Makalah Statistika

MAKALAH

STATISTIK MATEMATIK

“CONTOH DATA REAL PENAKSIR BAYES”

Disusun oleh:

Elis Asri Noor Falah (1137010020)

Imam Prihatno (1137010027)

Jurusan Matematika Sains dan Teknologi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah Puji dan syukur selalu saya panjatkan kepada Allah SWT., yang telah melimpahkan banyak berkah dan karunianya, sehingga saya bisa menyelesaikan tugas makalah ini. Tak lupa shalawat serta salam selalu terlimpah curahkan kepada junjungan Nabi besar kita, Muhammad SAW., kepada keluarganya, sahabatnya, beserta para tabiin-tabiinya.

Makalah ini dibuat untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Statistik Matematik mengenai Contoh Data Real Penaksir Bayes. Materi-materi diambil dari hasil pembelajaran penulis terhadap referensi-referensi yang penulis dapatkan, baik berupa buku pembelajaran, internet, dan sumber-sumber lainnya.

Penyusunan makalah ini dibuat semata-mata untuk membagi ilmu yang penulis punya kepada para pembaca. Meskipun makalah yang dibuat masih jauh dari sempurna, saya mengucapkan terima kasih kepada teman-teman yang telah memberikan bantuan dan arahan dalam membuat makalah ini sehingga bisa terselesaikan tepat pada waktunya. Penulis sadari bahwa penulis masih perlu pembelajaran lebih dalam mengenai pembuatan makalah ini. Maka kritik dan saran dari pembaca akan membantu penulis agar bisa membuat makalah yang lebih baik. Dan penulis harapkan dengan makalah ini bisa membantu pembaca dalam pembelajaran materi yang berkenaan. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.

Bandung, 07 Desember 2015

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...i

DAFTAR ISI...ii

BAB 1 PENDAHULUAN...1

A. Latar Belakang Masalah...1

B. Pembatasan Masalah...1

C. Rumusan Masalah...2

D. Tujuan Penulisan...2

BAB 2 PEMBAHASAN...4

A. Landasan Teori...4

a. Peubah Acak (Variabel Acak)...4

b. Fungsi Distribusi Peluang...4

c. Fungsi densitas Peluang Bersama atau Gabungan...4

d. Distribusi Poisson...5

e. Distribusi Gamma...5

f. Distribusi Prior...6

g. Distribusi Posterior...7

B. Pengertian Metode Bayes...8

C. Metode Penaksir Bayes...8

a. Contoh Kasus Penaksiran Bayes...9

BAB 3 PENUTUP...12

A. Kesimpulan...12

B. Saran...12

DAFTAR PUSTAKA...13

BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah

Kehidupan manusia bisa dikatakan tidak luput dari ilmu matematika. Peristiwa-peristiwa pada kehidupan nyata tersebut kemudian ditransformasikan dalam bentuk berbagai formula sesuai dengan kebutuhan. Dan tentu saja pada suatu peristiwa atau kasus tertentu bisa menghasilkan beberapa formula untuk penyelesaiannya. Dan akhirnya akan dicari kelayakan dari salah satu formula tersebut.

Cabang ilmu matematika yakni statistika memperlihatkan beberapa formula tersebut terkait dengan distribusi-distribusi pada suatu sampel acak contohnya. Dan distribusi-distribusi ini bisa digunakan untuk metode-metode penaksir suatu parameter.

Pada makalah ini akan dibahas mengenai salah satu penaksir untuk menaksir parameter rataan populasi. Penaksir-penaksir parameter rataan populasi ada dengan berbagai macam penyelesaian dan bentuk formula yang berbeda satu sama lain. Namun pada makalah ini akan dikhususkan untuk membahas mengenai penaksir bayes pada parameter rataan populasi. Dengan menggunakan data real akan dihitung dengan menggunakan penaksiran Bayes terhadap parameter rataan pada populasi dengan sampel acak sesuai distribusi yang digunakan dan langkah-langkah selengkapnya akan kita lihat pada pembahasan.

B. Pembatasan Masalah

Melihat dari latar belakang masalah serta memahami pembahasannya maka penulis dapat memberikan batasan-batasan pada:

3. Mengetahui tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

4. Mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

5. Mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

6. Mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

7. Mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan nyata.

C. Rumusan Masalah

Masalah yang dibahas dalam penulisan makalah ini adalah:

1. Menjelaskan tentang Metode bayes.

2. Menjelaskan tentang contoh real Metode Bayes.

3. Menjelaskan tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

4. Mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

5. Mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

6. Mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

7. Mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan nyata.

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

1. Agar mengetahui tentang Metode Bayes.

2. Agar mengetahui dengan jelas contoh real Metode Bayes.

3. Agar mengetahui tentang densitas gabungan yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

4. Agar mengetahui tentang distribusi prior yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

5. Agar mengetahui tentang penaksir bayes yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

6. Agar mengetahui tentang distribusi posterior yang bisa digunakan dengan Metode Bayes.

7. Agar mengetahui dengan jelas penerapan Metode Bayes dalam kehidupan nyata.

A. Landasan Teori

a. Peubah Acak (Variabel Random)

Definisi 1.1 Peubah acak adalah suatu fungsi yang mengatakan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.

Peubah acak dapat dilambangkan dengan huruf besar, misalnya

X₁, X₂,… , X_n , sedangkan huruf kecil x₁, x₁, … , x_n dinotasikan sebagai nilai padanannya.

b. Fungsi Distribusi Peluang

Definisi 1.2 Himpunan pasangan terurut

(

x , f(x)

₎

merupakan suatu

fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit X bila, untuk setiap kemungkinan hasil X ,

1. f(x)≥0,

2.

∑

x

f(x)=1,

3. P(X=x)=f(x).

Definisi 1.3 Fungsi f(x) adalah fungsi kepadatan peluang peubah acak kontinu X , yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R

bila,

1. f(x)≥0,

2.

∫

−∞ ∞

f (x)dx=1,

3. P(a<X<b)=

∫

a b

f(x)dx .

c. Fungsi Densitas Peluang Bersama atau Gabungan

Definisi 1.4 Fungsi densitas peluang bersama dari n ukuran peubah

acak diskrit X=(X1, X2, … , Xn) dapat dinotasikan,

g

(

x₁, x₂,.., x_n

)

=P

(

X₁=x₁, X₂=x₂,.., X_n=x_n

)

.

d. Distribusi Poisson

Definisi 1.5 Distribusi Poisson merupakan distribusi peluang peubah acak

Poisson X , yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t , diberikan oleh

p(x ; λt)=e

−λt

(λt)x

x ! ; x=0,1,2,3,…

λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah tersebut dan e=2.71828… .

e. Distribusi Gamma

Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi Gamma yang sudah dikenal luas dan dipelajari dalam banyak bidang matematika.

Definisi 1.6 Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

Γ(α)=

∫

0

∞

xα−1_e−x_dx

untuk α>0 . Untuk α>1 , menghasilkan rumus berulang

Γ(α)=(α−1)Γ(α−1),

dengan memakai rumus berulang berkali-kali diperoleh

Γ(α)=(α−1) (α−2)Γ(α−2)

¿(α−1)(α−2)(α−3)Γ(α−3),

dan seterusnya. Perhatikan bahwa bila α=n , dengan n bilangan bulat positif, maka

Γ(1)=

∫

0

∞

e−x

dx=1

sehingga

Γ(n)=(n−1)!.

Definisi 1.7 Distribusi Gamma peubah acak kontinu X berdistribusi Gamma dengan parameter α dan β , bila fungsi padatnya berbentuk

f(x)=

{

_βα1

Γ(α)x

α−1_e

−x β _{; x>0}

0;lainnya

dengan α>0 dan β>0 . f. Distribusi Prior

Dalam penaksiran Bayes untuk kasus Poisson, parameter θ diperlakukan sebagai peubah acak, maka akan memepunyai nilai dalam sebuah domain dengan densitas f(θ) , dan densitas inilah yang akan dinamakan sebagai distribusi prior dari θ , dengan adanya informasi prior ini maka akan kombinasikan dengan data sampel yang digunakan dalam membentuk posterior.

Prior merupakan subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah sebuah parameter menurut penilaiannya sendiri. Sehinggga permasalahan pokok agar prior dapat interpretatif adalah bagaimana memilih distribusi prior untuk suatu parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan yang ada.

Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk fungsi likelihoodnya:

1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya

pola distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi densitas peluang pembangun likelihoodnya.

b) Distribusi prior tidak konjugat (non-conjugate), apabila pemberian prior pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi likelihoodnya.

2. Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi prior tersebut.

a) Distribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak, pemberian nilai parameter pada distribusi prior ini akan sangat mempengaruhi bentuk distribusi posterior yang akan didapatkan pada informasi data yang diperoleh.

b) Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada data yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi tentang parameter θ , salah satu pendekatan dari non-informatif prior adalah metode Jeffrey’s.

g. Distribusi Posterior

Distribusi posterior adalah fungsi densitas bersayarat θ jika diketahui nilai observasi x . Ini dapat dituliskan sebagai berikut,

h(θ|X=x)= g

(

x1, x2, … , xn;θ

)

⋅λ(θ)

∫

Ω

❑

g

₍

x₁, x₂, … , x_n;θ

₎

⋅λ(θ)dθ

fungsi densitas posterior untuk variabel random kontinu. Distribusi posterior dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi interval dari parameter yang tidak diketahui.

Penaksiran Bayes adalah suatu metode penaksiran yang mendasarkan diri pada pemilihan distribusi prior dan loss function. Dalam penaksiran dipilih distribusi prior yang disesuaikan dengan distribusi yang digunakan pada sampel acak tertentu yang nantinya akan mempunyai pengaruh minimum dari data pada distribusi posterior. Penaksir Bayes akan memberikan estimasi tentang parameter populasi yang hanya didasarkan pada anggapan distribusi populasi dan data.

C. Metode Penaksiran Bayes

Misalkan X₁, X₂,… , X_n merupakan sebuah sampel acak berukuran

n dari distribusi yang mempunyai fungsi kepadatan peluang berbentuk

f(x ;θ), θ∈Ω⊂R . Dalam hal ini, kita akan menentukan taksiran Bayes untuk

parameter θ .

Langkah-langkah dalam penaksiran bayes:

a) Menentukan fungsi kepadatan peluang dan fungsi kepadatan peluang bersama dari Θ ;

b) Menentukan fungsi densitas dari distribusi prior (λ(θ)) yang dipilih dan disesuaikan dengan fungsi kepadatan peluang;

c) Menentukan penaksir bayes untuk parameter θ ; d) Menentukan distribusi posterior.

a. Contoh Kasus Penaksiran Bayes

Memprediksi jumlah tahunan badai yang akan menghantam Amerika Serikat adalah permasalahan yang membuat banyak perhatian bagi publik Amerika Serikat itu sendiri. Mengingat pada tahun 2004 ketika 4 badai besar melanda daratan Florida.

Pada tabel berikut menunjukkan jumlah badai yang benar-benar datang untuk 3 periode 50 tahun.

Tahun Jumlah terjadinya badai

1851-1900 88

1901-1950 92

1950-2000 72

Penyelesaian:

Fungsi kepadatan peluang dari X adalah:

f(x ;θ)=e

Misalnya kita asumsikan bahwa distribusi priornya adalah distribusi

gamma, dengan fungsi densitas sebagai berikut,

λΘ(θ)= μ α

Γ(α)θ

¿0;lainnya.

Perhatikan data pada periode awal pada tahun 1851-1900 dan asumsikan

fungsi densitas gamma mempunyai E(Θ)=α

μ , yakni jumlah rata-rata sampel

badai per tahun adalah ₅₀88=1.6. Kemudian atur bahwa E(Θ)

memungkinkan α=88 dan μ=50 untuk digunakan pada parameter gamma

sebagai distribusi prior sehingga diperoleh,

λΘ(θ)= 50

Karena distribusi prior yang digunakan adalah distribusi yang bersifat kontinu maka formula untuk penaksir Bayes digunakan,

δ

(

x_1,x₂, …, x_n

)

=

Setelah analisis matematik formula dari distribusi prior, maka dihasilkan suatu formula penaksir Bayes untuk parameter θ ,

δ

(

x_1,x₂, …, x_n

)

=w+α

Dan dihasilkan pula distribusi posterior yakni,

¿(μ+n)

Kemudian, masukkan nilai asumsi awal pada penaksir Bayes dan pada distribusi posterior yakni α=88 dan μ=50 dan akan menjadikan fakta bahwa

w=92+72=164 badai terjadi selama n=100 tahun terkini yang termasuk pada database. Oleh karena itu diperoleh penaksir Bayes,

δ

(

x_1,x₂, …, x_n

)

= datangnya badai tiap tahun adalah 1.68. Dan Distribusi posteriornya adalah,

BAB 3 PENUTUP A. Kesimpulan

1. Penaksiran Bayes mempunyai nilai E

(

_θ^

₎

_{≠ θ , sehingga penaksir bersifat} tak bias. Namun, penaksir bisa menjadi tak bias jika ruas kanan dikalikan dengan konstanta tertentu.

2. Penaksiran Bayes mempunyai dua faktor utama dalam menjalankan prosesnya yakni adanya distribusi prior dan informasi sebelumnya dari sampel data yang diberikan.

3. Pemilihan distribusi prior (distribusi awal) disesuaikan besarnya dengan distribusi yang bersesuaian dengan sampel acak yang diberikan.

4. Distribusi posterior dihitung jika nilai θ tidak diketahui dan menghasilkan suatu distribusi prior dalam bentuk formula yang diperluas. 5. Nilai taksiran yang dihasilkan oleh penaksiran Bayes mempunyai nilai

yang tak berbeda jauh dengan dengan nilai aslinya. Sehingga tidak salah jika mencoba metode penaksiran Bayes dalam menaksir suatu parameter

θ . B. Saran

carilah kembali sumber-sumber referensi yang relevan. Dan semoga makalah ini bisa membantu para pembaca dalam memecahkan masalah mengenai Penaksiran Bayes dalam bentuk data asli.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Larsen, Richard.J,.And Marx, Morris L, Marx.—5th ed.2012. “An Introduction To Mathematical Statistics And Its Applications”. Includes bibliographical references and index: United States of America.

[2] Herryanto, Nar. 2003. “Statistika Matematis Lanjutan”. CV PUSTAKA SETIA: Bandung.

[3] Walpole, Ronald E, And Myers, Raymond H. 1995. “Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan” Ed. 4. ITB: Bandung.

¿

e−nθ_(nθ

)w

w ! .

μα

Γ(α)θ

α−1 e−μθ

(n)w w !

μα

Γ(α)

Γ(w+α) (μ+n)(w+α)

¿

(n)w w!

μα

Γ(α)θ

w+α−1_e−(μ+n)θ

(n)w w !

μα

Γ(α)

Γ(w+α) (μ+n)(w+α)

¿(μ+n) (w+α)

Γ(w+α) θ