BAB 3 METODE PENELITIAN

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Studi Pendahuluan

Langkah awal dalam penelitian ini adalah mencari dan mengumpulkan sumber-sumber seperti: buku, jurnal atau penelitian sebelumnya yang mendukung penelitian ini.

3.2 Tahapan Analisis

Pada tahap analisis ini dilihat bagaimana proses pengelolahan air bersih secara menyeluruh dan melihat bagaimana sedimentasi itu terjadi pada wadah sedimentasi kemudian dimodelkan pada suatu gambar untuik menurunkan persamaan nya.

3.2.1 Menentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam penelitian ini Pada tahap ini akan ditentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam

penelitian ini .

3.2.2 Menentukan kondisi awal dan batas

Untuk persoalan Sedimentasi dalam penelitian ini diasumsikan sebagai berikut:

1. Diasumsikan sedimentasi adalah lumpur,

2. Efek-efek viskos diabaikan (fluida inviscid/tanpa gesekan),

3. Diasumsikan air mengalir dan tidak berputar, aliran mampu-mampat, dan aliran laminar,

4. Untuk sifat kohesi dan adhesi tidak diperhatikan.

3.2.3 Memodelkan persoalan tersebut ke dalam bentuk model Matematika Persoalan sedimentasi tersebut akan dimodelkan dengan model Matematika khususnya dengan menggunakan Persamaan Diferensial.

3.3 Membuat Kesimpulan dan Menyusun Laporan Penelitian

Setelah persoalan tersebut dimodelkan ke dalam bentuk Matematika, maka didapatlah suatu persamaan yang menjelaskan model sedimentasi pada air.

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Sedimentasi

Sedimentasi adalah pemisahan solid-liquid menggunakan pegendapan secara gravitasi untuk menyisihkan suspended-solid. Banyak faktor-faktor yang mempengaruhi sedimentasi pada air yang nanti nya akan menjadi variabel-variabel yang akan membantu terbentuknya suatu model matematika dalam bentuk persamaan diferensial parsial.

Dinamika fluida (hidrodinamik) memberi gambaran tentang gerak fluida dalam bahas ruang tertentu. Untuk dapat menjelaskan tentang gerak fluida maka gerak ini lebih dahulu harus dapat ditampilkan dalam satu set persamaan diferensial yang dapat diselesaikan secara analitik maupun numerik.

4.2 Pemodelan Aliran Dua Fase dari Suspensi Padat

Suspensi atau campuran padat-cair penting di berbagai bidang industri, seperti penyempurnaan minyak dan gas, pembuatan kertas, pengolahan makanan, transportasi lumpur, dan pengolahan air limbah.

Suspensi adalah campuran partikel padat dan cairan. Dinamika suspensi dapat dimodelkan dengan persamaan transport momentum untuk campuran. Model campuran dengan aliran laminar secara otomatis mengatur persamaan yang akan didapatkan (persamaan 4.26).

4.3 Persamaan Diferensial

Untuk meyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial untuk suatu variabel dependen, kondisi-kondisi tertentu diperlukan yang berarti variabel independennya harus ditentukan pada nilai-nilai tertentu dari independen-independen variabel. Jika variabel-variabel independen-independennya berupa koordinat-koordinat ruang yakni kecepatan, kondisi-kondisinya disebut kondisi-kondisi

batas. Jika variabel independennya adalah waktu, kondisi-kondisinya disebut

Kondisi batas nya adalah komponen kecepatan ke tegak lurus dalam aliran tak-kental. Dalam aliran tak-kental di mana viskositas diabaikan, vektor kecepatan memiliki arah tangensial terhadap perbatasan.

Persamaan-persamaan diferensial ini nanti nya akan diturunkan dengan menggunakan koordinat-koordinat kartesian.

4.4 Persamaan Kontinuitas Diferensial

Untuk menurunkan persamaan kontinuitas differensial digunakan elemen

infinitesinal. Elemen ini adalah volume kontrol yang kecil di mana aliran fluida

masuk dan keluar. Elemen ini ditunjukkan pada bidang xy dengan kedalaman dz . Diasumsikan bahwa alirannya hanya pada bidang xy sehingga tidak terjadi aliran fluida ke arah z . Karna massa dapat berubah di dalam elemen tersebut. Ini diekspresikan sebagai ) ( ) ( ) ( dxdydz t dxdz dy y v v vdxdz dydz dx x u u udydz ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ =       ∂ ∂ + − +       ∂ ∂ + − (4.1)

di mana ρ diijinkan untuk berubah di sepanjang elemen tersebut. Jika persamaan di atas disederhanakan , dengan menganggap bahwa volume kontrol elental tersebut tidak bergerak, diperoleh :

t y v x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂(ρ ) (ρ ) ρ (4.2)

Gambar 4.1 Volume Kontrol Infinitesimal

Diferensiasikan produk-produknya dan masukan variasi ke arah z . Maka persamaan kontinuitas diferensialnya dapat dituliskan dalam bentuk

0 =       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u z w y v x u t ρ ρ ρ ρ ρ (4.3)

Keempat suku pertama membentuk derivatif material, yakni

t z w y v x u Dt D ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = (4.4)

Sehingga persamaan menjadi :

0 =       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + z w y v x u Dt Dρ _ρ (4.5)

yang merupakan bentuk paling umum dari persamaan kontinuitas diferensial dalam koordinat kartesian.

dy dx dz dx v ρ dz dy u ρ x x dydz u u ( )       _∂ ∂ ∂ + ρ ρ dz dx y y v v ( ) _      ∂ ∂ ∂ + ρ ρ

Persamaan kontinuitas diferensial ini seringkali dituliskan dengan menggunakan operator vektor k z j y i x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ (4.6)

Sehingga persamaan mengambil bentuk

0 .∇= ∇ +ρ ρ Dt D (4.7)

Di mana vektor kecepatannya adalah V =ui+vj+wk Skalar disebut divergens dari vektor kecepatan.

Untuk aliran inkompresibel, densitas partikel fluida tetap konstan, artinya, 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = z w y v x u t Dt Dρ ρ ρ ρ ρ (4.8)

Jadi densitas tidak harus konstan. Jika densitas nya memang konstan, maka setiap suku dalam persamaan bernilai 0. Untuk aliran inkompresibel mengharuskan

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u atau ∇V. =0 _(4.9)

4.5 Persamaan Momentum Diferensial

Persamaan diferensial yang diturunkan dari persamaan kontinuitas diferensial memiliki tiga komponen kecepatan sebagai variabel-variabel dependen untuk aliran inkompresibel. Jika ada aliran di mana medan kecepatan dan medan tekanannya tidak diketahui, persamaan momentum diferensial memberikan tiga persamaan tambahan karna merupakan persamaan kecepatan yang memiliki tiga komponen. Keempat variabel yang dicari adalah u , v , w dan p jika menggunakan sistem koordinat kartesian. Keempat persamaan akan memberikan persamaan-persamaan yang diperlukan dan selanjutnya kondisi-kondisi awal dan batas memungkinkan penyelesaian permasalahan.

Untuk mendapatkan suatu persamaan atau model baru dalam permasalahan ini, yang akan diperhatikan adalah :

Pertama-tama, tegangan eksis di permukaan-permukaan suatu elemen fluida infinitesimal berbentuk persegi seperti ditunjukkan pada gambar (4.2) untuk bidang xy. Komponen-komponen tegangan yang sama juga bekerja ke arah z. Tegangan normal dilambangkan dengan σ dan tegangan geser dengan τ . Ada sembilan komponen tegangan: σ_xx, σ , _yy σ_zz, τ , _xy τ , _yx τ_xz, τ_zx, τ dan _yz τ . Jika _zy diambil momen terhadap sumbu x , sumbu ydan sumbu z, masing-masing akan menunjukkan

xy yx τ

τ = τzx =τxz τzy =τyz (4.10)

Jadi ada enam komponen tegangan yang harus dihubungkan dengan tekanan dan komponen-komponen kecepatan. Hubungan-hubungan tersebut disebut sebagai persamaan-persamaan konstitutif .

Selanjutnya, aplikasikan hukum kedua Newton pada elemen dalam Gambar 4.3, dengan mengasumsikan tidak ada tegangan geser yang bekerja ke arah zdan bahwa gravitasi bekerja hanya ke arah z:

Gambar 4.2 Komponen-komponen tegangan yang saling tegak lurus pada sebuah elemen cairan xx σ dy dx yy σ xy τ yx τ dy y yy yy _∂ ∂ + σ σ dy y yx yx _∂ ∂ + τ τ dx x xy xy _∂ ∂ + τ τ dx x xx xx _∂ ∂ + σ σ y x

Dt Du dxdydz dxdz dxdz dy y dydz dydz dx x xy xy xy xx xx xx ρ τ τ τ σ σ σ _ − =      ∂ ∂ + + −       ∂ ∂ + (4.11) Dt Dv dxdydz dydz dydz dx x dxdz dxdz dy y xy xy xy yy yy yy ρ τ τ τ σ σ σ _ − =      ∂ ∂ + + −       ∂ ∂ + (4.12) Disederhanakan menjadi : Dt Du y x xy xx τ ρ σ = ∂ ∂ + ∂ ∂ Dt Dv x y xy yy τ _ρ σ = ∂ ∂ + ∂ ∂ (4.13)

Jika komponen-komponen arah zdimasukkan, persamaan-persamaan diferensialnya menjadi Dt Du z y x xz xy xx τ τ ρ σ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Dt Dv z x y xz xy yy τ τ _ρ σ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Dt Dw g y x z yz xz zz τ τ ρ ρ σ = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (4.14)

Dengan mengasumsikan bahwa suku gravitasi ρgdxdydz bekerja ke arah negatif z.

Dalam banyak aliran, efek-efek kekentalan yang menimbulkan tegangan geser dapat diabaikan dengan tegangan normal merupakan negatif dari tekanan. Untuk aliran-aliran tak-kental semacam itu, persamaan (sebelumnya) mengambil bentuk

x p Dt Du ∂ ∂ − = ρ (4.15)

y p Dt Dv ∂ ∂ − = ρ g z p Dt Dw _ρ ρ − ∂ ∂ − =

Dalam bentuk vektor, ini menjadi Persamaan : gk p Dt Dv g ρ ρ =−∇ − (4.16)

Yang berlaku untuk aliran-aliran tak kental. Untuk aliran tunak dengan densitas konstan.

Persamaan-persamaan konstitutif menghubungkan tegangan dengan medan kecepatan dan tekanan; persamaan-persamaan tersebut tidak diturunkan akan tetapi dirumuskan melalui pengamatan-pengamatan di Laboratorium.

Untuk suatu fluida Newtonian isotropik, perumusannya adalah V x u p xx 2 _∂ + ∇. ∂ + − = µ λ σ _      ∂ ∂ + ∂ ∂ = x v y u xy µ τ (4.17) V y v p yy 2 _∂ + ∇. ∂ + − = µ λ σ       ∂ ∂ + ∂ ∂ = x w z u xz µ τ (4.18) V x w p zz 2 + ∇. ∂ ∂ + − = µ λ σ _      ∂ ∂ + ∂ ∂ = y w z v yz µ τ _(4.19)

Untuk kebanyakan gas, hipotesis Stokes dapat digunakan sehingga Jika tegangan-tegangan normal tersebut dijumlahkan

(

xx yy zz

)

p=− σ +σ +σ

3 1

(4.20)

Yang menunjukkan bahwa tekanan merupakan rata-rata negatif dari ketiga tegangan normal dalam kebanyakan gas, termasuk udara, dan di semua cairan di mana ∇V. =0.

Jika persamaan (4.19) dimasukkan ke dalam Persamaan (4.16) dengan menggunakan 3 2µ λ=− , diperoleh hasil       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = z w y v x u x z u y u x u x p Dt Du 3 2 2 2 2 2 2 µ µ ρ       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = z w y v x u y z v y v x v y p Dt Dv 3 2 2 2 2 2 2 µ µ ρ g z w y v x u z z w y w x w z p Dt Dw _µ µ _ρ ρ _−      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 3 2 2 2 2 2 2 (4.21)

di mana gravitasi bekerja ke arah negatif z dan fluida diasumsikan homogen, sebagai contoh =0 ∂ ∂ x µ .

Akhirnya , jika aliran diasumsikan inkompresibel sehingga ∇V. =0, diperoleh persamaan-persamaan Navier Stokes

      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 2₂ 2₂ 2₂ z u y u x u x p Dt Du _µ ρ       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 2₂ 2₂ 2₂ z v y v x v x p Dt Dv _µ ρ g z w y w x w x p Dt Dw _{µ ρ} ρ _−      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 2₂ 2₂ 2₂ (4.22)

Di mana arah zadalah vertikal.

Jika diperkenalkan operator skalar yang disebut Laplacian, yang didefinisikan

2 2 2 2 2 2 2 dz dy dx ∂ + ∂ + ∂ = ∇ (4.23)

Dan mengulangi langkah-langkah yang menghasilkan Persamaan (4.19) sampai Persamaan (4.20), persamaan-persamaan Navier Stokes dapat dituliskan dalam bentuk vektor sebagai

g V p Dt Dv _{µ ρ} ρ =−∇ + ∇2 + 4.24

Persamaan Navier-Stokes memodelkan bagaimana suatu fluida itu mengalir didalam suatu wadah.

4.6 Persamaan Model Campuran

Model campuran (atau model slip aljabar) adalah formulasi yang disederhanakan dari persamaan aliran multiphase (dua fase). Model campuran terdiri dari kontinuitas dan persamaan momentum untuk campuran dan persamaan kontinuitas untuk fase dispersi atau terpisah.

Jika didalam aliran fluida itu terdapat suatu partikel padat yakni yang diasumsikan adalah lumpur sehingga membentuk sedimentasi, maka ada suatu rangkaian persamaan baru yang terdapat pada persamaan Navier-Stokes. Persamaan baru tersebut yakni pengaruh sedimentasi pada aliran fluida yang mengalir pada suatu wadah.

Diasumsikan ada variabel baru yakni : 𝑚𝑚𝑝𝑝 = massa partikel (solid)

𝑚𝑚𝑎𝑎 = massa air (liquid)

𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝= Kecepatan relatif antara fase padat dan cair Maka,

Dengan cara yang sama seperti menurunkan persamaan kontinuitas diferensial, didapatlah suatu persamaan yang menjelaskan terkait partikel padat yang terdapat dalam suatu aliran fluida, yakni:

(

)(

(

1

)

)

0

. − =

∇ m_pu_slip m_p u_slip

ρ (4.25)

(

)

(

m m V V

)

V g p Dt DV slip slip p p µ ρ ρ ρ =−∇ −∇ − + ∇2 + 1 (4.26) dimana: V = kecepatan (m/s) p = tekanan (Pa) g = gravitasi (m/s2 m ) p V

= massa partikel tak berdimensi

slip

Persamaan disebut dengan persamaan transportasi momentum untuk aliran dua fase dari suspensi yang bisa menyelesaikan dan menghitung berapa banyak sedimentasi dalam suatu wadah penampungan air.

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil dan pembahasan, memperlihatkan bahwa persoalan di dunia nyata dapat dimodelkan dengan menggunakan Model Matematika, dalam hal ini yakni persoalan sedimentasi pada wadah penampungan air di wadah sedimentasi pada saat pengolahan air bersih. Persoalan tersebut dapat dimodelkan ke dalam bentuk Matematika, yakni menjadi suatu persamaan yang disebut dengan persamaan transportasi momentum. Persamaan transportasi momentum nya adalah

(

)

(

m m V V

)

V g p Dt DV slip slip p p µ ρ ρ ρ =−∇ −∇ − + ∇2 +

1 . Hal ini juga menunjukkan

bahwa matematika bisa diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari.

5.2 Saran

Penulis menyarankan untuk dapat memodelkan suatu persoalan dengan cara dan metode lainnya seperti dengan metode persamaan, pertidaksamaan atau fungsi.