Grafik pengendali T2 Hotelling untuk pemantauan dan pengendalian mutu dalam proses produksi - USD Repository

GRAFIK PENGENDALI T

2

HOTELLING UNTUK

PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU

DALAM PROSES PRODUKSI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh: Ratna Sari 103114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

i

GRAFIK PENGENDALI T

2

HOTELLING UNTUK

PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU

DALAM PROSES PRODUKSI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh : Ratna Sari 103114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

v

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“No GAIN without PAIN”

Skripsi ini aku persembahkan untuk:

 Bapak dan ibu tercinta

 Kakakku Bagus Saputro, adikku Adi Saputro, dan keponakanku

Denisa

 Seluruh anggota keluarga besarku

 Febri Ariwibawa yang kusayang

 Semua sahabat-sahabatku yang selalu menemani dan mendukung

vii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, taufik dan

hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi ini dapat berjalan lancar. Sholawat dan

salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan

para sahabatnya, Amin.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari

hambatan dan kesulitan, namun berkat bantuan dari berbagai pihak maka

penyusunan skripsi ini dapat berjalan dengan baik. Untuk itu penulis

mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., yang dengan penuh kesabaran dan

keikhlasan dalam membimbing, mengarahkan dan selalu memotivasi saya

dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata

Dharma.

3. Teman-teman Prodi Matematika angkatan 2010 yang bersama-sama

berjuang demi sebuah kelulusan.

4. Kedua orang tuaku yang selalu sabar menghadapi tingkah laku putrinya.

5. Adikku si gendut Adi Saputro yang selalu menyayangiku.

6. Febriku sayang yang telah sabar membantu dan memberikan semangat.

7. Semua sahabat-sahabatku yang sedang berjuang bersama-sama meraih

cita-cita.

viii Segala kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT, semoga penulisan

skripsi ini dapat memberikan tambahan pengetahuan bagi pembaca, mohon maaf

atas segala kekurangan, Terima kasih.

Yogyakarta, 12 Agustus 2014

Penulis

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERNYATAAN PUBLIKASI... iv

HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN ... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS ... vi

HALAMAN KATA PENGANTAR ... vii

HALAMAN DAFTAR ISI... ix

HALAMAN DAFTAR LAMPIRAN ... xii

ABSTRAK ... xiii

ABSTRACT ... xiv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Rumusan Masalah ... 5

C. Batasan Masalah ... 5

D. Tujuan Penulisan ... 5

E. Manfaat Penulisan ... 6

F. Metode Penulisan ... 6

G. Sistematika Penulisan ... 6

BAB II LANDASAN TEORI ... 9

A. Grafik Pengendali ... 9

1. Grafik Pengendali Variabel ... 13

2. Grafik Pengendali dan S ... 14

B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 19

C. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat ... 22

1. Nilai Harapan Variabel Random ... 22

x

3. Kovariansi Dari Dua Variabel Random ... 22

4. Independensi Variabel Random ... 23

5. Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi Dalam Statistika Univariat ... 24

D. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat ... 27

1. Vektor Random dan Matriks Random ... 27

2. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi ... 28

3. Menyekat Matriks Kovariansi ... 31

4. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi Linear Variabel Random ... 33

5. Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi Sampel ... 36

6. Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan Matriks Kovariansi Sampel ... 38

7. Variansi yang Diperumum ... 43

8. Distribusi Normal Multivariat ... 44

9. Fungsi Densitas Normal Bivariat ... 46

E. Metode Fungsi Pembangkit Momen ... 48

F. Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal ... 53

BAB III T2 HOTELLING ... 58

A. Distribusi T2 Hotelling ... 58

B. Daerah Kepercayaan Elips ... 59

C. Grafik Pengendali T2 Hotelling ... 64

BAB IV APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING ... 71

A. Gambaran Umum Perusahaan... 71

B. Proses Produksi ... 72

C. Penerapan Pengendalian Mutu Perusahaan ... 73

D. Analisis Grafik Pengendali ... 75

1. Grafik Pengendali pH dan Kekeruhan Air ... 75

2. Grafik Pengendali Kekeruhan Air dan TDS ... 77

xi

A. Kesimpulan ... 80

B. Saran ... 81

DAFTAR PUSTAKA ... 82

xii DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Faktor-Faktor untuk Menentukan Grafik Pengendali Variabel ... 83

Lampiran 2. Distribusi, Fungsi Probabilitas, Rata-Rata, Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen ... 84

Lampiran 3. Titik Presentase Distribusi F ... 86

Lampiran 4. Total pemakaian air dan total produksiAMDK pada bulan Januari hingga April 2006 ... 91

Lampiran 5. Proses Produksi AMDK PT. SBQUA ... 92

Lampiran 6. Tabel Perhitungan pH dan Kekeruhan Air ... 93

Lampiran 7. Tabel Perhitungan Kekeruhan Air dan TDS ... 94

xiii

ABSTRAK

GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU DALAM PROSES PRODUKSI

Ratna Sari 103114013

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

2014

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui landasan teori matematis

dari grafik pengendali T2 Hotelling dan mengaplikasikan metode T2 Hotelling

pada produk yang terdiri dari dua karakteristik mutu. Untuk memahami grafik

pengendali T2 Hotelling diperlukan pemahaman tentang aljabar linear yaitu nilai

dan vektor eigen, nilai harapan dan variansi dalam statistika univariat dan multivariat, distribusi sampling yang berhubungan dengan distribusi normal, dan

distribusi T2 Hotelling.

Grafik pengendali T2 Hotelling dapat digunakan untuk menganalisis apakah

suatu proses terkendali atau tidak berdasarkan variabel bivariat yang relevan. Berdasarkan hasil analisis yang diperoleh pada PT. Sinar Bogor QUA (PT.

SBQUA), dapat disimpulkan bahwa aplikasi grafik pengendali T2 Hotelling

Bivariat untuk karakteristik mutu pH dan kekeruhan air dalam tank penampungan bahan baku menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 5, 14, dan 16 berada diluar batas pengendali. Sedangkan pada grafik pengendali untuk

karakteristik mutu kekeruhan air dan TDS dalam tank penampungan bahan baku

xiv

ABSTRACT

T2 HOTELLING CONTROL CHART FOR MONITORING AND QUALITY CONTROL IN THE PRODUCTION PROCESS

Ratna Sari 103114013

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

2014

This research aims to understand and apply the foundations of

mathematical theory of T2 Hotelling Control Chart on the product consists of two

quality characteristics. To understand the T2 Hotelling Control Chart it need linear

algebra, eigenvectors and eigenvalues, expectations and variance in univariate and multivariate statistics, sampling distributions related to the normal distribution,

and the distribution of T2 Hotelling. T2 Hotelling control chart can be used to

analyze whether a process is under control or not based on the relevant variables bivariat. Based on the data analysis at PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA), it can

be concluded that the application of T2 Hotelling Control Chart Bivariate quality

1 BAB I

PENDAHULUAN

I. LATAR BELAKANG MASALAH

Dewasa ini orang mengenal barang-barang dan jasa yang beraneka ragam

macamnya untuk memenuhi kebutuhannya. Barang dan jasa tersebut dibuat atau di

produksi untuk kebutuhan manusia. Produksi barang dan jasa tersebut menggunakan

faktor-faktor produksi alam, tenaga kerja, modal dan teknologi. Pada hakekatnya

produksi merupakan penciptaan atau penambahan faedah bentuk, waktu dan tempat

atas faktor-faktor produksi sehingga lebih bermanfaat bagi pemenuhan kebutuhan

manusia. Proses perubahan bentuk dan faktor-faktor produksi tersebut disebut proses

produksi.

Dalam era modern seperti saat ini, persaingan dalam dunia industri sangatlah

ketat. Perkembangan teknologi canggih dari tahun ketahun menuntut suatu hasil

produksi dari suatu perusahaan dalam hal ketelitian pekerjaan, ketepatan waktu

produksi, standar produksi, dan persaingan di pasar internasional. Oleh sebab itu

masalah mutu menjadi hal yang penting untuk diperhatikan oleh perusahaan.

Mutu merupakan suatu unsur yang sangat mutlak pada setiap produk atau jasa

yang dihasilkan oleh suatu perusahaan untuk menghasilkan suatu produksi yang

maksimal dengan mutu yang tinggi serta terjangkau oleh konsumen. Pada

atau mengalami kegagalan dalam proses produksinya. Penting bagi setiap perusahaan

untuk memperhatikan produksi mulai dari pengadaan bahan sampai dengan proses

produksi selesai.

Pengendalian mutu berfungsi untuk menjaga agar suatu sistem tetap efektif

dalam memperbaiki mutu produk atau jasa yang dihasilkan oleh perusahaan, sehingga

produksi dan pemasaran dapat berada pada tingkat yang paling ekonomis, dengan

demikian pelanggan selalu mendapatkan kepuasan. Untuk mengidentifikasi mutu

yang ingin dicapai dan untuk melihat tingkat kepuasan konsumen terhadap barang

yang dihasilkan, maka statistika pengendalian mutu sangat penting dipelajari untuk

melihat perkembangan mutu barang yang diproduksi. Dengan demikian, perusahaan

dapat meningkatkan mutu suatu barang dengan lebih baik lagi.

PT. I merupakan salah satu perusahaan yang memproduksi kertas dengan

orientasi mutu ekspor. Oleh sebab itu, mutu produk menjadi perhatian utama

perusahaan untuk menjaga loyalitas konsumen terhadap perusahaan dan dengan

demikian meningkatkan dominasi pasar. Salah satu produk yang dihasilkan oleh PT. I

adalah kertas memo. Mutu kertas memo ditentukan oleh beberapa karakteristik,

diantaranya yaitu ketebalan kertas, penyebaran warna, dan kerapatan kertas.

Perusahaan telah menentukan batas spesifikasi untuk masing-masing karakteristik

tersebut. Produk dianggap cacat atau tidak memenuhi standar apabila terdapat

setidaknya satu dari karakteristik tersebut tidak berada dalam interval sepesifikasi

Setiap produk memiliki sejumlah unsur yang menggambarkan pikiran pengguna

tentang mutu. Unsur-unsur ini biasanya disebut karakteristik mutu. Terkadang disebut

juga critical-to-quality (CTQ) characteristics. Karakteristik mutu terdiri dari

beberapa jenis, yaitu:

1. Fisik: panjang, berat, tegangan, kekentalan

2. Indera: ras, penampilan, warna

3. Orientasi waktu: tahan uji, daya tahan, berguna

Mutu keteknikan adalah kumpulan cara kerja, managerial, dan aktivitas

keteknikan yang perusahaan gunakan untuk memastikan karakteristik mutu dari

produk berada pada interval yang ditentukan dan faktor-faktor lain yang ada disekitar

produk tersebut berada pada tingkat yang minimal.

Statistika adalah kumpulan teknik pengambilan keputusan tentang proses atau

populasi berdasarkan pada suatu analisis informasi yang terkandung dalam suatu

sampel dari populasi tersebut. Metode statistika juga memainkan peranan penting

dalam pengendalian dan peningkatan mutu. Metode statistika memberikan cara-cara

pokok dalam pengambilan sampel produk, pengujian serta evaluasinya, dan informasi

dalam data itu digunakan untuk mengendalikan dan meningkatkan proses pembuatan.

Salah satu teknik utama dalam pengendalian statistis adalah grafik pengendali

(control chart). Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang

proses produksi dan informasi tersebut digunakan untuk menentukan kemampuan

proses.

Berdasarkan banyaknya karakteristik mutu yang diukur, grafik pengendali

dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali

multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik

mutu yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat digunakan untuk

mengukur dua atau lebih karakteristik mutu.

Secara umum grafik pengendali dibedakan menjadi 2 macam, yaitu grafik

pengendali untuk variabel dan grafik pengendali untuk atribut. Salah satu pendekatan

yang digunakan dalam memantau mutu produk pada kasus multivariat adalah dengan

menggunakan metode grafik pengendali T2 Hotelling. Sebagai contoh jika kita akan

menguji salah satu produk dari PT. I yaitu kertas memo, ada tiga karakteristik yang

harus dipenuhi, yaitu ketebalan kertas (x1), penyebaran warna (x2), dan kerapatan

kertas (x₃) maka

    

     

3 2 1

x x x

X dapat dijadikan sebagai statistik uji. Statistik 2

T disebut

2

T Hotelling untuk menghormati Harold Hotelling, seorang pelopor analisis

Pada tugas akhir ini akan dibahas bagaimana menggunakan grafik pengendali 2 T

Hotelling untuk pemantauan dan pengendalian mutu dalam proses produksi.

II. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka dapat dirumuskan permasalahan:

1. Bagaimana landasan matematis dari grafik pengendali 2

T Hotelling ?

2. Bagaimana mengaplikasikan grafik pengendali T2 Hotelling untuk mengendalikan

mutu produk yang terdiri dari beberapa karakteristik mutu?

III. BATASAN MASALAH

Batasan permasalahnya yaitu:

1. Grafik pengendali yang digunakan adalah Grafik pengendali variabel X dan R

2. Grafik pengendali T2 Hotelling digunakan untuk mengendalikan produk yang

terdiri dari dua karakteristik mutu.

3. Dasar-dasar teori yang dibahas hanya materi-materi yang berkaitan langsung

dengan grafik pengendali T2 Hotelling.

IV. TUJUAN PENULISAN

1. Mengetahui landasan teori matematis dari grafik pengendali 2

T Hotelling.

2. Mengaplikasikan metode T2 Hotelling pada produk yang terdiri dari dua

V. MANFAAT PENULISAN

Tugas akhir ini diharapkan dapat bermanfaat bagi:

1. Penulis

Penelitian ini merupakan kesempatan yang sangat bermanfaat untuk menambah

pengetahuan dan pengalaman yang berharga dalam menerapkan teori-teori yang

pernah didapatkan ketika kuliah ke dalam kondisi yang nyata.

2. Perusahaan

Penelitian ini diharapkan dapat digunakan oleh perusahaan-perusahaan sebagai

referensi tambahan pada evaluasi proses pemantauan dan pengendalian mutu yang

selanjutnya dapat dipergunakan untuk mengambil tindak lanjut.

3. Universitas Sanata Dharma

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan pengetahuan dan

informasi bagi peneliti lain.

VI. METODE PENULISAN

Pada penelitian ini akan digunakan metode studi pustaka.

VII. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I : PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

H. Daftar Pustaka

BAB II : LANDASAN TEORI

A. Grafik Pengendali

1. Grafik Pengendali Variabel

2. Grafik Pengendali X dan S

B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

C. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat

1. Nilai Harapan Variabel Random

2. Variansi Variabel Random

3. Kovariansi Dari Dua Variabel Random

4. Independensi Variabel Random

5. Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi dalam Statistika

Univariat

D. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat

1. Vektor dan Matriks Random

2. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi

4. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi

Linear Variabel Random

5. Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi

Sampel

6. Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan Matriks

Kovariansi Sampel

7. Variansi yang Diperumum

8. Distribusi Normal Multivariat

9. Fungsi Densitas Normal Bivariat

E. Metode Fungsi Pembangkit Momen

F. Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal

BAB III : T2 HOTELLING

A. Distribusi T2 Hotelling

B. Grafik Pengendali T2 Hotelling

BAB IV : APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING

9 BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Grafik Pengendali

Salah satu teknik utama dalam pengendalian statistis adalah grafik

pengendali (control chart). Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses

pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menduga

parameter suatu proses produksi dan informasi tersebut digunakan untuk

menentukan kemampuan proses.

Gambar 2.1. Grafik pengendali

Bentuk dasar grafik pengendali pada Gambar 2.1 berupa grafik karakteristik

mutu yang telah diukur terhadap nomor atau waktu sampling. Grafik tersebut

Pengendali Atas (BPA), dan Batas Pengendali Bawah (BPB). Proses dianggap

terkendali apabila semua titik-titik sampel berada diantara batas pengendali dan

tidak diperlukan tindakan apapun, namun apabila ada satu titik terletak di luar

batas pengendali maka proses tersebut dikatakan tidak terkendali dan diperlukan

tindakan penyidikan dan perbaikan untuk mendapatkan kemudian menyingkirkan

sebab atau sebab dugaan yang menyebabkan proses tersebut tidak terkendali.

Proses juga dikatakan tidak terkendali apabila titik-titik sampel tersebut

berpola secara sistematik atau tak random meskipun semua titik terletak di dalam

batas pengendali. Misalnya apabila 13 dari 15 titik terakhir terletak diantara garis

tengah dan BPA dan hanya dua dari titik-titik ini terletak di antara garis tengah

dan BPB, maka diduga bahwa ada sesuatu yang tidak terkendali. Proses tersebut

terkendali apabila semua titik-titik pada grafik memiliki pola yang pada dasarnya

random. Namun metode melihat pola ini tidak dapat diterapkan sebagai penolong

dalam menyidik keadaan yang tidak terkendali. Biasanya ada alasan mengapa pola

tak random tertentu tampak dalam grafik pengendali.

Buku pedoman Western Electric (1956) mengusulkan sekumpulan aturan

pengambilan keputusan untuk penyidikan pola tak random pada grafik

pengendali. Buku tersebut mengusulkan bahwa proses tak terkendali apabila

memenuhi salah satu dari hal-hal berikut:

1. Satu titik jatuh di luar batas pengendali 3-sigma.

3. Empat dari lima titik yang berurutan jatuh pada jarak 1-sigma atau lebih jauh

dari garis tengah.

4. Delapan titik yang berurutan jatuh pada satu sisi dari garis tengah.

Aturan-aturan tersebut berlaku pada satu sisi antara garis tengah dan batas

pengendali pada satu waktu. Aturan-aturan ini sangat efektif dalam praktek untuk

mempertinggi kepekaan grafik pengendali. Terdapat juga beberapa kriteria yang

digunakan secara luas dalam praktek, ketika kita memeriksa grafik pengendali dan

menyimpulkan bahwa proses tersebut tidak terkendali apabila dipenuhi salah satu

atau beberapa kriteria dibawah.

1. Satu atau beberapa titik berada di luar batas pengendali.

2. Suatu siklus dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam

siklus dapat berbentuk siklus naik atau turun, siklus di atas atau di bawah garis

tengah, atau siklus di atas atau dibawah median.

3. Dua atau tiga titik yang berurutan berada di luar batas peringatan 2-sigma,

tetapi masih di dalam batas pengendali.

4. Empat atau lima titik yang berurutan berada di luar batas 1-sigma.

5. Pola tak biasa atau tak random dalam data.

6. Satu atau beberapa titik berada di dekat satu batas peringatan atau pengendali.

Misalkan w adalah statistik sampel yang mengukur suatu karakteristik mutu,

dan adalah rata-rata w dan standar deviasi w, maka model umum untuk

w w w

w w

k k

  

 

  

 

BPB

Tengah Garis

BPA

(2.1)

dengan k adalah “jarak” batas-batas pengendali dari garis tengah yang

dinyatakan dalam unit standar deviasi. Teori ini pertama kali ditemukan oleh Dr.

Walter A. Shewhart, dan grafik pengendali yang dikembangkan menurut asas-asas

ini seringkali dinamakan Grafik Pengendali Shewhart.

Berdasarkan banyaknya karakteristik mutu yang diukur, grafik pengendali

dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali

multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu

karakteristik mutu yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat

digunakan untuk mengukur dua atau lebih karakteristik mutu.

Grafik pengendali dapat diklasifikasikan ke dalam dua tipe umum. Apabila

karakteristik mutu dapat diukur dan dinyatakan dalam suatu bilangan, grafik

pengendalinya dinamakan grafik pengendali variabel. Dalam hal seperti itu, tepat

sekali menggambarkan karakteristik mutu dengan ukuran tengah dan ukuran

variabilitas. Grafik pengendali untuk nilai tengah dan variabilitas bersama-sama

dinamakan grafik pengendali variabel. Grafik merupakan grafik yang paling

luas digunakan untuk pengendalian nilai tengah, sedangkan grafik yang

berdasarkan rentang sampel atau standar deviasi sampel digunakan untuk

mengendalikan variabilitas proses. Banyak karakteristik mutu tidak dapat tepat

digambarkan secara numerik. Dalam beberapa kasus, kita biasanya

dengan spesifikasi karakeristik mutu. Istilah “cacat” atau “tidak cacat” sering

digunakan untuk mengidentifikasi kedua klasifikasi produk tersebut. Kedua istilah

tersebut dapat diklasifikasikan ke dalam variabel khusus yang biner. Grafik untuk

karakteristik mutu seperti ini dinamakan grafik pengendali sifat (atribut).

2.1.1 Grafik Pengendali Variabel

Banyak karakteristik mutu yang dapat dinyatakan dalam suatu bilangan.

Misalnya, diameter ban dapat diukur dengan mikrometer dan dinyatakan dalam

centimeter. Suatu karakteristik mutu yang dapat diukur seperti dimensi, berat, atau

volume, dinamakan variabel.

Apabila yang diukur adalah karakteristik mutu (variabel), maka perlu

mengendalikan nilai rata-rata karakteristik mutu dan variabilitasnya. Pengendalian

rata-rata tingkat mutu biasanya dengan grafik pengendali rata-rata atau grafik .

Variabilitas atau pemencaran proses dapat dikendalikan dengan grafik pengendali

untuk standar deviasi, yaitu grafik S, atau grafik pengendali untuk rentang, yaitu

grafik R.

Sangat penting untuk memelihara pengendalian rata-rata dan variabilitas

proses, Gambar 2.2 menunjukkan hasil suatu proses produksi. Dalam Gambar

2.2(a) rata-rata dan standar deviasi terkendali pada nilai nominalnya ( dan

), karena itu kebanyakan proses jatuh dalam batas spesifikasi. Namun dalam

tidak sesuai lebih tinggi. Dalam Gambar 2.2(c) standar deviasi proses telah

bergeser ke suatu nilai . Hal ini mengakibatkan proses yang tidak

terkendali lebih tinggi, meskipun masih pada nilai nominal.

(a)

(b) (c)

Gambar 2.2 Perlunya mengendalikan rata-rata proses dan variabilitas proses

2.1.2 Grafik Pengendali dan S

Andaikan karakteristik mutu berdistribusi Normal dengan rata-rata dan

standar deviasi yang diketahui. Jika merupakan sampel berukuran

n x x

x

X  1 2  n

menurut Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III, dan Richard L. Scheaffer

(2008) bahwa X berdistribusi Normal dengan rata-rata dan standar deviasi

. Setiap rata-rata sampel akan berada di antara

n Z

Z _x  

  _/2   _/2 (2.2a)

dan

n Z

Z _x  

  _/2   _/2 (2.2b)

dengan probabilitas 1 .

Dengan demikian, jika dan diketahui, persamaan (2-2a) dan (2-2b) dapat

digunakan sebagai BPA dan BPB pada grafik pengendali rata-rata sampel. Nilai

2 /



Z diganti dengan 3, sehingga digunakan batas 3-sigma. Jika suatu rata-rata

sampel berada di luar batas ini, maka rata-rata proses tidak lagi sama dengan .

Dalam praktek, biasanya dan tidak diketahui. Oleh karena itu nilai-nilai

tersebut harus diduga dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses

tersebut diduga terkendali. Dugaan ini harus didasarkan pada paling sedikit 20

sampai 25 sampel. Misalkan tersedia m sampel, masing-masing memuat n

rata-rata tiap sampel. Maka penduga terbaik untuk rata-rata-rata-rata proses adalah rata-rata

keseluruhan, yaitu

m x x

x

X  1  2  m (2.3)

Jadi X akan digunakan sebagai garis tengah grafik x itu.

Jika adalah variansi dari distribusi probabilitas yang tidak diketahui,

maka penduga tak bias untuk adalah variansi sampel

1 ) (

1

2

2

  





n x x

S n

i i

namun, standar deviasi sampel S bukan penduga tak bias untuk . Jika distribusi

yang melandasi adalah Normal, sebenarnya S menduga c4 dengan c4 adalah

suatu konstanta yang bergantung pada ukuran sampel n. Selanjutnya menurut

Douglas C. Montgomery, bahwa dalam Pengantar Pengendalian Mutu Statistik

(1990), standar deviasi S adalah 2

4

1c

 dengan

3 4

) 1 ( 4

4

  

n n

c . Informasi ini

dapat digunakan untuk membuat grafik pengendali dan S.

Karena E(S)= c₄ , garis tengah grafik tersebut adalah c₄ . Batas

pengendali 3-sigma bagi S adalah

2 4 4

2 4 4

1 3

1 3

c c

BPB

c c

BPA

 



 



 

 

didefinisikan konstanta untuk

2 4 4

5 c 3 1 c

B      (2.5a)

dan

2 4 4

6 c 3 1 c

B      (2.5b)

dengan demikian batas pengendali untuk grafik S menjadi

 



5 4

6

tengah Garis

B BPB

c B BPA

  

(2.6)

Nilai-nilai c4, B5,dan B6 ditabelkan dalam Tabel Lampiran 1 untuk berbagai

himpunan bagian. Parameter grafik x adalah

  

 

A BPB

A BPA

  

 

tengah

Garis (2.7)

dengan A = 3/ n .

Jika nilai standar bagi  tidak diberikan, maka diduga dengan data yang

lalu. Andaikan ada m sampel awal masing-masing berukuran n, dan misalkan Si

adalah standar deviasi sampel ke-i. Rata-rata m standar deviasi tersebut adalah





 m

i i

S m S

1

Statistik S /c4 adalah penduga tak bias untuk  . Dengan demikian, parameter

grafik S menjadi

2 4

4

2 4

4

1 3 tengah

Garis

1 3

c c

S S BPB

S

c c

S S BPA

 

 

 



(2.8)

Biasanya didefinisikan konstanta

2 4

4

3 1

3

1 c

c

B    (2.9a)

dan

2 4

4

4 1

3

1 c

c

B    (2.9b)

Dengan demikian parameter grafik S dapat ditulis sebagai

S B BPB

S S B BPA

3 4

tengah Garis

  

(2.10)

Perhatikan bahwa B4  B6/c4 dan B3  B5 /c4.

Apabila S /c4 digunakan untuk menduga  , batas pengendali grafik

n tengah

Garis

tengah Garis

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.2.1 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Andaikan A adalah suatu

matriks yang berukuran . Skalar  disebut sebagai nilai eigen atau nilai

karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = x. Vektor

x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari A yang bersesuaian dengan 

.

Contoh 2.2.1

dari persamaan terlihat bahwa   3 adalah nilai eigen dari A dan x[2,1]'

adalah vektor eigen dari . Sebarang kelipatan taknol dari x akan menjadi vektor

eigen, karena

) ( )

(x  Ax  x  x

A

Jadi, sebagai contoh, [4,2]’ juga merupakan vektor eigen dari   3.

                       



 

2 4 3 6 12

2 4

1 1

2 4

Persamaan Ax = x dapat dituliskan dalam bentuk

AIx 0 (2.13)

Jadi  adalah nilai eigen dari A jika hanya jika (2.13) memiliki penyelesaian tak

trivial. Persamaan (2.13) akan memiliki peyelesaian tak trivial jika hanya jika

AI singular atau

  0

det AI  (2.14)

Jika determinan pada (2.14) diuraikan, akan didapatkan suatu polinom berderajat

ke-n dalam peubah .

A I

p() det 

Polinom ini disebut polinom karakteristik dan (2.14) disebut persamaan

karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinom karakteristik adalah nilai eigen

Contoh 2.2.2

Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks

   

 

 

2 3

2 3 A

Persamaan karakteristiknya adalah

0 2

3

2 3

   

 

atau 2 12  0

Nilai-nilai eigen dari A adalah ₁  4 dan ₂  3. Untuk mencari vektor eigen

dari ₁  4, harus ditentukan kernel (ruang nol) dari A 4I .

   

 

   

6 3

2 1 4I A

Dengan menyelesaikan A4Ix 0, didapatkan







 2x2,x2

x

Jadi semua kelipatan taknol dari [2,1]’ adalah vektor eigen dari ₁. Dengan cara

yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen dari ₂ harus diselesaikan

2.3 Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat

2.3.1 Nilai Harapan Variabel Random

Definisi 2.3.1 Nilai harapan suatu variabel random X didefinisikan oleh

  

  

 







 

 

) ( as probabilit fungsi

dengan

diskret random variabel

jika )

(

) ( densitas fungsi

dengan

kontinu random

variabel jika

) (

) (

x p X

x p x

x f X

dx x f x

X E

x

(2.15)

2.3.2 Variansi Variabel Random

Definisi 2.3.2 Variansi dari suatu variabel random X dengan E(X) = μ adalah

nilai harapan dari X 2. Yaitu

 



2



)

(X  E X  

Var (2.16)

2.3.3 Kovariansi Dari Dua Variabel Random

Definisi 2.3.3 Jika X dan Y adalah variabel random dengan distribusi probabilitas bersama f (x,y), Kovariansi dari X dan Y adalah











X x Y y



E

Y X

Cov ( , )    (2.17)

2.3.4 Independensi Variabel Random

Definisi 2.3.4.1 Independen Secara Statistis Jika probabilitas bersama

] dan

[X_i x_i X_k x_k

P   dapat ditulis sebagai perkalian probabilitas marginal,

sedemikian sehingga

] [

] [

] dan

[X_i x_i X_k x_k P X_i x_i P X_k x_k

P      (2.18)

Untuk semua nilai pasangan xi,xk, maka Xi dan Xkdikatakan independen secara

statistis.

Jika Xi dan Xk adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas

bersama f_ik(x_i,x_k) dan densitas marginal f_i(x_i) dan f_k(x_k), maka

) ( ) ( ) ,

( _{i k i i k k}

ik x x f x f x

f  (2.19)

Untuk semua pasangan (x_i,x_k).

Definisi 2.3.4.2 Variabel Random Kontinu yang Independen Secara Statistis

Variabel random kontinu X1,X2,,X p dikatakan saling independen secara

statistis jika fungsi densitas bersamanya dapat difaktorkan sebagai

) ( ) ( ) ( ) , , ,

( 1 1 1 2 2

12 p x xk xp f x f x k fp xp

Untuk semua p -tuple (x1,x2,xp).

2.3.5 Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi Dalam Statistika Univariat

Teorema 2.3.5.1 Andaikan X dan Y adalah variabel random yang independen, dan c adalah konstanta, maka

)

Jika X dan Y adalah variabel random kontinu, maka

 

Teorema 2.3.5.2 Jika X dan Y merupakan variabel random independen, maka

Teorema 2.3.5.3 Kovariansi dari dua variabel random independen X dan Y

Teorema 2.3.5.4 (Kovariansi dari Kombinasi Linear Variabel Random) Jika X dan Y adalah variabel random dan a dan b adalah konstanta, maka

12

) ,

(X Y ab

Cov 

Dari kombinasi linear aX bY didapatkan

Bukti

2.4 Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat

2.4.1 Vektor Random dan Matriks Random

Definisi 2.4.1.1 (Vektor Random) Vektor random adalah vektor yang elemen-elemennya merupakan variabel random, dan matriks random adalah matriks yang

elemen-elemennya adalah variabel random

Contoh 2.4.1.1 (Vektor dan Matriks Random)

Vektor random X yang elemen-elemennya merupakan p variabel random dapat

merupakan variabel random dapat ditulis sebagai



2.4.2 Vektor Rata-rata dan Matriks Kovariansi

Definisi 2.4.2.1 Rata-rata vektor random X yang berukuran p1

didefinisikan sebagai



Definisi 2.4.2.2 Matriks kovariansi dari dua vektor random X dan Y adalah



( )( )'



) ,

( E _{x y}

Definisi 2.4.2.3 Andaikan terdapat dua vektor random X dan Y, dengan X=Y

maka Cov(X,X) dapat ditulis sebagai ΣCov (X), yang disebut sebagai matriks

dispersi (variansi-kovariansi) dari X.

Teorema 2.4.2.1 X dan Y adalah matriks random yang independen dengan

dimensi yang sama, A dan B adalah matriks konstanta yang sesuai. Maka,

B

1. Jika X dan Yadalah matriks variabel random yang diskret, maka

)

Bukti untuk X dan Y adalah matriks variabel random kontinu dapat dikerjakan

2.4.3 Menyekat Matriks Kovariansi

Dengan definisi perkalian dan transpose matriks didapatkan

Semua kovariansi _ij,i 1,2,,q, j  q1,q 2,,p. Matriks Σ₁₂ tidak selalu

simetris walaupun persegi.

Menyekat matriks dapat dilakukan secara

Akibatnya,



adalah matriks dengan elemen semua kovariansi antara (1) (2)

dan X

2..4.4 Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi Linear

persamaannya menjadi

Σc

Karena

22

Secara umum, q kombinasi linear dari p variabel random adalah:

Definisi 2.4.4.1 Kombinasi linear Z  CX mempunyai persamaan

C'

μ merupakan vektor rata-rata dan Σxadalah matriks variansi –kovariansi X.

Contoh 2.4.4.1 (Rata-rata dan kovariansi kombinasi linear)

Diberikan vektor random X'X1,X2 dengan vektor rata-rata μ'x 1,2 dan

matriks variansi-kovariansi _



2

diketahui dengan baik bahwa penjumlahan dari dua variabel random dengan

variansi yang sama tidak berkorelasi.

2.4.5 Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi Sampel

Andaikan x'



x₁,x₂,,x_p



merupakan vektor rata-rata sampel dari n



dengan jelas jumlah yang sesuai dengan grup variabel. Maka,

) Kovariansi Sampel

Dalam rangka mempelajari statistik variabilitas sampling seperti X dan Sn

dengan tujuan utama membuat kesimpulan, perlu membuat asumsi tentang

variabel dengan nilai-nilai yang diamati merupakan kumpulan data X.

Andaikan data X belum diamati tetapi akan dikumpulkan sebanyak n

himpunan dari pendugaan p variabel. Sebelum dilakukan pendugaan, secara

umum nilai dugaannya tidak dapat diprediksi secara tepat, akibatnya dianggap

sebagai variabel random. Entri ke-( j,k) dalam matriks merupakan variabel

random X jk. Tiap himpunan pendugaan X j dalam p variabel merupakan suatu

vektor random, dan matriks randomnya adalah

sekarang sampel random dapat didefinisikan.

Jika vektor baris X1,X2,,Xn merupakan pengamatan independen dari

distribusi bersama yang sama dengan fungsi densitas f(x)  f(x1,x2,,xp),

maka X1,X2,,Xn merupakan suatu bentuk sampel random dari f(x). Secara

matematis, X1,X2,,Xn merupakan bentuk suatu sampel random jika fungsi

densitas bersamanya diberikan oleh hasil perkalian f(x₁)f (x₂) f (x_n), dengan

) , , , ( )

( _j f x_j1 x_j2 x_jp

f x   adalah fungsi densitas untuk vektor baris ke- j.

Akibat 2.4.6.1 Sifat X Andaikan X₁,X₂,,X_n sampel random dari distribusi

bersama dengan vektor rata-rata μ dan matriks kovariansi Σ , maka X adalah

suatu penduga tak bias dari μ dan matriks kovariansinya

Σ

n

1

sehingga,

sampel) ukuran

dibagi populasi kovariansi

variansi (matriks

populasi) rata

-rata (vektor 1

) (

) (

Σ

X

μ

X

n Cov

E

 

(2.39)

Untuk matriks kovariansi Sn,

Σ Σ Σ

S

n n

n

Maka,

1 merupakan penduga tak bias dari .

Bukti:

Selanjutnya,

Dengan j  dan tiap entri di (X _j μ) (X_  μ)sama dengan nol karena

entrinya adalah kovariansi antara satu komponen di X_j dan satu komponen di X

, dan independen. Maka dari itu,



Matriksnya menunjukkan penjumlahan kuadrat dan perkalian silang dan dapat

dituliskan sebagai

X





( )

Hasilnya,



X X



(XX ) Σ μμ 1Σ μμ ( 1)Σ

Definisi 2.4.6.1 Matriks Variansi Sampel-Kovariansi (Tak Bias) adalah

2.4.7Variansi yang Diperumum

Variansi sampel sering digunakan untuk menggambarkan besarnya variansi

dalam pendugaan suatu variabel tunggal. Ketika pvariabel diamati dalam tiap

unit, variansi digambarkan oleh matriks variansi-kovariansi



Variansi yang diperumum dapat diintepretasikan dalam ruang sebaran data

berdimensi-p. Interpretasi yang paling intuitif memperhatikan penyebaran titik

rata-rata sampel. Bentuk penyebarannya didasari oleh titik rata-rata sampel



x1,x2,,xp



ukuran jarak yang diberikan dalam pernyataan di atas. Andaikan x menggantikan

titik tetap μ dan 1

2.4.8 Distribusi Normal Multivariat

Fungsi densitas Normal multivariat adalah generalisasi dari fungsi densitas

Normal univariat ke dimensi p > 2. Distribusi Normal univariat dengan rata-rata

 dan variansi 2

 memiliki fungsi densitas

  _{    }

  

x e

x

f (x )/ /2

2

2

2 1 )

(  

 (2.43)

Gambar 2.3 Fungsi densitas Normal dengan rata-rata  dan variansi _2 _dan daerah-daerah yang di pilih dibawah kurva

Gambar tersebut merupakan pendekatan luas daerah dibawah kurva dengan

standar deviasi ±1 dan ±2 dari rata-rata. Luas daerah tersebut menunjukkan

probabilitas untuk variabel random Normal X.

95 , 0 ) 2 2

(

68 . 0 ) (

    

    

  



  



X P

X P

Selanjutnya fungsi densitas Normal dengan rata-rata  dan variansi _2

akan

ditulis N(,).

 

 

  

 

 

    



  

x x

x ₂ 1

2

(2.44)

dalam eksponen fungsi densitas Normal univariat mengukur jarak kuadrat dari x

ke  dalam satuan standar deviasi. Hal ini dapat diperumum untuk suatu vektor

pengamatan x berukuran p 1 dalam beberapa variabel sebagai



xμ



Σ1



xμ



(2.45)

Vektor μ yang berukuran p 1 menunjukkan nilai harapan vektor random X,

dan matriks Σ yang berukuran p p merupakan matriks variansi-kovariansi.

Diasumsikan matriks simetris Σ adalah matriks definit positif, jadi (2.45) adalah

jarak kuadrat yang diperumum dari x ke μ.

Fungsi densitas Normal multivariat diperoleh dengan mensubtitusikan jarak

univariat dalam (2.44) dengan jarak multivariat yang diperumum dari (2.45)

dalam fungsi densitas (2.43). Jika sudah disubtitusi, konstanta Normal univariat

2 / 1 2 2 / 1

) ( ) 2

(     harus disubtitusi ke konstanta yang lebih umum yang dapat

membuat volume dibawah permukaan fungsi densitas multivariat bernilai satu

untuk setiap p. Konstanta pengganti tersebut adalah

 

2 p/2 Σ 1/2.

Definisi 2.4.8.1 Andaikan x (x₁,x₂,,x_p) merupakan vektor random

 

   /2 2

/ 1 2 /

1

2 1 )

( x μ Σ x μ

Σ

x  e     f

p

 (2.46)

dengan   x_i  ,i 1,2,,p dan Σ adalah matriks definit positif, ditulis

) (μ,Σ

p

N .

Secara khusus, skripsi ini berkaitan dengan distribusi Normal Bivariat

yaitu p = 2.

2.4.9 Fungsi Densitas Normal Bivariat

Himpunan semua x sedemikian sehingga     2

c

  

 

μ

x

Σ μ

x 1 merupakan

permukaan elipsoid yang berpusat di μ.

Sumbu setiap elipsoid dari fungsi densitas bersesuaian dengan vektor eigen

1 Σ

dan panjangnya proporsional dengan akar kuadrat dari kebalikan nilai eigen

1 Σ

. Perhitungan 1

Σ

dapat dihindari ketika menentukan sumbu elipsoid, karena

elipsoid dapat ditentukan oleh nilai eigen dan vektor eigen Σ.

Akibat 2.4.9.1 Jika Σ adalah matriks definit positif sehingga 1 Σ

ada, maka

e

Σe   mengakibatkan Σ 1e e

     





jadi (,e) adalah pasangan nilai dan vektor eigen untuk Σ yang bersesuaian

matriks definit positif.

Definisi 2.4.9.1 Peta fungsi densitas konstanta distribusi Normal berdimensi p

adalah elips yang di definisikan oleh x sehingga

Dengan pusat μ dan panjang sumbu utama c _ie_i, dengan

p i

i i

i  e 1,2,,

Σe 

Sub bab 2.5 sampai dengan sub bab 2.6 dibahas untuk memberikan landasan

teori bagi pokok bahasan T2 Hotelling yang ada dalam BAB III.

2.5 Metode Fungsi Pembangkit Momen

Metode fungsi pembangkit momen digunakan untuk mencari distribusi

probabilitas dari suatu fungsi variabel random Y1,Y2,,Yn yang didasari oleh

teorema berikut.

Teorema 2.5.1 (Teorema Ketunggalan)

Andaikan mX(t) dan mY(t) secara berturut-turut merupakan fungsi pembangkit

momen dari variabel random X dan Y. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada

dan mX(t)  mY(t) untuk semua nilai t, maka X dan Y mempunyai distribusi

probabilitas yang sama.

Jika U merupakan fungsi dari n variabel random, Y1,Y2,,Yn, langkah

pertama menggunakan Teorema 2.5.1 adalah adalah mencari fungsi pembangkit

) ( )

( tU

U t E e

m  . (2.48)

Jika fungsi pembangkit momen untuk U sudah ditemukan, bandingkan

dengan fungsi pembangkit momen untuk variabel random dengan distribusi yang

sudah diketahui dengan baik (well-known distributions). Jika m_U(t) sama dengan

salah satunya, katakanlah fungsi pembangkit momen untuk variabel random V.

Dengan menggunakan Teorema 2.5.1, U dan V memiliki distribusi probabilitas

yang sama. Bukti untuk teorema ini dapat ditemukan di Hongki Julie (1999).

Fungsi densitas, rata-rata, variansi, dan fungsi pembangkit momen untuk beberapa

variabel random yang seringkali ditemui dan ditunjukkan pada Lampiran 2.

Contoh 2.5.1

Andaikan Z variabel random yang berdistribusi Normal dengan rata-rata = 0

dan variansi = 1. Gunakan metode fungsi pembangkit momen untuk mencari

distribusi probabilitas Z2.

Fungsi pembangkit momen untuk Z2 adalah









 

 



 

 

 



 



dz e

dz e

e dz z f e e

E t m

t z

z Z t Z

t Z

t z

) 2 1 ( ) 2 / (

2 /

2

2 2 2

2 2

2 1

2 )

( )

( ) (





Integral tersebut dapat dievaluasi baik dengan tabel integral atau dengan mencatat



sebanding dengan fungsi densitas variabel random berdistribusi Normal dengan

rata-rata 0 dan variansi (1 – 2t)-1. Untuk membuat integran suatu fungsi densitas

Normal (integral definit = 1), kalikan numerator dan denumerator dengan standar

deviasi, (1 2t)1/2. Maka

Karena integralnya sama dengan 1, jika t < ½,

2

demikian Z2 berdistribusi 2 dengan derajat bebas 1.

Teorema 2.5.2 Andaikan Y1,Y2,,Yn merupakan variabel random yang

independen dengan fungsi pembangkit momen secara berturut-turut

)

Dengan menggunakan definisi fungsi pembangkit momen,

)

maka U adalah variabel random berdistribusi Normal dengan

2

fungsi pembangkit momen yang diberikan oleh



Jadi fungsi pembangkit momen aiYi diberikan oleh



Karena variabel random Yi independen, variabel random aiYi juga independen,

untuk i1,2,,n, Teorema 2.5.2 mengakibatkan

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal dengan

Jadi, berdasarkan teorema ketunggalan U berdistribusi Normal dengan rata-rata





n

i i i

a 1

 dan variansi





n

i i i

a 1

2 2_

.

2.6 Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal

Teorema 2.6.1 Andaikan Y1,Y2,,Yn merupakan sampel random berukuran n

dari distribusi Normal dengan rata-rata  dan variansi _2

. Maka





 n

i i

Y n Y

1

1

(2.50)

Berdistribusi Normal dengan rata-rata _Y   dan variansi n

Y /

2

2 _

  .

Bukti

Karena Y1,Y2,,Yn merupakan sampel random dari suatu distribusi Normal

dengan rata-rata  dan variansi _2

, Y_i,i 1,2,,n, adalah independen,

berdistribusi Normal, dengan E(Y_i)   dan 2

) (Y_i  

V . Selanjutnya,

) ( 1 )

( 1 ) ( 1 1

2 1

1

n n

i

i Y

n Y

n Y n Y n

Y 



   





n i

n a

Y a Y

a Y

a_{1 1} _{2 2}   _{n n} dengan _i 1/ , 1,2,,

Y adalah kombinasi linear dari Y₁,Y₂,,Y_n, dan Teorema 2.13.3 dapat

diaplikasikan untuk menyimpulkan bahwa Y berdistribusi Normal dengan



Distribusi 2memainkan peranan penting dalam banyak langkah-langkah

penarikan kesimpulan. Sebagai contoh, andaikan akan dibuat suatu penarikan

kesimpulan tentang variansi populasi 2

 yang didasari sampel random

n

Y Y

Y₁, ₂,, dari populasi yang berdistribusi Normal. Penduga baik dari _2

adalah variansi sampel





2

independen.

Bukti

Bukti berikut digunakan untuk mengantarkan generalisasi dari distribusi t

(univariat) ke T2 Hotelling (multivariat). Diasumsikan n = 2 dan akan ditunjukkan

bahwa ₂

2

Akan ditunjukkan jumlah tersebut sama dengan kuadrat variabel random

Normal standar, yaitu Z2 yang berdistribusi 2 dengan derajat bebas 1.

Karena Y₁Y₂ adalah kombinasi linear dari variabel random yang

independen, maka variabel random berdistribusi Normal

) 1 dan

1 dengan

(Y₁Y₂ a₁Y₁a₂Y₂ a₁  a₂  , Teorema 6.3 mengatakan

berdistribusi Normal standar. Karena untuk n = 2

2

dengan derajat bebas 1.

Karena



2 2

)

(Y₁ Y₂ U₁

Y     dan

2 ) (

2 )

( _{1 2} 2 ₂ 2

2 Y Y U

S     .

Karena Y merupakan fungsi dari U₁ dan S2 merupakan fungsi dari U₂,

independensi U1 dan U2 mengakibatkan independesi dari Y dan

2

S . Terbukti

bahwa Y dan 2

58 BAB III

T2 HOTELLING

3.1 Distribusi T2 Hotelling

Definisi 3.1.1 (Menurut Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III, dan Richard L. Scheaffer)

Andaikan Z merupakan variabel random yang berdistribusi Normal Standar dan

andaikan W merupakan variabel random yang berdistribusi _2

dengan derajat

bebas v. Kemudian jika Z dan W independen, maka

v W

Z T

/

 (3.1)

dikatakan berdistribusi t dengan derajat bebas v.

Jika Y1,Y2,,Yn merupakan sampel random dari populasi Normal dengan

rata-rata  dan variansi _ 2

, Teorema 2.6.1 dapat diaplikasikan untuk

menunjukkan Z  n



Y 



/ berdistribusi Normal Standar. Teorema 2.6.2

mengatakan bahwa 2 2

/ ) 1 (n S 

W   berdistribusi 2 dengan derajat bebas v =

n – 1, Z dan W independen ( karena Y dan S2 independen ). Oleh karena itu

dengan Definisi 3.1.1,







  



 

  

 



S Y n n

S n

Y n

v W

Z

T 

  

) 1 /( / ) 1 (

/ ) (

berdistrinbusi t dengan derajat bebas (n – 1).

Jarak kuadrat persamaan diatas adalah















 

     

  

   

  

 

Y S Y

n S

Y n

T 2 1

2

2

)

( (3.3)

Generalisasi dari statistik di atas dalam notasi matriks disebut statistik T2

Hotelling yang berbentuk



Y μ



(S) 1



Y μ



 

n

T2 . (3.4)

Statistik T2 berdistribusi F_{pn p}

p n

p n



 

,

) (

) 1 (

dengan Fp,np menunjukkan variabel

random berdistribusi F dengan p karakteristik dan derajat bebas n – p.

3.2 Daerah Kepercayaan Elips

Andaikan  adalah vektor dari parameter populasi yang tidak diketahui

dan  adalah himpunan semua kemungkinan nilai-nilai  . Daerah kepercayaan

adalah daerah kemungkinan nilai-nilai  . Daerah ini ditentukan oleh data dan

didenotasikan dengan R(X),dengan X 



X₁,X₂,,X_n



adalah matriks data.

Daerah R(X) dikatakan memiliki daerah kepercayaan 100 (1)% jika

sebelum sampel dipilih,



R(X)akan memenuhi 



1

Probabilitas ini dihitung berdasarkan kebenaran, tetapi nilai  tidak diketahui.

Daerah kepercayaan untuk rata-rata μ dari populasi Normal berdimensi p

adalah



 



 _ 

Sebelum sampel dipilih,



 



 _  

akan lebih dari

2

dari μ, dengan probabiitas 1 , jarak yang diberikan didefinisikan dalam bentuk

  1

/n 

S . Untuk suatu sampel khusus, x dan S dapat dihitung dan ketaksamaannya









( )

akan mendefinisikan suatu daerah R(X) dengan ruang dari semua kemungkinan

nilai parameter. Dalam kasus seperti ini, daerahnya adalah suatu elips dengan

Definisi 3.2.1 Suatu daerah kepercayaan 100 (1)% untuk rata-rata distribusi

Normal berdimensi p didefinisikan untuk semua μ adalah









( )

sampel pengamatan.

Untuk menentukan apakah sebarang μ0 berada di dalam daerah

berada di dalam daerah kepercayaan.

Sumbu dan panjang daerah kepercayaan elips dapat ditentukan dari nilai

eigen i dan vektor eigen ei dari S. Pada (2.47), arah dan panjang sumbu dari

ditentukan oleh

yang berada di sepanjang vektor eigen e_i. Dimulai pada pusat x, sumbu daerah

kepercayaan elips adalah

p i

F p n n

n p

i i i i

p n p

i ( ) dimana , 1,2, ,

) (

) 1 (

,   

 

  _  e Se  e (3.7)

Contoh 3.2.1

Suatu perusahaan yang memproduksi microwave akan memantau banyaknya

pemencaran radiasi ketika pintu microwave terbuka dan tertutup. Diambil sampel

dari masing-masing karakteristik mutu sebanyak n = 42, kemudian diuji apakah



0.562,0,589



 

μ berada di dalam selang kepercayaan dengan   0.05.

No Terbuka Tertutup No Terbuka Tertutup

1 0,15 0,30 22 0,05 0,10

2 0,09 0,09 23 0,03 0,05

3 0,18 0,30 24 0,05 0,05

4 0,10 0,10 25 0,15 0,15

5 0,05 0,10 26 0,10 0,30

6 0,12 0,12 27 0,15 0,15

7 0,08 0,09 28 0,09 0,09

8 0,05 0,10 29 0,08 0,09

9 0,08 0,09 30 0,18 0,28

10 0,10 0,10 31 0,10 0,10

11 0,07 0,07 32 0,20 0,10

12 0,02 0,05 33 0,11 0,10

13 0,01 0,01 34 0,30 0,30

14 0,10 0,45 35 0,02 0,12

15 0,10 0,12 36 0,20 0,25

16 0,10 0,20 37 0,20 0,20

17 0,02 0,04 38 0,30 0,40

19 0,01 0,01 40 0,40 0,32

20 0,40 0,60 41 0,30 0,12

21 0,10 0,12 42 0,05 0,12

Dengan menggunakan program MATLAB, didapatkan hasil sebagai berikut:



Karena 1.2867 ≤ 6.6215 maka proses terkendali.

3.3 Grafik Pengendali T2 Hotelling

Banyak keadaan yang memerlukan pengendalian bersama dua atau lebih

karakteristik mutu yang berhubungan. Masalah pengendalian mutu dengan

beberapa karakteristik mutu yang berhubungan disebut masalah pengendalian

mutu multivariat. Grafik pengendali T2 Hotelling digunakan untuk mengendalikan

beberapa karakteristik mutu yang berhubungan. Andaikan dua karakteristik mutu

1

X dan X₂ berdistribusi bersama menurut distribusi Normal bivariat. x₁ dan x₂

merupakan nilai rata-rata dari karakteristik mutu, dan 2

1

S dan S₂2 variansi sampel

1

X dan X₂. Kovarian antara X₁ dan X₂ adalah S₁₂. Asumsikan bahwa ₁, ₂,

dan ₁₂ diketahui. Jika X₁ dan X₂ adalah rata-rata sampel dari dua karakteristik

mutu yang dihitung dari sampel berukuran n, maka statistik















_



 _{     }



 2 _{2 2} 2 _{12 1 1 2 2}

1 2

1 1 2 2 2 12 2 2 2 1 2

2S X X X X X

X S X X S S S S

n

T (3.8)

akan berdistribusi Hotelling dengan derajat bebas 2 dan (n – 1). Jika 2

1 ; 2 ; 2

 T _n

T _ ,

maka paling sedikit satu dari karakteristik mutu itu tidak tekendali dengan T2;2;n1

adalah titik presentase  atas distribusi T2 Hotelling dengan derajat bebas 2 dan

(n – 1).

Nilai-nilai T2 yang dihitung dari persamaan (3.8) untuk tiap sampel pada

grafik pengendali dengan hanya batas pengendali atas 2

1 ; 2 ; n

T_ (Gambar 3.2).

Grafik pengendali ini biasanya disebut grafik pengendali T2 Hotelling. Perhatikan