BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

2.1 Fungsi

2.2 Grafik Fungsi 2.3 Barisan dan Deret 2.4 Irisan Kerucut

2.1 Fungsi

Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi

³

3

4 r

V   . Contoh yang lain, tempat kedudukan titik-titik ( x , y ) yang jaraknya 1 satuan dari titik pangkal O adalah x

²

 y

²

 1 . Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi dengan satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutnya, korespondensi x

²

 y

²

 1 disebut relasi dari X ke Y.

Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong R  A  B .

A B

Gambar 2.1.1 Relasi dari himpunan A ke B

a

1

a

2

a

3

b

1

b

2

b

3

b

4

Jika R adalah relasi dari A ke B dan x  A berelasi R dengan y  B maka ditulis:

) ( atau

atau )

,

( a b  R aRb b  R a

Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap r  0 menentukan tepat satu V  0 . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap x  [ 1 , 1 ] berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai x  [ 1 , 1 ] yang berbeda.

Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.

Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap x  A terdapat tepat satu y  B sehingga )

(a R b  .

Sebagai contoh, misalkan X    1 , 2 dan Y    3 , 6 . Himpunan  ( 1 , 3 ), ( 2 , 3 )  merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan

 ( 1 , 6 ), ( 2 , 3 )  merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan  ( 1 , 3 ), ( 1 , 6 ), ( 2 , 3 )  bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.

Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Selanjutnya, apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A  B

Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi D

f

, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:

 x : f ( x ) ada ( terdefinis ikan ) 

D

_f

  R

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis R atau Im(f) (Perhatikan Gambar 2.1.2).

_f

Definisi 2.1.1 Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap x  A berelasi R dengan

tepat satu y  B maka R disebut fungsi dari A ke B.

Jika pada fungsi f : A  B , sebarang elemen x  A mempunyai kawan y  B, maka dikatakan

“y merupakan bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

A B

Gambar 2.1.3 f fungsi dari himpunan A ke B.

Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y

= f(x) disebut rumus fungsi f.

Contoh 2.1.2 Tentukan domainnya.

a. 2

) 1

(  

x x

f b.

1 )

( 

2



x x x

f c. ln( 6 )

5 ) 1

( 

²

 

  x x

x x f

Penyelesaian:

a. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,

 : 2 0  { 2 } ikan

terdefinis 2

: 1       

 



 



 

 R x R x R

x x D

_f

b. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:

● ●

● ●

●

Rf

Gambar 2.1.2

x f y

A B

 : 1 0 atau 1  ( 1 , 0 ] ( 1 , ).

0 1 : ada

1

:

2 2





















 



 

 

 

 

 

 



 



x x

x

x x x

x x x

D

_f

R

R R

c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:

 

 

 : 5 dan 2  atau  : 5 dan 3 ) 

) 3 atau 2 ( dan 5 :

0 ) 6 (

dan 0 5 :

ada ) 6 ln(

dan 5 ada

: 1

ada ) 6 5 ln(

: 1

2 2 2

















































 



 

  

 



 



 

   

 



x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x x

x

x x x

x D

_f

R R

R R R R

= (  ,  5 )  ( 5 ,  2 )  ( 3 ,  ) .█

Contoh 2.1.3 Jika f ( x )  3 x

²

 ( 1 x ) , maka tentukan:

a. f ( 1 ) b. f (  x 2 ) c. f ( x 1 ) d. f ( x   x ) Penyelesaian:

a. f (  1 )  3 .(  1 )

²

 ( 1  1 )  2 .

b. f ( x  2 )  3 ( x  2 )

²

 1 ( x  2 )  3 x

²

 12 x  12  1 ( x  2 ) .

c.   ^{x x}

x x x

f 

²

  3

²



1 ) 1 1 .(

3 ) 1

( .

d. f ( x   x )  3 .( x   x )

²

 1 ( x   x )  3 x

²

 6 x .  x  (  x )

²

 1 ( x   x ) .█

2.1.1 Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi B

A

f :  .

(i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut

fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).

Gambar 2.1.4 f fungsi surjektif dari himpunan A ke himpunan B

(ii). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function).

A B

(iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.

A B

a

1●

a

2●

a

3●

a

4●

●

b

1

●

b

2

●

b

3

a

1●

a

2●

a

3●

●

b

1

●

b

2

●

b

3

●

b

4

●

b

5

a

1●

a

2●

a

3●

a

4●

●

b

1

●

b

2

●

b

3

●

b

4

A B

Gambar 2.1.5 Fungsi injektif dari A ke B

Gambar 2.1.6 Korespondensi 1 – 1.

2.1.2 Operasi Pada Fungsi

Diberikan skalar real  dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f  g , selisih f  g , hasil kali skalar

 f , hasil kali f . , dan hasil bagi g f g masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

) ( ) ( ) )(

( f  g x  f x  g x ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x ) )

( )

)(

(  f x   f x ( f . g )( x )  f ( x ). g ( x ) 0

) ( asalkan ) ,

( ) ) (

)(

(  g x 

x g

x x f

g f

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk f g ,

 ^{  : ( )  0} 

 x D D g x

D

_{f g f g}

.

Contoh 2.1.4 Jika f dan g masing-masing:

1 )

( x  x 

f

5 ) 1

(  

x x g

maka tentukan: f  g , f  g , f . , dan g f g beserta domainnya.

Penyelesaian:

   

   

5 ) 1

5 ( . 1 1 )

( .

5 1 1

) 5 (

1 1 )

(



 

 



 





 









x x x g x f

x x g f

x x x g x f

x x g f

Karena D

_f

 [ 1 ,  ) dan D

_g

 R  {  5 } , maka f  g , f  g , f . , dan g f g masing-masing mempunyai domain: [  1 , ) .█

2.1.3 Fungsi Invers

Diberikan fungsi f : X  Y . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada

umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di

bawah ini.

Apabila f : X  Y merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi f

^1

. Perhatikan Gambar 2.1.8 berikut.

Jadi:

) ( )

1

( y y f x

f

x 

^

  dengan

_f

f f

f

R R D

D

1

 dan

1



Contoh 2.1.5 Tentukan f

^1

jika diketahui

2 3 1 1 )

( 

 

 x

x x

f .

x ● ● y

X Y

1

f

Gambar 2.1.8

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

f

A B

Gambar 2.1.7

f

Penyelesaian:

2 3 1 1

2 3 1 1 ) (



 







 





x y x

x x x

f y

) 3 (

2 3 2

3 2 3 2

1 2 2 3 3

1 ) 2 3 )(

1 (

1

y y f

x y y xy x

x y

xy x

x x

y







 

































Jadi,

x x x

f 2 3

3 ) 2

1

(



 



.█

Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:

 





 







 













0 1 jika

1

0 jika 1

0 jika

) (

x x

x x x

x f

Penyelesaian: (i). Untuk x  0 , y  f ( x )   x  0 . Sehingga:

0 )

1

( 





 y f

^

y y

x

(ii). Untuk x  0 , f ( 0 )   1 . Sehingga, diperoleh: 0  f

^1

(  1 ) . (iii).Untuk x  0 ,

1 1 0

1 1 ) 1

(  



 



 

 f x x y

atau:

1 )

1 (

1  1    

₁

 

  f

^

y y

y y x y

Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

 





 









 















1 1 jika

1 jika

0

0 jika

)

1

(

x x x

x x x

x

f .█

2.1.4 Fungsi Komposisi

Perhatikan fungsi y  x

²

 1 . Apabila didefinisikan y  f ( u )  u dan 1

)

( 

²



 g x x

u maka dengan substitusi diperoleh y  f ( u )  f ( g ( x ))  x

²

 1 , yaitu rumus fungsi yang pertama disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi. Secara umum dapat diterangkan sebagai berikut. Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang x  D

_g

. Apabila g ( x )  D

_f

maka f dapat dikerjakan pada g (x ) dan diperoleh fungsi baru h ( x )  f ( g ( x )) . Ini disebut fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f  g .

x ●

) (x g y  ●

●

)) ( ( g x f z 

g f

g f 

Gambar 2.1.9 Fungsi komposisi

f  g

Definisi 2.1.7 Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f  g , didefinisikan sebagai:

 f  g  ( x )  f ( g ( x )) ,

dengan domain ^D

_fg

^  ^{x  D}

_g

^{: g ( x )  D}

_f

 ^.

Contoh 2.1.7 Jika f(x) = x

²

dan g(x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya.

a. f  g b. g  f c. f  f d. g  g

Penyelesaian:

a.  f  g  ( x )  f ( g ( x ))  f ( x  1 )  ( x  1 )

²

, dengan domain D

_fg

 R . b.  g  f  ( x )  g ( f ( x ))  g ( x

²

)  x

²

 1 , dengan domain D

_gf

 R . c.  f  f  ( x )  f ( f ( x ))  f ( x

²

)  x

⁴

, dengan domain D

_ff

 R .

d.  g  g  ( x )  g ( g ( x ))  g ( x  1 )  ( x  1 )  1  x  2 , dengan domain D

_gg

 R .█

Contoh 2.1.8 Jika f ( x )  1  x

²

dan g ( x )  2 x

²

maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta domainnya.

a. f  g b. g  f

Penyelesaian:

a.  f  g  ( x )  f ( g ( x ))  f ( 2 x

²

)  1  ( 2 x

²

)

²

 1  4 x

⁴

, dengan domain:

   

 

 



 

    



























2 2 2 1

2 : 1 2

1 0

:

1 2 1 : )

( :

2

2

x x

x x

x x

D x g D x

D

_{f g g f}

R R



R

.

b.  g  f  ( x )  g ( f ( x ))  g ( 1  x

²

)  2 ( 1  x

²

) , dengan domain:

  : ( )      :  1   1 

 x D f x D x R x

D

_{g f f g}

.█

Contoh 2.1.9 Tentukan f  g jika diketahui:

 

 











0 jika 1

0 jika 1

) (

x x

x x

x

f

 



 









 



1 jika 1

2

1 1 jika

) (

x x

x x x x

g

Penyelesaian:

(i). Untuk x  1 , 1 0

1 1 1 1

1 1 ) 1

(  

 

 



 

 

x x

x x

x x

g . Sehingga:

1 1 ) ( 1 )) ( ( ) )(

(      

x x x

g x

g f x g f 

(ii).Untuk x  1 , g ( x )  x 2  1  2 . 1  1  1 . Karena g ( x )  1 , maka dapat dibedakan menjadi 0  g ( x )  1 dan g ( x )  0 . Selanjutnya,

(a). 0  g ( x )  1 apabila 0  x 2  1  1 atau 1 2  x  1 . Hal ini berakibat, untuk 1 2  x  1 , x

x x

g x

g f x g

f )( ) ( ( )) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 2

(        

(b). g ( x )  0 apabila 2 x  1  0 atau x  1 2 . Jadi, untuk x  1 2 diperoleh:

) 1 2 ( 1 ) ( 1 )) ( ( ) )(

( f  g x  f g x  g x  x  Dari (i) dan (ii), diperoleh:

 

 



 

 





 





 





2 1 1 jika

2 1

1 2

1 jika 2

1 1 jika

1

) )(

(

x x

x x

x x x

x g f 

2.2 Grafik Fungsi

Diberikan fungsi f. Himpunan  ( x , y ) : y  f ( x ), x  D

f

 disebut grafik fungsi f.

2.2.1 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:

(a). Fungsi Aljabar (b). Fungsi Transenden

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil

bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sebagai contoh, fungsi f dengan rumus:

1 ) 1 ( ) 3

(

2

3 2 2





 

x x x x x

f

merupakan fungsi aljabar. Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Beberapa contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb.

Fungsi Aljabar

Fungsi Aljabar meliputi : (1). Fungsi rasional :

a. Fungsi bulat (fungsi suku banyak) b. Fungsi pecah.

(2). Fungsi irasional.

Fungsi Suku Banyak

Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan f(x) = P

n

(x) = a

0

+ a

1

x + . . . + a

n

x

ⁿ

dengan n bilangan bulat tak negatif , a

1

, . . . , a

n

bilangan-bilangan real dan a

n

 0.

(a). Fungsi konstan: f ( x )  c .

Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu X.

Y

0 a

0

3

f(x) = 1 X

f(x) = a

0

f(x) = 3

1

Gambar 2.2.1

(b). Fungsi linear: f(x)= mx + n

Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik ( n . 0 , )

(c). Fungsi kuadrat: f ( x )  ax

²

 bx  c , a  0 .

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: D  b

²

 4 ac . Secara umum, grafik fungsi kuadrat ini dapat digambarkan sebagai berikut:

0 2

y = x + 2 y = x

y = x  3

y = x

2 3

3

Gambar 2.2.2

Perhatikan pula gambar berikut ini.

D>0 a<0

D>0 a>0

(a) (b)

D=0 a<0

(c) (d)

D=0 a>0

D<0 a<0

(e) (f)

D<0 a>0

Gambar 2.2.3

(d). Fungsi kubik: f ( x )  a

₃

x

³

 a

₂

x

²

 a

₁

x  a

₀

, a

₃

 0 . Y

2 X y = x

²

y = 4x – x

²

y = ¼ x

²

Y y = x

³

y = (x1)

³

X

1 1

4

Gambar 2.2.4

Gambar 2.2.5

Fungsi Pecah

Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak

m m n n

x b x

b b

x a x

a x a

f   





 

...

) ...

(

1 0

1 0

disebut fungsi pecah. Grafik beberapa fungsi pecah sederhana, seperti:

f(x) =

) 1 ( 1 dan

  x x x x f

diperlihatkan dalam gambar berikut.

Fungsi Irasional

Beberapa contoh fungsi irasional beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini.

y = x  1 x

x = 1 y = 1

y = 1/x

Gambar 2.2.6

Fungsi Transenden

Fungsi transenden meliputi: Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi Logaritma.

(a). Fungsi trigonometri

Ditinjau titik sebarang P(x,y) pada bidang koordinat seperti terlihat dalam gambar berikut ini.

x y 

a a

a a a

a x

2

a

y  

x

2

a y   

Gambar 2.2.7 (a)

(b) (c)

Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan  menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X (arah berlawanan dengan jarum jam), maka berturut-turut didefinisikan sebagai berikut:

sin  = y/r cos  = x/r

tan  = y/x cot  = x/y sec  = r/x csc  = r/y

Dari definisi mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut:

tan  =



 





sin cos cos

cos ,

sin 

sec  =

 

 sin

csc 1 cos ,

1 

dan:

sin

²

 + cos

²

 = 1 1 + tan

²

 = sec

²

 1 + cos

²

 = csc

²



Berbeda halnya dengan geometri yang biasanya besar sudut diukur dalam derajat, maka dalam kalkulus besar sudut dinyatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama dengan besar sudut pusat juring lingkaran OPQ yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran (perhatikan Gambar 2.2.9).

P(x,y) r y

x

Q

Gambar 2.2.8

Oleh karena itu,

2  radian = 360

^o

atau 1 radian = 



 







180 derajat.

Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa grafik fungsi trigonometri dapat digambarkan sebagai berikut (lihat Gambar 2.2.10 dan Gambar 2.2.11):

Untuk –   x  2, grafik y = sin x dan y = cos x berpotongan di x = /4 dan x = 5/4.

r r

O P

Q

Gambar 2.2.9 Besar sudut POQ 1 radian

Gambar 2.2.10 (b) Grafik

y  cos x

Gambar 2.2.10 (a) Grafik

y  sin x

(b). Fungsi Siklometri

Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan fungsi. Invers fungsi trigonometri dikenal dengan nama fungsi siklometri. Invers fungsi sinus ditulis dengan sin

^1

atau arcsin dan didefinisikan sebagai berikut:

Gambar 2.2.11 (a) Grafik

y  tan x

Gambar 2.2.11 (b) Grafik

y  cot x

Gambar 2.2.11 (c) Grafik

y  sec x

Gambar 2.2.11 (d) Grafik

y  csc x

y = sin

^1

x = arcsin x  x = sin y y  [/2, /2]

Demikian pula untuk invers fungsi trigonometri yang lain.

y = cos

^1

x = arccos x  x = cos y y  [0, ]

y = tan

^–1

x = arctan x  x = tan y y  (/2, /2) y = cot

^1

x = arccot x  x = cot y y  (0, ) y = sec

^1

x = arcsec x  x = sec y y  (/2, /2) y = csc

^1

x = arccsc x  x = csc y y  (0, )

Selanjutnya, grafik fungsi siklometri dapat dilihat pada Gambar 2.2.12 di bawah ini.

Gambar 2.2.12 (a)

y  arcsin x

Gambar 2.2.12 (b)

y  arccos x

Gambar 2.2.12 (a)

y  arctan x

(c) Fungsi Eksponensial

Untuk a  0 , a  1 , fungsi f dengan rumus:

f(x) = a

^x

disebut fungsi eksponensial. Grafik fungsi eksponensial diperlihatkan pada gambar berikut:

(d). Fungsi Logaritma

Untuk a  0 , a  1 , y  log

^a

x  x  a

^y

. Sebagai contoh:

  1 3 27 karena

3 27 log

8 2 karena

3 8 log

3 3

1

3 2













Selanjutnya, fungsi f dengan rumus:

x x

f (  )

^a

log

disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini D

_f

  x  R : x  0  . Grafik fungsi logaritma diperlihatkan pada gambar dibawah.

1

, 

 a a

y

^x

1 0

,  

 a a

y

^x

1

Gambar 2.2.13

2.2.2 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kutub

Seperti telah diterangkan di muka, dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik dapat diekspresikan dengan tak hingga banyak cara. Oleh karena itu, untuk menggambarkan grafik fungsi dalam sistem koordinat kutub, diperlukan kehati-hatian yang lebih dibanding ketika menggambar dalam sistem koordinat Kartesius.

Contoh 2.2.1 Gambarlah grafik r = 2.

Penyelesaian: Titik-titik ( r ,  ) yang memenuhi persamaan r=2 adalah titik-titik yang berjarak 2 satuan dari kutub (O). Jadi, kumpulan titik-titik ini akan membentuk lingkaran berjari-jari 2. Dengan cara lain, karena r  x

²

 y

²

 2 maka x

²

 y

²

 4 . Grafik diberikan pada Gambar 2.2.15.

1 ,

log 

 x a

y

^a

1 0

,

log  

 x a

y

^a

1

Gambar 2.2.14

Grafik fungsi yang disajikan dalam sistem koordinat kutub r  f (  ) adalah himpunan semua titik P

sehingga paling sedikit satu representasi titik P, yaitu ( r ,  ) , memenuhi persamaan tersebut.

Contoh 2.2.2 Gambarl grafik r = 2 sin  dan r = 2 + 2 sin  .

Penyelesaian: Tabel di bawah memberikan beberapa titik yang memenuhi kedua persamaan fungsi di atas untuk 0    2 

Tabel 2.2.1

 r = 2 sin  r = 2 + 2 sin 

0 0 2

 6 ^{1 3}

 4 _{2 2 + 2}

 3 _{3 2 + 3}

 2 ^{2 4}

3

2  _{3 2 + 3}

4

3  _{2 2 + 2}

6

5  ^{1 3}

 0 2

6

7  1 1

4

5  _{ 2 2  2}

3

4  _{ 3 2  3}

2

3  2 0

3

5  _{ 3 2  3}

4

7  _{ 2 2  2}

(2, /2)

(2, /4)

(2, 0) (2, ) (2, 2)

Gambar 2.2.15

Berdasarkan hasil pada Tabel 2.2.1, grafik dapat dilihat pada Gambar 2.2.16.

Contoh 2.2.3 Gambarlkan daerah yang berada di dalam kurva r = 2  2 cos  tetapi di luar lingkaran r = 2 sin  .

Penyelesaian: Untuk beberapa nilai  , maka titik-titik yang dilalui oleh kurva di atas dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 2.2.2

 r = 2  2 cos  r = 2 sin 

0 4 0

 6 _{2+2 3} ¹

 4 _{2+ 2 2}

 3 ³ ₃

 2 ^{2 2}

 ^{0 0}

2

3  ² 2

2  ^{4 0}

Selanjutnya, gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut:

Gambar 2.2.16 (a)

r  2 sin 

Gambar 2.2.16 (a)

r  2  2 sin 

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, diberikan persamaan dalam x dan y. Tentukan persamaan yang mana y merupakan fungsi x.

1. 2 x  y 3  6 2. xy  1 3. x

²

 y  4

4. x  y

²

 4 5. x

²

 y 4

²

 4 6. 2 x  y  1

7. y

³

 x  0 8.  1

y

x 9. y    x

10. x

²

 xy  1  0 11. y ( x  1 )  x  1 12. x

²

 y 9

²

 9

Untuk soal 13 – 21, tentukan domain dan range fungsi f.

13. f ( x )  x 2  5 14.

2 ) 1

(  

x x

f 15.

3 ) 1

( 

 

 x

x x x f

Gambar 2.2.17

16. f ( t )  t

²

 1 17.

1 )

( 

3

 x x x

f 18.

1 ) 1

( 

  u u u f

19. f ( x )  1 ln   x  20.

2 1 )

(   

s s s s

f 21. 



 



 



  2

1 2 ln 2 )

( x

x x f

22. Tentukan f ( 0 ), f (  2 ), dan f ( x  h ) jika

1 ) 5

( 

  x x x

f .

23. Tentukan f ( 1 ), f ( 16 ), dan f ( x  jika h ) f ( x )  x  x 24. Diberikan f ( x )  x . Jika h  0 , tunjukkan:

x h h x

x f h x f



 



 ) ( ) 1

(

25. Untuk sebarang bilangan real h  0 , tentukan

h x f h x

f (  )  ( )

jika f ( x )  sin x .

Untuk soal 26 – 31, diberikan fungsi f dan g. Tentukan f  g , f  g , f . g , dan f g beserta dengan masing-masing domainnya.

26. f ( x )  x  3 , g ( x )   x 27. f ( x )  x  1 , g ( x )  2  x 28. f ( x )  x

²

 1 , g ( x )  1 x 29. f ( x )  1  x , g ( x )  1  x

³

30. ,. ( ) 1

2 3 )

(

²

2

 



  g x x

x x x x

f 31.

2 ) 1

( 1 , )

( 

 

 

x x x x g

x x f

Untuk soal 32 – 41, tentukan f  g dan g  f serta masing-masing domainnya.

32. f ( x )  x  3 , g ( x )   x 33. f ( x )  x , g ( x )   x

34. 2

) 1 ( 1 , )

( 

 

 

x x x x g

x x

f 35. f ( x )  1  x , g ( x )  x  1

36. ,. ( ) 1

2 3 )

(

²

2

 



  g x x

x x x x

f 37. f ( x )  x

²

 1 , g ( x )  1 x

38. f ( x )  x  1 , g ( x )  2  x 39. f ( x )  x

²

 1 , g ( x )  1 x

40.  

 









 



 









0 ,

5

0 ,

2 ) ( , 0 ,

3

0 ,

) (

x x

x x x

g x

x x x x

f

41.

 



 







 







0 ,

2

0 1 ,

) ( , 1 )

(

x x

x x x x g x

x f

Untuk 42 – 46, tentukan inversnya beserta domainnya.

42. f ( x )  x 2  3 43.

1 3 ) 2

(  

x x x

f 44.

2 1 1

)

( 

 

 x

x x g

45.

 



 







 



0 ,

2

0 1 ,

) (

x x

x x x x

g 46.

 



 

















0 1 ,

1

0 ,

1 2 ) (

x x x x

x f

2.3 Barisan dan Deret

Perhatikan himpunan tak hingga berikut ini.

 



 

  , ...

81 , 1 27 , 1 9 , 1 3 , 1 1 A Apabila fungsi f didefinisikan sebagai:

 N



_

n

n

f 3

n 1

) 1 (

maka himpunan A dapat pula dinyatakan sebagai:

  N 

 f n n A ( ) :

Dalam hal ini, fungsi f disebut barisan. Secara umum, dapat didefinisikan pengertian barisan sebagai

berikut.

Pada bagian ini akan dibicarakan fungsi dengan domain sistem bilangan asli. yang

Jadi, barisan bilangan real adalah fungsi f : N  R . Untuk seterusnya, barisan bilangan real cukup disebut sebagai barisan. Suku ke-n suatu barisan, yaitu f (n ) , biasa dinyatakan dengan a

n

, n  N.

Selanjutnya, barisan dengan suku-suku a

n

, n  N, ditulis dengan notasi   a

_n

.

Contoh 2.3.2 Berikut adalah contoh-contoh barisan:

a.     a

_n

 1 n b.   ^a

n

   ⁿ c.  

 



 

 

! 1 a

_n

n d.    a

_n

 sin n   e.  

 



 



  1 n

a

_n

n f.   a

n

   ( 1 )

ⁿ

Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan:

S

1

= a

1

S

2

= a

1

+ a

2

… S

n

= a

1

+ a

2

+ … + a

n

S

n

, nN, disebut jumlahan parsial.

Contoh 2.3.4 Bilangan 1 dapat ditulis sebagai: 3

...

10 ... 3 1000

3 100

3 10 ... 3 003 , 0 03 , 0 3 , 0 333333 ,

0 3

1           

n

Ruas terakhir pada persamaan di atas adalah suatu deret.

Definisi 2.3.1 Barisan bilangan real adalah fungsi bernilai real dengan domain sistem bilangan asli. Nilai fungsi di n disebut suku ke-n.

Definisi 2.3.3 Diberikan barisan   a

_n

. Jumlahan tak hingga:



^













1

2

1

... ...

k

n

k

a a a

a

disebut deret tak hingga atau deret untuk singkatnya.

2.4 Irisan Kerucut

Diketahui luasan berbentuk kerucut tegak dengan setengah sudut puncak  dan titik puncak P.

Apabila kerucut tersebut diiris dengan bidang W tidak melalui P dan membentuk sudut  terhadap sumbu kerucut maka irisannya akan berbentuk suatu kurva, yang selanjutnya disebut irisan kerucut. Bentuk irisan kerucut ini tergantung pada besar sudut  . Apabila:

(a).   maka irisan kerucut berupa eilips. Perhatikan gambar di bawah. 

(b.).   maka irisan kerucut yang terjadi berbentuk parabola (lihat Gambar 2.4.2).  P W

P W

Gambar 2.4.1

(c.). 0     maka terjadi kelas hiperbola

Irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbandingan jaraknya ke suatu titik tertentu dan kesuatu garis tertentu tetap. Selanjutnya, titik tertentu tersebut dinamakan titik fokus yang dinyatakan dengan F, garis tertentu tersebut dinamakan garis arah yang dinyatakan dengan d, dan perbandingan yang tetap tersebut dinamakan eksentrisitas yang ditulis  . Berdasarkan eksentrisitasnya irisan kerucut dapat dibedakan menjadi:

a. Kelas ellips jika 0    1 b. Kelas parabola jika   1 c. Kelas hiperbola jika   1

Diambil fokus F berimpit dengan titik asal O dan garis arah d mempunyai persamaan x + p = 0 dengan p > 0.

P W

Gambar 2.4.3

Jika P(x,y) sebarang titik pada irisan kerucut maka perbandingan jarak P ke F dan P ke d sama dengan  , yaitu:

 PD  PF

atau



 

 p x

y x

^{2 2}

x

²

 y

²

 

²

 x  p 

²

  ^{1  }

²

^x

²

^{ y}

²

^{ 2 }

²

^{px  }

²

^p

²

(i). Untuk   1 diperoleh parabola dengan persamaan:

y

²

= 2px + p

²

= 2p (x + ) 2 p

Jika diambil substitusi

2

*

p

x

x   maka persamaan parabola menjadi y

²

= 2px

^*

. Selanjutnya, y

²

= 2px

merupakan persamaan parabola dengan fokus F( , 0 ) 2

p , garis arah d: x + 0 2 p 

, titik puncak O (0,0), dan sumbu simetris garis y = 0 atau sumbu X.

O F x+ p=0

Gambar 2.4.4

(ii).Untuk   1 diperoleh elips atau hiperbola dengan persamaan:

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1

1 2











 

 

  y p

p x x

 

^{2 2}

2 4 2

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1

1 















 

 

 







 





  p y p p

x

 



²



²

2 4 2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1

1 

















 

 

 

 





  p y p p

x

= 

²



²

2 2

1 



 p

Selanjutnya, dengan menggambil x

^**

= x 

₂

2 2

1 





p diperoleh:

(x

^**

)

²

+



²



²

2 2 2 2

1 1 



 ^ _



p y

 

   

 

1 1

1 1

*

*

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2





 

 







 p

y p

x

O F x+ p=0

Gambar 2.4.5

P(x,y)

●

 

 

1 1 1

*

*

2 2 2

2

2 2 2 2

2







 





 p

y p

x

(a). Untuk 0    1 diambil:

2 2 2 2

1 



  p

c dan



²



²

2 2 2

1 



  p

a , maka diperoleh:

 

* 1

*

2 2 2

2

 

b y a

x

Karena

^{2 2}₂

 ¹

²



^{2 2}

1 p   a  b

 



 , dan

a

 c

 , maka: b

²

+ c

²

= a

²

. Secara umum, persamaan ellips dengan pusat O(0,0), sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, fokus F(  c , 0 ) , dan garis arah d dengan persamaan x =

c a

²

 diberikan oleh:

2

1

2 2

2

 

b y a x

Jika a = b maka ellips mempunyai persamaan:

x

²

+ y

²

= a

²

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari a. Jadi, lingkaran adalah ellips dengan titik fokus dan titik pusat O.

a a

b

b

● ●

●

P(x,y)

Gambar 2.4.6

(b). Untuk   1 , diambil



²



²

2 2 2

1 



  p

a dan

^{2 2}₂ ²

 ¹

²



1 



 _{ }

 p a

= b

²

maka diperoleh c

²

= a

²

+ b

²

dan a

 c

 dan:

 

* 1

*

2 2 2

2

 

b y a

x

Jadi, persamaan hyperbola dengan pusat O(0,0) , sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, titik fokus F(  c , 0 ) , dan garis arah d : x =

c a

²

 diberikan oleh:

2

1

2 2

2

 

b y a x

●

(0,b)

●

(0,b)

●

(a,0)

●

(c,0)

●

(a,0)

●

(c,0)

a x y  b a x

y   b

Gambar 2.4.7