PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF CATERPILLAR TERATUR.

(1)

PE LAB E LAN SU PER S ISI AJ AIB PA D A GRAF C ATE RPILLAR TER ATU R

Oleh:

Simson Hasudungan Panggabean NIM 4111230008

Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

(2)

(3)

iv

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah mencurahkan Kasih

dan berkat-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini

berjudul “Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Caterpillar Teratur”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di

Universitas Negeri Medan.

Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada

berbagai pihak yang telah membantu dan mendukung dalam penyelesaian skripsi

ini, mulai dari pengajuan proposal penelitian sampai kepada penyusunan skripsi

antara lain kepada: Bapak Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas

Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam , Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku

ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris

Jurusan Matematika, Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua

Program Studi Matematika, Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Pembimbing

Skripsi yang telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini

dan Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si sebagai pembimbing akademik yang telah

banyak membantu penulis dalam perkuliahan. Kepada Ibu Dra.Nerli Khairani,

M.Si, Ibu Marlina Setia Sinaga, S.Si, M.Si., ibu Faiz Ahyaningsih, S.Si, M.Si

selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan masukan dan saran dalam

penyusunan skripsi ini. Saya ucapkan terima kasih kepada Kepala UPT

Perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk

melakukan penelitian, serta seluruh staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA

yang telah memberikan bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti

perkuliahan.

Teristimewa dan terkhusus penulis mengucapkan terima kasih dan hormat

kepada Ayahanda terkasih Ir. Saut Maruli Tua Panggabean dan Ibunda tercinta

Nelly Ida Sigalingging S.Pd untuk semua kasih sayang, doa, ajaran, motivasi dan

(4)

Serta adikku Hartini Apriyani Panggabean dan Tri Utami Panggabean yang

memberikan dukungan doa dan motivasi kepada penulis. Kepada sahabat-sahabat

seperjuangan Sri Rejeki Tambunan, Silvia Saragih, Romiana Banjarnahor, Roslin

Pasaribu, dan Rosari Chrisdayanti Hasugian yang memberikan bantuan dan

motivasi, serta selalu membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Kepada

sahabat-sahabat terkasih Valdo Exsaudi Pasaribu, Orlando Nainggolan, Joni

Simanullang, Denny Pradana, Wira Sanjaya, Ferdinand Tampubolon, Hotmian

Andre Simamora, Berkat Injil Sihotang, Melisa Siregar, Fredelina Hutabarat,

Kristiani Aritonang, Lydia Sinaga, Reni Prabunita, Rina Rumahorbo, Oktapina

Gurusinga, Uni Fiana Silalahi, Syarto Mustofa, Syakban Hayrian, Elvira, Dian

Gerhana, Lili Hariningrum, Violetha, Ermita Siadari, Desi Ratna Sari Lubis,

Khoiriah Lubis, Dian Utami, Julianti, Ahmad Rifai, Ahmad Fauzi, Yuri Sagala,

Feryanta Ginting, Kristiani Pasaribu, Nurlaeli, Mahyurani, Nurainun, Libertina

dan teman-teman lainnya yang tidak bosan-bosannya menasehati, membantu dan

mendukung serta memberi motivasi kepada penulis. Terima kasih kepada semua

pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang selama ini memberikan

dukungan, semangat, dan doa serta semua pihak yang turut membantu

penyelesaian skripsi ini.

Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita

semua.Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.

Medan, Agustus 2015 Penulis

(5)

vi

DAFTAR ISI

RIWAYAT HIDUP ii

ABSTRAK iii

KATA PENGANTAR iv

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

DAFTAR TABEL x

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 4

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

BAB II LANDASAN TEORI 5

2.1 Teori Graf 5

2.1.1 Definisi Graf 5

2.1.2 Jenis-Jenis Graf 5

2.2 Terminologi Graf 9

2.2.1 Bertetangga 9

2.2.2 Bersisian 9

2.2.3 Derajat 9

2.2.4 Lintasan 10

2.2.5 Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit) 11

2.2.6 Terhubung 11

2.3 Pohon 12

2.4 Graf Bintang 12

2.5 Graf Caterpillar 13

2.6 Pemetaan 14

2.7 Pelabelan Graf 15

(6)

2.7.2 Pelabelan Super Sisi Ajaib 18

BAB III METODOLOGI PENELITIAN 19

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian 19

3.2 Jenis Penelitian 19

3.3 Prosedur Penelitian 19

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 20

4.1 Graf Caterpillar 20

4.2 Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur �2� 21 4.3 Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur �3� 28

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 37

5.1 Kesimpulan 37

5.2 Saran 38

(7)

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Pola pelabelan pada graf �2� 27

(8)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Contoh graf lengkap 6

Gambar 2.2 graf Bipartit Komplit K3,5 6

Gambar 2.3 (a) graf tak sederhana, (b) graf ganda, dan (c) graf semu 7

Gambar 2.4 Graf berhingga 7

Gambar 2.5 Graf tak berhingga 8

Gambar 2.6 Contoh (a) graf tak berarah dan (b) graf berarah 8

Gambar 2.7 graf dengan simpul yang bertetangga 9

Gambar 2.8 (a) Graf G1 ; (b). Graf G2 ; (c). Graf G3 10

Gambar 2.9 (a) graf terhubung dan (b) graf tak terhubung 11

Gambar 2.10 �1dan �2adalah pohon, sedangkan �3

dan �4 bukan pohon 12

Gambar 2.11 Graf Bintang �8 13

Gambar 2.12 Graf caterpillar 13

Gambar 2.13 Graf Caterpillar teratur C2,3 14

Gambar 2.14 Graf H 17

Gambar 2.1 5 Diagram fungsi dari himpunan titik dan sisi ke himpunan

banyak titik dan sisi. 17

Gambar 2.16 Pelabelan total sisi ajaib pada Graf H 18

Gambar 4.1 Graf �21 21

Gambar 4.2 Graf �21 setelah simpul diberi label 21

Gambar 4.3 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �21 22

(9)

ix

(10)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Teori graf sebagai salah satu cabang matematika sebenarnya sudah ada

sejak lebih dari dua ratus tahun yang silam. Jurnal pertama tentang teori graf

muncul pada tahun 1736 oleh matematikawan terkenal Swiss bernama Euler. Dari

segi matematika, pada awalnya teori graf “kurang” signifikan, karena kebanyakan

dipakai untuk memecahkan teka-teki, namun akhirnya mengalami perkembangan

yang sangat pesat yaitu terjadi pada beberapa puluh tahun terakhir ini (Budayasa,

2002:2).

Graf merupakan salah satu model matematika yang kompleks dan cukup

sulit, akan tetapi bisa juga menjadi solusi yang sangat bagus untuk masalah

tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali persoalan yang

diimplementasikan dengan graf. Teori graf juga ilmu yang sangat unik. Keunikan

teori graf karena kesederhanaan pokok bahasannya karena disajikan dalam simpul

dan busur (Deo,1974).

Sebuah graf � berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak

kosong �(�) dari obyek-obyek yang disebut titik dan himpunan berhingga

(mungkin kosong) �(�) yang elemen-elemennya disebut sisi sedemikian hingga

setiap elemen e dalam �(�) merupakan pasangan tak berurutan dari titik-titik di

�(�).

Ada beberapa macam graf yang telah ditemukan, di antaranya adalah graf

pohon. Graf G adalah pohon jika graf � merupakan graf tak berarah terhubung

yang tidak mengandung sirkuit. Ada beberapa graf yang termasuk graf pohon

salah satunya adalah graf caterpillar.

Graf caterpillar adalah graf yang jika semua titik ujungnya dihilangkan

akan menghasilkan lintasan, dalam hal ini titik ujung dalam graf caterpillar

adalah titik yang berderajat satu. graf ulat (caterpillar) bisa didapatkan dengan

menghubungkan simpul pusat � dari graf bintang secara berurutan. Lintasan yang

(11)

2

simpul backbone dari graf caterpillar. Jika banyaknya simpul anting sama maka

graf tersebut merupakan graf caterpillar teratur dinotasikan Cm,n dengan m adalah

jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting.

Salah satu topik dalam teori graf yang banyak mendapat perhatian adalah

pelabelan graf. Pelabelan graf muncul pertama kali pada pertengahan tahun

1960-an setelah sebuah konjektur dari Ringel d1960-an tulis1960-an dari Rosa membahas

mengenai pelabelan graf.

Dengan mengkaji dan menganalisis model atau rumusan teori graf dapat

ditunjukkan peranan dan kegunaannya dalam memecahkan berbagai permasalahan

salah satunya diselesaikan dengan pelabelan graf seperti masalah sektor sistem

komunikasi, transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan data komputer,

dan juga desain sirkuit gabungan pada komponen elektronik.

Studi dari pemberian label pada graf telah memfokuskan pada penemuan

graf-graf tertentu yang memiliki pelabelan tertentu, sehingga ada banyak

jenis-jenis pelabelan, di antaranya adalah pelabelan simpul, pelabelan sisi, pelabelan

total, dan pelabelan ajaib, dimana pada pelabelan ajaib terdapat dua kelas, yaitu

pelabelan total sisi ajaib dan pelabelan super sisi ajaib.

Pelabelan graf merupakan suatu pemetaan satu-satu yang memetakan

himpunan dari elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif,

elemen-elemen graf itu sendiri meliputi himpunan titik, himpunan sisi, himpunan titik dan

sisi.

Pelabelan titik adalah pelabelan graf dimana domainnya merupakan

himpunan titik, pelabelan sisi adalah pelabelan graf dimana domainnya

merupakan himpunan sisi, sedangkan pelabelan total jika domainnya merupakan

gabungan himpunan titik dan sisi.

Untuk , graf � dengan titik dan sisi disebut total sisi ajaib jika ada

fungsi bijektif � ∶ � � ∪ � � → 1,2,…, + 1 , + 2 ,…, + (Bača.M & Mirka miller.2008), sehingga ada konstanta � untuk sebarang , di G diperoleh � +� , +� =�. Sedangkan super sisi ajaib adalah total

sisi ajaib pada graf � sehingga � � dipetakan ke himpunan 1, 2,…. , ,

(12)

tersebutlah yang membuat pelabelan super sisi ajaib sangat menarik, karena

diharuskan melabeli simpul dengan himpunan 1, 2,…. , dan melabeli sisi

dengan himpunan + 1 , + 2 ,…, + dan untuk setiap , ∈ � �

berlaku � +� , +� =�. merupakan simpul yang terhubung

langsung dengan simpul

Penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib terus berkembang, hal tersebut

diketahui dari banyaknya artikel tentang pelabelan super sisi ajaib dalam beragam

kelas graf. Pada tahun (1998) Hikoe Enomoto dkk, melakukan penelitian tentang

pelabelan super sisi ajaib pada graf bipartite lengkap � _, untuk = 1 atau

= 1 dan diperoleh nilai �= 3 + 6.

Selvam Avadayappan dkk (2001), melakukan penelitian tentang pelabelan

super sisi ajaib pada graf sikel (�_{2 +1}) disimpulkan bahwa graf sikel merupakan

graf super sisi ajaib dan diperoleh nilai �= 5 + 4 yang memenuhi pelabelan

super sisi ajaib tersebut.

Lalu pada tahun (2014) IW,Sudarsana dkk, melakukan penelitian pada graf

gabungan graf ulat dan bipartite lengkap dinotasikan dengan graf � _, ∪

�2 (�1,�2,… ,�2 ) disimpulkan bahwa graf � , ∪ �2 (�1,�2,… ,�2 ) merupakan graf super sisi ajaib dan diperoleh nilai konstanta ajaib yang

memenuhi pelabelan super sisi ajaib � = 3 2+ + 1.

Berdasarkan hal di atas, penulis tertarik untuk menulis sebuah penelitian

mengenai pelabelan super sisi ajaib, dengan merujuk pada penelitian yang

dilakukan IW, Sudarsana dkk penulis ingin menunjukkan bahwa graf ulat

(caterpillar) merupakan graf super sisi ajaib dan menentukan konstanta ajaib yang

memenuhi pelabelan super sisi ajaib. Dengan demikian penulis mengangkat hal

tersebut dalam sebuah karya ilmiah dalam bentuk skripsi dengan judul: “Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan Latar belakang di atas, maka rumusan masalah pada penelitian

ini adalah sebagai berikut:

(13)

4

2. Bagaimana Pola pelabelan yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib pada

graf Caterpillar?

3. Berapa nilai konstanta ajaib untuk memenuhi pelabelan super sisi ajaib

pada graf Caterpillar ?

1.3 Batasan Masalah

Penulisan Skripsi ini difokuskan pada pembahasan dengan beberapa batasan

masalah sebagai berikut:

1. Pelabelan super sisi ajaib pada penulisan ini hanya dilakukan pada graf

caterpillar teratur (Cmn) dengan = 2 dan 3.

2. Pelabelan super sisi ajaib pada penulisan ini hanya dilakukan pada graf

caterpillar teratur (C_mn) dengan 1≤ ≤ ∞.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah maka tujuan penelitian dalam penulisan

adalah

1. Menunjukkan bahwa graf Caterpillar merupakan graf super sisi ajaib.

2. Menentukan pola pelabelan yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib

pada graf Caterpillar.

3. Mengetahui nilai konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib

pada graf Caterpillar.

1.5 Manfaat Penelitian

Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:

1. Penulis, sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan

penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini.

2. Pembaca, sebagai bahan kajian bagi yang sedang menempuh mata kuliah

(14)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan pada bab IV dapat

disimpulkan bahwa:

1. Graf caterpillar �₂ merupakan graf super sisi ajaib karena telah memenuhi

pelabelan total sisi ajaib pada graf � sehingga �(�) dipetakan ke himpunan

1,2,3,4,…, p , selebihnya dari p + 1 , p + 2 ,…, p + q adalah

himpunan label sisi. Dengan konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan

super sisi ajaib = 5 + 6 dan pola umum pelabelan super sisi ajaibnya

sebagai berikut:

� �1 = 1 � �1 = + + 1 � �1�2 = 3 + 3

� �₂ = 2 + 2 � �₂ = + 1

� �₁�₁ = 4 + 4− � �₂�₂ = 3 + 3−

Untuk 1≤ ≤

2. Graf caterpillar �₃ merupakan graf super sisi ajaib karena telah memenuhi

pelabelan total sisi ajaib pada graf � sehingga �(�) dipetakan ke himpunan

1,2,3,4,…, p , selebihnya dari p + 1 , p + 2 ,…, p + q adalah

himpunan label sisi. Dengan konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan

super sisi ajaib = 8 + 8 dan pola umum pelabelan super sisi ajaibnya

sebagai berikut:

� �1 = 2 + 2 � �1 = � �1�1 = 6 + 6−

� �2 = + 1 � �2 = 2 +�+ 2 � �2�2 = 5 + 5−

� �₃ = 3 + 3 � �₃ = + + 1 � �₃�₃ = 4 + 4−

� �₁�₂ = 5 + 5 � �₂�₃ = 4 + 4

(15)

38

5.2 Saran

Pada tulisan ini penulis hanya membahas pelabelan super sisi ajaib pada

graf caterpillar teratur � dengan = 2 dan 3, jika pembaca tertarik

melanjutkan penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib pada graf caterpillar

(16)

Bača, M dan Mirka M. 2008. Super Edge-Antimagic Graph : A Wealth of

Problems and Solutions. Florida,USA: Brown Walker Press Boca Raton.

Budayasa, Ketut. 2002. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa University Pres.

Deo, N. 1974. Graph Theory with Application to Engineering and Computer

Science. USA : Prentice-Hall

Enomoto, H. dkk. 1998. “Super Edge-Magic Grafs”. SUT Journal of Mathematics Vol. 34 No. 2, Hal 105-109.

Jhonsonbaugh, R. 2001. Discrete Mathematics, Fifth Edition. United State of America : Prentice-Hall.

Munir, R. 2005. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika.

Saragih, S. 2012. Struktur Aljabar 1. Medan : Larispa.

Siang, Jong Jek. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Andi

Simpson, Andrew. 2002. Discrete Mathematics. Singapore: McGraw-Hill Companies.

Sudarsana, I W. Dkk. 2014. “ Pelabelan Total Sisi Ajaib Super (TSAS) pada Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartite Lengkap”. Online Jurnal of Natural Science, Vol.3(1): 65-74

Sugeng,K.A.,& miller,M. 2008. On consecutive edge magic total labeling of

graph. Journal of Discrete Algorithms (6), 59-65