30
OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
Muslim Ansori1*,Tiryono2, Suharsono S2,Dorrah Azis2
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung1,2 Jln. Soemantri Brodjonegoro No 1 Bandar Lampung
email: ansomath@yahoo.com
ABSTRAK
Dibangun suatu operator baru dari ruang barisan terbatas ke ruang barisan terbatas dengan memanfaatkan basis pada ruang barisan terbatas tersebut. Dapat ditunjukkan bahwa koleksi semua operator tersebut membentuk ruang Banach. Selanjutnya, disajikan beberapa contoh aplikasi pada ruang barisan.
Katakunci : operator, ruang barisan terbatas.
1. PENDAHULUAN
Pada tulisan ini akan dikaji apa yang disebut operator pada ruang barisan terbatas. Sifat-sifat dasar operator akan disajikan sebagai dasar untuk pengembangan lanjutan, yang sebelumnya sebagian sudah disajikan di dalam beberapa tulisan antara lain[1] dengan mengkonstruksikan operator-SM pada ruang Banach dengan basis pada ruang Banach yang dikembangkan dari operator Hilbert-Schmidt di dalam [2]. Selanjutnya, perbaikan pada norma operator-SM dilakukan oleh [3] dengan menyajikannya dalam bentuk operator integral Lebesgue. Di dalam tulisan ini, akan disajikan operator-SM pada ruang barisan terbatas 𝑙2 dengan basis standar pada ruang
barisan.
2. METODE PENELITIAN
Operator 𝐴 dikonstruksikan dari ruang barisan 𝑙2 ke ruang barisan 𝑙2 dengan basis
standar 𝑒𝑘 dengan 𝑒𝑘 = 0,0, … 1(𝑘), … . Selanjutnya, dikonstruksikan norma operator 𝐴.
Norma operator tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis. Jika pendefinisian operator dapat dilakukan maka akan diselidiki apakah koleksi semua operator tersebut membentuk ruang Banach. Sebagai aplikasi, operator 𝐴 direpresentasikan sebagai matriks takhingga yang dikerjakan pada barisan barisan 𝑙2 ke ruang barisan 𝑙2 dengan
basis standar 𝑒𝑘 dengan 𝑒𝑘 = 0,0, … 1(𝑘), … .
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
31 𝑙2= 𝑥 = 𝑥𝑖 : 𝑥𝑖 2 ∞ 𝑖=1 1 2 < ∞
dengan 𝑥𝑖 = 𝑥1, 𝑥2, … , barisan bilangan real ℝ. Ruang barisan 𝑙2 merupakan ruang
Banach dengan ruang dual 𝑙2 ∗= 𝑥∗: 𝑙
2→ ℝ yaitu koleksi semua fungsional pada 𝑙2
yang bersifat linear dan kontinu. Untuk sebarang 𝑥∗∈ 𝑙
2 ∗ dan 𝑥 ∈ 𝑙2, penulisan 𝑥, 𝑥∗ dimaksudkan sebagai fungsional 𝑥∗ pada 𝑥 atau 𝑥∗(𝑥). Barisan vektor 𝑒𝑛 ⊂ 𝑙2 dinamakan basis pada 𝑙2 jika untuk setiap
vektor 𝑥 ∈ 𝑙2 terdapat barisan skalar yang tunggal 𝛼𝑛 sehingga
𝑥 = 𝛼𝑛𝑒𝑛
∞ 𝑛=1
Barisan 𝑒𝑛∗ ∈ 𝑙
2 ∗ dengan 𝑒𝑛∗ = 1 untuk setiap 𝑛 dikatakan biortonormal terhadap
basis 𝑒𝑛 ⊂ 𝑙2 jika
𝑒𝑚, 𝑒𝑛∗ = 𝛿𝑚𝑛
dengan 𝛿𝑚𝑛 = 1 untuk 𝑚 = 𝑛 dan 𝛿𝑚𝑛 = 0 untuk 𝑚 ≠ 𝑛 . Selanjutnya, pasangan 𝑒𝑛 , 𝑒𝑛∗ disebut sistem biortonormal pada 𝑙2. Jika pasangan 𝑒𝑛 , 𝑒𝑛∗ merupakan
sistem biortonormal pada 𝑙2 maka
𝑥 = 𝛼𝑛𝑒𝑛
∞ 𝑛=1
dengan 𝑥, 𝑒𝑛∗ = 𝛼𝑛.
Jika 𝐴 ∈ ℒ𝐶 𝑙2, 𝑙2 maka operator 𝐴∗∈ ℒ𝐶 𝑙2 ∗, 𝑙2 ∗ disebut operator
pendamping (adjoint operator) 𝐴 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑙2 dan 𝑦∗∈ 𝑙2 ∗,
berlaku
𝐴 𝑥 , 𝑦∗ = 𝑥, 𝐴∗(𝑦∗)
Jadi, jika 𝑒𝑛 ⊂ 𝑙2 dan 𝑑𝑚∗ ∈ 𝑙2 ∗ diperoleh
𝐴 𝑒𝑛 , 𝑑𝑚∗ = 𝑒𝑛, 𝐴∗(𝑑𝑚∗ )
Jika 𝑒𝑛 , 𝑓𝑛 , 𝑑𝑚 ⊂ 𝑙2 basis pada 𝑙2 , maka untuk setiap 𝐴 ∈ ℒ𝐶 𝑙2, 𝑙2 berlaku
𝐴∗ 𝑑 𝑚∗ = ∞𝑛=1 𝑒𝑛, 𝐴∗(𝑑𝑚∗ ) 𝑒𝑛∗ = ∞𝑛=1 𝐴 𝑒𝑛 , 𝑑𝑚∗ 𝑒𝑛∗ (a) dan 𝐴∗ 𝑑𝑚∗ = 𝑓 𝑛, 𝐴∗(𝑑𝑚∗) ∞ 𝑛=1 𝑓 = ∞𝑛=1 𝐴 𝑓𝑛 , 𝑑𝑚∗ 𝑓𝑛∗ (b)
Berdasarkan persamaan (a) dan (b) diperoleh
∞𝑘=1 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒𝑘∗ = ∞
32
Berdasarkan persamaan (a), (b) dan (c) didefinisikan pengertian operator dari ruang barisan 𝑙2 ke ruang barisan 𝑙2 sebagai berikut:
Definisi 1.1 Operator 𝐴 ∈ ℒ𝐶 𝑙2, 𝑙2 dinamakan operator-SM jika
𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ ∞ 𝑘=1 𝑒𝑘∗ < ∞ ∞ 𝑚 =1
dengan 𝑒𝑛 , 𝑑𝑚 ⊂ 𝑙2 basis pada 𝑙2.
Mudah dipahami bahwa bilangan 𝐴 dengan
𝐴 𝑆𝑀= 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ ∞ 𝑘=1 𝑒𝑘∗ < ∞ ∞ 𝑚 =1
Tidak bergantung pada pemilihan basis 𝑒𝑛 pada 𝑙2.
Selanjutnya, notasi 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 menyatakan koleksi semua operator-SM dari ruang barisan 𝑙2 ke ruang barisan 𝑙2.
Teorema 1.2 Untuk setiap 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 berlaku
(i) 𝐴 ≤ 𝐴 𝑆𝑀
(ii) 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 merupakan ruang Banach terhadap norma . 𝑆𝑀
(iii) Jika 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 maka 𝐴 operator kompak.
Bukti:
(i) Diambil sebarang basis 𝑒𝑛 , 𝑑𝑚 ⊂ 𝑙2 dan 𝑥 ∈ 𝑙2, maka berdasarkan (a), (b) dan (c)
diperoleh 𝐴 𝑥 = ∞ 𝐴 𝑥 , 𝑑𝑚∗ 𝑚 =1 𝑑𝑚 = 𝑥, 𝐴∗ 𝑑𝑚∗ ∞ 𝑚 =1 𝑑𝑚 ≤ 𝑥 𝐴∗ 𝑑 𝑚∗ ∞ 𝑚 =1 = 𝑥 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ ∞ 𝑘=1 𝑒𝑘 ∗ = 𝑥 𝐴 𝑆𝑀 yang berakibat 𝐴 ≤ 𝐴 𝑆𝑀.
(ii) Pertama ditunjukkan bahwa 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 merupakan ruang bernorma terhadap norma . 𝑆𝑀 sebab: a) Untuk setiap 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 𝐴 𝑆𝑀 = ∞ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑘=1 𝑒𝑘 ∗ ≥ 0 ∞ 𝑚 =1 dan
33 𝐴 𝑆𝑀= 0 ⇔ ∞ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑘=1 𝑒𝑘 ∗ = 0 ∞ 𝑚 =1 ⇔ ∞𝑘=1 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒𝑘∗ = 𝐴∗ 𝑑𝑚∗ = 𝜃 (untuk setiap m) ⇔ 𝐴∗= 𝑂 (operator nol) ⇔ 𝐴 = 𝑂 (operator nol) b) Untuk setiap 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 dan skalar 𝛼, diperoleh
𝛼𝐴 𝑆𝑀= 𝛼𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ ∞ 𝑘=1 𝑒𝑘∗ ∞ 𝑚 =1 = 𝛼 ∞ 𝐴 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑘=1 𝑒𝑘 ∗ ∞ 𝑚 =1 = 𝛼 𝐴 𝑆𝑀
c) Jika diberikan 𝐴1, 𝐴2 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 maka
𝐴1+ 𝐴2 𝑆𝑀= 𝐴1+ 𝐴2 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒𝑘∗ ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 = 𝐴1 𝑒𝑘 + 𝐴2 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒𝑘∗ ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 = 𝐴1 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒𝑘∗+ 𝐴2 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒𝑘∗ ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 = 𝐴1 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒 𝑘∗ ∞ 𝑘=1 + 𝐴2 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒 𝑘∗ ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1
Dengan kata lain,
𝐴1+ 𝐴2 𝑆𝑀 ≤ 𝐴1 𝑆𝑀+ 𝐴2 𝑆𝑀.
Tinggal menunjukkan kelengkapan ruang 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 sebagai berikut: Diambil
sebarang barisan Cauchy 𝐴𝑖 ⊂ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 . Untuk setiap bilangan 𝜀 > 0, terdapat
bilangan bulat positip 𝑛0 sehingga untuk setiap bilangan bulat positip 𝑖, 𝑗 ≥ 𝑛0,
berlaku
𝐴𝑖− 𝐴𝑗 𝑆𝑀 ≤ 𝜀 2
Akan dibuktikan bahwa terdapat 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 sehingga
lim𝑖→∞ 𝐴𝑖− 𝐴 𝑆𝑀 = 0. Karena 𝐴𝑖− 𝐴𝑗 ℒ 𝐶 𝑙2,𝑙2 ≤ 𝐴𝑖− 𝐴𝑗 𝑆𝑀< 𝜀 2
untuk setiap 𝐴𝑖, 𝐴𝑗 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 dengan 𝑖, 𝑗 ≥ 𝑛0, maka barisan 𝐴𝑖 juga merupakan
barisan Cauchy di dalam ℒ𝐶 𝑙2, 𝑙2 . Karena ℒ𝐶 𝑙2, 𝑙2 ruang lengkap maka terdapat 𝐴 ∈ ℒ𝐶 𝑙2, 𝑙2 sehingga lim𝑗 →∞𝐴𝑗 = 𝐴. Oleh karena itu,
𝐴𝑖− 𝐴) 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚∗ 𝑒𝑘∗ ∞
𝑘=1 ∞
34 = lim 𝑗 →∞ 𝐴𝑖− 𝐴𝑗) 𝑒𝑘 , 𝑑𝑚 ∗ 𝑒 𝑘∗ ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 = lim 𝑗 →∞ 𝐴𝑖− 𝐴𝑗 𝑆𝑀 < 𝜀 2
Untuk sebarang bilangan bulat 𝑖 ≥ 𝑛0. Dengan kata lain, 𝐴 − 𝐴𝑖 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 , untuk 𝑖 ≥ 𝑛0 . Oleh karena itu, 𝐴 − 𝐴𝑛0+ 𝐴𝑛0 = 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 dan terbukti bahwa barisan 𝐴𝑖 konvergen ke suatu 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 . Jadi𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 merupakan ruang bernorma
yang lengkap atau ruang Banach. (iii) Jika 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 dan 𝑥 ∈ 𝑙2, maka
𝐴 𝑥 = 𝐴 𝑥 , 𝑑𝑚∗
∞
𝑚 =1 𝑑𝑚
Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat positip 𝑛, dapat didefinisikan operator
𝐴𝑛: 𝑙2→ 𝑙2 dengan
𝐴𝑛 𝑥 = 𝐴 𝑥 , 𝑑𝑚∗ 𝑛
𝑚 =1
𝑑𝑚
Jelas bahwa 𝐴𝑛 ∈ ℒ𝐶 𝑙2, 𝑙2 dan 𝐴𝑛 merupakan operator berhingga. Dengan kata
lain,𝐴𝑛 operator kompak. Karena 𝐴𝑛 kovergen ke 𝐾 maka 𝐾 operator kompak.
Berdasarkan Teorema 1.2 diperoleh
Akibat 1.3𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 ⊂ 𝐾 𝑙2, 𝑙2 ⊂ ℒ𝐶 𝑙2, 𝑙2 dengan 𝐾 𝑙2, 𝑙2 koleksi operator kompak dari 𝑙2 ke 𝑙2
Operator 𝐴 ∈ 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 dapat diwakili oleh matriks takhingga 𝐴 = 𝐴∞×∞. Oleh karena itu,
dalam bentuk matriks takhingga karakteristik operator-SM tersebut dapat diuraikan sebagai baerikut:
Teorema 1.4 Suatu operator linear kontinu 𝐴: 𝑙2→ 𝑙2 merupakan operator-SM jika dan
hanya jika terdapat suatu matriks 𝑎𝑖𝑗 yang memenuhi:
(i) 𝐴𝑥 = ∞𝑗 =1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ∈ 𝑙2 untuk setiap 𝑥 = 𝑥𝑗 ∈ 𝑙2,
(ii) 𝑎𝑖𝑗 2 ∞ 𝑗 =1 ∞ 𝑖=1 < ∞ (iii) ∞𝑖=1 ∞𝑗 =1𝑎𝑖𝑗 < ∞
Bukti: (Syarat perlu) Karena 𝐴: 𝑙2→ 𝑙2 linear dan kontinu maka dengan sendirinya berlaku
(i) dan (ii). Operator 𝐴 dalam bentuk matriks 𝑎𝑖𝑗 dikerjakan pada basis standar 𝑒𝑘
dengan 𝑒𝑘 = 0,0, … 1(𝑘), … berbentuk
𝐴𝑒𝑘 = 𝑎𝑗𝑘 𝑗 =1 ∞
35 𝐴𝑒𝑘, 𝑑𝑚∗ 𝑑𝑚 ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 = 𝑎𝑚𝑘𝑑𝑚 ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 = 𝑎𝑚𝑘 ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 < ∞
(Syarat cukup) berdasarkan (i) dan (ii) maka 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 : 𝑙2→ 𝑙2 llinear dan kontinu.
Selanjutnya, berdasarkan (iii) diperoleh
𝐴 𝑆𝑀= 𝐴𝑒𝑘, 𝑑𝑚∗ 𝑑𝑚 ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 = 𝑎𝑚𝑘 ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑚 =1 < ∞ Terbukti 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 operator-SM.
Contoh 1.5 Matriks 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dengan
𝑎𝑖𝑗 = 1
𝑖2 𝑖 = 𝑗 0 𝑖 ≠ 𝑗
Merepresentasikan operator-SM 𝐴: 𝑙2→ 𝑙2 sebab:
(i) Untuk setiap 𝑥 = 𝑥𝑗 ∈ 𝑙2 berlaku
𝐴𝑥 = 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ∞ 𝑗 =1 = 𝑥𝑗 𝑗2 2 ∞ 𝑗 =1 1 2 < 𝑥𝑗 2 ∞ 𝑗 =1 < ∞ Jadi 𝐴𝑥 ∈ 𝑙2.
(ii) Bagian kedua terpenuhi sebab
𝑎𝑖𝑗 2 = 𝑖12 2 ∞ 𝑖=1 ∞ 𝑗 =1 ∞ 𝑖=1 < ∞
(iii) Bagian ketiga terpenuhi sebab
𝑎𝑖𝑗 ∞ 𝑗 =1 ∞ 𝑖=1 = 1 𝑖2 ∞ 𝑖=1 < ∞
4. KESIMPULAN DAN PROSPEK 4.1 Kesimpulan
Operator linear dan kontinu 𝐴: 𝑙2→ 𝑙2 merupakan operator-SM jika dan hanya jika
terdapat suatu matriks 𝑎𝑖𝑗 yang memenuhi: (i) 𝐴𝑥 = ∞𝑗 =1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ∈ 𝑙2 untuk setiap
𝑥 = 𝑥𝑗 ∈ 𝑙2 , (ii) 𝑎𝑖𝑗 2 ∞ 𝑗 =1 ∞
𝑖=1 < ∞ dan (iii) ∞𝑖=1 ∞𝑗 =1𝑎𝑖𝑗 < ∞. Koleksi semua
operator-SM 𝐴: 𝑙2→ 𝑙2 yang dinotasikan dengan 𝑆𝑀 𝑙2, 𝑙2 membentuk ruang Banach.
4.2 Prospek
Penelitian lanjutan tentang operator-SM dapat dikembangkan pada ruang yang lebih luas dengan harapan hasil yang diperoleh semakin baik.
36
5. UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis menyampaikan ucapan terimakasih kepada Penyelenggara Semirata 2015 yang telah memfasilitasi kegiatan Seminar Nasional ini dan terima kasih kepada FMIPA Universitas Lampung yang telah mendukung penulis untuk selalu berkarya.
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Soeparna, D., Ansori, M., Supama, On the SM-operators, Berkala Ilmiah MIPA, UGM. 2006; (16): 49-53.
[2]. Weidmann J. Linear Operators in Hilbert Spaces. New-York: Springer-Verlag; 1980. [3]. Ansori, M., Soeparna, D., Supama, Modification of Hilbert-Schmidt Operator into the
