Tujuan Pembelajaran Umum
•
Mahasiswa mampu memahami
konsep matematika yang dapat
digunakan pada penerapan
ekonomi sehingga dapat
diaplikasikan untuk
Tujuan Pembelajaran Khusus
•
Mampu menjelaskan mengenai
pengertian deret.
•
Mampu memahami barisan dan
deret hitung (aritmatika)
Pengantar
•Deret = rangkaian bilangan yang
tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
•Suku = bilangan-bilangan yang
merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret
•Pola perubahan = keteraturan rangkaian bilangan-bilangan dari sebuah deret,
Pengantar
•Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret dibedakan menjadi:
▫Deret berhingga deret yang jumlah sukunya tertentu
▫Deret tak berhingga deret yang jumlah sukunya tak terbatas
•Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibedakan menjadi
Barisan Hitung (Aritmatika)
•Barisan hitung adalah suatu barisan bilangan
yang selisih setiap dua suku berurutan selalu merupakan bilangan tetap.
•Bilangan yang tetap tersebut disebut dengan
istilah “beda” dan dilambangkan dengan b. •Perhatikan juga barisan-barisan bilangan
berikut ini:
a) 1, 4, 7, 9, 11, 13, …..
b) 2, 8, 14, 20, ….
Contoh Barisan Hitung
(Aritmatika)
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
+3 +3 +3 +3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.
b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6
Contoh Barisan Hitung
(Aritmatika)
c. 30, 25, 20, 15, ...
–5 –5 –5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut:
Jika
S
nadalah suku ke-
n
dari
suatu barisan aritmetika
Rumus Barisan Hitung
(Aritmatika)
•Pembentuk rumus/formulasi umum suku ke-n barisan aritmetika adalah:
▫suku pertama (U ) dilambangkan dengan a
Barisan Hitung (Aritmatika)
Contoh 1
• Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan: [ –3, 2, 7, 12, .... ]
• Langkah 1: Suku pertama adalah a = –3
• Langkah 2: Bedanya adalah b = 2 – (–3) = 5
• Langkah 3: Subtitusikan a dan b, maka akan diperoleh rumusnya Sn = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : S8 = –3 + (8 – 1)5 = 32
Contoh 2
• Diketahui barisan aritmetika [ –2, 1, 4, 7, ..., 40 ]
• Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab:
Deret Hitung (Aritmatika)
•Deret hitung adalah jumlah n suku pertama dari barisan hitungnya.
• Misalkan S1, S2, S3, ..., Sn merupakan suku-suku
dari suatu barisan aritmetika.
• Maka Jn = S1 + S2 + S3 + ... + Sn disebut deret
aritmetika
Deret Hitung (Aritmatika)
• Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai
suku-sukunya, sejak suku pertama (S1, atau bisa juga ditulis a) sampai dengan suku ke-n (Sn) dapat ditulis demikian:
Deret Hitung (Aritmatika)
• Dengan menguraikan setiap suku maka , , dan akan menjadi seperti di bawah ini:
• a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) = 4a + 6b
• a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) = 5a + 10b
• a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + (a+5b) = 6a + 15b
Deret Hitung (Aritmatika)
•Masih ingat dengan rumus Sn = a + (n – 1)b ??
Masing-masing Ji tersebut dapat pula ditulis ulang
dalam bentuk sebagai berikut:
•Rumus umum
atau
atau
Contoh Deret Hitung
(Aritmatika)
Contoh Deret Hitung
(Aritmatika)
• Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.
• Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Sn = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
Sn = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99
Contoh Deret Hitung
(Aritmatika)
• Jumlah dari deret tersebut adalah
Jn = (a + Sn )
J33 = (3 + 99)
= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683
TUGAS MANDIRI 2
1. Carilah suku ke – 20 dari barisan hitung (aritmatika) 3, 8, 13, 18, …
2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan hitung (aritmatika) berikut ini :
a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, … c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, …
3. Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan hitung (aritmatika) adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah S30 dan J30
4. Carilah jumlah dari:
Barisan Ukur (Geometri)
• Barisan Ukur (Geometri) adalah susunan
bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana susunan bilangan di antara dua suku
yang berurutan mempunyai rasio yang tetap (dilambangkan dengan huruf r).
• Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio
yang tetap, maka suku ke 2 dan seterusnya adalah
a2 = a1r
a3 = a2r = a1r . r = a1r2
Barisan Ukur (Geometri)
• Sehingga bentuk umum dari barisan geometri untuk suku ke-n adalah
an = a1rn-1 atau S
n = a1rn-1
Di mana, an = Sn = suku ke – n a1 = suku pertama
Contoh 1
• Carilah suku kedelapan dari barisan ukur di mana suku pertamanya adalah 16 dan rasionya (r) adalah 2
• Jawab:
Diketahui : a1 atau S1 = 16 , r = 2, n=8 Ditanyakan: S8 = …?
S8 = a1r8-1= a
Contoh 2
• Carilah suku kesebelas dari barisan ukur di
mana suku keempat adalah 24 dan suku kesembilan adalah 768.
• Jawab:
a4 = a1r3 = 24 & a7 = a1r8 = 768
Maka, r = 2
Karena, a1r3 = 24 dan r = 2 a1 = 3
Sehinga, a11 = S11 = a1r10 = 3 x (2)10 = 3.072
Deret Ukur
•Adalah jumlah suku – suku atau bilangan – bilangan dalam suatu barisan ukur
•Bentuk deret ukur
Dn = a1 + a1r + a1r2 +…..+ a1rn-1
•Atau dapat ditulis secara singkat:
Dn =
Rumus Deret Ukur
•Jika rasionya l r l kurang dari 1,
•Jika rasionya l r l lebih dari 1,
•Jika rasionya l r l sama dengan 1,
Dn = a1 + a1 +……….+ a1 Dn = n.a1
Contoh
•Carilah jumlah suku ke-8 yang pertama dari barisan ukur berikut ini:
3, 6, 12, 24, ….
•Jawab:
Diketahui: a1 = 3 ; r = 2 ; n = 8 Maka,
Tugas Mandiri 3.1
1. Carilah jumlah suku ke-8 yang pertama dari setiap deret ukur dengan a dan r diketahui di bawah ini
a. a = 4; r =1/4
b. a = 10; r = -2/3
Model Perkembangan Usaha
•Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha—misalnya produksi, biaya,
pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau
penanaman modal—berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel
tersebut.
Model Perkembangan Usaha: Contoh
•Besarnya penjualan PT. Cemerlang adalah Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp
980 juta pada tahun ketujuh. Apabila pola perkembangan penjualannya seperti deret hitung, maka:
▫Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya per tahun?
▫Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa
Model Perkembangan Usaha: Contoh
•Asumsi angka dalam jutaan. S7 = 980 a + 6b = 980
S5 = 720 a + 4b = 720 2b = 260 b = 130
•Penerimaan pada tahun pertama:
a + 4b = 720 a = 720 – 4(130) = 200
•Penerimaan sebesar 460 juta pada tahun ke?? Sn = a + (n-1)b 460 = 200 + (n-1).130 460 = 200 + 130.n – 130
Model Bunga Majemuk
•Merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam dan investasi.
Dengan model ini, dapat dihitung
besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya.
•Bisa juga untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang
Rumus Model Bunga Majemuk
•Fn = P.(1+i)n bila bunga dibayarkan per tahun
•Fn = P.(1+)m.n bila bunga dibayarkan beberapa kali dalam setahun
Dimana, Fn = Jumlah akumulatif modal di masa depan
P = Nilai saat ini
i = tingkat bunga per tahun
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
n = jumlah tahun
Rumus ini identik dengan rumus deret ukur Sn+1
Rumus Model Bunga Majemuk
• dan/atau• Suku (1 + i) dan (1 + ) dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk”
(compounding interest factor)
• Suku dan dalam dunia bisnis dinamakan “faktor
Model Bunga Majemuk: Contoh
•Seorang nasabah meminjam uang di bankRp 10 juta, dengan masa pinjamannya 3 tahun dan tingkat bunga 10% per tahun.
▫Berapa total uang yang harus
dikembalikannya pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga)
▫Seandainya pembayaran bunganya
Model Bunga Majemuk: Contoh
•Jawab:
P = 10.000.000 Fn = P.(1+i)n
N = 3 F3 = 10.000.000 (1+0,1)3
i = 10% = 0,1 F3 = 13.310.000
• Bunga yang dibayarkan setiap bulan = 10% / 12 = 0,83%
Fn = P.(1+i/m)m.n F3 = 10.000.000 (1+0,0083)12.3
Model Bunga Majemuk: Contoh
•Diperkirakan tabungan milik seorangmahasiswa akan menjadi Rp 10.000.000 pada masa 5 tahun mendatang jika
menabung di Bank Joker. Jika tingkat
bunga Bank Joker adalah 5% per tahun, maka berapa jumlah uang yang harus
Model Bunga Majemuk: Contoh
•Jawab:F = 10.000.000 n = 5
i = 5% = 0,05
Tugas Mandiri 3.2
1. Besarnya penjualan PT. Sentosa adalah Rp 520 juta pada tahun keempat dan Rp 970 juta pada tahun ketujuh. Apabila pola
perkembangan penjualannya seperti deret hitung, maka:
▫Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya per tahun?
▫Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa
Tugas Mandiri 3.2
2. Seorang nasabah meminjam uang di bank Rp 5 juta, dengan masa
pinjamannya 3 tahun dan tingkat bunga 8% per tahun.
▫Berapa total uang yang harus
dikembalikannya pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga)
▫Seandainya pembayaran bunganya
Tugas Mandiri 3.3
3. Diperkirakan tabungan milik seorang salesman akan menjadi Rp 20.000.000 pada masa 10 tahun mendatang jika menabung di Bank BNI. Jika tingkat
bunga BNI Syariah adalah 2% per tahun, maka berapa jumlah uang salesman