ANALISIS KESTABILAN MODEL DENYUT JANTUNG DENGAN METODE LYAPUNOV LANGSUNG SKRIPSI LEO ONIX SIAHAAN

(1)

ANALISIS KESTABILAN MODEL DENYUT JANTUNG DENGAN METODE LYAPUNOV LANGSUNG

SKRIPSI

LEO ONIX SIAHAAN 150803055

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2020

(2)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat gelar Sarjana Sains

LEO ONIX SIAHAAN 150803055

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2020

(3)

(4)

i

(5)

ABSTRAK

Jantung merupakan organ yang sangat vital. Terdapat dua siklus utama dalam siklus denyut jantung yakni sistole dan diastole. Sistem denyut jantung yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah berbetuk sistem persamaan diferensial nonlinear autonomous oleh Thanom dan Loh pada tahun 2011. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis kestabilan model denyut jantung tersebut menggunakan Metode Lyapunov Langsung. Metode ini mensyaratkan suatu fungsi Lyapunov.

Untuk membangun fungsi Lyapunov akan digunakan Metode Variabel Gradien.

Selain itu digunakan pula Metode Runge-Kutta Orde 5 dengan bantuan software MATLAB R2012b untuk melihat penyelesaian model secara numerik. Berdasark- an hasil penelitian, diperoleh bahwa fungsi Lyapunov yang dikonstruksi adalah V (x) =

q

h11

2 x₁+ qh22

2 x₂

2

dengan h₁₁, h₂₂ > 0 dan ˙V (x) > 0, artinya titik ekuilibrium dari model denyut jantung tersebut bersifat tidak stabil.

Kata kunci: Metode Lyapunov langsung, kestabilan, denyut jantung

ii

(6)

STABILITY ANALYSIS OF HEARTBEAT MODEL WITH LYAPUNOV’S DIRECT METHOD

ABSTRACT

The heart is a very vital organ. There are two main cycles in the heartbeat cycle, cystole and diastole. The hearbeat model that will be studied in this research is the system of nonlinear autonomous differential equations by Thanom and Loh in 2011. This study aims to analyse the stability of the heartbeat model using the Direct Lyapunov Method. This method requires a Lyapunov function. To construct the Lyapunov function, the Gradient Variable Method will be used. In addition, the Order 5 Runge-Kutta Method is also used with the help of software MATLAB R2012b to see the solution of the heartbeat model numerically. Based on the results of the study, it was found that the Lyapunov function constructed was V (x) =

q

h11

2 x1+ qh22

2 x2

2

as h11, h22 > 0 dan ˙V (x) > 0, this means that the equilibrium of the heartbeat model is unstable.

Keywords: Lyapunov’s direct method, stability, heartbeat

iii

(7)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur Penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul ANALISIS KESTABILAN MODEL DENYUT JANTUNG DE- NGAN METODE LYAPUNOV LANGSUNG.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah mem- bantu dan membimbing Penulis dalam penyusunan skripsi ini. Ucapan terima kasih Penulis sampaikan kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Tulus. Vor.Dipl.Math., M.Si., Ph.D selaku dosen pembim- bing yang telah meluangkan waktu, memberikan arahan dan bimbingan selama penyelesaian skripsi ini.

2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Ibu Dr. Elvina Herawati, M.Si selaku dosen penguji atas segala masukan dan saran yang diberikan selama proses penyelesaian skripsi ini.

3. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku dekan FMIPA USU, Ibu Dr. Nur- sahara Pasaribu, M.Sc selaku wakil dekan I FMIPA USU, Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku wakil dekan II FMIPA USU dan Bapak Saharman Gea, Ph.D selaku wakil dekan III FMIPA USU.

4. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku ketua program studi dan sekretaris program studi Matematika FMIPA USU, Dosen program studi Matematika FMIPA USU, Pegawai dan Rekan-rekan kuliah.

5. Orang tua penulis, Bapak Mangasi Maudin Siahaan dan Ibu Marisa R.D. Si- nambela, yang telah mendidik, membesarkan, mondoakan, memberikan arahan dan semangat kepada penulis hingga sampai saat ini serta kepada saudara penulis, Indra Maju Siahaan, dan Dhea Sintya Siahaan yang selalu memberikan dorongan positif kepada penulis.

6. Sahabat pejuang skripsi Mahasiswa Matematika USU 2015, terkhusus kepada Andri Saputra, Anna Stefany, Apnesia Nainggolan, Aprilia Zein Malau, Ayu Erika, Denny Setiawan, Dewi Septinauli, Erwin Sitohang, Helmi Ramad- an, Irma Panjaitan, Kiki Pernanda Kaban, Rachma Srifani, Winda Julianti Munthe

iv

(8)

v

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

PENGESAHAN SKRIPSI i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

PENGHARGAAN iv

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

DAFTAR LAMPIRAN ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 2

1.5 Manfaat Penelitian 2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4

2.1 Persamaan Diferensial 4

2.1.1 Sistem Persamaan Diferensial 4

2.1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear 5 2.1.3 Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear 5

2.2 Sistem Dinamik 6

2.2.1 Kestabilan Sistem 6

2.2.2 Fungsi Positif Definit 8

2.3 Model Denyut Jantung 8

2.4 Kestabilan Lyapunov 10

2.4.1 Fungsi Lyapunov 10

vi

(10)

2.4.2 Metode Lyapunov Langsung 10

2.4.3 Konsep Kestabilan Lyapunov 11

2.4.4 Metode Variabel Gradien 12

2.5 Metode Numerik 14

2.5.1 Metode Runge-Kutta 14

2.5.2 Metode Runge-Kutta Orde 5 15

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 16

3.1 Studi Pendahuluan 16

3.2 Konstruksi fungsi Lyapunov 16

3.3 Analisis dan Kesimpulan 16

3.4 Kerangka Penelitian 17

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 18

4.1 Bidang Fase Model Denyut Jantung 18

4.2 Konstruksi dan Analisis Fungsi Lyapunov 19 4.3 Analisis dengan Metode Runge-Kutta Orde 5 22 4.4 Analisis Kestabilan Model dengan Memvariasikan Parameter 23

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 28

5.1 Kesimpulan 28

5.2 Saran 28

DAFTAR PUSTAKA 29

LAMPIRAN 30

vii

(11)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

2.1 Titik ekuilibrium stabil (a) dan stabil asimtotik (b) 7

2.2 Skema model denyut jantung 9

4.1 Bidang fase dari model denyut jantung 18

4.2 Solusi model denyut jantung dengan Runge-Kutta orde 5 23

4.3 Bidang fase dengan variasi ε 24

4.4 Bidang fase dengan variasi T 26

4.5 Bidang fase dengan variasi x_d 27

viii

(12)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

1 Program Runge-Kutta Orde 5 30

ix

(13)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sistem dinamik adalah suatu sistem persamaan yang dipengaruhi oleh perubahan gerak dan waktu. Salah satu kajian penting dalam permasalahan sistem dinamik yakni mengenai keadaan sistem, apakah sistem tersebut merupakan sistem yang stabil atau tidak. Permasalahan kestabilan dapat diselesaikan dengan berbagai metode misalnya metode nilai eigen, kriteria Routh-Horwitz, dan metode lainnya.

Untuk menarik suatu kesimpulan dari suatu sistem, solusi dari persamaan keadaan state harus diselesaikan terlebih dahulu (Subiono, 2013), artinya solusi dari sistem persamaan diferensialnya harus diselesaikan. Akan tetapi, mencari semua solusi dari persamaan diferensial terkadang sulit untuk dilakukan.

Pada akhir abad ke-19, seorang matematikawan asal Rusia, Aleksandr Mikhailo- vic Lyapunov, mengembangkan pendekatan untuk analisis kestabilan yang saat ini dikenal sebagai metode Lyapunov langsung (Lyapunov’s direct method ). Hal yang berbeda dari metode Lyapunov langsung adalah bahwa untuk menyelesaikan permasalahan kestabilan sistem, yang perlu diketahui adalah bentuk persamaan diferensial sistemnya atau bentuk fisisnya bukan solusinya (Brogan, 1991).

Penyelesaian kestabilan dengan metode Lyapunov langsung mensyaratkan suatu fungsi yang disebut sebagai fungsi Lyapunov. Metode Lyapunov langsung banyak diterapkan untuk menganalisis kestabilan baik sistem linear maupun nonlinear, sistem time-invariant atau time-varrying. Wang et al, (2015) mempelajari kestabilan global dari suatu kelas model infeksi virus HIV dengan struktur usia berkelanjutan dengan menggunakan metode Lyapunov langsung. Wan-Chun dan Zhang (2017) dalam jurnalnya menjelaskan beberapa aturan-aturan untuk membangun fungsi Lyapunov dengan pendekatan variabel gradien sebagai cara untuk menentukan kestabilan suatu sistem. Salah satu contoh sistem dinamik yang menarik untuk dibahas adalah mengenai sistem denyut jantung.

(14)

2

Jantung manusia merupakan organ yang sangat vital. Terdapat dua keadaan dalam siklus denyut jantung, yakni diastole (rileks) dan sistole (kontraksi).

Siklus denyut jantung dimulai ketika jantung berada dalam keadaan diastole.

Pacemaker atau pembuka jalan yang berada pada sebelah kanan atas atrium memicu gelombang elektromagnetik secara perlahan pada atrium. Gelombang ini menyebabkan serabut-serabut otot berkontraksi dan menekan arah kedalam bilik jantung. Gelombang elektromagnetik yang sama kemudian menyebar dengan cepat pada bilik dan menyebabkan seluruh bilik berkontraksi pada keadaan sistole, mempompa darah ke paru-paru dan arteri. Kemudian dalam keadaan kontraksi ini, serabut otot akan kendur dan mengembalikan jantung ke keadaan diastole untuk melengkapi satu siklus denyut jantung. Thanom dan Loh (2011) telah memberikan suatu model sistem denyut jantung dalam sistem persamaan diferensial orde dua namun masih belum terdapat jurnal yang membahas mengenai kestabilan sistem tersebut.

Berdasarkan uraian yang dikemukakan di atas, maka penulis tertarik untuk mengangkat penelitian dengan judul “Analisis Kestabilan Model Denyut Jantung dengan Metode Lyapunov Langsung”.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang diuraikan di atas, penulis ingin mengeta- hui bagaimana kestabilan sistem dinamik dari model denyut jantung.

1.3 Batasan Masalah

Konstruksi fungsi Lyapunov dalam tulisan ini akan menggunakan metode Variabel Gradien dan simulasi secara numerik menggunakan metode Runge- Kutta Orde 5 dengan bantuan software MATLAB R2012b.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan kestabilan dari sistem denyut jantung tanpa harus mencari solusi penyelesaiannya.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dilakukannya penelitian ini adalah sebagai berikut:

(15)

3

1. Bagi Penulis

Penelitian ini membuka dan menambah wawasan bahwa matematika bukan hanya sebagai ilmu teori melainkan sebagai suatu ilmu yang dapat diterapkan untuk menyelesaikan permasalahan yang ada didalam kehidupan sehari-hari.

2. Bagi Universitas

Penelitian ini dapat menambah kepustakaan serta menjadi referensi dalam pe- nlitian lanjut mengenai metode Lyapunov langsung.

(16)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan fungsi variabel tunggal yang tidak diketahui dan satu atau lebih turunan fungsinya. Berda- sarkan jumlah variabel bebasnya persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jika variabel terikat suatu persamaan diferensial bergantung pada satu variabel bebas, maka persamaan tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa (PDB). Sedangkan jika suatu persamaan diferensial melibatkan dua atau lebih variabel bebas, maka persamaan tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial (PDP).

Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah suatu persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

y⁽ⁿ⁾= F (x, y, y⁰, · · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾) (2.1) dimana y, y⁰, · · · , y⁽ⁿ⁾ ditentukan oleh x. Peubah bebas x terletak pada suatu interval I (berhingga atau tidak berhingga), dengan y adalah fungsi yang tidak diketahui (Polking et al, 2005). Gabungan dari beberapa persamaan diferensial disebut sebagai sistem persamaan diferensial. Sistem persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear.

2.1.1 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial secara matematis dapat dituliskan dalam bentuk

˙x = f (x, t) (2.2)

dengan

˙x =h

dx1

dt dx2

dt · · · ^dx_dtⁿiT

, (2.3)

x ∈ Rⁿ, t ∈ R, dan f : D ⊂ Rⁿ⁺¹ → Rⁿ merupakan fungsi kontinu di D.

Jika variabel t dalam suatu sistem persamaan diferensial tidak dinyatakan secara

(17)

5

eksplisit, maka sistem pada persamaan (2.2) disebut sistem persamaan diferensial autonomous dan dapat dituliskan dalam bentuk

˙x = f (x) (2.4)

Untuk selanjutnya, dalam skripsi ini akan dipergunakan sistem persamaan diferensial autonomous.

2.1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear

Sistem persamaan diferensial autonomous linear dapat dinyatakan ke dalam persamaan (2.4) dengan fungsi f berbentuk linear. Oleh karena f adalah fungsi linear, maka persamaan (2.4) dapat dituliskan dalam bentuk

˙x = Ax (2.5)

dengan A adalah matriks berukuran n × n dengan koefisien konstan. Andaikan x(t) merupakan solusi dari persamaan (2.5), maka x(t) bergantung pada t dan kondisi awal x(0) = x0.

Solusi umum persamaan (2.5) dapat diperoleh dari kombinasi linear dari n buah solusi yang bebas linear {x₁(t), x₂(t), . . . , x_n(t)} atau dapat ditulis sebagai

x(t) =

n

X

j=1

c_jx_j(t), (2.6)

dengan n buah konstanta yang belum diketahui c_j yang nilainya ditentukan oleh kondisi awal. Jika matriks A pada persamaan (2.5) memiliki n vektor eigen yang bebas linear v_j dan nilai eigen yang bersesuaian λ_j, j = 1, 2, . . . , n, maka fungsi bernilai vektor x_j(t) = e^λ^j^(t)v_j dapat dijadikan sebagai basis untuk ruang solusinya (Guckenheimer & Holmes, 1983).

2.1.3 Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear

Sistem persamaan diferensial autonomous nonlinear dapat dituliskan dalam bentuk persamaan (2.4) dengan fungsi f berbentuk nonlinear. Sistem persamaan diferensial nonlinear memiliki solusi apabila memenuhi kondisi Lipschitz lokal.

Definisi 2.1. Jika f : Rⁿ → R^m, kekontinuan Lipschitz dapat diartikan sebagai berikut

(18)

6

1. Diberikan suatu himpunan terbuka D ∈ Rⁿ, f dikatakan kontinu Lipschitz pada himpunan bagian terbuka D jika terdapat suatu konstanta L > 0 sedemikian sehingga

kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − yk, untuk setiap x, y ∈ D

2. Fungsi f dikatakan kontinu Lipschitz lokal, jika untuk setiap z ∈ Rⁿ terdapat M > 0 sedemikian sehingga f kontinu Lipschitz pada bola terbuka berpusat di z dengan jari-jari M .

BM(z) := {y ∈ Rⁿ:ky − zk < M }

3. Jika f kontinu Lipschitz pada D = Rⁿ, maka f dikatakan kontinu Lipschitz global.

Definisi 2.2. Jika f : Rⁿ→ R^m, f kontinu dan turunannya juga kontinu, maka f dikatakan Lipschitz lokal pada D.

2.2 Sistem Dinamik

Menurut Nagle et al, (2012) suatu sistem yang dapat diketahui nilainya di masa yang akan datang jika diberikan suatu kondisi pada masa sekarang atau masa yang lalu disebut dengan sistem dinamik. Sistem dinamik merupakan suatu keadaan yang dipengaruhi oleh waktu (t). Jika t kontinu, bentuk sistem dinamiknya dinyatakan sebagai sistem persamaan diferensial. Sistem persamaan diferensial yang berbentuk

dx_i

dt = f_i(x₁, x₂, · · · , x_n), i = 1, 2, · · · , n

dengan f_i adalah fungsi bernilai riil yang tidak bergantung secara eksplisit terhadap t disebut sistem autonomous. Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dan penyelesaian sistem tersebut disekitar titik ekuilibrium. Untuk mempelajari perilaku dari sistem tersebut digunakan suatu pendekatan yang disebut analisis kestabilan.

2.2.1 Kestabilan Sistem

Perilaku suatu sistem persamaan di setiap titiknya dapat dilihat dari solusi eksaknya, namun tidak semua sistem persamaan dapat ditentukan dengan mudah solusi eksaknya. Oleh karena itu, diperlukan suatu informasi lain yang dapat

(19)

7

digunakan untuk melihat perilaku sistem tersebut. Adapun cara yang dapat dilakukan untuk melihat perilaku suatu sistem yakni dengan mengamati titik-titik dimana sistem tersebut tidak mengalami perubahan atau dalam keadaan yang setimbang.

Setiap sistem memiliki keadaan setimbang yang berbeda-beda. Keadaan setimbang suatu sistem dapat terjadi pada suatu titik yang disebut titik ekuilibrium atau titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan adalah suatu titik dimana sistem tidak mengalami perubahan sepanjang waktu.

Definisi 2.3. Diberikan suatu sistem autonomous

˙x = f (x), f : D → Rⁿ,

dengan D adalah himpunan bagian buka dan terhubung dari Rⁿ , f adalah pe- metaan Lipschitz lokal dari D ke Rⁿ. Sebuah titik x = x_edikatakan sebagai titik ekuilibrium dari sistem autonomous ˙x = f (x) jika memenuhi f (x_e) = 0.

(a) (b)

Gambar 2.1 Titik ekuilibrium stabil (a) dan stabil asimtotik (b)

(Wiggins, 2003) Titik ekuilibrium x_e dikatakan:

1. Stabil jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap solusi x(t) yang memenuhi kx(t0) − xek < δ berlaku kx(t) − xek < ε, untuk setiap t ≥ t₀. Dengan kk adalah norma Euclid.

2. Stabil asimtotik jika titik ekuilibrium x_estabil dan konvergen, artinya terdapat δ₁ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap solusi x(t) yang memenuhi kx(t₀) − x_ek < δ₁ berlaku lim_t→∞x(t) = x_e

(20)

8

3. Tidak stabil jika titik ekuilibrium x_e tidak memenuhi kondisi pertama.

2.2.2 Fungsi Positif Definit

Setelah mendefinisikan konsep kestabilan, selanjutnya akan dijelaskan bagaimana menganalisis sifat-sifat dari titik ekuilibrium. Hal ini merupakan bagain terpen- ting dari teori kestabilan Lyapunov.

(Marquez, 2003) Suatu fungsi V : D → R dikatakan semidefinit positif pada D jika memenuhi kondisi berikut:

1. 0 ∈ D dan V (0) = 0.

2. V (x) ≥ 0, untuk setiap x ∈ D − {0}.

V : D → R dikatakan definit positif pada D jika kondisi 2 pada definisi di atas diganti dengan V (x) > 0 untuk setiap x ∈ D − {0}, sementara V : D → R dikatakan definit negatif (semidefinit negatif) pada D jika −V adalah definit positif (semi definit positif).

2.3 Model Denyut Jantung

Jantung manusia adalah sebuah pompa yang mengambil darah dari paru-paru, dimana darah tersebut telah dioksigenasi, dan kemudian akan dikirimkan kembali ke seluruh tubuh. Pada tulisan ini, tidak akan dibahas secara detail bagaimana fungsinya akan tetapi hanya akan dibahas perilaku dinamis keseluruhan jantung sebagai pompa.

Secara sederhana, jantung terdiri dari bilik dengan katup masuk dan ke- luar. Pada awalnya, jantung berada dalam keadaan rileksasi atau yang disebut dengan diastole. Kemudian aktivitas elektrokimia akan menstimulus jantung dan menyebabkan serabut ototnya berkontraksi, sehingga mendorong darah ke luar.

Proses ini akan terjadi dengan lambat untuk memastikan bahwa tidak ada arus balik yang berbahaya. Pada tingkat stimulus yang cukup tinggi, serabut otot akan berkontraksi secara tiba-tiba untuk dorongan besar terakhir darah ke seluruh tubuh. Keadaan dimana jantung berkontraksi disebut sistole. Pada titik ini, stimulus eksternal berhenti sementara dan bilik mulai terisi kembali, perlahan- lahan dan serabut otot mulai berelaksasi/mengendur, dan kemudian dengan cepat kembali ke diastole.

(21)

9

Model denyut jantung manusia setidaknya harus memiliki 3 siklus dasar (Jones & Sleeman, 2009):

1. Model yang dibuat harus berdasarkan keadaan setimbang dengan laju perubahan panjang serabut otot dan gelombang aktivitas elektrokimia sama dengan nol.

2. Terdapat ambang batas yang memicu gelombang elektrokimia yang menyebabkan jantung berkontraksi.

3. Model diharapkan dapat cepat kembali dalam keadaan setimbang.

Gambar 2.2 Skema model denyut jantung

Sistem model denyut jantung yang akan diteliti diberikan dalam sistem persamaan diferensial nonlinear autonomous berorde dua sebagai berikut (Thanom dan Loh, 2011):

ε ˙x₁ = −(x³₁− T x₁ + x₂), T > 0 (2.7)

˙

x₂ = x₁− x_d (2.8)

keterangan:

x₁ : panjang serabut otot

x2 : variabel aktivitas elektrokimia yang memacu kontraksi jantung

ε : konstanta parameter bernilai positif kecil yang berhubungan dengan nilai eigen

x_d : skalar kuantitas mewakili panjang serabut otot dalam keadaan diastole T : tensi atau ketegangan otot

dengan T = 1, ε = 0.2, dan xd= 0 (merujuk pada literatur yang diambil).

(22)

10

2.4 Kestabilan Lyapunov

Teori kestabilan sangatlah penting dalam analisis sistem rekayasa dinamik, dimana permasalahan seperti kestabilan pada titik-titik keseimbangan (titik te- tap) atau kestabilan input-output dianalisis. Karakterisasi kestabilan pada titik- titik keseimbangan sistem dinamik biasanya dilakukan dengan menggunakan teori kestabilan Lyapunov.

Alexandr Mikailovic Lyapunov adalah seorang matematikawan asal Rusia yang memulai studi mengenai kestabilan gerak pada tahun 1893. Studi yang dikerjakannya berlandaskan pada gerak persamaan diferensial nonlinear.

2.4.1 Fungsi Lyapunov

Untuk menentukan dan memeriksa kestabilan dari suatu sistem nonlinear maka akan dikonstruksi suatu fungsi, yaitu fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov dari suatu sistem persamaan diferensial tidaklah tunggal, asalkan fungsi tersebut memenuhi pernyataan yang diberikan oleh definisi fungsi Lyapunov berikut.

(Luenberger, 1979) Diberikan fungsi V : D ⊂ Rⁿ → R dan xe ∈ D merupakan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial nonlinear. Fungsi V disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi pernyataan berikut:

1. Fungsi V kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada D atau V ∈ C⁰(D).

2. Fungsi V (x) > 0 untuk x ∈ D dengan x 6= x_e dan V (x_e) = 0 dengan x = x_e. Fungsi Lyapunov yang terbentuk ini nantinya dapat digunakan untuk menentukan kestabilan suatu sistem baik linear maupun nonlinear (Wan-Chun dan Zhang, 2017). Schultz dan Gibson (1962) dalam jurnalnya menuliskan bahwa fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi dengan metode Variabel Gradien.

2.4.2 Metode Lyapunov Langsung

Metode Lyapunov langsung atau disebut juga metode Lyapunov kedua adalah metode yang berbeda dengan metode Lyapunov pertama. Pada Metode Lya- punov pertama untuk menganalisis kestabilan suatu sistem perlu dilakukan linearisasi di sekitar titik singular dan mempertimbangkan nilai-nilai eigen dari persamaan linear yang dihasilkan. Metode linearisasi hanya dapat membuktikan

(23)

11

kestabilan lokal, berbeda halnya dengan metode Lyapunov langsung yang dapat membuktikan kestabilan global. Oleh karena itu, metode Lyapunov langsung lebih sering digunakan untuk mendapatkan pembuktian kestabilan.

Dengan menggunakan fungsi Lyapunov yang tepat maka kestabilan dari titik ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial nonlinear autonomous dapat diperiksa (Bate, 2015). Diberikan suatu fungsi Lyapunov V , maka turunan Lya- punov adalah sebagai berikut

Andaikan V : D → R, dan sistem persamaan autonomous ^dx_dt = ˙x = f (x) pada persamaan (2.3), maka

V (x) =˙ dV (x) dt

= ∂V (x)

∂x₁ dx₁

dt + ∂V (x)

∂x₂ dx₂

dt + · · · + ∂V (x)

∂x_n dx_n

dt

=h

∂V (x)

∂x1

∂V (x)

∂x2 · · · ^{∂V (x)}_∂x

n

i





 f₁(x) f₂(x)

... f_n(x)







= ∇V (x)^Tf (x) (2.9)

2.4.3 Konsep Kestabilan Lyapunov

Definisi 2.4. Andaikan x = x_e adalah titik ekuilibrium dari sistem autonomous

˙x = f (x), f : D → Rⁿ dan V : D → R adalah fungsi kontinu serta memiliki turunan yang kontinu dan

1. V (0) = 0.

2. V (x) > 0 pada D − {0}

3. ˙V (x) ≤ 0 pada D − {0}

maka x = xe dikatakan stabil.

(24)

12

Definisi 2.5. Jika pada kondisi Definisi 2.4, V memenuhi sebagai berikut:

1. V (0) = 0

2. V (x) > 0 pada D − {0}

3. ˙V (x) < 0 pada D − {0}

maka x = x_e dkatakan stabil asimtotik.

Definisi 2.6. Andaikan V : D → R maka titik ekuilibrium xe dikatakan tidak stabil apabila V memenuhi kondisi berikut:

1. V (0) = 0

2. Terdapat sebarang x₀ ∈ Rⁿ yang sangat dekat dengan titik ekuilibrium, sedemikian sehingga V (x) > 0

3. ˙V (x) > 0 untuk setiap x ∈ U , dengan U didefinisikan sebagai berikut:

U := {x ∈ D : kxk ≤ ε dan V (x) > 0}

2.4.4 Metode Variabel Gradien

Metode Variabel Gradien adalah sebuah pendekatan yang sering digunakan untuk membangun fungsi Lyapunov. Hubungan suatu fungsi skalar V (x) dengan gradiennya adalah

V (x) = Z x

0

(∇V )^Tdx (2.10)

dengan ∇V =h

∂V

∂x1

∂V

∂x2 · · · _∂x^∂V

n

i

. Agar fungsi skalar V yang diperoleh adalah tunggal, maka fungsi gradiennya haruslah memenuhi kondisi curl sebagai berikut

∂V_i

∂x_j = ∂V_j

∂x_i, (i, j = 1, 2, · · · , n) (2.11) dengan i 6= j.

Prinsip dari metode Variabel Gradien adalah mengasumsikan bentuk khusus untuk gradien ∇V . Langkah sederhana yang dapat dilakukan adalah dengan mengasumsikan bahwa fungsi gradien berbentuk

∇V_i = ∂V

∂x_i = g_i(x) =

n

X

j=1

h_ijx_j (2.12)

dimana h_ij adalah koefisien yang harus dicari.

(25)

13

Kondisi curl yang dipenuhi berakibat bahwa hasil integrasi tidak bergantung pada lintasan integrasi, tetapi pada umumnya untuk mendapatkan fungsi V cukup dengan melakukan integrasi sepanjang lintasan yang sejajar, dengan kata lain

V (x) = Z x1

0

g₁(x₁, 0, · · · , 0) ds₁+ Z x2

0

g₂(x₁, s₂, 0, · · · , 0) ds₂+ · · · +

Z xn

0

g_n(x₁, x₂, · · · , s_n) ds_n

(2.13)

Teorema 2.1. Fungsi g(x) adalah gradien dari fungsi skalar V (x) jika dan hanya jika matriks

∂g(x)

∂x =







∂g1

∂x1

∂g2

∂x1 · · · ^∂g_∂xⁿ

∂g1 1

∂x2

∂g2

∂x3 · · · ^∂g_∂xⁿ .. 2

. ...

∂g1

∂xn

∂g2

∂xn · · · _∂x^∂gⁿ

n





 adalah simetrik.

Bukti. (=⇒) Asumsikan g(x) = ∇V (x), akan diperlihatkan bahwa g(x) simetrik.

Oleh karena g(x) = ∇V (x), maka g(x) = h

∂V

∂x1

∂V

∂x2 · · · _∂x^∂V

n

i

=h

g1 g2 · · · gn

i

∂g(x)

∂x =







∂²V

∂x1∂x1

∂²V

∂x2∂x1 · · · _∂x^∂²^V

n∂x1

∂²V

∂x1∂x2

∂²V

∂x2∂x2 · · · _∂x^∂²^V

n∂x2

... ... . .. ...

∂²V

∂x1∂xn

∂²V

∂x2∂xn · · · _∂x^∂²^V

n∂xn





 .

Karena _∂x^∂²^V

i∂xj = _∂x^∂²^V

j∂xi =⇒ _∂x^∂gⁱ

j = ^∂g_∂x^j

i, maka matriks ^∂g(x)_∂x simetrik.

(⇐=) Asumsikan matriks ^∂g(x)_∂x simetrik. Artinya, _∂x^∂gⁱ

j = ^∂g_∂x^j

i akan diperlihatkan bahwa g(x) = ∇V (x) dengan kata lain gi(x) = _∂x^∂V

i, i = 1, 2, · · · , n.

Pandang integral yang diberikan oleh persamaan 2.13 V (x) =

Z x 0

g(x) dx = Z x1

0

g₁(s₁, 0, · · · , 0) ds₁+ Z x2

0

g₂(x₁, s₂, 0, · · · , 0) ds₂+ · · · +

Z xn

0

g_n(x₁, x₂, · · · , s_n) ds_n

(26)

14

Dengan menarik turunan parsial dari V (x) diperoleh

∂V

∂x₁ = g(x1, 0, · · · 0) + Z x2

0

∂g₂

∂x₁(x1, s1, 0, · · · , 0) ds2+ · · · Z xn

0

∂g_n

∂x₁(x1, x2, · · · , s1) dsn

= g(x1, 0, · · · 0) + Z x2

0

∂g₁

∂x₂(x1, s2, 0, · · · , 0) ds2+ · · · Z xn

0

∂g₁

∂x_n(x1, x2, · · · , sn) dsn

= g₁(x₁, 0, · · · , 0) + g₁(x₁, x₂, · · · , 0)

x2

0 + · · · + g₁(x₁, x₂, · · · , x_n) Hal yang sama dapat dilakukan untuk _∂x^∂V

2,_∂x^∂V

3, · · · ,_∂x^∂V

n hingga diperoleh _∂x^∂V

i =

g_i(x), i = 1, 2, · · · , n.

2.5 Metode Numerik

Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara hitungan atau aritmatika biasa. Berbagai permasalahan yang ada didalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan dapat digambarkan dalam bentuk matematika. Metode numerik digunakan apabila permasalahan matematika tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Perbedaan antara metode analitik dan metode numerik adalah metode analitik hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang sederhana dan menghasilkan solusi yang sebenarnya atau solusi sejati. Sedangkan metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang sangat kom- pleks dan nonlinear. Solusi yang dihasilkan dari penyelesaian secara numerik merupakan solusi hampiran atau pendekatan yang mendekati solusi eksak atau solusi sebenarnya. Hasil penyelesaian yang didapatkan dari metode numerik dan metode analitik memiliki selisih, dimana selisih tersebut dinamakan kesalahan (error ).

2.5.1 Metode Runge-Kutta

Metode Runge-Kutta merupakan metode yang memberikan ketelitian hasil yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi. Bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah

x_i+1 = x_i+ φ (t_i, x_i, h) h (2.14) dengan φ (t_i, x_i, h) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada interval dan digunakan untuk mengesktrapolasi dari nilai lama x_i ke nilai

(27)

15

baru x_i+1 sepanjang interval h. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum

φ = a₁k₁+ a₂k₂+ · · · + a_nk_n =

n

X

i=1

a_ik_i dengan konstanta a_i dan k_i adalah

k₁ = f (t_i, x_i)

k₂ = f (t_i+ p_ih, x_i + q₁₁k₁h)

k₃ = f (t_i+ p_ih, x_i + q₂₁k₁h + q₂₂k₂h) ...

kn = f (ti+ pn−1h, xi+ q_(n−1)1k1h + q_(n−2)k2h + · · · + q_{(n−1)(n−1)}kn−1h) dengan p dan q adalah konstanta.

2.5.2 Metode Runge-Kutta Orde 5

(Tulus, 2012) Metode Runge-Kutta orde 5 merupakan metode yang paling teliti dibandingkan orde dua, tiga, dan empat. (Gadisa dan Garoma, 2017) dalam jurnalnya melakukan perbandingan antara Metode Runge-Kutta orde 5 dengan Metode Taylor orde 6 dan diperoleh hasil bahwa Metode Runge-Kutta orde 5 jauh lebih baik dan akurat dalam menyelesaikan persamaan diferensial biasa.

Secara umum, metode Runge-Kutta orde 5 memiliki bentuk standar sebagai berikut:

x_i+1= x_i+ 1

90(7k₁+ 32k₃+ 12k₄+ 32k₅+ 7k₆) (2.15) dengan

k₁ = f (t_i, x_i) h k₂ = f

t_i+ h

2, x_i+k₁ 2

h k₃ = f

t_i+ h

4, x_i+3k₁+ k₂ 16

h k₄ = f

t_i+ h

2, x_i+k₃ 2

h k₅ = f

t_i+ 3h

4 , x_i+ −3k₂+ 6k₃+ 9k₄ 16

h k₆ = f

t_i+ h, x_i+k₁+ 4k₂+ 6k₃− 12k₄+ 8k₅ 7

h

(28)

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Studi Pendahuluan

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah dengan terlebih dahulu mempelajari studi literatur mengenai persamaan diferensial biasa, sistem persamaan diferensial autonomous nonlinear, metode Lyapunov langsung, metode Variabel Gradien, dan metode Runge-Kutta orde 5.

3.2 Konstruksi fungsi Lyapunov

Untuk mengonstruksi fungsi Lyapunov yang bersesuaian dengan model denyut jantung akan digunakan metode Variabel Gradien. Pada tahap ini yang dilakukan adalah membangun gradien fungsi Lyapunov yang ingin dicari.

3.3 Analisis dan Kesimpulan

Pada tahap ini dilakukan 2 tahapan analisis, yakni analisis langsung terhadap fungsi Lyapunov yang telah dikonstruksi pada tahap sebelumnya dan analisis model denyut jantung menggunakan MATLAB R2012b.

Pada tahapan analisis langsung, fungsi Lyapunov akan diperiksa apakah memenuhi syarat sebagai fungsi Lyapunov yang telah dijelaskan pada Bab sebelumnya, selanjutnya diikuti dengan menentukan apakah sistem tersebut stabil atau tidak. Kemudian digunakan metode Runge-Kutta orde 5 untuk melihat solusi penyelesaian pada model denyut jantung. Akan dilakukan pula beberapa variasi parameter untuk ε, T, dan x_d. Dalam proses memvariasikan parameter akan ditampilkan bidang fase yang terbentuk. Untuk melihat gambar bidang fasenya digunakan bantuan pplane8 yang dapat diakses pada www.mathworks.

com/matlabcentral/fileexchange/61636-pplane, dijalankan dengan software MATLAB R2012b. Dengan pplane8 akan dapat dengan mudah dilihat gambar bidang fase, titik ekuilibrium dan jenis kestabilan pada titik ekuilibriumnya.

Setelah melakukan kedua tahapan analisis ini, selanjutnya ditarik kesimpulan mengenai kestabilan model denyut jantung.

(29)

17

3.4 Kerangka Penelitian

Studi Literatur

Observasi Masalah

Penentuan Model/Sistem

Konstruksi Fungsi Lyapunov

Analisis Fungsi Lyapunov

Penyelesaian model secara numerik menggunakan Runge Kutta Orde 5

Penarikan Kesimpulan

(30)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Bidang Fase Model Denyut Jantung

Dengan menggunakan bantuan pplane8 MATLAB, akan ditampilkan secara visual sistem persamaan diferensial nonlinear autonomus model denyut jantung.

Berikut adalah output bidang fase yang diperoleh.

Gambar 4.1 Bidang fase dari model denyut jantung

Pada Gambar 4.1 di atas, garis kubik yang berwarna oranye dan merah muda mewakili sistem persamaan (2.7) dan (2.8) pada keadaan tunak (steady state) dan terlihat bahwa titik ekuilibrium sistem berada pada titik asal (0,0). Perhatikan bahwa seluruh lintasan yang dimulai dari atas garis kubik, yakni x³₁−T x₁+x₂ > 0 bergerak menuju titik asal sepanjang garis kubik. Demikian juga seluruh lintasan yang dimulai dari bawah garis kubik, yakni x³₁− T x₁+ x₂ < 0 mengarah ke atas sepanjang garis kubik.

Pada akhirnya semua lintasan tersebut berujung pada siklus terbatas (limit cycle) di sekitar titik ekuilibrium. Jelas bahwa titik ekuilibrium tidak stabil ka-

(31)

19

rena bidang vektor di dalam siklus terbatas bergerak menjauh dari titik tersebut.

Dengan kata lain, Titik-titik yang berada pada garis AB dan BC dikatakan stabil, sedangkan titik-titik yang berada pada garis BC tidak stabil disebabkan pada garis B dan C merupakan ambang batas yang memicu jantung untuk berkontraksi dari keadaan diastole ke sistole.(Thanom dan Loh, 2011). Kestabilan titik ekuilibrium ini akan dibuktikan dengan menggunakan metode Lypunov langsung.

4.2 Konstruksi dan Analisis Fungsi Lyapunov

Selanjutnya akan ditentukan kestabilan dari model denyut jantung, akan tetapi terlebih dahulu akan dibangun fungsi Lyapunov. Metode yang digunakan yaitu metode Variabel Gradien. Metode ini bertujuan untuk mengonstruksi sebuah fungsi yang dapat menganalisis sifat sistem, yang disebut fungsi Lyapunov. Meto- de Variabel Gradien adalah salah satu metode yang digunakan untuk membentuk fungsi Lyapunov. Dengan menggunakan metode ini konstruksi fungsi Lyapunov dapat dilakukan secara sistematis dan terstruktur.

Mengikuti langkah-langkah yang telah dipaparkan pada Bab sebelumnya, untuk mendapatkan fungsi Lyapunov dari model denyut jantung adalah sebagai berikut:

1. Pandang sistem pada persamaan (2.7) dan (2.8) untuk T = 1, x_d= 0, ε = 0, 2 sebagai berikut.

ε ˙x₁ = −(x³₁− x₁+ x₂),

˙ x₂ = x₁

2. Akan dicari titik ekuilibrium dari sistem diatas, yakni saat ˙x bernilai nol, dengan kata lain

˙x₁ = −(x³₁− x₁+ x₂)/ε = 0 (4.1)

˙x₂ = x₁ = 0 (4.2)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.2) yaitu pada saat x1 = 0 ke persamaan (4.1), maka diperoleh

˙x₁ = −x₂/ε = 0

yang berarti x₂ = 0. Ini memperlihatkan bahwa hanya ada satu titik ekuilibrium yakni pada titik (0, 0).

(32)

20

3. Asumsikan suatu gradien dari fungsi Lyapunov ∇V (x) sebagai parameter.

Misalkan,

∇V (x) = g(x) =

"

g₁ g₂

#

=

"

h₁₁x₁+ h₁₂x₂ h₂₁x₁+ h₂₂x₂

# .

4. Selanjutnya dicari nilai h_ij yang memenuhi kondisi curl, yakni memenuhi

∂g_i

∂x_j = ∂g_j

∂x_i Dalam kasus ini,

∂g₁

∂x₂ = ∂

∂x₂ (h₁₁x₁+ h₁₂x₂) = h₁₂

∂g₂

∂x₁ = ∂

∂x₁ (h₂₁x₁+ h₂₂x₂) = h₂₁

Berdasarkan kondisi diatas, maka kondisi h_ij yang memenuhi kondisi curl adalah hij = hji= h12 = h21 = k, sehingga

g(x) =

"

h₁₁x₁+ kx₂ kx₁+ h₂₂x₂

#

5. Selanjutnya akan dicari fungsi ˙V , berdasarkan persamaan (2.9) V = ∇V (x)˙ T

f (x)

= g(x)^Tf (x)

=h

h11x1+ kx2 kx1+ h22x2

i

"

(−x³₁+ x₁ − x₂)/ε x₁

#

= h₁₁x₁+ kx₂ (−x³₁+ x₁− x₂)/ε + kx²₁+ h₂₂x₁x₂

= −h₁₁x⁴₁

ε −kx³₁x₂

ε + h₁₁x²₁

ε +kx₁x₂

ε − h₁₁x₁x₂

ε − kx²₂

ε + kx²₁+ h₂₂x₁x₂

= −h₁₁x⁴₁

ε −kx³₁x₂

ε +

k + h₁₁ ε

x²₁+ k ε − h₁₁

ε + h₂₂

x₁x₂

= −h₁₁x²₁

ε + k + h₁₁ ε

!

x²₁+ −kx²₁ ε + k

ε − h₁₁ ε + h₂₂

! x₁x₂

= h₁₁

ε 1 − x²₁ + k

x²₁+ k

ε 1 − x²₁ − h11

ε + h₂₂

x₁x₂

= h₁₁

0, 2 1 − x²₁ + k

x²₁ +

k

0, 2 1 − x²₁ − h11

0, 2 + h₂₂

x₁x₂

(33)

21

6. Kemudian dicari fungsi V (x) dengan mengintegralkan ∇V (x). Integral sepanjang sumbu aksis diperoleh,

V (x) = Z x1

0

g1(s1, 0) ds1 + Z x2

0

g2(x1, s2) ds2

= Z x1

0

h11x1+ kx2 ds1+ Z x2

0

kx1+ h22x2 ds2

= Z x1

0

h11s1 ds1+ Z x2

0

kx1+ h22s2 ds2

= 1

2h₁₁x²₁+ kx₁x₂+1 2h₂₂x²₂

=

rh₁₁ 2 x₁ +

rh₂₂ 2 x₂

!2

7. Oleh karena k adalah sebarang konstanta, ambil k = h₁₁h₂₂. Diperoleh V (x) =

q

h11

2 x₁+ qh22

2 x₂

2

, namun fungsi ini akan definit positif jika dan hanya jika h₁₁, h₂₂> 0.

Dapat diperiksa bahwa V (x) =

q

h11

2 x₁+ qh22

2 x₂

2

untuk h₁₁, h₂₂ > 0 memenuhi sebagai syarat sebagai fungsi Lyapunov, yakni V (x) adalah fungsi yang kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu, selain itu karena V (0) = 0 hanya pada titik ekuilibrium dan V (x) > 0 untuk setiap x ∈ D − {0}.

Berdasarkan definisi oleh Luenberger pada Sub Bab sebelumnya, maka fungsi V (x) disebut sebagai fungsi Lyapunov.

Selanjutnya, perhatikan bahwa fungsi V (x) memenuhi kondisi berikut.

1. V (0) = 0

2. Untuk setiap x ∈ R² 6= 0, V (x) adalah definit positif.

3. Selanjutnya dengan mendefinisikan himpunan U sebagai berikut U := {x ∈ R²− {0} : kxk ≤ , 0 < < 1

2}, maka ˙V (x) juga akan definit positif untuk setiap x ∈ U .

Berdasarkan konsep ketidakstabilan oleh Definisi 2.6 pada Sub Bab sebelumnya, ini memperlihatkan bahwa titik ekuilibirum x_e = (0, 0) adalah tidak stabil.

(34)

22

4.3 Analisis dengan Metode Runge-Kutta Orde 5

Model denyut jantung selanjutnya akan diselesaikan dengan Metode Runge-Kutta Orde 5 dengan dengan membawa model ke dalam fungsi waktu t. Dengan mengikuti langkah-langkah penyelesaian metode Runge-Kutta orde 5, maka sistem persamaan model denyut jantung dapat diubah menjadi persamaan, sehingga diperoleh:

x_1i+1= x_1i+ 1

90(7k_1,x₁+ 32k_3,x₁ + 12k_4,x₁ + 32k_5,x₁+ 7k_6,x₁) x_2i+1= x_2i+ 1

90(7k_1,x₂+ 32k_3,x₂ + 12k_4,x₂ + 32k_5,x₂+ 7k_6,x₂) dengan

k_1,x₁ = hf (t₀, x₁₀, x₂₀) k_1,x₂ = hf (t₀, x₁₀, x₂₀) k_2,x₁ = hf (t₀+h

2, x₁₀+ k_1,x₁

2 , x₂₀ +k_1,x₂ 2 ) k_2,x₂ = hf (t₀+h

2, x₁₀+ k_1,x₁

2 , x₂₀ +k_1,x₂ 2 ) k_3,x₁ = hf (t₀+h

4, x₁₀+ 3k_1,x₁+ k_2,x₁

16 , x₂₀+3k_1,x₂ + k_2,x₂

16 )

k_3,x₂ = hf (t₀+h

4, x₁₀+ 3k_1,x₁+ k_2,x₁

16 , x₂₀+3k_1,x₂ + k_2,x₂

16 )

k_4,x₁ = hf (t₀+h

2, x₁₀+ k_3,x₁

2 , x₂₀ +k_3,x₂ 2 ) k_4,x₂ = hf (t₀+h

2, x₁₀+ k3,x1

2 , x₂₀ +k3,x2

2 ) k5,x1 = hf (t0+3

4h, x10+−3k_2,x₁ + 6k_3,x₁ + 9k_4,x₁

16 , x20+ −3k_2,x₂ + 6k_3,x₂ + 9k_4,x₂

16 )

k_5,x₂ = hf (t₀+3

4h, x₁₀+−3k_2,x₁ + 6k_3,x₁ + 9k_4,x₁

16 , x₂₀+ −3k_2,x₂ + 6k_3,x₂ + 9k_4,x₂

16 )

k_6,x₁ = hf (t₀+ h, x₁₀ +k_1,x₁ + 4k_2,x₁ + 6k_3,x₁ − 12k_4,x₁ + 8k_5,x₁

7 ,

x₂₀k_1,x₂ + 4k_2,x₂ + 6k_3,x₂ − 12k_4,x₂ + 8k_5,x₂

7 )

k_6,x₂ = hf (t₀+ h, x₁₀ +k_1,x₁ + 4k_2,x₁ + 6k_3,x₁ − 12k_4,x₁ + 8k_5,x₁

7 ,

x₂₀k_1,x₂ + 4k_2,x₂ + 6k_3,x₂ − 12k_4,x₂ + 8k_5,x₂

7 )

(35)

23

Dengan memilih nilai awal 0, 3 dan 0, 3, diperoleh hasil simulasi model denyut jantung yang diperlihatkan pada Gambar 4.2 sebagai berikut.

Gambar 4.2 Solusi model denyut jantung dengan Runge-Kutta orde 5

Gambar 4.2 merupakan solusi model denyut jantung yang dibawa dalam fungsi t. Pada Gambar 4.2 , x₁ mewakili panjang serabut otot dan x₂ mewakili variabel aktivitas elektrokimia, pada saat t = 5, yakni x₁(5) = x₂(5) terlihat pada saat jantung dalam keadaan diastole, panjang serabut otot mengendur/rileks dan aktivitas elektrokimia akan semakin mengecil karena tidak terjadi kontraksi pada otot jantung, tetapi pada saat t = 10 yaitu pada saat jantung dalam keadaan sistole maka panjang serabut otot akan semakin mengecil dan variabel aktivitas elektrokimia semakin membesar karena terjadi kontraksi dalam jantung yang dapat menghasilkan listrik didalam jantung (Thanom dan Loh, 2011).

4.4 Analisis Kestabilan Model dengan Memvariasikan Parameter Analisis dilakukan dengan memvariasikan beberapa parameter pada model untuk mendapatkan sifat kestabilan pada sistem, adapun parameter yang divariasikan adalah ε, T, dan x_d. Menggunakan bantuan pplane8 pada MATLAB R2012b diperoleh hasil sebagai berikut:

1. Variasi untuk nilai ε = 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,251; 0,26; 0,3; 0,35 diperoleh bahwa untuk 0 < ε < 0,25, ε = 0,25, dan ε ≥ 0,251, titik ekuilibrium bersifat tidak stabil dan jenisnya berturut-turut adalah nodal source, source dan spiral source.

(36)

24

ε = 0, 1 ε = 0, 15

nodal source nodal source

ε = 0, 2 ε = 0, 25

nodal source source

ε = 0, 251 ε = 0, 26

spiral source spiral source

ε = 0, 3 ε = 0, 35

Gambar 4.3 Bidang fase dengan variasi ε

(37)

25

2. Pada variasi parameter T = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 0,95; 1, diperoleh bahwa baik untuk 0 < T ≤ 0,9 maupun T > 0,9 titik ekuilibrium bersifat tidak stabil dan jenisnya berturut-turut adalah spiral source dan nodal source.

T = 0, 1 T = 0, 3

T = 0, 5 T = 0, 7

T = 0, 8 T = 0, 85

(38)

26

T = 0, 9 T = 1

nodal source nodal source

Gambar 4.4 Bidang fase dengan variasi T

Interpretasi variasi parameter T adalah bahwa semakin kecil nilai T , maka denyut jantung semakin kecil atau melemah, sebab perubahan keadaan dari diastole ke sistole atau sebaliknya juga kecil, dan semakin besar nilai T , maka denyut jantung akan semakin kuat.

3. Variasi parameter x_d akan menentukan letak titik kestabilan pada keadaan diastole. Nilai variasi yang dipilih adalah tepat sebelum jantung dipicu untuk berkontrasi dari keadaan diastole ke sistole. Parameter yang diambil adalah xd = 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,85; 0,9; 0,95; 1 diperoleh bahwa pada xd= 1 merupakan titik ekuilibrium yang stabil untuk diastole dengan jenis nodal sink.

xd= 0, 5 xd= 0, 6

(39)

27

xd= 0, 7 xd= 0, 8

spiral source nodal sink

xd= 0, 85 xd= 0, 9

nodal sink nodal sink

xd= 0, 95 xd= 1

nodal sink nodal sink

Gambar 4.5 Bidang fase dengan variasi xd

(40)

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil yang diperoleh pada Bab sebelumnya, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

1. Fungsi Lyapunov yang telah dikonstruksi dengan metode Variabel Gradien untuk model denyut jantung adalah

V (x) =˙

h11

0,2 1 − x²₁ + k

x²₁ +

k

0,2 1 − x²₁ − ^h_0,2¹¹ + h₂₂

x₁x₂ dan V (x) =

q

h11

2 x₁+ qh22

2 x₂

2

dengan h₁₁, h₂₂ > 0 dan konstanta k = h₁₁h₂₂. Oleh karena ˙V (x) dan V (x) masing-masing adalah fungsi definit positif, maka titik ekuilibrium x_e= (0, 0) dikatakan tidak stabil.

2. Berdasarkan simulasi numerik oleh metode Runge-Kutta orde 5, diperoleh hasil bahwa model denyut jantung adalah tidak stabil. Ini disebabkan oleh aktivitas elektrokimia (x₁) yang selalu memicu otot jantung (x₂) untuk berelaksasi dan berkontraksi.

3. Pada variasi parameter T, ε titik ekuilibrium bersifat tidak stabil, namun pada variasi parameter x_d = 1 ditemukan titik ekuilibrium yang sifatnya stabil untuk keadaan diastole dengan jenis nodal sink.

5.2 Saran

Berdasarkan hasil penarikan kesimpulan, Penulis menyarankan untuk melakukan analisis kestabilan untuk sistem persamaan diferensial nonautonomous bagi pembaca yang ingin melakukan penelitian selanjutnya.

(41)

DAFTAR PUSTAKA

Bate, S. (2015). The Application of Lyapunov Method for the Investigation of Global Stability of Some Population and Epidemiology Models.

Brogan, W. L. (1991). Modern control theory. Pearson education india.

Gadisa, G., & Garoma, H. (2017). Comparison of higher order Taylor’s method and Runge-Kutta methods for solving first order ordinary differential equations.

Journal of Computer and Mathematical Sciences, 8(1), 12-23.

Jones, D. S., Plank, M., & Sleeman, B. D. (2009). Differential equations and mathematical biology. Chapman and Hall/CRC.

Guckenheimer, J., Holmes, P., & Slemrod, M. (1983). Nonlinear oscillations dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer

Luenberger, D. G., 1979. Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications, Vol. 1, Wiley New York.

Marquez, H. J., 2003. Nonlinear Control Systems: analysis and design, Vol. 1, Wiley-Interscience Hoboken.

Nagle, R. K., Saff, E. B., & SnIder, A. D. (2012). Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, Sixth Edition, Pearson Education Inc, USA.

Polking, J., Boggess, A. &Arnold, D., 2005. Differential Equation with Boundary Value Problems, 2 edn, Pearson Education, Inc., USA.

Schultz, D. & Gibson, J. E., 1962. ‘The Variable Gradient Method for Generating Lyapunov Functions”, Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Part II : Applications and Industry 81(4), 203-210.

Subiono, 2013. Sistem Linear dan Kontrol Optimal ITS.

Thanom, W. & Loh, R.N., 2011. ‘Nonlinear Control of Heartbeat Models’, Journal on systemics, Cybernetics and Informatics 9(1), 21-27.

Tulus, 2012. ’Numerical Study on the Stability of Takens-Bogdanov Systems’, Bulletin of Mathematics, 4(01), 17-24.

Wan-Chun, L. & ZHANG, S.-G., 2017. ‘Variable Gradient Approach to Construct Lyapunov Function for Judging Stability of Non-linear Systems’, DEStech Transactions on Engineering and Technology Research (iceeac).

Wang, J., Zhang, R. & Kuniya, T., 2015. ‘Global Dynamics for a Class of Age In- fection HIV Models with Nonlinear Infection Rate’, Journal of Mathematical Analysis and Applications 432(1), 289-313.

Wiggins, S., 2003. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Cha- os (Vol.2). Springer Science & Business Media.

(42)

30

LAMPIRAN

Pogram Runge-Kutta Orde 5 untuk mencari solusi model denyut jantung dengan menggunakan MATLAB R2012b

1 % Runge Kutta code to solve Heartbeat System of Equations

2 % dx/dt = -x^3 + T*x - y

3 % dy/dt = x - xd

4

5 clear; clc

6 eps=0.2; T = 1; xd= 0;

7

8 %Define function handles

9 fx =@(t,x,y) (-x^3 + T*x -y)/eps;

10 fy =@(t,x,y) x - xd;

11

12 %Initial conditions

13 t(1) = 0;

14 x(1) = 0.3;

15 y(1) = 0.3;

16

17 %Stepsize

18 h = .001;

19 tfinal = 25;

20 N = ceil(tfinal/h);

21

22 %Update loop

23 for i = 1:N

24 %update t

25 t(i+1) = t(i)+h;

26 %update x & y

27 k1x = fx(t(i) ,x(i) ,y(i) );

28 k1y = fy(t(i) ,x(i) ,y(i) );

29

30 k2x = fx(t(i)+h/2, x(i)+k1x/2, y(i)+k1y/2 );

31 k2y = fy(t(i)+h/2, x(i)+k1x/2, y(i)+k1y/2 );

(43)

31

32

33 k3x = fx(t(i)+h/4, x(i)+(3*k1x + k2x)/16, y(i)+(3*k1y + k2y)/16);

34 k3y = fy(t(i)+h/4, x(i)+(3*k1x + k2x)/16, y(i)+(3*k1y + k2y)/16);

35

36 k4x = fx(t(i)+h/2, x(i)+k3x/2, y(i)+k3y/2 );

37 k4y = fy(t(i)+h/2, x(i)+k3x/2, y(i)+k3y/2 );

38

39 k5x = fx(t(i)+3*h/4, x(i)+(-3*k2x + 6*k3x+9*k4x)/16, y(i)+(-3*k2y + 6*k3y+9*k4y)/16);

40 k5y = fy(t(i)+3*h/4, x(i)+(-3*k2x + 6*k3x+9*k4x)/16, y(i)+(-3*k2y + 6*k3y+9*k4y)/16);

41

42 k6x = fx(t(i)+h, x(i)+(k1x+4*k2x+6*k3x-12*k4x+8*k5x)/7, y(i)+(k1y+4*k2y+6*k3y-12*k4y+8*k5y)/7);

43 k6y = fy(t(i)+h, x(i)+(k1x+4*k2x+6*k3x-12*k4x+8*k5x)/7, y(i)+(k1y+4*k2y+6*k3y-12*k4y+8*k5y)/7);

44

45 x(i+1) = x(i)+h/6*(k1x + 2*k2x + 2*k3x + k4x);

46 y(i+1) = y(i)+h/6*(k1x + 2*k2y + 2*k3y + k4y);

47 end

48

49 %plot the solution

50 figure(1); clf(1)

51 plot(t,x, ’r’)

52 hold on

53 plot(t,y, ’b’)

54 %hold on

55 xlabel(’t’)

56 legend(’Panjang serabut otot (x1)’,’Aktivitas elektrokimia (x2)’)

57 set(gca,’fontsize’,16)