Vol. 8 No. 2 Hal. 19 ² 26 (2014)
SISTEM ORTONORMAL DALAM RUANG HILBERT
Orthonormal Systems in Hilbert Space
ZETH ARTHUR LELEURY
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura
Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon E-mail: zetharthur82@gmail.com
ABSTRACT
Hilbert space is one of the important inventions in mathematics. Historically, the theory of
+LOEHUW VSDFH RULJLQDWHG IURP 'DYLG +LOEHUW¶V ZRUN RQ TXDGUDWLF IRUP LQ LQILQLWHO\ PDQ\
variables with their applications to integral equations. This paper contains some definitions such as vector space, normed space and inner product space (also called pre-Hilbert space), and which is important to construct the Hilbert space. The fundamental ideas and results are discussed with special attention given to finite dimensional pre-Hilbert space and some basic propositions of orthonormal systems in Hilbert space. This research found that e
ach finite dimensional
pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space.
We have provided that a finite orthonormal systems in a Hilbert space X is complete if and only if this orthonormal systems is a basis of X.Keywords: Hilbert space, Inner product space, Orthonormal systems, Pre-Hilbert space
PENDAHULUAN
Ruang Hilbert diperkenalkan oleh David Hilbert (1862-1943), seorang ahli matematika yang sangat terkenal pada generasinya. Penelitian yang dilakukannya
PHQFLSWDNDQ GDVDU GDUL SHNHUMDDQQ\D PHQJHQDL ³UXDQJ GLPHQVL WDN WHUEDWDV´ \DQJ NHPXGLDQ GLVHEXW GHQJDQ
ruang Hilbert, suatu konsep yang sangat diperlukan dalam matematika analisis.
Ruang Hilbert merupakan ruang vektor atas suatu lapangan, dimana pada ruang vektor tersebut juga terdapat suatu inner product dan norm, sedemikian sehingga setiap barisan Cauchy konvergen ke suatu elemen di dalamnya. Hal ini disebut dengan penyempurnaan sifat dari ruang vektor. Selanjutnya dalam tesisnya yang berjudul
Learning in Hilbert Spaces, Nimit Kumar juga mencoba menyusun suatu konsep tentang konvergensi barisan dalam ruang ber-norm yang mempunyai konsekuensi alami terhadap barisan Cauchy dan gagasan kelengkapannya (Kumar, 2004).
Dalam kaitan dengan Ruang Hilbert L2( S,S),pada tahun 1907, Fischer dan Riesz membuktikan suatu jawaban natural untuk masalah konvergensi deret Fourier klasik (Zeidler, 1995). Dalam penelitian ini akan
ditunjukkan bahwa hal tersebut merupakan suatu kasus khusus dari suatu hasil abstrak pada sistem ortonormal dalam ruang Hilbert. Selain itu juga dibahas beberapa sifat atau teorema tentang ruang pre Hilbert dan ruang Hilbert serta pembuktiannya. Diharapkan melalui penelitian ini, masalah-masalah dalam ruang pre Hilbert dengan dimensi terbatas dan sistem ortonormal dalam ruang Hilbert yang ditemui serta bentuk pengembangannya akan lebih mudah dipahami.
METODOLOGI PENELITIAN
Tipe penelitian ini adalah studi pustaka yaitu mempelajari beberapa textbook dan jurnal yang berhubungan dengan penulisan, Kemudian mencoba membahas inti permasalahan tersebut dengan menuangkan secara benar. Penelitian ini dilakukan dengan cara mengumpulkan, mempelajari dan menganalisis textbook dan jurnal yang berkaitan dengan permasalahan yang diteliti. Hasil-hasil yang diperoleh dalam penelitian ini berupa pembuktian teorema dan akibat dengan menggunakan bantuan beberapa definisi dengan tetap memperhatikan keterkaitan yang ada.
KAJIAN PUSTAKA
Pada bagian ini dikaji definisi dan beberapa teorema dari ruang vektor, ruang ber-norm, ruang inner product
dan ruang pre-Hilbert sebagai konsep dasar dari pembahasan sistem ortonormal dalam Ruang Hilbert.
Ruang Vektor
Konsep dasar ruang vektor yang digunakan sebagai landasan pada pembicaraan selanjutnya adalah rentang(span), basis, dan dimensi.
Definisi 1. (ruang vektor)
Sistem X merupakan ruang vektor atas lapangan F, terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan skalar jika memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini :
I. Terhadap operasi penjumlahan. 1.Tertutup ( v1,v2•X) v1 + v2•X
2.Asosiatif ( v1,v2,v3•X ) (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3)
3.Terdapat elemen netral ( 0•X )( v•X ) 0+v=v+0=v
4.Setiap elemen mempunyai invers ( v•X ) ( -v•X )
v + (-v) = -v + v = 0
5.Komutatif ( v1,v2•X) v1 + v2 = v2 + v1
II. Tertutup terhadap pergandaan skalar. ( v•X ), D•F maka Dv•X x : F x X o X (D,v) o x (D,v) n t Dxv df Dv•X
III. Untuk setiap v1,v2•X ; D,E•F
1. (D + E )v1 = Dv1 + Ev1
2. D(v1 + v2) = Dv1 + Dv2
3. (DE)v1 = D(Ev1)
4. 1F. v1 = v1
selanjutnya ruang vektor X atas lapangan F dinotasikan dengan X(F). (Steven, 2001)
Definisi 2. (rentang/span)
Misalkan
v
1,
v
2,...,
v
n adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor X. Jumlah vektor-vektor berbentukn n
v
v
v
D
D
D
1 1 2 2...
, dimanaD
1,
D
2,...,
D
nadalah skalar-skalar disebut suatu kombinasi linear dari
n
v v
v1, 2,..., . Himpunan semua kombinasi linear dari
n
v v
v1, 2,..., disebut rentang dari
v
1,
v
2,...,
v
n. Rentang dari v1,v2,...,vn akan dinyatakan dengan Rentang (v1,v2,...,vn). (Anton, 1987)Definisi 3. (basis)
Jika X adalah sebarang ruang vektor dan
}
,...,
,
{
v
1v
2v
nS
adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam X, maka S disebut suatu basis untuk X jika S bebaslinear dan merentang X. (Anton, 1987)
Definisi 4. (dimensi)
Suatu ruang vektor X disebut berdimensi terbatas jika X
berisi suatu himpunan vektor terbatas
^
v
1,
v
2,...,
v
n`
yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan sepertiitu, maka X disebut berdimensi tak terbatas dan ditulis
f
X
dim
. Jika X memiliki basis yang terdiri dari nvektor, maka dikatakan bahwa X memiliki dimensi n. Ruang bagian {0} dari X dikatakan memiliki dimensi 0. (Anton, 1987)
Ruang Ber-Norm
Ruang ber-norm adalah suatu ruang vektor dengan
norm yang didefinisikan di dalamnya.
Definisi 5. (norm)
Diberikan ruang vektor X. Suatu fungsi riil . : Xo R, disebut norm jika memenuhi :
1. x t0, x•X 2. x 0œx = 0 3. Dx D x , x•X, D•R 4. x y d x y , x,y•X (Kreyszig,1978) Teorema 1.
Misalkan {un} suatu barisan dalam ruang ber-norm berdimensi terbatas dengan dimX!0.
u
un o dalam X, nof
jika dan hanya jika komponen-komponennya saling berhubungan (corresponding components) satu sama lain dengan respek bahwa sebarang basis konvergen. (Zeidler,1995)
Definisi 6.
Suatu barisan vektor {xn} dalam ruang be-norm disebut
barisan Cauchy jika untuk setiap H > 0 terdapat bilangan
M sedemikian sehingga xm xn H untuk setiap m,n > M. Dengan kata lain
0 ,nof m n mLim x x
(Zeidler,1995)
Teorema 2.
Misalkan {un} suatu barisan Cauchy dalam ruang
ber-norm X atas F yang memiliki barisan bagian { }
n u c yang konvergen, yakni u n u c o dalam X, untuk nof
Maka, keseluruhan barisan konvergen ke u. Dengan kata lain un ou dalam X, untuk nof
(Zeidler,1995)
Ruang Inner product
Definisi 7. (ruang inner product)
Misalkan X ruang vektor atas lapangan F. Suatu fungsi
.,. : X x X oF disebut inner product jika memenuhi aksioma-aksioma berikut :
1. x,x t0
2. x,x 0œ x = 0 3. x,y y,x
4. Dx,y D x,y
5. x y,z x,z y,z
untuk setiap x,y,z•X dan D•F
Suatu ruang vektor X bersama-sama dengan inner product disebut ruang inner product. Suatu ruang inner product adalah lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam
X konvergen ke suatu titik dalam X . (Kreyszig,1978)
Ruang Pre Hilbert
Definisi 8. (ruang pre Hilbert)
Misalkan X ruang vektor atas lapangan F, dimana F = R
atau F = C. Suatu inner product pada X memberikan setiap pasangan u,v dengan u,v•X dan
F v
u, • Sedemikian sehingga menunjukkan bahwa untuk setiap u,v, w • X dan
D
,E
•F berlaku : i. u,u t0 dan u,u 0œu 0;ii. u,Dv Ew D u,v E u,w ;
iii. u,v v,u (bar menunjukkan konjugat bilangan kompleks).
Suatu ruang pre Hilbert atas F adalah ruang vektor X atas
F bersama dengan suatu inner product. Dari (ii) dan (iii) diperoleh bahwa :
u w u v u w v E , D , E , D
untuk setiap u,v,w•Xdan
D
,E
•F (Zeidler,1995)Teorema 3. (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Misalkan X adalah ruang pre Hilbert, maka berlaku : 2 1 2 1 , , ,v u u v v u d untuk setiap u,v•X
atau dapat ditulis dalam bentuk norm:
v u v u, d untuk setiap u,v•X (Zeidler,1995) (4.3) Teorema 4.
Misalkan X adalah ruang pre Hilbert, maka : i. Inner product adalah kontinu, sehingga
u n
u o dan vn ov, nof Mengandung arti un,vn o u,v , nof ii. Misalkan M adalah dense subset dari X. Jika
u,v 0 untuk u•X dan setiap v•M, maka u 0
Bukti
(i) Jika
^ `
v
n terbatas, maka dari ketaksamaan Schwarz (4.3) diperoleh bahwa: un,vn u,v = un u,vn u,vn v d un u,vn u,vn v d un u vn u vn v o0, f o n(ii) Jika M adalah dense dalam X, terdapat suatu barisan
^ `
vn dalam M sedemikian sehingga vn ou dalamX, nof. Misalkan nof, berarti u,vn 0
untuk setiap n. Maka u,u 0. Dengan demikian diperoleh bahwa u = 0. „
PEMBAHASAN
Sebelum membahas mengenai sistem ortonormal dalam ruang Hilbert, terlebih dahulu dibahas tentang definisi dan beberapa teorema dasar dari ruang Hilbert yang nantinya akan digunakan untuk pembuktian sifat-sifat pada sistem ortonormal dalam Ruang Hilbert. Selain itu juga disajikan contoh ruang Hilbert dalam kaitannya dengan ruang pre-Hilbert dalam dimensi terbatas.
Ruang Hilbert
Definisi 9. (Ruang Hilbert)
Suatu ruang vektor X atas F adalah ruang Hilbert jika dan hanya jika berlaku sifat berikut :
(i) Terdapat suatu inner product dalam X, dan
(ii) Setiap barisan Cauchy dengan norm
u
adalah konvergen.(Zeidler,1995)
Teorema 5.
Setiap ruang pre-Hilbert dengan dimensi terbatas adalah ruang Hilbert.
Bukti
Misalkan dim X = 0. Maka X
^ `
0 dan pernyataan ini trivial. Misalkan dim X !0. Anggap bahwa {un}adalah suatu barisan Cauchy. Karena dua norm dalam ruang vektor dengan dimensi terbatas X atas F selalu ekivalen, maka dapat ditulis Dnj Dmj dbun um H
untuk setiap n,mtn0(
H
) dan j.Karena komponen±komponen berhubungan satu sama lain, akibatnya setiap barisan {
D
nj} juga Cauchy. Karenanya diperoleh f oo
j n jnD
,
D
untuk setiap j. Dari Teorema1 diperoleh bahwa u
un o dalam X, nof „
Contoh (Ruang HilbertL2(a,b)) :
Misalkan L2(a,b) adalah notasi himpunan semua fungsi terukur. R b a u:( , )o Sedemikian sehingga
³
b f a dx u2 . Maka(i) L2(a,b)adalah suatu ruang Hilbert real dengan inner product :
untuk setiap .
(ii)dim L2(a,b) f
Dengan tepat, digunakan mengikuti prinsip identifikasi (I) Dua fungsi u dan v berhubungan dengan elemen yang
sama dalam ruang Hilbert L2(a,b)jika dan hanya jika
)
(
)
(
x
v
x
u
untuk setiap x•(a,b).Sehingga, elemen L2(a,b) adalah kelas fungsi yang ditandai oleh (I).
Bukti
Akan ditunjukan (i).
Langkah 1: Ketaksamaan Schwarz
Akan ditunjukkan bahwa jika u,v•L2(a,b), maka integral
³
b adx
uv
ada dan 2 1 2 1 2 2¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
d
³
³
³
b a b a b adx
v
dx
u
dx
uv
(1)Untuk membuktikan ini, dimulai dengan mudah, ketaksamaan klasik 2 2 1 2
[
K
K
[
d untuk setiap [,K•C, (2) yang mana ditunjukkan dari2 2 2 2 0d [ K [ [ K K . Diberikan 2 1 2 ¸¸ ¹ · ¨¨ © §
³
b a dx u u .Pertama misalkan u 0 atau v 0. Maka
0 ) (x
u
atau v(x) 0 untuk setiap x•(a,b),Oleh sebab itu
³
0b a
dx
uv , Berarti ketaksamaan (1) adalah benar.
Anggap sekarang bahwa u z0dan v z0. Gantikan
u dengan uu dan v dengan vv , jika perlu, boleh
diasumsikan bahwa u 1dan v 1. Dari
ketaksamaan (1), 2 2 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) (x v x u x v x u d untuk x•(a,b) (3)
Jika fungsi u dan v terukur pada
(
a
,
b
)
, maka uv adalahproduct. Dari ketaksamaan (3), terdapat integral
³
b³
a b a dx v dxu2 and 2 dan secara tidak langsung
integral
³
b
a
dx
uv
ada, dan karenanya terdapat³
b a
dx
uv .
Selanjutnya, dengan mengikuti ketaksamaan (3) diperoleh bahwa
³
³
d
b a b adx
uv
dx
uv
¸¸ ¹ · ¨¨ © § d³
³
b a b a dx v dx u2 2 1 2 1 u vini adalah ketaksamaan yang dikehendaki oleh ketaksamaan (1).
Langkah 2:
Akan ditunjukkan bahwa L2(a,b)adalah ruang vektor. Untuk setiap
D
,E
•R dan x•(a,b),2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) (x vx u x u x vx vx u E D DE E D d
Misalkan u,v•L2(a,b). Maka, integral
³
b a dx u2 dan
³
b adx
v
2 ada. Dari langkah 1, secara tidak langsungterdapat
³
b
a
dx
uv
. Oleh sebab itu integral³
b a dx v uE
2D
ada, atau dengan kata lain
D
uE
v•L2(a,b). Langkah 3:Akan ditunjukkan bahwa
³
b a dx uv vu, adalah suatu inner product padaL2(a,b) Pertama akan ditujukkan bahwa
0 0 ,u œu u . Misalkan u,u 0. maka
³
b a dxu2 0 sehingga u(x) 0 untuk setiap x•(a,b)
Dari prinsip identifikasi (I), diperoleh bahwa fungsi
) (x u
u berhubungan dengan elemen nol u 0 dalam )
, ( 2 a b
L . Sebaliknya, misalkan u = 0 elemen nol dalam )
, ( 2 a b
L . Dari (I), elemen ini berhubungan dengan kelas semua fungsi u dimana u(x) 0 untuk setiap x•(a,b). Oleh sebab itu, u,u 0. Selanjutnya, jika
) ( ) ( and ) ( ) (x u1 x v x v1 x u untuk setiap x•(a,b)
diperoleh bahwa u(x)v(x) u1(x)v1(x) untuk setiap
) , (a b x• , dan
³
b³
a b a dx x v x u dx uv 1( ) 1( ) 1³
b a dx uv v u, u,v•L2(a,b)atau dengan kata lain u,v u1,v1 .
Akibatnya, inner product berkenaan dengan prinsip identifikasi (I), atau dengan kata lain tergantung hanya pada kelas fungsi yang sesuai.
Terakhir, jika
u
,
v
,
w
•
L
2(
a
,
b
)
, maka u,v v,u dan³
b³
³
a b a b adx
uw
dx
uv
dx
w
v
u
(
D
E
)
D
E
, Atau u,Dv Ew D u,v E u,wAkibatnya, L2(a,b)adalah suatu ruang pre Hilbert. Jelas, ketaksamaan Schwarz
v u v
u, d untuk setiap
u
,
v
•
L
2(
a
,
b
)
sesuai untuk ketaksamaan Schwarz klasik (2) dari Langkah 1.
Langkah 4: ruang Hilbert.
Akan ditunjukkan bahwa L2(a,b)adalah ruang Hilbert. Untuk yang terakhir ini, harus ditunjukkan bahwa setiap barisan Cauchy dalam L2(a,b)adalah konvergen. Berdasarkan Definisi 6, cukup dibuktikan bahwa setiap barisan Cauchy dalam L2(a,b) mempunyai barisan bagian yang konvergen.
Misalkan
^ `
un suatu barisan Cauchy dalamL2(a,b), atauH
m n u u untuk setiap n,mtn0(H
). PilihH
2 k, k 1,2,...dan terdapat bilangan asli n1dn2 d... sehingga
... , 2 , 1 2 1 u d k unk nk k Himpunan k n k u v dan
¦
m k k k mx
v
x
v
x
s
1 1(
)
(
)
)
(
.Jika barisan
^
s
m(
x
)
`
adalah monoton naik, maka2
)
(
lim
)
(
x
s
x
S
mmof ada untuk setiap
x
•
(
a
,
b
)
, dimana fd d ( )
0 S x . Jika L2(a,b)adalah ruang pre Hilbert, maka ketaksamaan segitiga berlaku. Oleh sebab itu,
1 ... 2 2 1 2 1 1 d d d
¦
m k k k m v v s untuk mt1 sehingga³
d b a m x dx s ( )2 1 untuk setiap mt1.Dengan demikian, dari lemma Fatou, fungsi S adalah terintegral atas (a,b)dengan
1
)
(
lim
)
(
lim
)
(
2d
2d
³
³
of of³
b a b a m b a m m ms
x
dx
s
x
dx
dx
x
S
.Khususnya, S(x) terbatas untuk setiap x•(a,b). Misalkan pada titik-titik ujungnya (remaining points ) didefinisikan kembali S dengan aturan S(x) 0.
Misalkan 2 1
)
(
)
(
x
S
x
s
, diperoleh)
(
lim
)
(
x
s
x
s
m mof untuk setiapx
•
(
a
,
b
)
, (4) dan³
d
b adx
s
21
, atau dengan kata lain s•L2(a,b).Selanjutnya dengan menggunakan sifat
¦
1 1 1 1(
)
(
)
(
)
)
(
m k k k mx
v
x
v
x
v
x
v
. (5) Dari (4),f
¦
f 1 1)
(
)
(
)
(
k k kx
v
x
v
x
s
untuk x•(a,b) (6) Dengan demikian, limit terbatasv
(
x
)
lim
v
m(
x
)
mof ada
untuk setiap x•(a,b). Pada titik ujung x dari interval
) ,
(a b ditetapkan bahwa v(x) 0. Seperti limit dari fungsi terukur vm, fungsi v adalah juga terukur pada interval (a,b).
Sesuai dengan persamaan (5) dan (6),
)
(
)
(
)
(
x
v
1x
s
x
v
d
untuk setiap x•(a,b). (7) Jika v1•L2(a,b), diperoleh v1 ,s
•
L
2(
a
,
b
)
, dan karenanyav
1s
•
L
2(
a
,
b
)
, dari Langkah 2. Dengan mengikuti ketaksamaan (7) diperoleh bahwa³
bd
³
f
a b adx
s
x
v
dx
x
v
(
)
2 1(
)
2 ,Atau dengan kata lain v•L2(a,b).
Terakhir, akan ditunjukan bahwa
v
v
no
dalam L2(a,b), nof. (8) Jika^ `
vn adalah suatu barisan Cauchy, untuk setiapH
!0terdapat m0(
H
) sedemikian sehingga³
d
{
b a m n m nv
v
v
dx
v
2 2H
2 untuk setiapn,mtm0(H).Misalkan mof, dengan mengikuti lemma Fatou diperoleh bahwa 2
v
v
n{
³
b a nx
v
x
dx
v
(
)
(
)
2³
of b a m n mv
x
v
x
dx
2)
(
)
(
lim
³
d
d
f o b a m n mdx
x
v
x
v
(
)
(
)
2 2lim
H
,untuk setiap ntm0(
H
). Ini adalah (8)Akan ditunjukkan (ii). Pilih suatu interval
> @
c,d dengan> @ @ >
c,d Ž a,b dan c d. Didefinisikan> @
¯ ® - • lain yang untuk 0 , jika ) (x x x c d u n nMaka un•L2(a,b) untuk setiap n «
sehingga diperoleh bahwa fungsi
u
0,
....
,
u
n bebas linear untuk setiap n. Karenanya dim L2(a,b) f. „Sistem Ortonormal
Pada bagian ini diasumsikan bahwa :
(H) Misalkan X suatu ruang Hilbert atas F = R = C, dan
^
u
0,
u
1,
.
.
.
`
sistem ortonormal terbatas atau terbilang dalam X. Dengan kata lain, menurut definisi,km m k
u
u
,
G
untuk setiap k, m (9) Sasaran utama adalah mempelajari konvergensi yang disebut Deret Fourier abstrak¦
f 0 , n n n u u u u . (10) juga ditetapkan¦
m n n n m u uu s 0 , . (11)Nilai
u
n,
u
disebut koefisien Fourier dari u.Definisi 10.
Asumsikan (H). Sistem ortonormal terbatas
^
u
0,
.
.
.
,
u
n`
dikatakan lengkap dalam X jika dan hanya jika
¦
n n n nu
u
u
u
0,
untuk setiap u•X (12) Sistem ortonormal terbilang^
u0,u1,...`
dikatakan lengkap dalam X jika dan hanya jika deret tak terbatas (10) konvergen untuk setiap u•X. Artinya,m
m s
u f o
lim untuk setiap u•X. (Zeidler,1995)
Teorema 6.
Sistem ortonormal terbatas
^
u
0,
.
.
.
,
u
n`
lengkap dalam ruang Hilbert X atas F jika dan hanya jika sistem ortonormal tersebut merupakan suatu basis dari X.Bukti
•
Misalkan^ `
u
n suatu basis dalam X. Maka¦
n n n nu
c
u
0 untuk setiap u•X (13) dimana koefisienc
0,
...,
c
n•
F
tergantung padau. Gunakan (9), diperoleh
¦
n n k n k n ku
c
u
u
c
u
0,
,
,
N « n.Ini tersirat dalam persamaan (12). Berarti
^ `
unlengkap.
Ÿ
Misalkan^ `
un suatu sistem ortonormal yang lengkap; Maka^ `
un merupakan basis dalam X, oleh persamaan (12). Dalam hubungan ini, catat bahwa^
u
0,
.
.
.
,
u
n`
adalah bebas linier, jika persamaan(13) dengan u = 0.
Berarti ck 0 untuk setiap nilai k. „
Akibat 7.
Misalkan
^ `
un suatu sistem ortonormal terbilang dalam ruang Hilbert atas F. Asumsikan bahwa deret tak terbatas¦
f 0 n n nu c u dengan cn•F, nkonvergen untuk sebarang u•X maka
c
nu
n,
u
n
BuktiDengan menggunakan persamaan (9) diperoleh
. , lim , lim , 0 0
¦
¦
of f o m n k n k n m m n n n k m k u u c u c u u c u „Ini merupakan pendukung persamaan (10). Akan diberikan suatu pendukung kedua untuk persamaan (4.10). Dalam rangka mendapatkan suatu aproksimasi terbaik dari u oleh suatu kombinasi linier
m m
u
c
u
c
0 0...
, diberikan 2 0 0,
...,
)
(
¦
m n n n mu
c
u
c
c
f
,dan dipertimbangkan masalah minimum berikut :
F
c
c
c
c
f
(
0,
...
,
m)
min!
,
0,
...
,
m•
(14) Teorema 8.Asumsikan (H). Maka, solusi tunggal dari persamaan (14) diberikan melalui koefisien Fourier
m
n
u
u
c
n n,
,
0
,
...
,
. Bukti Dari persamaan (9), ) (c f¦
¦
m k k k m n n nu u c u c u 0 0 ,¦
¦
¦
m n n n m k k k m n n nu
u
c
u
u
c
c
c
u
u
0 0 0,
,
,
Oleh sebab itu,
¦
m¦
n m n n n nu
u
u
c
u
u
c
f
0 0 2 2 2,
,
)
(
(15)Nilai terkecil dari f dicapai untuk m n
u u
cn n, , 0,..., . „
Khususnya, dari persamaan (11) diperoleh bahwa
) ( 2 c f s u m d untuk setiap
c
F
m
m•
dan
. (16) Dari persamaan (15)¦
m n n m u u u s u 0 2 2 2 , (17) untuk setiap u•Xdan m.Karenanya diperoleh ketaksamaan Bessel berikut :
¦
m d n n u u u 0 2 2, untuk setiapu•Xdan m. (18)
Teorema 9. (Kriteria Konvergensi)
Misalkan
^ `
u
n suatu sistem ortonormal terbilang dalam ruang Hilbert atas F.Maka deret n F c u c n n n n •
¦
f , , 0 ,konvergen jika dan hanya jika deret
¦
f 0 2n
c
n konvergen. Bukti•
Misalkan¦
f 0 n n n mc
u
S
. Dari persamaan (9),¦
¦
m k m n n k m m n n n m k mS
c
u
c
S
1 2 2 1 2 (19) untuk setiap m, k « Jika¦
f 0 2n cn konvergen, maka {Sm} merupakan
suatu barisan Cauchy. Karenanya
{
S
m}
konvergen. Dengan kata lain,¦
n
c
nu
n konvergen.Ÿ
Jika¦
n
c
nu
nkonvergen, maka {Sm} merupakansuatu barisan Cauchy, dan karenanya
¦
f 0 2n
c
nkonvergen, dari persamaan (19). „
Dengan mengikuti Teorema 9 dan ketaksamaan Bessel (18), maka diperoleh bahwa deret Fourier konvergen untuk setiap u•X. Dengan kata lain, terdapat beberapa v•Xsedemikian sehingga
¦
f 0 , n n n u u u v .Bagaimanapun, ini mungkin bila vzu. Tetapi jika sistem ortonormal
^ `
un lengkap, maka v u untuk setiapX u• .
Teorema 10.
Misalkan
^ `
u
n suatu sistem ortonormal terbilang dalam ruang Hilbert atas F. Maka, dua pernyataan berikut adalah ekivalen :(i) Sistem
^ `
u
n lengkap dalam X.(ii) Span / rentangan
^ `
un dense (rapat) dalam X.Bukti
(i)
Ÿ
(ii). Ini jelas, oleh Definisi 10(ii)
Ÿ
(i). Diberikan H !0, terdapat koefisienc
0,
...
,
c
m•
F
sedemikian sehinggaH
¦
2 0)
(
m n n nu
c
u
c
f
.Dapat diasumsikan juga bahwa m cukup besar, dengan memisalkan cn 0 untuk n besar. Pilih
r
r,
1
H « GHngan mengikuti
ketaksamaan (16) bahwa terdapat suatu barisan bagian
{
}
r ms
sedemikian sehinggar
s
u
r m1
, r « (20) Jika suatu Deret Fourier selalu konvergen, maka barisan^ `
sm konvergen. Dengan kata lain, smov,mof. Misalkan rof, dari ketaksamaan (20) dperoleh bahwa v = u. „Akibat 11.
Misalkan
^ `
un suatu sistem ortonormal terbilang yanglengkap dalam ruang Hilbert atas F. Maka, pernyataan-pernyataan berikut dianggap benar :
(i) Untuk setiap u,v•X,
¦
f 0 ) ( ) ( , n n n u c v c v u (persamaan Parseval),(ii) Untuk setiap u•X , ketaksamaan Bessel digantikan dengan yang disebut persamaan Parseval khusus
¦
f 0 2 2 , n n u u u .(iii) Jika un,u 0 untuk setiap n dan u•X , maka
u = 0.
Bukti
(i). Dari persamaan (9) dan persamaan (10),
¦
¦
¦
of f o m n n n m m n m k n k n n m c uu c vu c u c v v u 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( , ) ( lim , .(ii) Ini adalah kasus khusus dari (i). (iv) Ini ditunjukan dari persamaan (10). „
KESIMPULAN
Dari pembahasan pada bagian sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Setiap ruang Pre Hilbert dengan dimensi terbatas adalah ruang Hilbert.
2. Sistem ortonormal terbatas
^
u0,...,un`
lengkap dalam ruang Hilbert X jika dan hanya jika sistem ortonormal tersebut merupakan suatu basis dari X.3. Dengan asumsi bahwa deret tak terbatas
¦
f 0 n n nu c u
konvergen untuk sebarang u•X maka
c
nu
n,
u
dengan merupakan sistem ortonormal terbilang dalam ruang Hilbert.
4. Untuk sistem ortonormal terbilang
^ `
u
n dalam ruang Hilbert maka deret¦
f 0 n
n nu
c konvergen jika dan hanya jika deret
¦
f0 2
n
c
n konvergen.5. Sistem ortonormal terbilang yang lengkap dalam ruang Hilbert saling ekivalen dengan pernyataan bahwa rentangan dari sistem ortonormal tersebut
dense dalam ruang Hilbert tersebut .
6. Jika sistem ortonormal terbilang yang lengkap dalam ruang Hilbert atas maka berlaku persamaan Parseval
¦
f 0 ) ( ) ( , n n n u c v c vu dan ketaksamaan Bessel dapat
digantikan dengan persamaan Parseval khusus
. , 0 2 2
¦
f n n u u u DAFTAR PUSTAKAAnton, Howard. Aljabar Linear Elementer. Erlangga, Jakarta. (1987).
Kumar, Nimit. Learning in Hilbert Spaces. Departement of Electrical Engineering at Indian Institute of Technology, Kanpur. (2004).
Kreyszig, Erwin. Introductory Functional Analysis With Applications. John Wiley & Sons, New York. (1978).
Steven, Leon J. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Erlangga, Jakarta. (2001).
Zeidler, Eberhard. Applied Functional Analysis, Application to Mathematical Physics. Springer-Verlag. (1995).