Karena a, b, dan c adalah akar-akar persamaan pangkat 3 tersebut maka

1 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015

SOAL-SOAL 9

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan



x1

 

3  x2



2 1adalah ….

Solusi: Cara 1:

Ambillah x1a.



x1

 

3  x2



2 1



1



2 1

3 _{  }

a a

1 1 2

2

3 _{   }

a a a

0 2

2 3 _{a  a}

a



a2 a2



0

a



a2



a1



0

a

0



a atau a2atau a1 0

1



x atau x12atau x11 1



x atau x1atau x2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah



1,1,2



.

Cara 2:



x1

 

3  x2



2 1

1 4 4 1

3

3 2 2

3 _{      }

x x x x x

0 2 2 2

3 _{   }

x x x



x1





x2 x2



0



x1



x2



x1



0

1



x atau x1atau x2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah



1,1,2



.

2. Jika akar-akar persamaan



11x

 

3 13x

 

3 242x



3 adalah x₁, x₂, dan x₃, maka nilai x₁x₂x₃....

Solusi:

Ambillah a11xdan b13x, maka



 

3

 

3



3

13 11

13

11x  x  x x





3 3

3

b a b

a   

2 2

3 3 3

3 _{b a b 3a b 3ab}

a     

0 3 3a2b ab2 



ab



0

ab

0



a ataub0 atau ab0 0

11x atau 13x0atau 11x13x0 11



x atau x13atau x12

Jadi, x₁x₂ x₃ 11131236

3. Pemfaktoran (faktorisasi) dari a3 b3 c3 3abcadalah ….

2 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015

Ambillah persamaan pangkat 3 yang akar-akarnya a_, b_{, dan} c_.



xa



xb



xc



0







x2  ab xab





xc



0





2





0

2

3 _{       }

abc abx x bc ac x b a cx x





2





0

3 _{       }

abc x bc ac ab x c b a x

Karena a, b, dan c adalah akar-akar persamaan pangkat 3 tersebut maka





2





0

3 _{       }

abc a bc ac ab a c b a

a …. (1)





2





0

3 _{       }

abc b bc ac ab b c b a

b …. (2)





2





0

3 _{       }

abc c bc ac ab c c b a

c …. (3)

Penjumlahan persamaan (1), (2), dan (3) menghasilkan:







2 2 2









3 0

3 3

3 _{             }

abc c

b a bc ac ab c

b a c b a c b a



a b c



a b c ab ac bc



abc

c b

a3  3  3 3    2  2  2   







2 2 2 2 2 2



3 3 3

2 2

2 2 1

3abc a b c a ab b a ac c b bc c

c b

a              



 



 

2

 

2



2



3 3 3

2 1

3abc a b c a b a c b c

c b

a           

Catatan:

Dalam kasus jika abc0, maka a3 b3 c3 3abc.

4. Diketahui a_, b_{, dan} c _{adalah bilangan real positif dan} a_logbb_logcc_loga_{0. Nilai dari}



 

3

 

3



3

log log

logb b c c a

a _{ } adalah ….

Solusi: Cara 1:

Ambillah xalogb, yblogc, maka cloga



alogbblogc







x y



.



 

3

 

3



3

log log

logb b c c a

a _{ } 3 3





3

y x y

x   



x3 y3 x3  y3 3x2y3xy2

3x2y3xy2

3xy



x y



3alogbblogccloga

3

Cara 2:

Gunakan identitas:

Jika abc0, maka a3 b3 c3 3abc.



alogb

 

3  blogc

 

3  cloga



3 3alogbblogccloga3

5. Jika x₁dan x₂ adalah akar-akar persamaan x2 x20, maka nilai x₁9 x9₂ adalah ….

Solusi: Cara 1:

0 2

2 _{  }

x

x , akar-akarnya x₁dan x₂.

1

2 1 x 

3 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015

6. Diberikan r _{adalah bilangan real sedemikian sehingga} 1 ₂

3

Solusi:

4 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015

Solusi:

Gunakan identitas: 3 3 3



 



 

2

 

2



2



pasangannya 34 buah.

Jadi, banyaknya pasangan adalah 35 buah.

8. Nilai dari 

Solusi:



5 | Husein Tampomas, Pemecahan Kreatif Soalk Matematika, 2015





 











2

200 198 199 198 199 ... 4 5 4 5 2 3 2 3

1          



2

200 397 ... 9 5

1    





1 397



40000 2

100 _{ }



40000 19900



20100

 

10. Diberikan segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat positif yang membentuk barisan aritmetika Jika luas segitiga adalah 96 cm2, maka kelilingnya

adalah ….

Solusi:

Ambillah sisi-sisi segitiga tersebut adalah ab,a,ab.





2 2





2

b a a b

a   

2 2

2 2 2

2 2ab b a a ab b

a      

0 4

2_{ ab}

a



a4b



0

a

0



a (ditolak) atau a4b(diterima) Sisi-sisi segitiga tersebut adalah 3b,4b,5b

Kesimpulan:

Jika segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat positif yang membentuk barisan aritmetika, maka sisi-sisinya berbanding sebagai 3 : 4 : 5.

Luas = 96





96

2

1 _{ }

b b a

 

3 96 2

1



b b

64 3 2 96

2 _{  }

b

8



b

8



b  a4b4832cm

Jadi, keliling segitiga adalah abaab3a33296cm.

b a

b a