π ( ) menyatakan peluang bahwa

8 Puji Nugraheni: Graf Aliran Sinyal pada Persamaan Chapman-Kolmogorov GRAF ALIRAN SINYAL PADA SISTEM PERSAMAAN

CHAPMAN- KOLMOGOROV Puji Nugraheni

Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo

Jalan KH. A. Dahlan 3 Purworejo e-mail: puji_pwr@telkom.net

Abstrak

Tujuan dari penulisan ini adalah mengetahui konstruksi bentuk graf aliran sinyal pada sistem persamaan Kolmogorov. Persamaan Chapman-Kolmogorov dapat dikonstruksikan ke dalam bentuk graf aliran sinyal. Cara mengkonstruksi graf aliran sinyal yang diperoleh dari sistem persamaan Chapman Kolmogorov dengan metode Langsung adalah menyatakan sistem persamaan Chapman Kolmogorov ke dalam bentuk persamaan matriks.

Kata Kunci: persamaan Chapman Kolmogorov, graf aliran sinyal Pendahuluan

Salah satu contoh bentuk proses stokastik adalah Rantai Markov. Rantai Markov memuat rangkaian kejadian atau kedudukan yang kemunculannya berdasarkan peluang tertentu yang hanya tergantung pada kedudukan sebelumnya. Rantai Markov dibagi menjadi dua macam yaitu Rantai Markov waktu diskrit dan Rantai Markov waktu kontinu. Dalam makalah ini yang akan dibahas adalah Rantai Markov waktu diskrit. Rantai Markov waktu diskrit adalah proses stokastik yang distribusi

peluangnya memenuhi sifat Markov berikut ini. ) ( ) ,..., , ( 1 1 1 1 0 0 1 1 n n n n n n n n x X x X P x X x X x X x X P = = = = = = = + + + + ... , 2 , 1 , 0 untuk n= 1 1 0,x ,...,xn,xn+ x 1

dan untuk setiap

kedudukan . Ini

me-nunjukkan peluang kedudukan pada

saat n+ n 0 ,n≥ X_n

{

X x

}

P x = ₀ = 0( )

bergantung pada saat . Pada rantai Markov terdapat kedudukan awal, maka rantai Markov dengan dilengkapi dengan distribusi awal π

untuk setiap x∈ . Distribusi awal S

) ( 0 x

π menyatakan peluang bahwa pada saat proses dimulai, rantai

Markov pada kedudukan x. Distribusi awal π₀(x) dari rantai Markov dengan ruang kedudukan

dapat dipandang sebagai vektor baris berukuran

n} ..., 2, 1, {0, S= 1 + n ( 0 , yaitu:

(

(0), (1), ₀(2),..., n)

)

) ( _{0 0} 0 x π π π π π = , n X_n S . 9 Misalkan adalah rantai

Markov yang mempunyai ruang kedudukan dan fungsi transisi

0 ≥

P.

Jika π(x),x∈S, adalah bilangan non negatif yang jumlahnya sama dengan

satu dan jika

maka ⎟ ⎠ ⎞ = 1 y y), ( π ⎜ ⎝ ⎛

_∑

∈S x x) ( π y x P x x =

∑

π( ) ( , ) ∈S π

disebut distribusi stasioner. Misalkan distribusi stasioner π ada dan

, ) y y ( ) , ( limPn x y n→∞ =π ∈ ... (1) S maka tanpa memperhatikan distribusi

awalnya, distribusi dari mendekati

n

X

π untuk n→∞. Untuk kasus seperti ini, π dikatakan distribusi dengan kedudukan tetap

(steady state distribution).

Jika π adalah distribusi stasioner dan jika persamaan (1) berlaku, dengan

distribusi awal π₀, maka:

...(2) , ) , ( ) ( ) (X y ₀ x P x y y S P x n n = =

∑

π ∈

Dari persamaan (1) dan (2) maka untuk n→∞

∑

∞ → ∞ → = didapatkan: = = x n n n n j y x P x y X P w ) , ( ) ( lim ) ( lim 0 π ) , ( lim ) ( 0 x P x y n x n

∑

_→∞ = π

∑

∑

= = x x x y y x) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 π π π π ) , ( lim ) (y Pn x y n→∞ = =π ) , ( lim ) , ( limP x y w Pn 1 x y n j n − ∞ → ∞ → = =

∑

= i i j w P x y w ( , ) n j 0.1,2,K, Jika , maka didapatkan , untuk n = . Persamaan

∑

= i i j wP x y w ( , ) wP w dapat diubah kedalam bentuk matriks menjadi

= . Selanjutnya,

disebut dengan persamaan Chapman

Kolmogorov.

wP w=

Pembahasan

Konstruksi bentuk graf Aliran Sinyal pada persamaan Chapman-Kolmogorov mengacu pada kon-struksi bentuk graf Aliran Sinyal pada

(

w w w wn

)

w _{1 2 3 K}

sistem linear. Berikut ini uraian dalam mengkonstruksi graf Aliran Sinyal pada persamaan Chapman Kolmogorov. Diberikan sistem persamaan Chapman Kolmogorov dari suatu rantai Markov yang dinyatakan dalam persamaan matriks sebagai berikut.

dengan =

dan

10 Puji Nugraheni: Graf Aliran Sinyal pada Persamaan Chapman-Kolmogorov

w=wP ... (3) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nn n n n n n n p p p p p p p p p p p p p p p p P K M M M M K K K 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11

(

)

n n n n p p p p p p p p p p p p p w w w w M M M K K 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n n w w p w p w p w p w w p w p w p w p w + + + + = + + + + = K K 1 3 13 2 12 1 11 1 0 ) (I − P = w

Persamaan (3) dapat dijabarkan sebagai berikut.

(

n

)

nn n n n w w w w _K M 3 2 1 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ p p p K K K (4) Dengan demikian, persamaan (4) dapat dinyatakan sebagai berikut.

n nn n n n n n n n n w p w p w p w p w p w p w p w p w + + + + = + + + + = K M M M M M K 3 3 2 2 1 1 3 3 33 2 32 1 31 3 2 3 23 2 22 1 21 2 1 3 2 1

Persamaan (6) adalah sistem persamaan dengan n persamaan dalam

n bilangan tak diketahui. Oleh karena itu, persamaan (6) mempunyai pemecahan lebih dari satu. Selanjutnya, karena merupakan rantai Markov maka pemecahan dari persamaan (6) harus memenuhi:

(5)

Bentuk persamaan (5) adalah sistem persamaan dengan n persamaan sehingga dapat ditulis menjadi sebagai berikut.

= + + + +w w w_n w _L ... (7) Menurut aturan Cramer, jika AX=B

adalah sistem persamaan yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan yang tak diketahui sehingga ... (6)

0 )

det(A ≠ , maka sistem persamaan tersebut mempunyai pemecahan

Puji Nugraheni: Graf Aliran Sinyal pada Persamaan Chapman-Kolmogorov 11

) det( ) det( ₁ 1 A A x = , ) det( ) det( ₂ 1 A A x = ,…, ) det( ) det( 1 A A x = n

di mana adalah matriks yang didapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks B. Jadi, dari persamaan (6) dan (7) maka

didapatkan persamaan sebagai berikut. j A j j V P I w( − )∗ = ∗ −P j I ) ( ... (8) di mana adalah matriks yang

didapatkan dari matriks I −P

j

(

)

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = − = + − + − + + + − − − − − − ∗ nn j n j n n n n j j j j j jn j j j j n j j j j j n j n j j n p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p P I w w w w w 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1 1 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 22 21 1 1 12 11 3 2 1 L L M M M M M L L L L L L M M M M M L L L L K I P I− j + ∗ ) ( = + − ∗ I P I )j ( ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎛ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − − − − + 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 11 12 1 1 1 1 1 M K L L j j n p p p p p p p

dengan mengganti entri-entri dari suatu kolom ke-j dengan 1 dan V adalah vektor baris dengan semua entrinya nol, kecuali pada entri

ke-jnya adalah 1. Jadi,

− − − − + + + + − j j j j j j p p p p 1 1 ) 1 ( 1 1 M M − ₊ − + − j j p 1 _{2 1} 1 1 1 1

Bentuk pada persamaan (9) dapat dijabarkan sebagai berikut.

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + − + + + − + + + + − − + − − − − − + − 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1 1 1 1 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 1 2 1 2 22 21 K M M M M M M K K K K L L L M M M M M M L L L L L L M M M M M M L L nn j n j n n n n j j j j j j j jn j j j j j j n j j j j j j j n j j p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

12 Puji Nugraheni: Graf Aliran Sinyal pada Persamaan Chapman-Kolmogorov ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = + − + + + − + + + + − − + − − − − − + − + − nn j n j n n n n j j j j j j j jn j j j j j j n j j j j j j j n j j n j j p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1 1 1 1 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 1 1 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 1 2 1 2 22 21 1 1 1 1 1 12 11 L L M M M M M M L L L L L L M M M M M M L L L L

atau dapat diubah kedalam bentuk: (2I−P)∗j ... (10) Akibat persamaan (10), maka persamaan (9) menjadi sebagai berikut.

[

]

_⎥ ... (11) ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∗ T j j T w v P I V (2 ) ) 0 w

Persamaan (11) dapat dijabarkan sebagai berikut.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + + + − + + + + − − + − − − − − + − + − + − n j j j nn j n j n n n n j j j j j j j jn j j j j j j n j j j j j j j n j j n j j n j j j w w s w w w v p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p w w w w w w M M L L M M M M M M L L L L L L M M M M M M L L L L M M M M 1 1 2 1 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 22 21 1 ) 1 1 ) 1 ( 1 12 11 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 0 0 0 sehingga diperoleh: n n j j j j j w w p w p w p w p w p w1 =(2− 11) 1 − 12 2 −K− 1( −1) −1+ − 1( +1) +1 −K− 1 n j j j j j w w p w p p w p w p w₂ =− _{21 1} +(2− ₂₂) ₂ −_K− _{2( −1) −1}+ − _{2( +1) +1}−_K− ₂ w_n M M M M M M M n n j j j j j j j j j j j p w p w p w w p w p w w₋₁=− _{( −1)1 1}− _{( −1)2 2}−_K+(2− _{( −1)( −1)}) ₋₁+ − _{( −1)( +1) +1}−_K− _{( −1)} n jn j j j j j j j j j j v p w p w p w w p w p w w =− ₀ − _{1 1}− _{2 2} −_{K ( −1) −1} +2 − _{( +1) +1} −_K− n n j j j j j j j j j j j p w p w p w w p w p w w₊₁ =− _{( +1) 1}− _{( +1)2 2}−_K− _{( +1)( −1) −1}+ +(2− _{( +1)( +1)}) ₊₁−_K− _{( +1)}

M M M M M M n nn j j n j j j n n n n p w p w p w w p w p w w =− 1 1 − 2 2 −K− ( −1) −1+ − ( +1) +1 −K+(2− ) (12)

Maka sistem persamaan

Chapman Kolmogorov dapat

dinyata-kan dalam bentuk graf Aliran Sinyal

untuk peubah sebagai

berikut. n 3 2 1 w w w w , , ,..., w w 1 − j w j w 1 + j w

Puji Nugraheni: Graf Aliran Sinyal pada Persamaan Chapman-Kolmogorov 13 Gambar 1.

Graf Aliran Sinyal untuk peubah ₁

Gambar 2.

Graf Aliran Sinyal untuk peubah ₂

Gambar 3.

Graf Aliran Sinyal untuk peubah

Gambar 4.

Graf Aliran Sinyal untuk peubah

Gambar 5.

14 Puji Nugraheni: Graf Aliran Sinyal pada Persamaan Chapman-Kolmogorov , , , , , _{2 1} 1 w wj wj w _{K −} w_j+1,_K,w_n , ), , ( ), , (w_j w₁ w_j w_{2 K} ) , ( , ), , ( ), , ( ), , ( _{1 1} n j j j j j j j w w w w w w w w _{− + K} ) , ( , ), , ( ), , ( ), , ( , ), , ( ), , ( Busur 1 1 2 1 n j j j j j j j j j w w w w w w w w w w w w K K + − ) , _i j w w j w j =1,2,_K,n i w j =1,2,_K,n 1 Gambar 6.

Graf Aliran Sinyal untuk peubah w_n

Berdasarkan gambar graf Aliran Sinyal untuk setiap peubah

, maka dihasilkan pola graf Aliran Sinyal untuk peubah n j j j w w w w w w1, 2,K, −1, , +1,K, , , , , 2 1 1 w wj− w K n j j w w w , ₊₁,_K, sebagai berikut. 1. Terdapat 1 busur yang

meng-hubungkan simpul dengan simpul peubah yaitu busur

dengan bobot -1 yang ditunjukkan sebagai berikut.

0 v j w ) , (v₀ w_j Gambar 7.

Busur dengan bobot -1 (v₀,w_j) j

w = peubah ke-j, untuk j=1,2,_K,n

2. Terdapat n busur yang meng-hubungkan simpul peubah

dengan simpul peubah

yaitu busur

seperti pada gambar berikut.

j

w

Gambar 8.

Ilustrasi pada gambar 8. dapat dinyatakan secara umum dalam bentuk sebagai berikut.

Gambar 9. Busur (

= peubah ke-j, untuk = peubah ke-i, untuk

−

3. Terdapat n busur yang meng-hubungkan simpul peubah

, , , , _{2 1} 1 w wj− w _K , ( ), , (w1 wj w2 wj ( , ), , (wj+1 wj K w ( ), , (w₁ w_j w₂ ), , (w_j+1 w_j ( j i n j w w ₊₁,_K, j w , ),_K (w ) , j n w ( , ), ,w_{j K} w_j ) , ( , w_j w_n K ) , _j i w w j=1, dengan simpul peubah yaitu busur

seperti pada gambar berikut. ), , 1 j j− w ), , 1 wj − n , , 2_K , , 2 , 1 _K ji p 15 Gambar 10. Busur

Ilustrasi pada gambar 10. dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut.

Gambar 11. Busur

w = peubah ke-j, untuk w =peubah ke-i, untuk =i

n j 1, , , 1 + _K − j

− = bobot pada busur untuk ) , (w_j w_i n j j i=1,2,_{K −}, 1, +1,_K,

4. Terdapat sikel yang terdiri atas 2 simpul yaitu simpul peubah dan yang saling terhubung satu sama lain dengan setiap simpulnya terdapat busur gelang seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

k w i w k w wi k w w_i 1 Gambar 12. Ilustrasi sikel peubah dan

Penjabaran lebih lanjut pada sikel yang memuat simpul dan berdasarkan gambar 12 ditunjukkan sebagai berikut. = k n j j 1, 1, , , , 2_{K K} untuk dengan i= − + untuk k =2

dengan i=3,_K,j−1,j+1,_K,n untuk k = j−1 dengan i= j+2,_K,n untuk k = n−1 dengan i=n Gambar 13.

Ilustrasi penjabaran sikel dengan 2 simpul w_k dan w_i

Penutup

Berdasarkan pola graf Aliran Sinyal untuk peubah pada sistem linear maka dihasilkan konstruksi keseluruhan graf Aliran Sinyal pada sistem persamaan Chapman Kolmogorov.

Daftar Pustaka

Chatrand, G.1985. Introduction

Graph Theory.New York:

Dover Publication, Inc

Chen, Wai Kai.1976.Applied Graph

Theory Graphs and Electrical Networks.New York:

North-Holland Publishing Company. Harary, F.1969. Graph Theory.

Massachussets: Addison – Wesley Publishing Company Inc.

Hoel, Paul G., Port, Sidney C. & Stone,Charles J.1972.

Intro-duction to Stochastic Processes. Boston: Houghton

Mifflin Company.

Mardiyono, S.1996. Matematika

Diskret. Yogyakarta: FMIPA

IKIP Yogyakarta

Narsingh, Deo.1997. Graph Theory

with Applications to Engi-nering and Computer.New

Delhi: Prentice Hall of India. Sutarno, Heri., Priatna, Nanang. &

Nurjanah.2003. Matematika

Diskrit. Bandung: UPI Press.

Wilson, Robin J & Beineke, Lowell W.1979. Application of Graph

Theory. London: Academic

Press.