BIMODUL-C* HILBERT.

(1)

**BIMODUL-C* HILBERT**

SKRIPSI

diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika Konsentrasi Aljabar

oleh

Raden Muhammad Hadi NIM 1106608

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

BIMODUL-C* HILBERT

Oleh

Raden Muhammad Hadi

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Matematika Konsentrasi Aljabar pada Fakultas Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam

Agustus 2015

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

(4)

Raden Muhammad Hadi , 2015

Bimodul-C* Hilbert

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

ABSTRAK

Raden Muhammad Hadi (2011). Bimodul-C* Hilbert.

Misalkan dan aljabar-C* dan ruang vektor kompleks. Modul-C* Hilbert kanan

(kiri ) adalah modul yang dilengkapi dengan hasil kali dalam kanan (kiri )

dan lengkap dalam norm modul kanan ‖ ‖ (kiri ‖ ‖) sedangkan bimodul-C* Hilbert

adalah bimodul yang dilengkapi dengan hasil kali dalam kanan dan kiri juga

lengkap dalam norm modul kanan dan kiri. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk

mengetahui bagaimana mengkonstruksi modul-C* Hilbert dan Bimodul-C* Hilbert,

mempelajari sifat-sifat serta memberi contoh. Penelitian dilakukan dengan cara studi

literatur, yaitu dengan mempelajari pokok bahasan yang berhubungan dengan modul-C*

Hilbert. Berdasarkan hasil yang diperoleh, bimodul-C* Hilbert dapat dikonstruksi melalui

modul dengan skalarnya adalah dua aljabar-C* yang dilengkapi dengan hasil kali dalam

dan memenuhi sifat kelengkapan dalam norm modul. Selain itu, akan dijelaskan

bagaimana cara mengaplikasikan modul-C* Hilbert melalui contoh.

Kata kunci: Modul, bimodul, aljabar-C*, ruang Hilbert, ruang hasil kali dalam,

(5)

ABSTRACT

Raden Muhammad Hadi (2011). Hilbert- C* Bimodule

Let and C*-algebras and complex vector space. Right (left) Hilbert-C* module

( ) is a module that completed with right (left) inner product ( ) and satisfied

completeness on right (left) norm module ‖ ‖ ( ‖ ‖) whereas Hilbert-C* bimodule

is bimodule that completed with right and left inner product and satisfied completeness on

right and left norm module. Objectives of this final paper are to how to construct it,

studied its properties along with its application by examples. Research was done by

literatures study, that is studied its main themes that highly related with Hilbert-C*

module and Hilbert-C* bimodule. As the result, Hilbert-C* bimodule can be constructed

through module with two C*-algebras as scalar completed with inner product and

satisfies completeness on norm module. Then, we will show its application by examples.

Keyword: Module, bimodule, C*-algebra, Hilbert space, inner product space, Hilbert-C*

(6)

DAFTAR ISI

LEMBAR HAK CIPTA

LEMBAR PENGESAHAAN TUGAS AKHIR

LEMBAR PERNYATAAN i

II.1.3. Pemetaan Bilinier 6

II.2.Ruang Hilbert dan Operator Linier Terbatas pada Ruang Hilbert 7

II.2.1. Ruang Hilbert 7

II.2.2. Fungsional Linier 12

II.2.3. Operator Linier Terbatas pada Ruang Hilbert 12

II.3. Aljabar-C* 16

(7)

BAB III. METODE PENELITIAN 25

III.1. Desain Penelitian 25

III.2. Prosedur Penelitian 25

BAB IV. TEMUAN DAN PEMBAHASAN 27

IV.1. Konsep Modul-A Hilbert 27

IV.2. Konsep Bimodul-A-B Hilbert 34 IV.3. Contoh Bimodul-A-B Hilbert 35 IV.3.1. Konstruksi Modul- ( ) Hilbert Kiri 35 IV.3.2. Konstruksi Modul- Hilbert Kanan 39 IV.3.3. Bimodul- ( )- Hilbert 42

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN 44

V.1. Kesimpulan 44

V.2. Saran 44

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

(8)

BAB I

PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang Masalah

Asal mula ekuivalensi Morita datang dari teori ring: dua ring adalah ekuivalen Morita jika kategori modulnya ekuivalen. Teorema Morita mengatakan terdapat bimodul-R-S sedemikian sehingga ekuivalensi tersebut membawa ke . Pada aljabar-C*, tidak terdapat teorema demikian, setidaknya jika menggunakan representasi ruang Hilbert sebagai kategori dari modul. Akan tetapi, Rieffel menunjukkan bahwa terdapat gagasan mengenai ekuivalensi Morita untuk aljabar-C* dengan diperoleh dengan mengasumsikan keberadaan bimodul yang sesuai (Raeburn dan Williams, 1998).

Untuk mengkonstruksi bimodul yang sesuai agar memperoleh gagasan mengenai ekuivalensi Morita tentunya membutuhkan “alat” yang khusus, yaitu Modul-C* Hilbert. Modul-C* Hilbert adalah perumuman dari ruang Hilbert yang lapangan skalarnya adalah aljabar-C*. Modul-C* Hilbert pertama kali dikemukakan oleh Irving Kaplansky dalam penelitiannya mengenai modul atas aljabar operator.

Dalam skripsi ini, penulis memfokuskan diri pada konstruksi modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert serta bagaimana mengaplikasikan modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert, maka dari itu penulis memilih judul skripsi

“Bimodul-C* Hilbert”.

I.2. Perumusan Masalah

Perumusan masalah yang dikemukakan penulis adalah sebagai berikut: 1. Bagaimanakah konsep modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert?

(9)

3. Bagaimanakah sifat-sifat dalam modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert?

I.3. Tujuan Penulisan

Skripsi ini bertujuan untuk menjelaskan konstruksi modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert beserta contohnya.

I.4. Manfaat Penulisan

Dengan karya tulis ini penulis berharap:

1. Dapat memberi penjelasan mengenai modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert beserta sifat-sifatnya;

2. Dapat memberi inspirasi kepada penulis untuk mengkaji dan mengembangkan bimodul-C* Hilbert dan penerapannya dalam bidang lainnya.

I.5. Struktur Penulisan

Berikut merupakan struktur penulisan pada skripsi ini:

BAB I adalah bagian pendahuluan dari skripsi ini. Pada bagian ini akan dijelaskan ide dasar dan motivasi dari penulisan skripsi ini. Di dalam pendahuluan terdapat perumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan dan struktur penulisan skripsi.

BAB II adalah bagian tinjauan teori yang memuat teori dasar untuk menjelaskan mengenai modul-C* Hilbert. Pada bab ini dijelaskan mengenai teori modul, ruang Hilbert dan operator linier terbatas pada ruang Hilbert, dan Aljabar-C*.

BAB III adalah bagian metode penelitian yang akan menjelaskan mengenai desain penelitan dan prosedur penelitian.

(10)

(11)

BAB III

METODE PENELITIAN

III.1. Desain Penelitian

Penyusunan skripsi ini dilakukan dengan cara melakukan studi literatur, yaitu dengan mempelajari pokok bahasan yang berhubungan dengan bimodul-C* Hilbert.

Adapun literatur yang menjadi referensi utama, yaitu buku yang ditulis oleh Iain Raeburn dan Dana P. Williams yang berjudul Morita Equivalence and Continous

Trace-C* Algebra (1998) dan buku yang ditulis oleh V. M. Manuilov dan E. V.

Troitsky yang berjudul Hilbert C*-Modules (2005) yang membahas tentang konsep modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert.

Dasar teori mengenai teori modul mengacu pada buku yang ditulis oleh (1990). Sedangkan untuk pembahasan modul-C* Hilbert dan bimodul-C* Hilbert mengacu pada buku atau artikel ilmiah yang ditulis oleh Raeburn dan Williams (1998) dan Tsui (1997).

Selain referensi utama terdapat juga beberapa referensi yang digunakan untuk membantu memperdalam pemahaman terhadap materi skripsi, diantaranya Lance (1995), Wegge-Olsen (1993), Landsman (1998) dan lain-lain.

III.2. Prosedur Penelitian

(12)

1. Mencari topik yang tepat dan melakukan pengkajian teori dasar. Tahap ini dilakukan selama mata kuliah Kapita Selekta Matematika, Struktur Grup dan Ring dan Aljabar Operator pada semester 6. Judul dicari melalui jurnal-jurnal yang dijadikan acuan utama dalam kapita selekta. Tahap ini sepenuhnya dibimbing oleh dosen pembimbing kapita selekta.

2. Melakukan pengkajian ulang terhadap hasil yang diperoleh pada tulisan yang dihasilkan selama kapita selekta dengan mencari bagian-bagian yang harus ditambah, dikurangi, dan diperbaiki. Dalam hal ini juga terjadi perubahan judul penelitian.

3. Mencari referensi-referensi baru yang relevan untuk melakukan penelitian yang selanjutnya dapat dijadikan referensi utama untuk penelitian. Tentunya juga dicari referensi-referensi pendukung yang digunakan untuk memperdalam pemahaman mengenai topik skripsi.

(13)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

IV.1. Kesimpulan

Dalam skripsi mengenai bimodul-C* Hilbert diperoleh beberapa kesimpulan: 1. Untuk mengkonstruksi modul-C* Hilbert diperlukan suatu ruang vektor

kompleks dan aljabar-C* untuk mengkonstruksi modul yang selanjutnya dilengkapi dengan hasil kali dalam dan lengkap dalam norm modul.

2. Untuk mengkonstruksi bimodul-C* Hilbert diperlukan suatu ruang vektor dan dua aljabar-C* untuk mengkonstruksi modul kiri dan modul kanan dari yang telah dilengkapi hasil kali dalam dan lengkap dalam norm modul kiri dan kanan serta kondisi asosiatif perkalian.

IV.2. Saran

Dalam skripsi ini disampaikan pula saran-saran yang sekiranya dapat membantu dalam penelitian mengenai bimodul-C* Hilbert:

1. Perlu diperhatikan bahwa dalam mengkonstruksi bimodul-C* Hilbert dalam beberapa teks memiliki pendekatan yang berbeda, maka perlu pengkajian yang berbeda pula;

(14)

DAFTAR PUSTAKA

Adkins, W.A. dan Weintraub, S.H. (1992). Algebra: An approach via module theory. New York: Springer.

Allan, G.R. (2011). Introduction to Banach spaces and algebras. New York: Cambridge University Press, Inc.

Binmore, K.G. (1981). The foundations of analysis: A straightforward introduction book 2:

Topological ideas. Cambridge: Cambridge University Press, Inc.

Conway, J.B. (1990). A course in functional analysis: 2nd ed. New York: Springer. Hungerford, T.W. (1974). Algebra. New York: Springer.

Keating, M.E. (1998). A first course in module theory. London: Imperial Collehe Press. Kreyzig, Erwin. (1978). Introductory functional analysis with applications. New York: John

Wiley & Sons, Inc.

Lance, E.C. (1995). Hilbert C*-modules: A toolkit for operator algebraist. Cambridge: Cambridge University Press, Inc.

MacCluer, B.D. (2009). Elementary functional analysis. New York: Springer.

Manuilov, V.M. dan Troitsky, E.V. (2005). Hilbert C*-modules. Rhode Island: American Mathematical Society.

Murphy, G.J. (1990). C*-algebras and operator theory. San Diego: Academic Press, Inc. Raeburn, Iain dan Williams, D.P. (1998). Morita equivalence and continuous-trace

C*-algebras. Rhode Island: American Mathematical Society.

Tsui, Sze-Kai. (1997). Hilbert C*-modules: A useful tool. Taiwanese Journal of

Mathematics, 1 (2), hlm. 111-126.