai berbagai kemungkinan

penyelesaian. Dari berbagai kemungkinan penyelesaian terdapat sebuah penyelesaian

yang memberikan hasil terbaik yang disebut dengan penyelesaian optimum. Jadi,

tujuan dari optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan sebuah fungsi linear dari

variabel tujuan, misalkan pendapatan, keuntungan atau biaya. Dalam fungsi tujuan

harus dijelaskan apakah akan memaksimalkan/ meminimalkan fungsi variabel.

Pemecahan masalah pemrograman linear dapat dilakukan dengan beberapa

(13)

merupakan teknik yang paling sederhana tetapi kurang efisien, terutama apabila

jumlah batasan cukup banyak. Cara aljabar mencari penyelesaian dengan pendekatan

trial and error untuk mendapatkan hasil yang optimal. Cara grafik juga merupakan cara yang cukup sederhana namun hanya dapat digunakan untuk permasalahan dua

variabel, karena jika grafiknya lebih dari dua variabel maka dapat dibayangkan

kesulitan yang dialami dalam mencari titik penyelesaian yang optimal. Sejak analisis

dilakukan dengan cara yang sederhana dengan cara grafik untuk kasus sederhana, kini

teknik ini bisa digunakan untuk kasus yang memiliki tingkat kompleksitas yang

tinggi dengan ratusan bahkan ribuan variabel dan batasan yaitu dengan menggunakan

metode simpleks. Metode simpleks dikembangkan oleh George B. Dantzig pada

tahun 1947, yang merupakan metode paling luas dipakai dalam pemrograman linear

(Herjanto Eddy, 2007: 43-45).

Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian program linear

sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan

dengan pengalokasian sumber daya secara optimal. Penentuan solusi optimal

menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan.

Eliminasi Gauss merupakan suatu metode untuk memberikan prosedur yang

sistematik untuk memecahkan sistem-sistem persamaan program. Prosedur tersebut

didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk

yang cukup sederhana, sehingga sistem persamaan dapat dipecahkan dengan

memeriksa sistem tersebut.

Penentuan solusi optimal dengan metode simpleks dilakukan tahap demi

tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi

sebelumnya (� −1). Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan

solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linear diubah ke dalam

bentuk baku terlebih dahulu, yaitu fungsi-fungsi kendala yang masih berbentuk

pertidaksamaan harus diubah menjadi berbentuk persamaan. Bentuk baku dalam

(14)

dengan tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh suatu variabel basis awal.

Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada

aktivitas yang dilakukan.

Dengan mengidentifikasi satu pemecahan dasar awal lalu bergerak secara

sistematis ke pemecahan dasar lainnya yang memiliki potensi untuk memperbaiki

nilai fungsi tujuan, pada akhirnya pemecahan dasar yang bersesuaian dengan nilai

optimum akan diidentifikasi dan proses akan berhenti.

Konsisten menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah tetap (tidak

berubah-ubah), taat asas, selaras atau kesesuaian perbuatan dengan ucapan. Konsisten

juga berarti melakukan suatu kegiatan secara terus menerus dengan tekun dan benar

tanpa keluar dari jalur / batasan batasan yang telah ditentukan. Konsistensi biasanya

dijadikan sebagai acuan pembuktian bahwa kegiatan atau pekerjaan yang dilakukan

seseorang dapat berguna dan mendapat nilai yang baik di mata orang lain. Pada

penelitian ini penulis akan menganalisis konsistensi Metode Simpleks dalam

menentukan nilai optimum. Konsistensi dalam hal ini adalah menunjukkan hasil yang

diperoleh setelah melalui semua tahap yang dikerjakan dengan metode simpleks

merupakan hasil yang optimum, yaitu memberikan nilai terbesar untuk kasus

maksimasi dan sebalikanya memberikan nilai terkecil untuk kasus minimasi. Oleh karena itu, peneliti mengangkat penelitian yang berjudul “Konsistensi Metode Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum”

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka permasalahan yang akan diteliti

adalah bagaimana konsistensi metode simpleks dalam menentukan nilai optimum?

1.3 Batasan Masalah

Agar pembahasan masalah dalam tulisan ini tidak menyimpang, maka perlu

dilakukan batasan masalah, yaitu kasus yang digunakan merupakan kasus program

(15)

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian adalah mengetahui konsistensi metode simpleks

dalam menentukan nilai optimum, apakah hasil yang diperoleh benar-benar optimum

dan memenuhi kriteria optimum.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Manfaat bagi Penulis

Untuk mengembangkan wawasan tentang metode simpleks dalam

menentukan nilai optimum.

2. Manfaat bagi Pembaca

Sebagai tambahan wawasan dan memberikan gambaran tentang teknik

(16)

5.1 Kesimpulan

Pada penelitian ini ditunjukkan bagaimana tahapan yang ditawarkan oleh

metode simpleks dalam menentukan nilai optimum dari setiap iterasi memberikan

nilai yang benar-benar memenuhi kriteria optimal. Berdasarkan hasil pembahasan

yang telah dilakukan, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

Metode Simpleks secara konsisten dari tahap awal sampai pada tahap akhir

menawarkan langkah-langkah yang terus menerus dilakukan untuk

mencapai/menuju suatu titik penyelesaian. Dari berbagai jenis kasus yang

diselesaikan baik kasus maksimasi maupun kasus minimasi, metode simpleks

menunjukkan konsistensinya dalam menentukan penyelesaian dengan berhentinya

iterasi apabila suatu titik tertentu diperoleh. Titik tersebut adalah titik yang

memberikan nilai optimum pada persoalan linear yang diselesaikan. Maka dari

penelitian yang dilakukan, metode simpleks adalah metode yang konsisten.

5.2 Saran

Penulis menyadari kekurangan penelitian yang dilakukan sehingga

penelitian selanjutnya perlu dilakukan penelitian kajian lanjut untuk kasus-kasus

yang berbeda parameter atau bidang, yaitu masalah umum di tengah masyarakat

yang tidak termasuk kasus produksi. Untuk penelitian selanjutnya juga perlu

dilakukan tentang efektivitas Metode Simpleks dalam menentukan nilai optimum

suatu program linear. Sehingga tidak hanya mengkaji bagaimana konsistensi

metode simpleks menentukan nilai optimum tetapi juga dapat melihat bagaimana

perbandingan dan efektivitas Metode Simpleks terhadap metode lain dalam

(17)

51

Herjanto, Eddy. 2007. Manajemen Opersi Edisi Ketiga. Jakarta: Grasindo

Iyer, Sankara P. 2008. Operation Research. New Delhi: Tata McGraw-Hill

R Thie P dan Gerard E K. 2008. An Introduction to Linear Programming and

Game Theory. Canada: John Wiley and Sons, Inc

She Yang, Xin. 2008. Introduction to Mathematical Optimization. United

Kingdom: Cambridge International Science Publishing

Siringoringo, H. 2005. Seri Teknik Riset Operasional Pemograman Linear.

Yogyakarta: Graha Ilmu

Sottinen, T. 2009. Operations Research Wtih GNU Linear Programming.