Masalah Transportasi (Transportation Problem)

(1)

Masalah Transportasi

(Transportation Problem)

(2)

OUTLINE

Pendahuluan

• _{Solusi Basis Awal Layak} • _{Northwest corner method} • _{Least cost method}

• _{Vogel’s approximation method}_(VAM) • _{Perbaikan Solusi Basis Layak Awal}

• _Metode_u-v_{atau MODI (}_{Modified Distribution Method)} • _Metode_{stepping stone}

• _{Solusi Basis Awal Layak} • _{Northwest corner method} • _{Least cost method}

• _{Vogel’s approximation method}_(VAM) • _{Perbaikan Solusi Basis Layak Awal}

• _Metode_u-v_{atau MODI (}_{Modified Distribution Method)} • _Metode_{stepping stone}

Pemecahan Masalah Transportasi

Contoh Implementasi

(3)

GOAL

• _{Memahami konsep metode transportasi}

dan penerapannya

• _{Memahami konsep solusi optimal}

permasalahan transportasi

• _{Memahami metode Vogel’s untuk}

(4)

(5)

MASALAH TRANSPORTASI

• Masalah transportasi umumnya berkaitan

dengan masalah pendistribusian suatu

(6)

MASALAH TRANSPORTASI

1

2

1

2

4 3

Pabrik Pusat Distribusi/Depot

5 100

70

25

30

100

15 3

4

6 ₇

4 ₅

7

Berapa yang harus dikirim dari

(7)

Rumusan Pemrograman Linier

• _Terdapat_m_{sumber (misal: gudang) dimana}

produk disimpan.

• _Terdapat_n_{tujuan (misal: pasar) dimana}

produk dibutuhkan.

• _{Ketersediaan pasokan dari sumber :}_a

i (i =

1, 2, …, m)

• _{Permintaan dari tujuan :}_b

(8)

• Biaya pengiriman dari sumber i ke tujuan j : c_ij

(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). Jika suatu

sumber i tidak dapat memasok suatu tujuan j, maka c_ij = M (M bilangan positif yang sangat besar)

• _{Permasalahannya adalah menentukan jumlah}

produk yang dikirim dari sumber i ke tujuan j

(9)

• Biaya pengiriman dari sumber i ke tujuan j : c_ij

(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). Jika suatu

sumber i tidak dapat memasok suatu tujuan j, maka c_ij = M (M bilangan positif yang sangat besar)

• _{Permasalahannya adalah menentukan jumlah}

produk yang dikirim dari sumber i ke tujuan j

(10)

dengan pembatas-pembatas:

(11)

MASALAH TRANSPORTASI DALAM BENTUK JARINGAN

1

2

m

1

2

n ... ...

Sumber Tujuan

c_ij a₁

a₂

a_i a_m

b₁

b₂

(12)

Masalah Transportasi Standar/Seimbang

(Standar/Balanced Transportation Problem)

Minimasi

_{ }

(13)

Masalah Transportasi Tak Seimbang

(14)

Masalah Transportasi Tak Seimbang

(15)

Tabel Transportasi

Tujuan

Pasokan

D₁ D₂ D_n

Sum ber

S₁ c11 c12 c1n a₁

x₁₁ x₁₂ x₁_n

S₂ c22 c22 c2n a₂

x₁₂ x₂₂ x₂_n

S_m cm1 cm2 cmn

a_n

x_m₁ x_m₂ x_mn

(16)

To

From Albuquerque Boston Cleveland

Des Moines $5 $4 $3

Evansville $8 $4 $3

Fort Lauderdale $9 $7 $5

(17)

Fort Lauderdale (300 units

capacity) Albuquerque

(300 units required)

Des Moines (100 units

capacity)

Evansville (300 units capacity)

Cleveland (200 units required)

Boston (200 units

required)

To

From Albuquerque Boston Cleveland

Des Moines $5 $4 $3

Evansville $8 $4 $3

(18)

Transportation Matrix

From

To

Albuquerque Boston Cleveland

Des Moines

Evansville

Fort Lauderdale

Factory capacity

Warehouse requirement

300

300 200 200

100

Cost of shipping 1 unit from Fort

Lauderdale factory to Boston warehouse

Des Moines capacity constraint

Cell

representing a possible

source-to-destination shipping assignment (Evansville to Cleveland)

Total demand and total supply Cleveland

(19)

Contoh Kasus II

Shipping costs, Supply, and Demand for Powerco Example

From To

City 1 City 2 City 3 City 4 Supply (Million kwh) Plant 1 $8 $6 $10 $9 35

Plant 2 $9 $12 $13 $7 50

Plant 3 $14 $9 $16 $5 40

Demand

(20)

LP Formulation of Powerco’s Problem

Min Z = 8X₁₁+6X₁₂+10X₁₃+9X₁₄+9X₂₁+12X₂₂+13X₂₃+7X₂₄ +14X₃₁+9X₃₂+16X₃₃+5X₃₄

S.T.: X₁₁+X₁₂+X₁₃+X₁₄<= 35 (Supply Constraints) X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄<= 50

X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄<= 40

X₁₁+X₂₁+X₃₁>= 45 (Demand Constraints) X₁₂+X₂₂+X₃₂>= 20

X₁₃+X₂₃+X₃₃>= 30 X₁₄+X₂₄+X₃₄>= 30

(21)

(22)

Algoritma Pemecahan

• _{Langkah 0:}

– Perumusan masalah dalam masalah transportasi standar

• Langkah 1:

– _{Penentuan solusi basis layak awal}

• Langkah 2:

– _{Pemeriksaan optimalitas. Jika solusi optimal maka}

berhenti.

(23)

Metode Penentuan Solusi Basis Layak Awal

• _{Northwest corner method}

• Least cost method

(24)

Northwest Corner Rule (0)

 Merupakan pemecahan awal yang layak, namun belum optimal sehingga harus

dilanjutkan ke tahap selanjutnya dengan mempergunakan metode lanjut.

Prosedur:

(1) Pengisian sel/kotak dimulai dari ujung kiri atas.

(2) Alokasi jumlah maksimum (terbesar) sesuai syarat sehingga layak untuk memenuhi

permintaan.

(3) Bergerak ke kotak sebelah kanan bila masih terdapat suplai yang cukup. Kalau tidak,

bergerak ke kotak di bawahnya sesuai

demand. Bergerak terus hingga suplai habis

(25)

2 2 2 1

3

10 8 5 4

7

7 6 6 8

5

4 3 4 4

Konsumen

Pabrik

Permintaan Konsumen

(26)

26

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

7

7 6 6 8

5

(27)

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

6 1

7 6 6 8

5

(28)

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

3

1 3

7 6 6 8

5

(29)

29

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

1 3 3

7 6 6 8

5

(30)

30

6Northwest Corner Rule (6))

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

1 3 3

7 6 6 8

4 1

(31)

31

Northwest Corner Rule

Solusi Basis Layak Awal

2 2 2 1

3 3

10 8 5 4

7

1 3 3

7 6 6 8

5

1 4

4 3 4 4

(32)

Least Cost Rule (1)

2 2 2 1

3

10 8 5 4

7

7 6 6 8

5

(33)

33

Least Cost Rule (2)

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

7

7 6 6 8

5

(34)

34

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

6 1

7 6 6 8

5

(35)

35

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

2

4 1

7 6 6 8

5

(36)

36

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

2

4 1

7 6 6 8

2 3

(37)

37

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

2

4 1

7 6 6 8

0

2 3

(38)

38

Least Cost Rule

Solusi Basis Layak Awal

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

0 0 0 0

(39)

39

Vogel’s Approximation Method

(VAM) (0)

Prosedur Pemecahan:

(1) Hitung perbedaan antara dua biaya terkecil dari setiap baris dan kolom. Nilai perbedaan/selisih ditulis di kolom baru di samping kolom yang ada (disebut baris/kolom penalti).

(2) Pilih baris atau kolom dengan nilai hukuman terbesar, lalu beri tanda kurung. Jika nilai pada baris atau kolom adalah sama, pilih yang dapat memindahkan barang paling banyak.

(3) Dari baris/kolom yang dipilih pada (2), tentukan jumlah barang yang bisa terangkut dengan memperhatikan pembatasan yang berlaku bagi baris atau kolomnya serta sel dengan biaya terkecil.

(4) Hapus baris atau kolom yang sudah memenuhi syarat sebelumnya (artinya suplai telah dapat terpenuhi).

(40)

40

Vogel’s Approximation Method

(VAM) (1)

Pen alti

2 2 2 1

3 1

10 8 5 4

7 1

7 6 6 8

5 0

4 3 4 4

(41)

41

Vogel’s Approximation Method

(VAM) (2)

Pen alti

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

7 1

7 6 6 8

5 0

1 3 4 4

(42)

42

Vogel’s Approximation Method

(VAM) (3)

Pen alti

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

3 3

4

7 6 6 8

5 0

1 3 4 0

(43)

43

Vogel’s Approximation Method

(VAM) (4)

Pen alti

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

3 4

7 6 6 8

5

1 3 1 0

(44)

44

Vogel’s Approximation Method

(VAM)

Solusi Basis Layak Awal

Pasokan

2 2 2 1

3 3

10 8 5 4

7

3 4

7 6 6 8

5

1 3 1

Permintaan ₄ ₃ ₄ ₄

(45)

Degenerasi

• Solusi basis layak dari masalah transportasi

dikatakan degenerasi (degenerate) jika satu atau lebih variabel basis mempunyai nilai nol.

• Solusi basis dapat menjadi degenerasi jika sisa

pasokan dan sisa permintaan adalah sama untuk variabel yang akan dipilih menjadi basis.

• _{Jumlah solusi basis dalam masalah transportasi}

(46)

46

Ilustrasi Degenerasi (1)

2 2 2 1

4

10 8 5 4

5

7 6 6 8

8

(47)

47

Sisa Pasokan

2 2 2 1

0 4

10 8 5 4

5

7 6 6 8

8

Sisa

(48)

48

Sisa Pasokan

2 2 2 1

0 4

10 8 5 4

5 0

7 6 6 8

8

Sisa

(49)

49

Sisa Pasokan

2 2 2 1

0 4

10 8 5 4

0

0 5

7 6 6 8

8

Sisa

(50)

50

Sisa Pasokan

2 2 2 1

0 4

10 8 5 4

0

0 5 0

7 6 6 8

8

Sisa

(51)

51

Sisa Pasokan

2 2 2 1

0 4

10 8 5 4

0

0 5 0

7 6 6 8

4 4

Sisa

(52)

52

Pasokan

2 2 2 1

4 4

10 8 5 4

5

0 5 0

7 6 6 8

8

4 4

(53)

Perbaikan Solusi Basis Layak Awal

• _{Perbaikan solusi basis layak awal}

– Pemeriksaan optimalitas

– _{Penentuan solusi basis layak yang baru}

• _Metode:

– _Metode_u-v_{atau MODI (}_{Modified Distribution}

Method)

(54)

Metode u-v (1)

Untuk sebarang solusi basis layak, tentukan nilai

u_i (untuk semua i) dan v_j (untuk semua j) sedemikian hingga

ij j

i v c

u _ _ untuk setiap variabel basis x_ij

(Nilai u_i dan v_j bisa positif, negatif atau nol).



i j



ij

ij c u v

c _ _ _

(55)

55

Metode u-v (2)



i j



ij

ij c u v

c _ _ _

Untuk variabel non basis:

Kondisi optimalitas (masalah minimasi ) terjadi apabila



_



_ 0



 _ij _i _j

ij c u v

c untuk semua variabel non basis

Jika kondisi belum optimal, variabel yang masuk basis adalah yang mempunyai paling negatif (masalah

minimasi) ij

(56)

56

Misal Diberikan Solusi Basis Layak

Awal dengan

Least Cost Method

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

(57)

57

Penerapan Metode u-v

1

Enam persamaan dengan tujuh variabel yang tak diketahui 

terdapat tak hingga solusi yang mungkin

Untuk mendapatkan solusi,

suatu nilai variabel tertentu dapat ditetapkan sebarang, dan nilai

(58)

58

Pemeriksaan Optimalitas

v₁ = v₂ = v₃ = v₄ =

u₁ = 0 2 2 2 1 3

3

u₂ = 10 8 5 4 ₇

2 4 1

u₃ = 7 6 6 8 ₅

2 3

(59)

59

v₁ = 7 v₂ = 6 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 2 2 2 1 3

3

u₂ = 3 10 8 5 4 ₇

2 4 1

u₃ = 0 7 6 6 8 ₅

2 3

(60)

60

v₁ = 7 v₂ = 6 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 -5 2 2 2 1 3

3

u₂ = 3 10 8 5 4 ₇

2 4 1

u₃ = 0 7 6 6 8 ₅

2 3

4 3 4 4



i j



ij

ij c u v

(61)

61

v₁ = 7 v₂ = 6 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 -5 2 -4 2 0 2 1 3

3

u₂ = 3 10 -1 8 5 4 ₇

2 4 1

u₃ = 0 7 6 4 6 7 8 ₅

2 3

4 3 4 4



i j



ij

ij c u v

c   

(62)

62

v₁ = 7 v₂ = 6 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 2 2 2 1 ₃

+ 3

u₂ = 3 10 8 5 4 ₇

2 4 1+

u₃ = 0 7 6 6 8 5

2 3

4 3 4 4

(63)

63

Solusi

2 2 2 1

3

2 1

10 8 5 4

7

4 3

7 6 6 8

5

2 3

4 3 4 4

(64)

64

v₁ = 2 v₂ = 1 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 2 2 2 1 3

2 1

u₂ = 3 10 8 5 4 ₇

4 3

u₃ = 5 7 6 6 8 ₅

2 3

(65)

65

v₁ = 2 v₂ = 1 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 2 1 2 0 2 1 3

2 1

u₂ = 3 5 10 4 8 5 4 ₇

4 3

u₃ = 5 7 6 -1 6 2 8 ₅

2 3

4 3 4 4

(66)

66

v₁ = 2 v₂ = 1 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 2 2 2 1 3

2+ 1

u₂ = 3 10 8 5 4 7

4 3+

u₃ = 5 7 6 6 8 ₅

2 3 +

4 3 4 4

(67)

67

Solusi

2 2 2 1

3 3

10 8 5 4

7

3 4

7 6 6 8

5

1 3 1

4 3 4 4

(68)

68

Solusi

v₁ = 2 v₂ = 1 v₃ = 1 v₄ = 0

u₁ = 0 2 2 2 1 3

3

u₂ = 4 10 8 5 4 7

3 4

u₃ = 5 7 6 6 8 ₅

1 3 1

4 3 4 4

(69)

69

Solusi

v₁ = 2 v₂ = 1 v₃ = 1 v₄ = 0

u₁ = 0 2 1 2 1 2 1 1 ₃

3

u₂ = 4 4 10 3 8 5 4 ₇

3 4

u₃ = 5 7 6 6 3 8 5

1 3 1

4 3 4 4

(70)

70

Solusi Optimal

2 2 2 1

3 3

10 8 5 4

7

3 4

7 6 6 8

5

1 3 1

4 3 4 4

(71)

71

Masalah Maksimasi

Kondisi optimal :

 Koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis

tak positif



_



_

0 



_ij _i _j

ij

c

u

v

c

Penentuan variabel non basis yang masuk basis

(72)

(73)

V1 V2 V3 V4

U1

U2

U3

1. Tetapkan U1= 0

2. Hitung nilai Ui dan Vj dengan menggunakan persamaan Cij = Ui +

Vj, untuk sel yang mendapatkan alokasi.

3. Hitung Reduced Cost (Kij)= Cij-Ui-Vj, untuk sel yang tidak

mendapatkan alokasi.

Sel yang tidak

mendapatkan alokasi

Sel yang

mendapatkan alokasi

C_ij = U_i + V_j

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

-Transportation Matrix

Transportation Matrix

From

To

Albuquerque Boston Cleveland

Des Moines

Evansville

Fort Lauderdale

Factory capacity

Warehouse requirement

300

300 200 200

100

Cost of shipping 1 unit from Fort

Lauderdale factory to Boston warehouse

Des Moines capacity constraint

Cell

representing a possible

source-to-destination shipping assignment (Evansville to Cleveland)

Total demand and total supply Cleveland

(79)

Northwest-Corner Rule

 Start in the upper left-hand cell (or northwest corner) of the table and allocate units to

shipping routes as follows:

1. Exhaust the supply (factory capacity) of each row before moving down to the next row

2. Exhaust the (warehouse) requirements of each column before moving to the next column

(80)

1. Assign 100 tubs from Des Moines to Albuquerque (exhausting Des Moines’s supply)

2. Assign 200 tubs from Evansville to Albuquerque (exhausting Albuquerque’s demand)

3. Assign 100 tubs from Evansville to Boston (exhausting Evansville’s supply)

4. Assign 100 tubs from Fort Lauderdale to Boston (exhausting Boston’s demand)

(81)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

requirement 300 200 200

Factory capacity

100 100 100

200

(82)

Intuitive Lowest-Cost Method

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

First, $3 is the lowest cost cell so ship 100 units from Des Moines to Cleveland and cross off the first row as Des Moines is satisfied

(83)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

Second, $3 is again the lowest cost cell so ship 100 units from Evansville to Cleveland and cross off column C as Cleveland is satisfied

(84)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

Third, $4 is the lowest cost cell so ship 200 units from

Evansville to Boston and cross off column B and row E as Evansville and Boston are satisfied

(85)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

Finally, ship 300 units from Albuquerque to Fort Lauderdale as this is the only remaining cell to complete the allocations

(86)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

(87)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

Figure C.4

This is a feasible solution, and an improvement over the previous solution, but not necessarily the lowest

(88)

Stepping-Stone Method

Stepping-Stone Method Metode Stepping Stone : Menekan ke bawah biaya

transport dengan memasukkan variabel non basis (yaitu alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi. Dengan menggunakan solusi awal yang diperoleh melalui metode North West Corner yang belum optimum, akan

ditunjukkan evaluasi masing-masing non basis.

a. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi)

b. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang mendapatkan alokasi menuju sel kosong

terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara horisontal dan vertikal saja.

c. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

d. Menghitung indeks perbaikan dengan cara

menjumlahkan biaya transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda (-).

e. Mengulangi tahap 1 sampai 4 hingga indeks perbaikan untuk

(89)

$5

To (A) (D) Des Moines

(E) Evansville (F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

Figure C.5

Des Boston index

(90)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

Figure C.6

Start

Des Moines-Cleveland index

(91)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

Evansville-Cleveland index

= $3 - $4 + $7 - $5 = +$1 (Closed path = EC - EB + FB - FC)

Fort Lauderdale-Albuquerque index

(92)

1. If an improvement is possible, choose the route (unused square) with the largest

negative improvement index

2. On the closed path for that route, select the smallest number found in the squares containing minus signs

3. Add this number to all squares on the

closed path with plus signs and subtract it from all squares with a minus sign

(93)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

Factory capacity

1. Add 100 units on route FA 2. Subtract 100 from routes FB 3. Add 100 to route EB

(94)

To _(A)

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

(95)

Jika Supply ≠ Demand

New

Des Moines capacity

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

(96)

Tugas

Diketahui tabel transportasi dari sebuah kasus pendistribusian barang dari 4 pabrik ke 3 Gudang penyimpanan sebagai berikut :

Pabrik

Gudang

Surabaya Yogyakarta Jakarta Barat Jumlah Barang yang akan Didistribusikan

Bandung 200 100 70 50

Bogor 90 150 80 50

Sukabumi 60 10 90 50

Bekasi 50 20 60 50

Kapasitas

(97)

Tugas

Tugas :

1. Tentukan solusi layak awal (jumlah barang yang didistribusikan dari tiap pabrik ke tiap gudang, serta total biaya pendistribusian) dengan metode northwest corner, least cost, dan vogel approximation.

(98)

(99)

m62 visualcommunications is the global leader in presentation efectiveness, from ofces in the UK, USA, and Singapore

Beyond Bullet Points

PowerPoint Slides

PowerPoint Training