190405069 Silvia Veronika Br Sembiring Tugas ke-3

(1)

NAMA : SILVIA VERONIKA BR SEMBIRING NIM : 190405069

TIME VALUE OF MONEY

1.1 Pendahuluan

Istilah modal mengacu pada kekayaan uang atau properti yang dapat digunakan untuk menghasilkan lebih banyak kekayaan. Studi ekomomi teknik melibatkan melibatkan komitmen modal untuk jangka waktu yang lama. Satu dolar saat ini bernilai lebih dari satu dolar dalam waktu satu tahun mendatang karena bunga yang diperoleh. Uang memiliki nilai waktu.

Bunga dan keuntungan membayar penyedia modal karena tidak lagi digunakan selama modal digunakan. Bunga dan keuntungan adalah pembayaran untuk risiko yang diambil investor dalam membiarkan orang lain menggunakan modalnya. Setiap proyek atau usaha harus memberikan pengembalian yang cukup agar menarik secara finansial bagi pemasok uang atau properti.

1.2 Bunga Sederhana (Simple Interest)

Bunga sederhana yaitu keadaan dimana total bunga yang diperoleh dibebankan proporsional secara linier dengan jumlah awal pinjaman, tingkat bunga dan jumlah periode pinjaman. Ketika bunga sederhana berlaku, bunga total, I , dihitung dengan rumus:

I=(P) (N) (i) Dimana:

P = Jumlah pinjaman pokok

N = Jumlah periode pinjaman (tahun) I = Suku bunga per periode bunga 1.3 Bunga Majemuk (Compound Interest)

Bunga majemuk yaitu bunga yang dikenakan untuk setiap periode bunga (misal pertahun) dan dikenakan atas jumlah uang pokok pinjaman yang ada ditambah bunga yang terakumulasi pada awal periode. Bunga sederhana tidak mempertimbangkan nilai waktu dari uang tetapi tidak melibatkan bunga majemuk. Bunga majemuk lebih umum dalam praktiknya daripada bunga sederhana.

1.4 Konsep Kesetaraan (Equivalence)

(2)

Alternatif harus dibandingkan ketika menghasilkan hasil yang serupa, memiliki tujuan yang sama. Kita harus membandingkan alternatif, opsi atau proposal dengan menguranginya menjadi dasar yang setara bergantung pada tingkat bunga, jumlah uang yang terlibat, dan waktu penerimaan atau pengeluaran moneter.

Berdasarkan prinsip time value of money, setiap penerimaan atau hutang dapat dihitung equivalence nya pada interest/bunga yang ditetapkan pada setiap waktu/periode. Konsep

“equivalence” yang digunakan dalam Ekonomi Teknik akan membantu kita untuk mengerti, bahwa untuk sejumlah uang yang berbeda dalam waktu yang berbeda, bisa dianggap sama dalam term ekonomi. Hal ini akan berakibat pada perbedaan rencana pembayaran atau pendapatan walaupun nilai dari uang yang dimaksud sama.

1.5 Notasi dan Diagram Arus Kas dan Tabel

Berikut adalah notasi yang digunakan dalam rumus perhitungan bunga majemuk.

i = suku bunga efektif per periode bunga N = jumlah periode majemuk (bunga)

P = jumlah uang saat ini; nilai yang setara dari satu atau lebih arus kas pada titik waktu referensi; saat ini

F = jumlah uang masa depan; nilai yang setara dari satu atau lebih arus kas pada suatu titik waktu referensi; masa depan

A = arus kas akhir periode dalam rangkaian seragam yang berlanjut selama sejumlah periode tertentu, dimulai dari akhir periode pertama dan berlanjut hingga periode terakhir

Diagram atau tabel arus kas (waktu) diperlukan untuk mengklarifikasi atau memvisualisasikan apa yang terlibat ketika arus kas terjadi pada berbagai waktu. Selisih antara total arus kas masuk (penerimaan) dan arus kas keluar (pengeluaran) untuk jangka waktu tertentu (misalnya, satu tahun) adalah arus kas bersih untuk periode tersebut.

Diagram arus kas menggunakan beberapa konversi:

1. Garis horizontal adalah skala waktu, dengan perkembangan waktu bergerak dari kiri ke kanan. Label periode dapat diterapkan pada interval waktu.

(3)

Gambar 4.1 Diagram arus kas untuk plan 3 tabel 4.1

2. Panah menandakan arus kas dan ditempatkan di akhir periode. Jika perbedaan perlu dibuat, panah ke bawah mewakili pengeluaran (arus kas keluar) dan panah atas ke atas mewakili penerimaan (arus kas masuk).

3. Diagram arus kas bergantung pada sudut pandang. Jika semua arah panah dibalik, masalahnya akan didiagramkan dari sudut pandang peminjam.

1.6 Menghubungkan Nilai Setara Sekarang dan Masa Depan dari Arus Kas Tunggal 1.6.1 Menentukan F Ketika Diketahui P

Jika sejumlah uang diinvestasikan pada suatu waktu dan i% adalah tingkat bunga (laba) per periode, jumlah tersebut akan bertumbuh menjadi P+Pi=P(1+i) pada akhir suatu periode, pada akhir dua periode jumlahnya bertambah menjadi P(1+i)(1+i)=P(1+i)², pada akhir periode ketiga bertambah menjadi P(1+i)²(1+i)=P(1+i)³ dan pada akhir periode N jumlahnya bertambah menjadi:

F=P(1+i)^N

Kuantitas (1+i)^N disebut faktor jumlah majemuk pembayaran tunggal. Nilai numerik untuk faktor ini Diketahui pada kolom kedua dari kiri pada tabel lampiran C untuk berbagai nilai i dan N.Berikut merupakan persamaannya:

F=(F/P ,i%, N)

(4)

Dimana faktor di dalam tanda kurung dibaca “carilah F yang dari P yang Diketahui pada

bunga i% untuk N periode.

Gambar 2. Diagram arus kas umum terkait kesetaraan sekarang dan pembayaran tunggal di masa depan

1.6.2 Menentukan P Ketika Diketahui F

Hubungan P dan F dapat dilihat pada persamaan:

P=F

(

¹¹⁺ⁱ

)

^N⁼^F⁽¹⁺ⁱ⁾^−N

Kuantitas (1+i)^-N disebut faktor nilai sekarang pembayaran tunggal (single payment present worth factor).Nilai numerik faktor ini dapat dilihat pada kolom ketiga tabel lampiran C untuk berbagai nilai i dan N. Persamaannya:

P=(P/F ,i%, N)

1.6.3 Menentukan Tingkat Bunga Diketahui P, F, dan N

Ada situasi dimana kita mengetahui dua jumlah uang (P dan F) dan berapa lama waktu memisahkannya (N) tetapi kita tidak mengetahui tingkat bunga (i) yang membuat keduanya setara. Berikut persamaannya:

i=^N

√

^F^/^P⁻¹

1.6.4 Menentukan N Ketika Diketahui P, F, dan i

Untuk Menentukan jumlah waktu (N) yang dibutuhkan untuk jumlah saat ini berkembang menjadi jumlah masa depan dengan tingkat bunga tertentu, dapat menggunakan persamaan:

F=P(1+i)^N

(5)

(1+i)^N=(F/P) Menggunakan logaritma:

Nlog(1+i)=log(F/P) Dan

N=log (F/P) log(1+i)

1.7 Menghubungkan Seri Seragam (Annuitas) dengan Nilai Saat Ini dan Masa Depan 1.7.1 Menentukan F Ketika Diketahui A

Jika arus kas dalam jumlah uang A terjadi pada akhir setiap periode selama N periode dan i% adalah tingkat bunga per periode, nilai ekuivalen masa depan, F pada akhir periode ke-N diperoleh dengan menjumlahkan ekuivalen masa depan dari setiap arus kas,dimana:

Gambar 3. Diagram arus kas umum menghubungkan seri seragam (annual biasa) dengan nilai setara sekarang dan nilai setara masa depan

F=A(F/P ,i%, N−1)+A(F/P ,i%, N−2)+A(F/P ,i%, N−3)+…+A

(

^F^P^,i^%^,1

)

⁺^A⁽^F^/^{P ,i}^%^,0⁾

F=A

[

⁽¹⁺ⁱ⁾^N−1⁺⁽¹⁺ⁱ⁾^N−2⁺⁽¹⁺ⁱ⁾^N⁻³⁺^…+(1+ⁱ⁾¹⁺⁽¹⁺ⁱ⁾⁰

]

Sehingga:

F=A

(

⁽¹⁺ⁱⁱ⁾^N⁻¹

)

Kuantitas

[

⁽¹⁺ⁱ⁾^N^/ⁱ

]

disebut faktor jumlah seri seragam.

Nilai numerik untuk faktor jumlah majemuk seri seragam ini Diketahui pada kolom keempat tabel lampiran C untuk berbagai nilai i dan N, dan dapat dihitung dengan persamaan:

(6)

F=A(F/A ,i%, N)

1.7.2 Menentukan P ketika Diketahui A Persamaan:

P=A

(

⁽¹ⁱ⁽⁺¹⁺ⁱⁱ⁾^N⁻⁾^N¹

)

Persamaan di atas adalah hubungan untuk Menentukan nilai ekuivalen sekarang dari rangkaian seragam arus kas akhir periode sejumlah A untuk N periode. Kuantitas dalam tanda kurung disebut faktor nilai sekarang seri seragam. Nilai numerik untuk faktor ini Diketahui pada kolom kelima tabel lampiran C untuk berbagai nilai nilai i dan N, persamaannya:

P=A(P/A ,i%, N)

1.7.3 Menentukan nilai A Ketika Diketahui F Diperoleh bahwa:

A=F

(

⁽¹⁺ⁱⁱ⁾^N⁻¹

)

Persamaan di atas merupakan hubungan untuk menentukan nilai A. Kuantitas dalam tanda kurung disebut faktor dana pelunasan. Nilai numerik untuk faktor ini Diketahui pada kolom kelima tabel lampiran C pada berbagai nilai i dan N, persamaannya:

A=F(A/F ,i%, N)

1.7.4 Menentukan A ketika Diketahui P Diperoleh bahwa:

A=P

(

⁽¹⁺ⁱ⁽¹ⁱ⁺⁾^Nⁱ⁻¹⁾^N

)

Persamaan di atas merupakan hubungan jumlah A dari serangkaian arus kas seragam yang terjadi pada akhir setiap N periode bunga yang setara dengan saat ini. P terjadi pada awal periode pertama. Kuantitas dalam tanda kurung disebut faktor pemulihan modal. Nilai numerik untuk faktor ini Diketahui pada kolom ketujuh dari tabel lampiran C untuk berbagai nilai i dan N, persamaannya:

A=P(A/P ,i%, N)

(7)

1.7.5 Menentukan Jumlah Arus Kas dalam Anuitas Diketahui A, P dan i

Kadangkala kita mungkin memiliki informasi tentang jumlah uang sekarang (P), besarnya annuitas (A), dan tingkat bunga (i). Faktor yang tidak diketahui dalam hal ini adalah jumlah arus kas dalam anuitas (N).

1.7.6 Menentukan Tingkat Bunga, i , Diketahui A, F dan N

Pada situasi kita mengetahui jumlah (A), waktu (N) dari rangkaian pembayaran seragam, dimana diketahui juga nilai masa depan yang diinginkan dari seri (F) dan yang tidak diketahui adalah tingkat bunga (i). Tidak ada persamaan tunggal untuk menentukan i, namun kita dapat menggunakan hubungan yang diketahui antara i, A, F dan N dengan metode interpolasi linier untuk mendekati tingkat bunga.

1.8 Ringkasan Rumus Bunga dan Hubungan Untuk Diskrit Majemuk

Ada beberapa hubungan yang berguna antara faktor bunga majemuk. Hubungan tersebut dirangkum dalam persamaan berikut:

(

^{F ,i}^P^%^{, N}

)

⁼

(

^{P ,i}^F¹^%^{, N}

) (

^{P ,i}^A^%^{, N}

)

⁼

(

^{A ,i}^P¹^%^{, N}

) (

^{F ,i}^A^%^{, N}

)

⁼

(

^{A ,i}^F¹^%^{, N}

) (

^{A ,i}^F^%^{, N}

)

⁼

(

^{A ,i}^P^%^{, N}

)(

^{P ,i}^F^%^{, N}

)

(

^{A ,i}^P^%^{, N}

)

⁼

∑

^k=1^N

(

^{F ,i}^P^%^{, k}

) (

^{A ,i}^F^%^{, N}

)

⁼

∑

^k=1^N

(

^{P ,i}^%^F^{, N}⁻^k

)

(

^{F ,i}^A^%^{, N}

)

⁼

(

^{P ,i}^A^%^{, N}

)

⁻ⁱ

Tabel 4.3 Komponen Diskret- Faktor Bunga dan Simbolnya

(8)

Untuk Menentukan

Diketahui Fakto yang digunakan

Nama Faktor Simbol Faktor Fungsisonal Untuk arus kas tunggal

F P (1+i)^N Jumlah majemuk

pembayaran tunggal

(F/P, i%, N)

P F 1

(1+i)^N

Nilai sekarang pembayaran tunggal

(P/F, i%, N)

Untuk seri seragam (annuitas)

F A (1+i)^N−1

i

Jumlah komponen seri seragam

(F/A, i%, N)

P A (1+i)^N−1

i(1+i)^N

Nilai Sekarang seri seragam

(P/A, i%, N)

A F 1

(1+i)^N−1

Dana Pelunasan (A/F, i%, N)

A P (1+i)^N

i(1+i)^N−1

Pemulihan Modal (A/P, i%, N)

1.9 Anuitas yang Ditunda (Seri Seragam)

Jika arus kas tidak dimulai sampai beberapa waktu kemudian anuitas tersebut dikenal sebagai anuitas yang ditunda. Jika anuitas ditunda untuk periode J(J<N), situasinya ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 4. Arus kas umum dari anuitas yang ditunda (seri seragam)

Pada gambar di atas, dimana seluruh anuitas biasa dibingkai telah dipindahkan dari waktu sekarang atau waktu nol oleh periode J. Persamaannya yaitu:

P₀=A(P/A ,i%, N−J)(P/F ,i%, J) 1.10 Perhitungan Ekuivalensi Melibatkan Rumus Bunga Berganda

Bagian ini memberukan contoh yang melibatkan dua atau lebih perhitungan ekuivalensi untuk menyelesaikan kuantitas yang tidak diketahui. Konvensi arus kas akhir tahun digunakan. Tingkat bunga konstan selama N periode waktu.

(9)

1.11 Gradien Arus Kas yang Seragam (Aritmatika)

Beberapa masalah melibatkan penerimaan atau pengeluaran yang diproyeksikan meningkat atau berkurang dengan jumlah yang seragam setiap periode. Situasi ini dapat dimodelkan sebagai gradien arus kas yang seragam.G merupakan gradien seragam. Waktu arus kas yang menjadi daasar rumus turunan dan nilai tabel adalah sebagai berikut:

Akhir Periode Arus Kas

1 (0)G

2 (1)G

3 (2)G

. .

N-1 (N-2)G

N (N-1)G

Gradien arus kas seragam pertama, G, terjadi pada akhir periode kedua.

Gambar 5. Diagram Arus Kas untuk Gradien seragam yang meningkat oleh dolar G per periode

1.11.1 Menentukan P ketika Diketahui G

Diperoleh manipulasi algebra sebagai berikut:

P=G

{

¹ⁱ

[

⁽¹⁽⁺¹⁺ⁱⁱ⁾^N⁾⁻^N¹⁻⁽¹⁺ⁱ^N⁾^N

] }

Istilah yang terdapat dalam kurung kurawal disebut gradien untuk menunjukkan ekuivalen faktor konversi. Nilai numerik untuk faktor ini Diketahui pada kolom 8 Apendiks C untuk rentang nilai I dan N, persamaannya:

P=G(P/G ,i%, N)

(10)

1.11.2 Menentukan A Ketika Diketahui G Untuk menentukan nilai A:

A=P(A/P ,i%, N) Substitusi nilai P, maka diperoleh persamaan:

A=G

[

¹ⁱ⁻⁽¹⁺ⁱ^N⁾^N⁻¹

]

Istilah dalam tanda kurung disebut graadien seri seragam faktor konversi. Nilai numerik faktor ini Diketahui pada kolom 8 apendiks C untuk berbagai nilai i dan N, persamaannya:

A=G(A/G ,i%, N) 1.11.3 Menentukan F ketika Diketahui G

Untuk menentukan nilai F.

F=P(F/P ,i%, N) Dengan mengembangkan rumus, diperoleh:

F=G

i (F/A ,i%, N)−NG i

1.11.4 Komputasi Menggunakan G

Keuntungan utama menggunakan faktor konversi gradien (yaitu penghematan waktu komputasi) direalisasikan ketika N menjadi besar.

1.12 Urutan Geometrik Arus Kas

Dalam deret gradien geometris, arus kas meningkat atau menurun dari periode ke periode dengan persentase yang konstan. Tingkat perubahan yang seragam ini menentukan rangkaian arus kas gradien geometris. Kita akan menggunakan istilah G yang merupakan tingkat perubahan konstan dimana jumlah naik atau turun dari satu periode ke periode berikutnya.

(11)

Gambar 6. Diagram arus kas untuk peningkatan pembayaran urutan geometrik pada tingkat f konstan per periode

1.13 Suku Bunga yang Bervariasi dengan Waktu

Ketika suku bunga pinjaman dapat bervariasi dengan waktu, hal ini perlu diperhitungkan saat menentukan nilai ekuivalen pinjaman di masa depan. Untuk memperoleh persamaan saat ini dari serangkaian arus kas pada suku bunga yang bervariasi , prosedur yang serupa dengan yang sebelumnya digunakan dengan urutan faktor (P/F, i%,k). Nilai ekuivalen sekarang dari arus kas yang terjadi pada akhir periode N dihitung menggunakan persamaan.

P= F_N

∏

k=1 N

(1+i_k₎

1.14 Suku Bunga Nominal dan Efektif

Seringkali periode bunga, atau waktu antara penggabungan berturut-turut kurang dari satu tahun. Sudah menjadi kebiasaan untuk mengutip suku bunga secara tahunan diikuti dengan periode pemajemukan jika berbeda dari satu tahun lamanya. Tingkat bunga tahunan dikenal dengan nominal. Tingkat bunga nominal diwakili oleh r.

(12)

Tingkat bunga aktual yang diperoleh dari pokok selama satu tahun dikenal sebagai tingkat efektif. Suku bunga efektif selalu dinyatakan secara tahunan. Hubungan antara bunga efektif, I dan bunga nominal adalah:

i=(1+r/M)^M−1 Dimana M adalah bilangan periode majemuk per tahun.

1.15 Penggandaan Lebih Sering dari Sekali Per Tahun 1.15.1 Jumlah Tunggal

Jika suku bunga nominal dikutip dan jumlah periode pemajemukan per tahun dan jumlah tahun diketahui, setiap masalah yang melibatkan nilai ekivalen masa depan, tahunan atau sekarang dapat dihitung.

1.15.2 Seri Seragam dan Seri Gradien

Ketika ada lebih dari satu periode bunga majemuk per taahun, rumus, dan tabel untuk seri seragam dan seri gradien dapat digunakan selama arus kaspada akhirsetiap periode bunga.

1.16 Rumus Bunga Untuk Penggandaan Berkelanjutan dan Arus Kas Diskrit

Penggandaan berkelanjutan mengasumsikan bahwa arus kas terjadi pada interval diskrit (misalnya, sekali per tahun), tetapi penggandaan itu terus menerus sepanjang interval.

Dengan tingkat bunga nominal per tahun sebesar r, jika bunga digandakan M kali per tahun , satu unit produk akan berjumlah [1+(r/M)]^M pada akhir satu tahun. Misalkan M/r=p maka persamaannya:

[

¹⁺¹^p

]

^rp⁼

[ (

¹⁺¹^p^p

) ]

^r

Karena:

lim

p → ∞

(

¹⁺¹^p

)

^p^=e¹^=2,71828^…

Faktor jumlah majemuk yang berkelanjutan (arus kas tunggal) pada bunga nominal r%

selama N tahun adalah e^rN .

(F/P , r%, N)=e^rN i=e^r−1 Untuk penggandaan berkelanjutan dan arus kas diskrit:

(P/F , r%, N)=e^−rN

(13)

(F/A , r%, N)=e^rN−1 e^r−1 (P/A , r%, N)=1−e^−rN

e^r−1 = e^rN−1 e^rN(e^r−1)

1.17 Kesimpulan