Ppt Relasi Dan Fungsi

(1)

HOME

Relasi dan

Fungsi

Pendahulu

an

isi

penutup

hiburan

Hom

e

Bac

k

Nex

_t

about

(2)

Pendahuluan

T

Tujuan ujuan PembelajaranPembelajaran

K

Kompetensi peserta didik yanompetensi peserta didik yang diharapkan setelah g diharapkan setelah mempelajarimempelajari

modul ini adalah peserta didik dapat :

•

• membedakan relasi dan ungsi! memberi contoh masing"membedakan relasi dan ungsi! memberi contoh masing" masing! dan menggunakannya dalam

masing! dan menggunakannya dalam kehidupkehidupan sehari"hari#an sehari"hari#

•

• menentukan siat"siat ungsi! injekti! menentukan siat"siat ungsi! injekti! surjekti! dan bijekti#surjekti! dan bijekti#

•

• memberi contoh ungsi! injekti! surjekti! dan bijekti! sertamemberi contoh ungsi! injekti! surjekti! dan bijekti! serta penggunaannya dalam kehidupan sehari"hari#

penggunaannya dalam kehidupan sehari"hari#

Bac

k

Nex

”Banyak kegagalan dalam hidup ini dikarenakan

orang-orang tidak menyadari betapa dekatnya

mereka dengan keberhasilan saat mereka

menyerah.”

Thomas Alva Edison

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

Hom

e

(3)

Pendahuluan

T

Tujuan ujuan PembelajaranPembelajaran

K

Kompetensi peserta didik yanompetensi peserta didik yang diharapkan setelah g diharapkan setelah mempelajarimempelajari

modul ini adalah peserta didik dapat :

•

• membedakan relasi dan ungsi! memberi contoh masing"membedakan relasi dan ungsi! memberi contoh masing" masing! dan menggunakannya dalam

masing! dan menggunakannya dalam kehidupkehidupan sehari"hari#an sehari"hari#

•

• menentukan siat"siat ungsi! injekti! menentukan siat"siat ungsi! injekti! surjekti! dan bijekti#surjekti! dan bijekti#

•

• memberi contoh ungsi! injekti! surjekti! dan bijekti! sertamemberi contoh ungsi! injekti! surjekti! dan bijekti! serta penggunaannya dalam kehidupan sehari"hari#

penggunaannya dalam kehidupan sehari"hari#

”Banyak kegagalan dalam hidup ini dikarenakan

orang-orang tidak menyadari betapa dekatnya

mereka dengan keberhasilan saat mereka

menyerah.”

Thomas Alva Edison

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(4)

!od

e

"tandar

!ompetensi

#asar

$udul %odul

$

M

Me

em

me

ec

ca

ah

hk

ka

an

n

masalah berkaitan

dengan konsep

relasidanungsi

%#$#

Mendeskripsikan

&elasidan 'ungsi

%#(#

%#(# Mengeta

Mengetahui

hui

macam"macam

ungsi

%#)#

Membedakan

&elasi dan

&elasi dan '

'ungsi

ungsi

&elasidan'un

gsi

Bac

k

Nex

P

e

n

d

a

h

u

l

u

a

n

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

Hom

e

(5)

P

e

n

d

a

h

u

l

u

a

n

peta

Konsep

&

&elasi

elasi dan 'ungsi

dan 'ungsi

&

e

l

a

s

i

'

u

n

g

s

i

&otasi dan &ilai &otasi dan &ilai

Fungsi Fungsi %enentukan %enentukan Banyaknya Banyaknya Pemetaan atau Pemetaan atau Fungsi Fungsi 'ra(k Fungsi 'ra(k Fungsi Aplikasi #alam Aplikasi #alam !ehidupan !ehidupan "ehari- hari "ehari- hari !orespondensi !orespondensi "atu-"atu "atu-"atu

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(6)

Bac

k

Nex

P e

n d

a h

u l u

a n

*ujuan

Pembelajaran

Kompetensi peserta didik yang diharapkan setelah

mempelajari modul ini adalah peserta didik dapat :

+dapatmenjelaskandengan kata"kata dan menyatakan

masalah sehari"hari yang berkaitan dengan relasi dan

ungsi,

+dapat menyatakan suatu ungsi dengan notasi,

+dapat menghitung nilai ungsi,

+dapat menentukan bentuk ungsi jika nilai dan data ungsi

diketahui,

+dapat menggambar gra-kungsi pada koordinat .artesius#

Pendahulu

an

isi

penutup

hiburan

about

Hom

e

(7)

)si *%ateri+

Relasi dan Fungsi

$# &elasi

&elasi dari himpunan / ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota / dengan anggota B#

misalkan ada dua kelompok! yaitu kelompok nama orang dan nama pekerjaan! lalu kedua kelompok tersebut kita hubungkan dengan nama hubungan 0bekerja sebagai1!

Kelompok nama orang Kelompok pekerjaan / 2uni Nanda 3ta Helen

B

4uru 5okter Pera6at Pedaga ng

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(8)

3 7 3

•

Berdasar gambar di atas! dapat menyatakan hubungan

berikut ini :

•

2uni bekerja sebagai dokter dan pedagang

•

Nanda bekerja sebagai pera6at

•

3ta bekerja sebagai guru

•

Helen bekerja sebagai pedagang

&elasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan

himpunan lainnya dapat disajikan dalam beberapa cara!

yaitu diagram panah! diagram kartesius! dan himpunan

pasangan berurutan#

Bac

k

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

Home

(9)

i s i

•

%a,am-ma,am ,ara menyatakan himpunan 

a. #iagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan

Q dengan relasi menyukai”. /al tersebut ditunjukkan dengan arah panah. 0leh karena itu1 diagramnya disebut diagram panah. b. #iagram !artesius

#iagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu 2 dan sumbu 3. Pada diagram kartesius1 anggota himpunan P

terletak pada sumbu mendatar *sumbu- X +1 sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak *sumbu-Y +. Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik sepertiterlihat pada gambar.

,. /impunan Pasangan Berurutan

"elain menggunakan diagram panah dan kartesius1 sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan

berurutan. Adapun ,ara penulisannya adalah anggota himpunan P

ditulis pertama1 sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(10)

i s i

Berdasarkan soal di atas! maka diperoleh himpunan

pasangan berurutan sebagai berikut :

89&ani! basket! 9&ani! bulu tangkis! 95ian! basket! 95ian!

atletik! 93snie! senam! 95ila! basket! 95ila! tenis meja;

Bac

k

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

Home

(11)

i s i

4ontoh 

Himpunan P < 8(! )! %! =; dan Q < 8$!(!)!%!=!>; dan 0aktor dari1 adalah relasi yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q# Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk:

a# 5iagram panah! b# 5iagram kartesius!

c# Himpunan pasangan berurutan#

Penyelesaian:

a# 5iagram Panah b# 5iagram Kartesius

c# Himpunan pasangan berurutan

89(! (! 9(! %! 9(! =! 9(! >! 9)! )! 9)! =! 9%! %! 9%! >! 9=! =;

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(12)

i s i

5atihan soal

$# ?ika himpunan A < 8@! $=! (A! )=! %@; dan himpunan B < 8)! %! A! = !; tentukan:

a# &elasi dari himpunan A ke himpunan B

b# Nyatakan relasi tersebut dalam diagram panah! diagram kartesius! dan himpunan pasangan berurutanC

(# 5iketahui himpunan R < 8?akarta! 7ingapura! Manila! Kuala Dumpur! Bandar 7eri Bega6an; dan himpunan S < 8Malaysia! 7ingapura! Brunei 5arussalam! 'ilipina! 3ndonesia;# *entukan: a# &elasi dari himpunan R ke himpunan S

)# Himpunan P < 8=! $! $%! ((! (=; dan Q < 8! $$! $)! )! A;! tentukan:

a# &elasi yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q

Home

Bac

k

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(13)

i s i

/asil !ali !artesius

5alam suatu relasi tentu saja terdapat dua buah himpunan yang dihubungkan dengan relasi tertentu dan dapat disajikan dalam bentuk himpunan berurutan# Misalkan

himpunan A< 8a, b, c, d; dan himpunan B < 8$! (;# Himpunan pasangan berurutan dari himpunan Adan B yang mungkin adalah: 89a! $! 9a! (! 9b! $! 9b! (! 9c! $! 9c! (! 9d! $! 9d! (; Himpunan pasangan berurutan seperti itu merupakan hasil kali kartesius dari himpunan Adan himpunan B# Hasil kali ini biasanya dilambangkan dengan A FB# 7ecara matematis! hasil kali kartesius antara himpunan Adan himpunan B dapat ditulis dengan notasi berikut ini!

?ika diketahui banyak anggota himpunan Aadalah n9 A < rdan banyak anggota

himpunan Badalah n9B <s! dapatkah kamu menentukan banyaknya anggota AFBG /gar kamu mengetahui bagaimana menentukan banyaknya anggota h asil kali kartesius dari dua buah himpunan! perhatikan contoh dan kegiatan berikut#

4ontoh

?ikaP < 8(! )! A; dan Q< 8o, t, i, x ; tentukan:

a. P × Q b. n(P × Q)

Penyelesaian

a. P × Q 6 7*81 o+1 *81 t +1 *81 i +1 *81 x +1 *91 o+1 *91 t +1 *91 i +1 *91 x +1 *:1 o+1 *:1 t +1 *:1 i +1 *:1 x +;

b. n(P × Q) 6 n(P) < n(Q) 6 9 < = 6 >8

P 6 7>1 91 ?; @ Q 6 7a, b, c, d ;@ R 6 7 p, e, l, i, t, a; @ S 6 7i, l, m, u; @ T 6 7o, k ;

A < B 6 7*a1 b+  a  A1 b 

B;

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(14)

i s i

Datihan soal

P

6 7>1 91 ?; @

Q

6 7

a, b, c, d

;@

R

6 7

p, e, l, i, t,

a

; @

S

6 7

i, l, m, u

; @

T

6 7

o, k

;

$# *entukanlah:

a#

P × T

a#

P × R

b#

n(P × T)

b#

n(P × R)

(# *entukanlah:

a#

P × Q

a#

Q × R

b#

n(P × Q)

b#

n(Q × R)

)# *entukanlah:

a#

P × S

a#

S × T

b#

n(P × S)

b#

n(S × T)

Bac

k

Home

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(15)

i s i

Fungsi *Pemetaan+

'ungsi atau pemetaan dari himpunan / ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota / dengan tepat satu anggota B# *epat satunya artinya tidak boleh dari 9tidak boleh membentuk cabang dan tidak boleh kurang dari satu#

Himpunan / disebut daerah asal 9domain#

Himpunan B disebut daerah ka6an 9kodomain#

Himpunan dari anggota"anggota himpunan B yang mempunyai pasangan di / disebut daerah hasil 9range#

3DI7*&/73 'IN473

5itulis f : / J B! dibaca f adalah ungsi dari / ke B# / disebut domain! B disebut kodomain# Elemen a  / disebut argumen dan f 9a  B disebut bayangan9image dari a#

Himpunan & :< 8 y  B : y < 9x untuk suatu x  / ; disebut daerah jelajah

9range ungsi f dalam B# Bila 7 L / maka himpunan

97 :< 8 9s : s  7 ; disebut bayangan 9image himp 7 oleh ungsi #

/

f

B

Pendahulu

an

isi

penutup

hiburan

about

(16)

i s i

"istem !oordinat 4artesian C

'ra(k Fungsi

7etiap ungsi riil bentuknya dapat digambarkan dalam sistem koordinat .artesian# y K6adran 33 9"! K6adran 3 9! x K6adran 333 9"!" K6adran 3 9!"

Bac

k

Home

Nex

Pendahulu

an

isi

penutup

hiburan

about

(17)

i s i

#aerah #e(nisi *#omain+ C #aerah &ilai

*Range+

Misalungsi  : /  B! himpunan / disebutdaerahde-nisi 9domain dari  ditulis

/< ! sedangkanhimpunan B disebut .odomain dari #

&< 8y  y<9x! x∈/; adalahsuatuhimpunanbagiandari B 9 & ⊂B

dandisebutdaerahnilai 9range dari# .ontoh 9x < y < , 5 : 8x $"atau "$ ; , & < 8 y   ; •

Pendahulu

an

isi

penutup

hiburan

about

(18)

Macam"Macam 'ungsi

>. Fungsi "atu-"atu *)njektiD+

'ungsi  dikatakan satu"satu atau injekti bila hanya bila 9x < 9y J x < y Q! atau x < y J9x < 9yQ#

Bila kita dapat menunjukkan bah6a kuantor berikut benar: Rx Ry 9x < 9y  x<yQatauRx Ry x < y J 9x < 9yQ ! maka ungsi  disimpulkan satu"satu#

Namun! bila ada x dany dengan x < y tetapi 9x < 9y maka  tidak satu"satu#

Bac

k

Nex

i s i

Home

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(19)

i s i

.ON*OH:

$# 5iberikan ungsi  dari 8a! b! c! d; ke 8$! (! )! %! A; dengan 9a<%! 9b<A! 9c<$ dan 9d < ) merupakan ungsi injekti G

PEN2EDE7/3/N: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada / maka ungsi ini injekti#

(# /pakah ungsi : &  & dengan 9x < x( satu"satu G

PEN2EDE7/3/N: /mbil x < $ dan y < "$! diperoleh 9x < 9y < $# ?adi ada x! y dengan x S y tetapi 9x < 9y# 5isimpulkan ungsi ini tidak satu"satu#

)# /pakah ungsi dari & ke & ini g9x < xA injektiG

PEN2EDE7/3/N: ambil sebarang x! y dengan x S y ! diperoleh x  A S y  A  g9xS gy# ?adi tidak injekti#

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(20)

i s i

8. Fungsi !epada *"urjektiD+

'ungsi  : / J B dikatakan kepada atau surjekti jika setiap y

 B terdapat x / sehingga y < 9x! yaitu semua anggota B

habis terpasang dengan anggota /# ?adi bila kita dapat

membuktikan kebenaran kuantor berikut:

maka  surjekti# Namun! bila ada y B sehingga setiap x/!

9xS y! maka  tidak surjekti#

Bac

k

Nex

Ry B Tx / sehingga y

< 9x

Home

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(21)

i s i

.ON*OH:

$# /pakah ungsi 9x < x(_{dari & ke & surjekti G}

PEN2EDE7/3/N: /mbil y < "$ suatu bilangan real# Maka untuk setiap bilangan real x! berlaku x(_{< 9xS y# ?adi!  tidak surjekti#}

(# /pakah ungsi linier h9x< x") dari & ke & surjektiG

PEN2EDE7/3/N: /mbil seb bil real y! maka y < x")  x < y) memenuhi h9x < y# ?adi h surjekti#

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(22)

i s i

9. Fungsi BijektiD

'ungsi  : / J B dikatakan bijekti bila ia injekti dan surjekti# Pada ungsi bijekti! setiap anggota B mempuyai tepat satu pra"

bayangan di /#

.ON*OH: /pakah ungsi :8a!b!c!d;



8$!(!)!%; dengan 9a<%!

9b<(! 9c<$ dan 9d<) bijekti#

PEN2EDE7/3/N: karena semua nilainya berbeda mk ungsi ini

satu"satu# Karena semua anggota B habis terpasang maka ia

surjekti# ?adi ungsi ini bijekti#

Bac

k

Nex

Home

Pendahulu

an

isi

penutup

hiburan

about

(23)

i s i

%#

)nvers Fungsi

Misalkan  : / J B ungsi bijekti# 3nUers ungsi  adalah

ungsi yang menga6ankan setiap elemen pada B dengan

tepat satu elemen pada /# 3nUers ungsi  dinyatakan

dengan 

"$

_dimana



"$

_{: B J /# 5KD!}

'ungsi yang mempunyai inUers disebut inUertibel#

y < 9x V x < 

"$

_9y

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(24)

i s i

.ON*OH:

$# Misalkan  ungsi dari 8a! b! c; ke 8$! (! ); dengan aturan

9a<(! 9b<) dan 9c<$# /pakah  inUertibel# ?ika ya!

tentukan inUersnya#

PEN2EDE7/3/N: ungsi  bijeksi sehingga ia inUertible dengan



"$

9$<c! 

"$

9)<b dan 

"$

9(<a#

(# Misalkan  ungsi dari W ke W dengan 9x < x

(

# /pakah 

inUertibel#

PEN2EDE7/3/N: Karena ungsi tidak injekti maupun bijekti

maka ia tidak inUertibel# ?adi inUresnya tidak ada#

Bac

k

Home

Nex

Pendahulu

an

isi

penutup

hiburan

about

(25)

i s i

A#

!omposisi Fungsi

Misalkan g: /  B dan : B  c# Komposisi ungsi  dan g! dinotasikan  X g adalah ungsi  X g: /  . dengan 9 X g9x:< 9g9x#

Bila : /  B dan g: 5  E maka ungsi komposisi  X g terde-nisi hanya bila 9/ . 5#

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(26)

i s i

#e(nisi Fungsi se,ara matematis.

Misal / dan B masing"masing adalah himpunan# & adalah suatu menghubungkan antara elemen di / dengan elemen di B! maka dikatakan terdapat suatu relasi & antara / dan B#

7elanjutnya! jika  adalah suatu relasi antara / dan B dengan siat bah6a  mengkaitkan setiap elemen di / dengan satu dan hanya satu elemen di B! maka  disebut ungsi dari / ke B! dan ditulis  : /  B

Bac

k

Home

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(27)

i s i

.ontoh ( : &elasi tetapi bukan ungsi

.ontoh ) : &elasi tetapi bukan ungsi

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(28)

i s i

Aplikasi #alam !ehidupan "ehari- hari

5alam matematika! relasi berungsi untuk menyatakan suatu hubungan tertentu antara dua himpunan# Misalnya hubungan antara sis6a dengan kegemarannya! hubungan orang tua dengan penghasilannya! hubungan anak dengan mainan kesukaannya! dan sebagainya# 7eperti :

Pada suatu hari di kelas 333"/ 7MP 0/sih Bangsa1! /am! 3lham! *risno! Disda! dan 7iti sedang membicarakan mata pelajaran yang mereka sukai di sekolah# Matematika! 3P/! kesenian! olahraga! 3P7! dan PPKn adalah beberapa mata pelajaran yang mereka sukai saat itu# /am mengemari pelajaran 3P/! kesenian dan olahraga# 3lham menggemari pelajaran matematika dan olahraga! *risno menggemari pelajaran mate matika dan 3P/! Disda gemar pelajaran PPKn dan kesenian! sedangkan 7iti gemar pelajaran 3P7 dan olahraga# ?ika kita perhatikan! /am! 3lham! *rino! Disda! dan 7iti merupakan himpunan sis6a 7MP# 7edangkan Matematika! 3P/! kesenian! olahraga! 3P7! dan PPKn merupakan himpunan mata pelajaran# Himpunan sis6a mempunyai hubungan dengan himpunan mata pelajaran melalui 0kegemaran1# 5engan demikian! kata 0gemar1 merupakan relasi yang menghubungkan antara himpunan sis6a kelas 333"/ dengan mata pelajaran di sekolah#

Bac

k

Home

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(29)

i s i

!esimpulan

$# &elasi dari himpunan / ke himpunan B adalah aturan

yang menghubungkan anggota"anggota himpunan /

dengan anggota"anggota himpunan B

(# &elasi antara dua himpunan Y dan 2! dapat dinyatakan

sebagai himpunan pasangan berurutan 9x! y dengan x

anggota himpunan pertama 9Y dan y anggota himpunan

kedua 92#

)# 'ungsi dari himpunan / ke himpunan B adalah relasi

yang menghubungkan setiap anggota himpunan / dengan

tepat satu anggota himpunan B#

%# ?ika  adalah ungsi / ke B! maka / disebut

daera asal (domain )

! B disebut

daera ka!an (kodomain).

Himpunan anggota B yang mempunyai prapeta disebut

daera asil (ran"e).

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(30)

Bac

k

Home

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(31)

Iji Kompetensi

A. Pilihlah satu jaaban yang paling tepat1 a1 b1 ,1 atau d Tuliskan pada lembar jaabanmu

$# Himpunan A < 8$! (! )! %! A; dan B < 8$! %! @! $=! (A;# &elasi yang menghubungkan himpunan B ke A adalah ####

a# kuadrat dari c# aktor dari b# akar dari d# kelipatan dari

(# 7ebuah relasi dari dua himpunan dapat disajikan dengan beberapa cara berikut ini! kecali ####

a# diagram panah c# diagram garis

b# diagram kartesius d# himpunan pasangan terurut )# Perhatikan diagram kartesius di ba6ahC

7is6a yang menyukai olahraga basket dan atletik adalah #### a# &ani c# 3snie b# 5ian d# 5ila

P e

n u

t u p

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(32)

Bac

k

Nex

%# ?ika A < 8 !, , n, k ; dan B < 8$! (; maka himpunan A F B < ####

a# 89 !! $! 9! $! 9n! $! 9k ! $;

b# 89 !! $! 9! $! 9n! $! 9k ! $! 9 !! (! 9! (! 9n! (! 9k ! (;

c# 89 !! (! 9! (! 9n! (! 9k ! (;

d# 89 !! $! 9! $! 9n! $! 9k ! $! 9 !! (! 9! (! 9n! (; A# Banyaknya himpunan P × Q jika

diketahui P < 8$! )! A; dan Q < 8s, e, t, y, a; adalah ####

_{a# =}

_{c# (%}

b# $>

d# $A

P e

n u

t u p

Home

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(33)

P e

n u

t u p

=# Banyaknya himpunan A × B adalah (># ?ika diketahui himpunan

A < 8l, o, ", e; maka banyaknya anggota himpunan B adalah ####

a# ) c# A

b# % d# 

# 5iagram panah berikut yang menyatakan ungsi dari P ke Q

adalah ####

># Himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan pemetaan atau ungsi adalah ####

a# 89b! $! 9b! (! 9b! )! 9b! %; b# 89%! $! 9)! $! 9$! $! 9)! ; c# 89$! %! 9%! $! 9$! A! 9A! $; d# 89$! $! 9(! (! 9)! )! 9%! %;

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(34)

@# Perhatikan diagram panah di sampingC

Kodomain dari pemetaan tersebut adalah #### a# 8/am! *risno! 3lham! Disda! 5e6i;

b# 8=! ! >! @! $; c# 8! >! @! $; d# 8=! ! >! @!;

$# 5iketahui himpunan pasangan berurutan dari suatu pemetaan adalah 89$! (! 9(!A! 9)! %! 9%! =;# &ange dari pemetaan tersebut adalah #### a# 8$! (! )! %; c# 8(! %! A! =;

b# 8$! A! %! =; d# 8)! %! A! =;

$$# 7uatu ungsi f dari himpunan A ke himpunan B dengan aturan Z) x  (!

x  A# ?ika diketahui A < 8(! )! A! ;! maka daerah hasilnya adalah #### a# 8"%! "! "$)! "$@; c# 8"%! "A! "$)! "$@; b# 8"%! "! "$(! "$@; d# 8"%! "! "$)! "$>;

Bac

k

Nex

P e

n u

t u p

Home

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(35)

$(# Misal himpunan A < 8a, b, c, d; dan B < 8$! (! )! %;# Banyaknya korespondensi satu"satu yang mungkin dari himpunan A ke B adalah #### a# = c# (%

b# $( d# )=

$)# ?ika f 9 x  < ( x ( Z ) x  $! nilai dari f 9Z( adalah #### a# ( c# $(

b# = d# $A

$%# ?ika ungsi f 9 x  < ( x ( Z $ maka f 9 x Z $ adalah ##### a# ( x (  $ c# ( x ( Z % x  $

b# ( x (  ) d# ( x (  % x Z $

$A# 5iketahui f 9 x  < a[ x   dan f 9% < Z)# Nilai dari f 9@ adalah #### a# > c# 

b# A d# ">

$=# 5iketahui himpunan pasangan berurutan dari suatu pemetaan adalah 89$! )! 9(!A! 9)! ! 9%! @;# &ange dari pemetaan tersebut adalah #### a# 8$! (! )! %; c# 8)! A! ! @; b# 8$! A! ! @; d# 8$! )! A! ;

P e

n u

t u p

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(36)

$# Misal himpunan A < 8 !, e, l, i, t, a; dan banyak himpunan A × B adalah %># Banyak anggota himpunan B adalah ####

a# > c# = b#  d# A

$># 5ari pernyataan"pernyataan berikut! manakah yang termasuk ke dalam bentuk korespondensi satu"satu#

9i Nama presiden dengan negara yang dipimpinnya 9ii Dagu kebangsaan dengan negaranya

9iii Negara dengan ibukota negaranya a# 9i! 9ii c# 9ii! 9iii

b# 9i! 9iii d# 9i! 9ii! 9iii

$@# 7uatu pemetaan dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan 89! ! 9$!)! 9(! >! 9)! $A;# /turan pemetaan dari himpunan tersebut adalah ####

a# x (  ( c# x (  ( x

b# x ) d# x (  (_x Z (

(# 5iketahui himpunan pasangan berurutan dari suatu pemetaan adalah 89$! ! 9(! A! 9)! $(! 9%! ($;# /turan pemetaan dari himpunan tersebut adalah ####

P e

n u

t u p

Bac

k

Home

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(37)

a# x (  ( c#_x(  (_x

b# x (  ( x " ( d# x (  ( x Z )

B. "elesaikan soal-soal berikut ini

$# 5iketahui himpunan P < 8! $! (! ); dan Q < 8! $! %! >! $>! (;# *entukan:

a# Himpunan pasangan berurutan dari Q ke P yang menyatakan relasi 0pangkat tiga dari1

b# Buat diagram panah untuk relasi tersebutC c# Buat diagram kartesius untuk relasi tersebutC

(# Misal A < 8(! )! A! ; dan B < 8"$! "$$! "! "A! ")! "( ;# ?ika ungsi f dari A

ke B adalah f : x JZ) x  %! x  A! nyatakan ungsi f dalam: a# 5iagram panah

b# 5iagram kartesius

c# Himpunan pasangan terurut

)# *entukanlah himpunan A × B jika diketahui: a# A < 8a, b, c; dan B < 8$! (! )! %; b# A < 8s, e, k, o, l, a, #; dan B < 8m, , s, i, k ; c# A < 8c, i, n, t, a; dan B < 8(! )! A;

P e

n u

t u p

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(38)

%# 7uatu ungsi f dari himpunan P ke himpunan Q dengan aturan ( x Z (!

x  P# ?ika diketahui P < 8(! )! A! ; dan \ < 8$! (! )! ###! $(;# *entukan: a# Himpunan pasangan terurut dalam f

b# 5aerah asal! daerah ka6an! dan daerah hasil dari f

A# 4ambarkan gra-k ungsi f 9 x  < Z $ x  ( ! jika diketahui: a# 5aerah asalnya 8! (! %! >;

b# 5aerah asalnya bilangan real

=# 5iketahui domain suatu ungsi adalah 8! $! (! )! %! A! =! ! >! @! $;# ?ika f 9 x  <  untuk x < ! f 9 x  < x (  $ untuk x ganjil! dan f 9 x  < x ( " $

untuk x genap! tentukan:

a# Himpunan pasangan berurutan b# 5iagram panah

c# 5iagram kartesius

# ?ika himpunan A < 8@! $=! (A! )=! %@; dan himpunan B < 8)! %! A! = ! ;! tentukan:

a# &elasi dari himpunan A ke himpunan B

P e

n u

t u p

Bac

k

Home

Nex

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(39)

># 5iketahui himpunan R < 8?akarta! 7ingapura! Manila! Kuala Dumpur! Bandar 7eri Bega6an; dan himpunan S < 8Malaysia! 7ingapura! Brunei 5arussalam! 'ilipina! 3ndonesia;# *entukan: a# &elasi dari himpunan R ke himpunan S

@# Himpunan P < 8=! $! $%! ((! (=; dan Q < 8! $$! $)! )! A;! tentukan:

a# &elasi yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q

$# &elasi yang dapat dibuat dari himpunan A < 8(!)!A!=;ke B < 8%!$!$(!$A;adalah ####

a# 0setengah dari1 b# 0lebih dari1

c# 0aktor dari1

d# 0dua kali dari1eGeksi

P e

n u

t u p

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(40)

$$# 5iketahui suatu ungsi f dengan rumus f(x) $ x% & 'x, nilainilai ungsi berikut yang benar adalah ####

a# f() $ = b# f(*) < = c# f(%) < "= d#f(%) < "=

$(# 5iketahui P< 8$! (; dan \ < 8a! b! c;! banyaknya pemetaan yang dapat dibuat dari himpunan P ke himpunan \ adalah####

a# A b# = c# > d# @

$)# 5iketahui suatu ungsi g dengan rumus g(x) < ax " A# Nilai ungsi g untuk x $ $ adalah )# Nilai a yang memenuhi adalah ####

a# > b# )

c# Z ) d# Z >

$%# 5iketahui suatu relasi dari himpunan / ke himpunan B yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan 89"(! %! 9"$!")! 9(! =! 9!$! 9>! "A;# a# *ulislah himpunan / dan B#

b# 4ambarlah koordinat .artesius dari relasi tersebut# c# /pakah relasi itu merupakan ungsiG ?elaskanC

$A# 5iketahui / < 8 a! b! c ; B < 8 "$!  ;

a# Buatlah semua pemetaan yang mungkin dari himpunan / ke himpunan B b# *entukan banyaknya pemetaan yang dapat dibuatG

Bac

k

Nex

P e

n u

t u p

Home

isi

penutup

hiburan

about

Pendahulu

an

(41)

$=# 5iketahui suatu ungsi  dengan rumus f 9 x  + ( x + Adengan daerah asal M < 8A! "$! (! =! >;#

a# *entukan nilai ungsi  untuk x < "A! x < > b# *entukan daerah hasil ungsi #