KALKULUS 1
Oleh :
SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI
08125218506 / 082334051234
E-mail : sriestits2@gmail.com
Bahan Bacaan / Refferensi :
1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
2. Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. Dan Agus S, Matematika untuk Perguruan Tinggi, Gahlia Indonesia.
1
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x
dalam satu himpunanan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik
f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian
disebut daerah hasil fungsi tersebut.
Pandang himpunan A dan B. R adalah suatu cara yang menghubungkan
elemen A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan
B. Misalkan f suatu relasi antara A dan B dengan sifat f menghubungkan
setiap elemen A, dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari
A ke B, ditulis f : A → B
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota
himpunan B
1 atau a merupakan prapeta dari 1.
b) Yang berikut ini bukan fungsi (merupakan relasi biasa)
A B A B
Tidak semua elemen dari A Ada elemen A yang
dihubungkan dengan elemen B dihubungkan dengan lebih
dari satu elemen B
c) Misalkan f menghubungkan setiap bilangan riil dengan kuadratnya.
Jelaskan f : R → R suatu fungsi himpunan bilangan riil R ke himpunan
1. Dari relasi berikut, manakah yang merupakan fungsi :
a) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
dengan rumus berikut. Tuliskan fungsi tersebut dalam bentuk himpunan
b) g(x) = 2x
c) h(x) = 2x
d) j(x) = 1
3. Dari relasi dibawah ini mana yang merupakan fungsi :
a) {(1, 1)}
b) {(1, 1), (1, 2)
c) {(-2, 2), (2, 2), (3, -2), (-2, 3)}
d) {(a, b), (1, b), (2, 2), (b, 1)}
2. Daerah Definisi dan Daerah Nilai
Pandang suatu fungsi f : A → B. Himpunan A disebut daerah definisi
(domain) dari f, ditulis A = Df. Himpunan B disebut codomain dari f.
Rf ={ y│y = f(x), x ϵ A}. Suatu himpunan bagian dari B merupakan himpunan semua peta dari f. Himpunan Rf disebut daerah nilai (range) dari fungsi t.
Pada diagram panah berikut :
Himpunan A = {1 , 2 , 3 } dinamakan Domain / daerah asal
Himpunan B = { a , b , c } dinamakan Kodomain / daerah kawan
Himpunan { a , b } dinamakan Range / daerah hasil
Pemasangan yang terjadi oleh fungsi f adalah :
Fungsi f memetakan semua anggota himpunan A dengan tepat satu anggota
himpunan B,yaitu :
Notasi dan Rumus Fungsi
Jika suatu fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota
himpunan B, maka dapat ditulis dengan notasi fungsi yaitu: f : x → y
Fungsi f seperti dalam notasi tersebut di atas dapat juga dituliskan rumus
fungsinya, yaitu: f(x) = y
Contoh :
Diketahui himpunan A = { 1, 2, 3 } dan B = { 4, 5, 6,7,8 }.
Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.
a. Nyatakan fungsi tersebut dengan diagram panah
b. Nyatakan notasi fungsi tersebut
c. Nyatakan rumus fungsi tersebut
d. Nyatakan daerah asal
e. Nyatakan daerah kawan
f. Nyatakan daerah hasil
Jawaban :
Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.
a. diagram panah
A B
b. notasi fungsi adalah f : x → x + 4
c. rumus fungsi adalah f (x) = x + 4
d. daerah asal adalah { 1, 2, 3 }
e. daerah kawan adalah { 4, 5, 6, 7, 8 }
f. daerah hasil adalah { 5, 6, 7 }
1
2
3
4
5
6
7
P = Himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …} N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, …}
Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Q = Himpunan bilangan rasioanal (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan
b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0)
R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari
bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional
adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,
atau bilangan yang bukan bilangan rasional.
Contohnya : √2, √3, √5
C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)
Contoh :
a) f : R →R dimana x → x2. Maka Df = R, sedangkan Rf = {y│y ≥ 0} =
himpunan bilangan nonnegatif.
b) Diketahui suatu fungsi riil dengan rumus f(x) = y = √1-x2
Maka Df = { x│1-x2≥ 0} atau interval -1 ≤ x ≤ 1
Rf = { y│0 ≤ y ≤ 1}, karena harga dibawah tanda akar harus ≥ 0.
Grafik f merupakan setengah lingkaran diatas sumbu x, pusat (0, 0),
jari-jari 1
Latihan Soal :
1. Carilah Df dan Rf dari fungsi berikut :
a) {(1, 1)}
b) {(a, b), (1, b), (2, 2), (b, 1)}
c) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
d) {(1, 2),(2, 4), (3, 3), (4, 4)}
2. Carilah Df dari
a) f(x) = √ √
b) f(x) = √| |
3. Jika diketahui
5. Tentukan domain dari fungsi-fungsi:
a. √
Suatu fungsi dapat digambar grafiknya dengan cara menggambar
Grafik hanya pada interval tertentu Contoh :
a) Grafik y = x2 pada -1 ≤ x ≤ 2
y
4
x
b) Grafik y ={
y
0 2 x
Grafik yang mengandung harga mutlak
Untuk menggambarnya kita ingat definisi harga mutlak sebagai berikut:
| | {
Contoh :
a) Grafik y = | |
{
y
0 x
b) Grafik | |
{
4
Untuk x ˂ o grafik berbentuk
garis lurus sedangkan untuk x
y
4
o 2 4 x
c) | | | |
Misalkan y = y1 + y2 di mana | |, | |
{
{ –
Daerah terdefinisi terbagi 3 interval yaitu :
x < -1, -1 ≤ x < 1, x ≥ 1
Untuk x < -1 : y = (-x – 1) + (-x + 1) = -2x
-1 ≤ x < 1 : y = (x + 1) + (-x + 1) = 2
x ≥ 1 : y = (x + 1) + (x - 1) = 2x
y
2
-1 0 1 x
Latihan Soal :
a. Gambarlah grafiknya :
1) y = {
3) {
4) {
5) { 6) | |
7) | | | |
8) | |
9) | |
10) | | | |
b. Gambarlah grafik-grafik dari fungsi-fungsi berikut, dan tentukan domain
dan rangenya:
1) f(x) = -x2 + 1
2) {
3) 4)
5) √
4. Bentuk Fungsi
a) Fungsi Eksplisit
Kalau rumus suatu fungsi ditulis dengan y dinyatakan secara langsung
oleh x : y = f(x), dimana variabel y dan x terpisah pada ruas kiri dan
kanan, maka fungsi disebut berbentuk eksplisit.
Contoh :
y = x2 + 3x -2
y = -3x3 + cos x
y = x ex, dll.
b) Fungsi Implisit
Contoh :
yx2 + 3x = 4
sin (x + y) = e-2x2y + xy, dll.
Suatu fungsi implisit kadang-kadang sukar (bahkan tidak bisa) diubah
ke bentuk eksplisit. Untuk mempermudah kita sebut saja fungsi
berharga banyak.
Contoh :
3x – 2y2 + 4 = 0
Y2 = 11/2x + 2
Bentuk ini bukan fungsi, hanya relasi biasa, karena misalnya
untuk x = 4 → y = ±√8. Bentuk ini kita sebut fungsi berharga
dua.
Contoh lainnya fungsi berharga dua :
x2 + y2 = 9
y2 - 4x2 =16
y2 = 4
c) Fungsi Parameter
y = f(x) dinyatakan dalam parameter t sebagai :
{
, yang mana pelenyapan t menghasilkan y = f(x)
Contoh :
{
→ x2 + y2 = 9 sin2 t + 9 cos2 t = 9 (sin2 t + cos2 t)
x2 + y2 = 9, pusatnya (0, 0), jari-jarinya 3
{
Dari persamaan pertama t = 1/2x yang disubstitusikan ke persamaan
kedua
y = x2 - 11/2x ; suatu parabola
Fungsi kadang-kadang lebih mudah dinyatakan dalam bentuk
parameter. Beberapa contoh fungsi dalam bentuk parameter :
Sikloida
Kalau suatu lingkaran berjari-jari sama dengan a dijalankan
diatas sumbu x; suatu titik pada roda akan menjalani lintasan
berupa sikloida.
Persamaannya adalah :
{
y
2a
0 x = πa x = 2πa x
t = π t = 2π
Hiposikloida
Kalau sebuah lingkaran dijalankan pada tepi dalam lingkaran
lain yang lebih besar (jari-jat=ri a), terjadi sutu hiposikloida.
Bila a = 4b, persamaaan berbentuk :
Latihan Soal : 3. Ubah ke bentuk biasa persamaan-persamaan berikut :
a) {
Fungsi linier adalah fungsi berderajat satu
Contoh :
y = 6x + 5
y = 10x
y = 2x – 9
b) Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi berderajat dua
Contoh :
y = 3x2 + 2x + 1
y = x2 - 7x - 8
y = 2x2 + x – 5
c) Fungsi Polinom
Fungsi polinom adalah fungsi berderajat n
Dimana : a1 = bilangan riil merupakan fungsi polinom. Fungsi rasional f(x) tidak terdefinisi pada
nilai x yang menyebabkan penyebut sama dengan nol atau q(x) = 0.
Sedangkan pembuat nol dari pembilang atau p(x) tetapi bukan
pembuat nol penyebut merupakan pembuat nol dari fungsi rasional
f(x).
e) Fungsi Aljabar
Fungsi aljabar adalah fungsi f(x) yang memenuhi persamaan
Contoh :
Merupakan fungsi yang bukan fungsi alajbar :
1. Fungsi Eksponensial
Variabel x biasanya dinyatakan dalam radian (π radian = 180o)
Beberapa sifat dari fungsi trigonometri :
cos (-x) = - cos x
tg (- x) = - tg x
sin ( -x) = cos x
cos ( -x) = sin x
tg ( -x) = ctg x
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2x –sin2x = 2 cos2x - 1 = 1- 2 sin2 x
Sin x + sin y =
cos x + cos y =
sin x sin y = -½ [cos (x + y) – cos (x – y)]
cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos (x – y)
sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin (x – y)]
Fungsi siklometri (fungsi invers trigonometri) :
y = arc sin x artinya x = sin y
sehingga bila x = 1/2→ y = arc sin 1/2= π/6
(harga utama –π/2 ≤ y ≤ π/2)
y = arc cos x (harga utama 0 ≤ y ≤ π)
y = arc tg x (harga utama –π/2 < y < π/2)
y = arc ctg x = π/2 – arc tg x (harga utama 0 < y < π)
y = arc sec x = arc cos 1/x (harga utama 0 ≤ y ≤ π)
y = arc cosec x = arc sin 1/x (harga utama –π/2 ≤ y ≤ π/2) Beberapa sifat :
arc sin x + arc cos x =π/2 arc tg x + arc ctg x = π/2 arc sin x = arc cos √
KETERANGAN : td artinya tidak terdefinisi atau tidak memiliki nilai
Contoh :
1. cos (arc sin √3/2) = cos 60 = ½
2. sin (arc tg -√3) = sin (120) = sin 120 = 1/2 √3
3. ctg (arc tg √3) = ctg 60 =
√ √
Latihan soal :
1. tg ( ) 7. Tg ( )
2. sec π 8. Ctg ( )
3. sec 9. Tg ( -
4. cosec ( ) 10. Sec
5. ctg( ) 11. Cosec (
6. tg (-
Buktikan !
1.
2.
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9.
10.
11. (1 – cos2 x) (1 + ctg2 x) = 1
12. Sin t (cosec t– sin t) = cos2 t
13.
14.
15.
= sec 2t
16.
